小学奥数数学课本二年级打印版

华罗庚学校数学课本：二年级第一讲速算与巧算一、“凑整”先算1，3，5，7，9 2，4，6，8，101.计算：（1）24+44+563，6，9，12，15上册下册（2）53+36+47解：（1）24+44+56=24+（44+56）4，8，12，16，20等等都是等差连续数.1.等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间第一讲速算与巧算第一讲机智与顿悟=24+100=124这样想：因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的数乘以个数，简记成：第二讲数数与计数（一）第二讲数数与计数和算出来.（2）53+36+47=53+47+36（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9第三讲数数与计数（二）第三讲速算与巧算=（53+47）+36=100+36=136这样想：因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带=5×9中间数是5 =45共9个数第四讲认识简单数列第四讲数与形相映着符号搬家，搬到+36前面；然后再把53+47的和算出来.2.计算：（1）96+15（2）计算：1+3+5+7+9 =5×5中间数是5第五讲自然数列趣题第五讲一笔画问题（2）52+69解：（1）96+15=96+（4+11）=25共有5个数（3）计算：2+4+6+8+10第六讲找规律（一）第六讲七座桥问题=（96+4）+11=100+11=111这样想：把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑=6×5中间数是6 =30共有5个数第七讲找规律（二）第七讲数字游戏问题（一）整先算.（2）52+69=（21+31）+69（4）计算：3+6+9+12+15 =9×5中间数是9第八讲找规律（三）第八讲数字游戏问题（二）=21+（31+69）=21+100=121这样想：因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，=45共有5个数（5）计算：4+8+12+16+20第九讲填图与拆数第九讲整数的分拆再把31+69=100凑整先算.3.计算：（1）63+18+19=12×5中间数是12 =60共有5个数第十讲考虑所有可能情况（一）第十讲枚举法（2）28+28+28解：（1）63+18+192.等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成：第十一讲考虑所有可能情况（二）第十一讲找规律法=60+2+1+18+19=60+（2+18）+（1+19）第十二讲仔细审题第十三讲猜猜凑凑第十四讲列表尝试法第十五讲画图凑数法第十二讲逆序推理法第十三讲画图显示法第十四讲等量代换法第十五讲等式加减法附：第一讲重量的认识附：第二讲长度的认识附：第三讲时间的认识（上）附：第四讲时间的认识（下）=60+20+20=100这样想：将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.（2）28+28+28=（28+2）+（28+2）+（28+2）-6=30+30+30-6=90-6=84这样想：因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去.二、改变运算顺序：在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变计算：（1）45-18+19（2）45+18-19解：（1）45-18+19=45+19-18=45+（19-18）=45+1=46这样想：把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.（2）45+18-19=45+（18-19）=45-1=44这样想：加18减19的结果就等于减1.三、计算等差连续数的和（1）计算：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）×5=11×5=55共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.（2）计算：3+5+7+9+11+13+15+17=（3+17）×4=20×4=80共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17.（3）计算：2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=（2+20）×5=110共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.四、基准数法（1）计算：23+20+19+22+18+21解：仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.23+20+19+22+18+21=20×6+3+0-1+2-2+1=120+3=1236个加数都按20相加，其和=20×6=按20计算就少加相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫了“3”，所以再加上“3”；19按20计算多加了“1”，所以再等差数列，如：减去“1”，以此类推.1，2，3，4，5，6，7，8，9（2）计算：102+100+99+101+98解：方法1：仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选 3.解：（1）82-49+18=82+18-49第一行白方块5个，黑方块4个；（1）3面涂色的小立方体共有1个；100为基准数，采用基准数法进行巧算.=100-49=51第二行白方块4个，黑方块5个；（2）4面涂色的小立方体共有4个；102+100+99+101+98（2）82-50+49=82-1=81第三、五、七行同第一行，（3）5面涂色的小立方体共有3个.=100×5+2+0-1+1-2=500（减50再加49等于减1）第四、六、八行同第二行；例4如图2－7所示，一个大长方体的表面上都涂上红色，方法2：仔细观察，可将5个数重新排列如下：（实际上就（3）41-64+29=41+29-64但最后的第九行是白方块5个，黑方块4个.可见白方块总然后切成18个小立方体（切线如图中虚线所示）.在这些是把有的加数带有符号搬家）=70-64=6数比黑方块总数多1个.切成的小立方体中，问：］102+100+99+101+98 4.解：（1）99+98+97+96+95白方块总数：5+4+5+4+5+4+5+4+5=41（个）=98+99+100+101+102=100×5-1-2-3-4-5黑方块总数：4+5+4+5+4+5+4+5+4=40（个）=100×5=500=500-15=485再一种方法是：可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，（每个加数都按100算，再把多加的减去）或每一行的白方块和黑方块共9个.个数是5.99+98+97+96+95=97×5=485共有9行，所以，白、黑方块的总数是：（2）9+99+999=10+100+1000-39×9=81（个）.=1110-3=1107由于白方块比黑方块多1个，所以白方块是41个，黑方块习题一 5.解：（1）5+6+7+8+9是40个.（1）1面涂成红色的有几个1.计算：（1）18+28+72=7×5=35例2图2－3所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，中间有（2）2面涂成红色的有几个（2）87+15+13（2）5+10+15+20+25+30+35个“雪花”状的墙洞，问需要几块正六边形的砖（图2－4）（3）3面涂成红色的有几个（3）43+56+17+24=20×7=140才能把它补好解：仔细观察图形，并发挥想像力，可知：（4）28+44+39+62+56+21（3）9+18+27+36+45+54（1）上下两层中间的2块只有一面涂色；2.计算：（1）98+67=（9+54）×3=63×3=189（2）每层四边中间的1块有两面涂色，上下两层共8块；（2）43+28（4）12+14+16+18+20+22+24+26=（12+26）×4=38×4=152（3）每层四角的4块有三面涂色，上下两层共有8块.最后（3）75+26 6.解：（1）53+49+51+48+52+50=50×6+3-1+1-2+2+0检验一下小立体总块数：3.计算：（1）82-49+18=300+3=3032+8+8=18（个）.（2）82-50+49（2）（3）41-64+2987+74+85+83+75+77+80+78+81+84=80×10+7-6+5+3-5-3+解：仔细观察，并发挥想象力可得出答案，用七块正六边习题二4.计算：（1）99+98+97+96+950-2+1+4形的砖可把这个墙洞补好.如果动手画一画，就会看得更 1.如图2－8所示，数一数，需要多少块砖才能把坏了的墙（2）9+99+999=800+4=804清楚了.补好5.计算：（1）5+6+7+8+97.解：方法1：原式=21+21+21+15=78例3将8个小立方块组成如图2－5所示的“丁”字型，再将表（2）5+10+15+20+25+30+35方法2：原式=21×4-6=84-6=78面都涂成红色，然后就把小立方块分开，问：（3）9+18+27+36+45+54方法3：原式=（1+2+3+4+5+6）×3+15=21×3+15=63+15=78（1）3面被涂成红色的小立方块有多少个（4）12+14+16+18+20+22+24+26（2）4面被涂成红色的小立方块有多少个6.计算：（1）53+49+51+48+52+50第二讲数数与计数（一）（2）87+74+85+83+75+77+80+78+81+84数学需要观察.大数学家欧拉就特别强调观察对于数学发 2.图2－9所示的墙洞，用1号和2号两种特型砖能补好吗7.计算：现的重要作用，认为“观察是一件极为重要的事”.本讲数数若能补好，共需几块1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5与计数的学习有助于培养同学们的观察能力.在这里请大家记住，观察不只是用眼睛看，还要用脑子想，要充分发习题一解答挥想像力.1.解：（1）18+28+72=18+（28+72）=18+100=118例1数一数，图2－1和图2－2中各有多少黑方块和白方（2）87+15+13=（87+13）+15块（3）5面被涂成红色的小立方块有多少个=100+15=115解：如图2－6所示，看着图，想像涂色情况.当把整个表（3）43+56+17+24面都涂成红色后，只有那些“粘在一起”的面（又叫互相接=（43+17）+（56+24）触的面），没有被涂色.每个小立方体都有6个面，减去没 3.图2－10所示为一块地板，它是由1号、2号和3号三种不=60+80=140涂色的面数，就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都同图案的瓷砖拼成.问这三种瓷砖各用了多少块（4）28+44+39+62+56+21写在了它的上面，参看图2－6所示.=（28+62）+（44+56）+（39+21）=90+100+60=2502.解：（1）98+67=98+2+65解：仔细观察图2－1，可发现黑方块和白方块同样多.因=100+65=165为每一行中有4个黑方块和4个白方块，共有8行，所以：（2）43+28=43+7+21=50+21=71黑方块是：4×8=32（个）或43+28=41+（2+28）=41+30=71白方块是：4×8=32（个）（3）75+26=75+25+1=100+1=101再仔细观察图2－2，从上往下看： 4.如图2－11所示，一个木制的正方体，棱长为3寸，它的六个面都被涂成了红色.如果沿着图中画出的线切成棱长 5.解：同上题（1）8块；（2）24块；（3）24块；第十四层6个为1寸的小正方体.习题二解答（4）8块；（5）64块.第十五层5个1.解：用10块砖可把墙补好，可以从下往上一层一层地数 6.解：3面被涂成绿色的小正方体共有16块，就是图2—18第十六层4个（发挥想像力）：中有“点”的那些块（注意最下层有2块看不见）.第十七层3个第十八层2个第十九层1个总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）=55+45=100（利用已学过的知识计算）.（2）方法2：如图3－3所示：从上往下，沿折线数7.解：分类数一数可知，围成小猫的那条绳子比较长.因为求：（1）3面涂成红色的有多少块小狗身体的外形是由32条直线段和6条斜线段组成；小猫（2）2面涂成红色的有多少块身体的外形是由32条直线段和8条斜线段组成.（3）1面涂成红色的有多少块（4）各面都没有涂色的有多少块共1+2+2+1+2+2=10（块）.（5）切成的小正方体共有多少块如果用铅笔把砖画出来（注意把砖缝对好）就会十分清楚第三讲数数与计数（二）5.图2－12所示为棱长4寸的正方体木块，将它的表面全染了，如图2－15所示.例1数一数，图3－1中共有多少点成蓝色，然后锯成棱长为1寸的小正方体. 2.解：仔细观察，同时发挥想像力可知需1号砖2块、2号砖1块，也就是共需（如图2－16所示）第一层1个第二层3个第三层5个第四层7个第五层9个问：（1）有3面被染成蓝色的多少块1+2=3（块）.第六层11个（2）有2面被染成蓝色的多少块 3.解：因为图形复杂，要特别仔细，最好是有次序地按行第七层13个（3）有1面被染成蓝色的多少块分类数，再进行统计：第八层15个（4）各面都没有被染色的多少块解：（1）方法1：如图3－2所示从上往下一层一层数：第九层17个（5）锯成的小正方体木块共有多少块第十层19个6.图2－13所示为一个由小正方体堆成的“塔”.如果把它的总数：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的外表面（包括底面）全部涂成绿色，那么当把“塔”完全拆知识计算）.开时，3面被涂成绿色的小正方体有多少块（3）方法3：把点群的整体转个角度，成为如图3－4所示的样子，变成为10行10列的点阵.显然点的总数为10×10=100（个）.第一层1个7.图2－14中的小狗与小猫的身体的外形是用绳子分别围第二层2个成的，你知道哪一条绳子长吗（仔细观察，想办法比较第三层3个出来）. 4.解：（1）3面涂色的有8块：它们是最上层四个角上的4第四层4个块和最下层四个角上的4块.第五层5个（2）2面涂色的有12块：它们是上、下两层每边中间的那第六层6个块共8块和中层四角的4块.第七层7个（3）1面涂色的有6块：它们是各面（共有6个面）中心的第八层8个那块.第九层9个想一想：（4）各面都没有涂色的有一块：它是正方体中心的那块.第十层10个①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋.（5）共切成了3×3×3=27（块）.第十一层9个②由方法1和方法3得出下式：或是如下计算：第十二层8个1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×108+12+6+1=27（块）.第十三层7个即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想：共3个.以OD边为公共边的锐角有：∠DOE，∠DOF共2③注意，例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段1=1×1个.以OE边为一边的锐角有：∠EOF只1个.的，例3是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表1+2+1=2×2锐角总数5+4+3+2+1＝15（个）.达式.同学们可以看出，一个数学式子可以表达表面上完1+2+3+2+1=3×3②用图示法更为直观明了：如图3－10所示，锐角总数为：全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力.1+2+3+4+3+2+1=4×45+4+3+2+1=15（个）.1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5习题三1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6 1.书库里把书如图3－16所示的那样沿墙堆放起来.请你数1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7一数这些书共有多少本1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×81+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×91+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10总数5+4+3+2+1=15（条）.这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多.想一想：①由例2可知，一条大线段上有六个点，就有：想一想：①由例3可知：由一点发出的六条射线，组成的同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就总数=5+4+3+2+1条线段.由此猜想如下规律（见图3－7）：锐角的总数=5+4+3+2+1（个），由此猜想出如下规律：（见 2.图3－17所示是一个跳棋盘，请你数一数，这个跳棋盘发现了一条规律.图3－11～15）上共有多少个棋孔③由方法2和方法3也可以得出下式：两条射线1个角（见图3－11）1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想：1+3=2×2三条射线2+1个角（见图3－12）1+3+5=3×3还可以一直做下去.总之，线段总条线是从1开始的一串连1+3+5+7=4×4续自然数之和，其中最大的自然数比总数小1.我们又发现1+3+5+7+9=5×5了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的关系.1+3+5+7+9+11=6×6②上面的事实也可以这样说：如果把相邻两点间的线段叫1+3+5+7+9+11+13=7×7做基本线段，那么一条大线段上的基本线段数和线段总条四条射线3+2+1个角（见图3－13） 3.数一数，图3－18中有多少条线段1+3+5+7+9+11+13+15=8×8数之间的关系是：1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10的自然数等于基本线段的条数（见图3－8）.基本线段数还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确，线段总条数 4.数一数，图3－19中有多少锐角如果正确，我们就又发现了一条规律.例2数一数，图3－5中有多少条线段五条射线4+3+2+1个角（见图3－14）解：（1）我们已知，两点间的直线部分是一条线段.以A点为共同端点的线段有：还可以一直写下去，同学们可以自己试试看.ABACADAEAF5条.例3数一数，图3－9中共有多少个锐角 5.数一数，图3－20中有多少个三角形以B点为共同左端点的线段有：解：（1）我们知道，图中任意两条从O点发出的射线都六条射线5+4+3+2+1个角（见图3－15）BCBDBEBF4条.组成一个锐角.以C点为共同左端点的线段有：所以，以OA边为公共边的锐角有：CDCECF3条.以D点为共同左端点的线段有： 6.数一数，图3－21中有多少正方形DEDF2条.以E点为共同左端点的线段有：EF1条.总之，角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中总数5+4+3+2+1=15条.最大的自然数比射线数小1.（2）用图示法更为直观明了.见图3－6.∠LAOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，②同样，也可以这样想：如果把相邻两条射线构成的角叫∠AOF共5个.做基本角，那么有共同顶点的基本角和角的总数之间的关以OB边为公共边的锐角有：∠BOC，∠BOD，∠BOE，系是：∠BOF共4个.角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的习题三解答以OC边为公共边的锐角有：∠COD，∠COE，∠COF自然数等于基本角个数. 1.解：方法1：从左往右一摞一摞地数，再相加求和：10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10以OG边和OH，GH两边构成的三角形仅有：△OGH1为止（见表四（2））.=135（本）.个；方法2：把这摞书形成的图形看成是由一个长方形和一个三角形总数：7+6+5+4+3+2+1=28（个）.三角形“尖顶”组成.（2）方法2：显然底边AH上的每一条线段对应着一个三例5找出下面数列的规律，并填空：长方形中的书10×11=110角形，而基本线段是7条，所以三角形总数为：1，3，7，15，31，□，□，255，511.三角形中的书1+2+3+4+5+4+3+2+1=257+6+5+4+3+2+1=28（个）.解：规律是：后一个数减前一个数的差是逐渐变大的，差可见73是第11项.总数：110+25=135（本）. 6.解：最小的正方形有25个，的变化规律是个等比数列，后一个差是前一个差的2倍.例9一天，爸爸给小明买了一包糖，数一数刚好100块.爸2.解：因为棋孔较多，应找出排列规律，以便于计数.由4个小正方形组成的正方形16个；爸灵机一动，又拿来了10个纸盒，接着说：“小明，现在仔细观察可知，图中大三角形ABC上的棋孔的排列规律由9个小正方形组成的正方形9个；你把糖往盒子里放，我要求你在第一个盒子里放2块，第是（从上往下数）：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，由16个小正方形组成的正方形4个；二个盒子里放4块，第三个盒子里放8块，第四个盒子里放12，13，另外还有三个小三角形中的棋孔的排列规律是1，由25个小正方形组成的正方形1个；另外，原数列的规律也可以这样看：后一个数等于前一个16块，……照这样一直放下去.要放满这10个盒，你说这2，3，4，所以棋孔总数是：正方形总数：25+16+9+4+1=55个.数乘以2再加1，即后一个数=前一个数×2+1.100块糖够不够”小朋友，请你帮小明想一想（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13）+（1+2+3+4）例6找出下面数列的生成规律，并填空.解：小朋友，你是不是以为100块糖肯定能够放满这10个×3=91+10×3=121（个）.第四讲认识简单数列1，4，9，16，25，□，□，64，81，100.纸盒的了！下面让我们算一算，看你想得对不对（见表四3.解：方法1：按图3－22所示方法数（图中只画出了一部我们把按一定规律排列起来的一列数叫数列.解：这是自然数平方数列，它的每一个数都是自然数的自（3））.表四（3）分）在这一讲里，我们要认识一些重要的简单数列，还要学习乘积.如：1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，找出数列的生成规律；学会把数列中缺少的数写出来，最后还要学习解答一些生活中涉及数列知识的实际问题.，64=8×8，81=9×9，100=10×10.例1找出下面各数列的规律，并填空.若写成下面对应起来的形式，就看得更清楚.（1）1，2，3，4，5，□，□，8，9，10.自然数列：放满10个盒所需要的糖块总数：（2）1，3，5，7，9，□，□，15，17，19.↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓（3）2，4，6，8，10，□，□，16，18，20.自然数平方数列：81100（4）1，4，7，10，□，□，19，22，25.例7一辆公共汽车有78个座位，空车出发.第一站上1位乘线段总数：7+6+5+4+3+2+1=28（条）.（5）5，10，15，20，□，□，35，40，45.客，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，方法2：基本线段共7条，所以线段总数是：车上坐满乘客（假定在坐满以前，无乘客下车，见表四可见100块糖是远远不够的，还差1946块呢！这可能是你7+6+5+4+3+2+1=28（条）.（1））没有想到的吧！其实，数学中还有很多很多奇妙无比的故4.解：按图3－23的方法数：事呢.习题四1.从1开始，每隔两个数写出一个自然数，共写出十个数来.注意：自然数列、奇数列、偶数列也是等差数列. 2.从1开始，每隔六个数写出一个自然数，共写出十个数例2找出下面的数列的规律并填空.来.1，1，2，3，5，8，13，□，□，55，89. 3.在习题一和习题二中，按题目要求写出的两个数列中，解：这叫斐波那契数列，从第三个数起，每个数都是它前除1以外出现的最小的相同的数是几角的总数：7+6+5+4+3+2+1=28（个）.面的两个数之和.这是个有重要用途的数列.8+13=21， 4.自2开始，隔两个数写一个数：2，5，8， (101)5.解：方法1：（1）三角形是由三条边构成的图形.13+21=34.所以：可以看出，2是这列数的第一项，5是第二项，8是第三项，以OA边为左公共边构成的三角形有：△OAB，△OAC，等等.问101是第几个数△OAD，△OAE，△OAF，△OAG，△OAH，共7个； 5.如图4－1所示，“阶梯形”的最高处是4个正方形叠起来的空处依次填：以OB边为左公共边构成的三角形有：△OBC，△OBD，例3找出下面数列的生成规律并填空.高度，而且整个图形包括了10个小正方形.如果这个“阶梯△OBE，△OBF，△OBG，△OBH，共6个；1，2，4，8，16，□，□，128，256.方法2：由上表可知，车上的人数是自1开始的连续自然数形”的高度变为12个小正方形叠起来那样高，那么，整个以OC边为左公共边构成的三角形有：△OCD，△OCE，解：它叫等比数列，它的后一个数是前一个数的2相加之和，到第几站后，就加到几，所以只要加到出现78图形应包括多少个小正方形△OCF，△OCG，△OCH，共5个；时，就可知道是到多少站了，倍.16×2=32，32×2=64，所以空处依次填：以OD边为左公共边构成的三角形有：△ODE，△ODF，1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（人）△ODG，△ODH，共4个；例4找出下面数列的规律，并填空.可见第12站以后，车上坐满乘客.以OE边为左公共边构成的三角形有：△OEF，△OEG，1，2，4，7，11，□，□，29，37.例8如果第一个数是3，以后每隔6个数写出一个数，得到△OEH，共3个；解：这数列规律是：后一个数减前一个数的差是逐渐变大一列数：3，10，17，……，73.这里3叫第一项，10叫第以OF边为左公共边构成的三角形有：△OFG，△OFH，的，这些差是个自然数列：二项，17叫第三项，试求73是第几项 6.如图4－2所示，把小立方体叠起来成为“宝塔”，求这个共2个；解：从第1项开始，把各项依次写出来，一直写到73出现小宝塔共包括多少个小立方体+8×10+9×10=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×10可见两个数列中最小的相同数是22.①在盒子里有：=45×104.解：经仔细观察后可以看出，这是一个等差数列，后一4+1+4=9（个）.＝450.个数比前一个数大3，即公差是3.下面再多写出几项，以②这一串珠子总数是：另外100这个数的数字和是1+0+0=1.便从中发现规律：（表四（4））1+1+1+2+1+3+1+4+1+5+1+6+1+7+1所以，这一百个自然数的数字总和是：=1+2+3+4+5+6+7+（1+1+1+1+1+1+1+1）450+450+1=901.7.开学的第一个星期，小明准备发起成立一个趣味数学小=28+8=36（个）.顺便提请同学们注意的是：一道数学题的解法往往不只一组，这时只有他一个人.他决定第二个星期吸收两名新组种，谁能寻找并发现出更简洁的解法来，往往标志着谁有员，而每个新组员要在进入小组后的下一个星期再吸收两第五讲自然数列趣题更强的数学能力.比如说这道题就还有更简洁的解法，试名新组员，求开学4个星期后，这个小组共有多少组员再仔细观察可知：本讲的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题试看，你能不能找出来8.图4－3所示为细胞的增长方式.就是说一个分裂为两个，第二项=第一项+1×公差，即5＝2+1×3；的思维方法一般是运用枚举法及分类统计方法，望同学们再次分裂变为4个，第三次分裂为8个，……照这样下去，第三项=第一项+2×公差，即8=2+2×3；能很好地掌握它.问经过10次分裂，一个细胞变成几个第四项=第一项+3×公差，即11=2+3×3；例1小明从1写到100，他共写了多少个数字“1”习题五第五项=第一项+4×公差，即14=2+4×3；解：分类计算： 1.有一本书共200页，页码依次为1、2、3、 (199)…………“1”出现在个位上的数有：200，问数字“1”在页码中共出现了多少次由于101=2+33×3；1，11，21，31，41，51，61，71，81，91共10个； 2.在1至100的奇数中，数字“3”共出现了多少次9.图4－4所示是一串“黑”、“白”两色的珠子，其中有一些可见，101是第34项，即第34个数.“1”出现在十位上的数有： 3.在10至100的自然数中，个位数字是2或是7的数共有多珠子在盒子里，问 5.解：仔细观察可发现，这个“阶梯形”图形最高处是4个小10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共10个；少个正方形时，它就有4个台阶，整个图形包括的小正方形数“1”出现在百位上的数有：100共1个； 4.一本书共200页，如果页码的每个数字都得用一个单独为：共计10+10+1=21个.的铅字排版（比如，“150”这个页码就需要三个铅字“1”、1+2+3+4=10.例2一本小人书共100页，排版时一个铅字只能排一位数“5”和“0”），问排这本书的页码一共需要多少个铅字所以最高处是12个小正方形时，它必有12个台阶，整个图字，请你算一下，排这本书的页码共用了多少个铅字 5.像“21”这个两位数，它的十位数字“2”大于个位数字“1”，形包括的小正方形数为：解：分类计算：问从1至100的所有自然数中有多少个这样的两位数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（个）.从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9=9（个）； 6.像“101”这个三位数，它的个位数字与百位数字调换以6.解：从上往下数，小宝塔共有六层.仔细观察可发现如下从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用后，数的大小并不改变，问从100至200之间有多少个这样规律（表四（5））：2×90=180（个）；的三位数（1）盒子里有多少珠子第100页，只1页共用3个铅字，所以排100页书的页码共用7.像11、12、13这三个数，它们的数位上的各个数字相加（2）这串珠子共有多少个铅字的总数是：之和是（1+1）+（1+2）+（1+3）=9.问自然数列的前209+180+3=192（个）.个数的数字之和是多少所以六层小立方体的总数为：例3把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数8.把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字习题四解答1+3+6+10+15+21=56（个）.字的和是多少的和是多少1.解：可以先写出从1开始的自然数列，再按题目要求删7.解：列表如下：9.从1到1000的一千个自然数的所有数字的和是多少去那些不应该出现的数，就得到答案了：习题五解答1.解：分类计算，并将有数字“1”的数枚举出来.即1，4，7，10，13，16，19，22，25，28“1”出现在个位上的数有：可以看出，这是一个等差数列，后面一个数比前面一个数1，11，21，31，41，51，61，71，81，91，大3.4个星期后小组的总人数：101，111，121，131，141，151，161，171，181，1912.解：仿习题1，先写前面的几个数如下：1+2+4+8=15（人）.共20个；8.解：列表如下：解：（见图5—1）先按题要求，把1到100的一百个自然数“1”出现在十位上的数有：全部写出来，再分类进行计算：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19如图5—1所示，宽竖条带中都是个位数字，共有10条，数110，111，112，113，114，115，116，117，118，119字之和是：共20个；可以看出，1，8，15，22，……也是一个等差数列，后面（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×10“1”出现在百位上的数有：的一个数比前面的一个数大7.按照这个规律，可以写出所一个细胞经过10次分裂变为1024个.=45×10100，101，102，103，104，105，106，107，108，109，有的10个数：9.解：仔细观察可知，这串珠子的排列规律是：=450.110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，1，8，15，22，29，36，43，50，57，64.白黑白黑白黑白黑白黑白黑白黑白窄竖条带中，每条都包含有一种十位数字，共有9条，数120，121，122，123，124，125，126，127，128，129，3.解：观察习题一和习题二两个数列：1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,7,1,字之和是：130，131，132，133，134，135，136，137，138，139，1×10+2×10+3×10+4×10+5×10+6×10+7×10140，141，142，143，144，145，146，147，148，149，150，151，152，153，154，155，156，157，158，159，（3）前十个点群，所有点的总数是：解：（1）数一数，“宝塔”每层包含的方砖块数：160，161，162，163，164，165，166，167，168，169，1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=145（个）170，171，172，173，174，175，176，177，178，179，180，181，182，183，184，185，186，187，188，189，190，191，192，193，194，195，196，197，198，199共100个；可见各层的方砖块数组成自然数平方数列，按此规律，第数字“1”在1至200中出现的总次数是：例2图6—2表示“宝塔”，它们的层数不同，但都是由一样五层应包含的方砖块数是：20+20+100=140（次）.若再补个0（并不影响题目的答案）还可以写出一个类似大的小三角形摆成的.仔细观察后，请你回答：5×5=25（块）.2.解：采用枚举法，并分类计算：的算式：（1）五层的“宝塔”的最下层包含多少个小三角形（2）整个五层“宝塔”共包含的方砖块数应是从1开始的前“3”在个位上：3，13，23，33，43，53，63，73，83，930+99=99；（2）整个五层“宝塔”一共包含多少个小三角形五个自然数的平方数相加之和，即：共10个；因此共得出50个99.而一个99的数字和是：9+9=18；（3）从第（1）到第（10）的十个“宝塔”，共包含多少1+4+9+16+25=55（块）.“3”在十位上：31，33，35，37，39共5个；50个99的数字和是：18×50=900，再加上100这个数的数字个小三角形（3）根据上面得到的规律，可求出十层宝塔所包含的方数字“3”在1至100的奇数中出现的总次数：和是1+0+0=1，就得出从1到100的所有自然数的数字之和砖的块数：10+5=15（次）.为901.3.解：枚举法：12，17，22，27，32，37，42，47，52，照以上方法列出算式就非常简洁：57，62，67，72，77，82，87，92，97共18个.（9+9）×50+1=901.4.解：分段统计，再总计.9.解：（见图5—2）写出1～1000的自然数列的头、尾和中页数铅字个数间的几部分，并在1的前面加个“0”；1～9共9页1×9=9（个）（每个页码用1个铅字）又因为9+9+9=27，10～90共90页2×90=180（个）（每个页码用2个铅字）1+0+0+0=1，解：（1）数一数“宝塔”每层包含的小三角形数：100～199共100页3×100=300（个）（每个页码用3所以从1～1000的所有自然数的所有数字之和为：习题六个铅字）27×500+1=13501. 1.观察图6—4中的点群，请回答：第200页共1页3×1=3（个）（这页用3个铅字）（1）方框内的点群包含多少个点总数：9+180+300+3=492（个）.（2）第10个点群中包含多少个点5.解：列表枚举，分类统计：可见1，3，5，7是个奇数列，所以由这个规律猜出第五层（3）前十个点群中，所有点的总数是多少101个应包含的小三角形是9个.20212个（2）整个五层塔共包含的小三角形个数是：3031323个1+3+5+7+9=25（个）.4个（3）每个“宝塔”所包含的小三角形数可列表如下：545个第六讲找规律（一）64656个例1观察下面由点组成的图形（点群），请回答：7077个（1）方框内的点群包含多少个点 2.观察下面图6—5中的点群，请回答：8088个（2）第（10）个点群中包含多少个点由此发现从第（1）到第（10）共十个“宝塔”所包含的小909989个（3）前十个点群中，所有点的总数是多少三角形数是从1开始的自然数平方数列前十项之和：总数1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（个）.6.解：枚举法，再总计：101，111，121，131，141，151，161，171，181，191共10个.（1）方框内的点群包含多少个点7.解：分段统计（见表五（1）），再总计：（2）推测第10个点群中包含多少个点解：数一数可知：前四个点群中包含的点数分别是：例3下面的图形表示由一些方砖堆起来的“宝塔”.仔细观（3）前10个点群中，所有点的总数是多少1，4，7，10.察后，请你回答： 3.观察图6—6中的点群，请回答：可见，这是一个等差数列，在每相邻的两个数中，后一个（1）方框内的点群包含多少个点数都比前一个数大3（即公差是3）.（2）推测第10个点群包含多少个点（1）因为方框内应是第（5）个点群，它的点数应该是（3）前十个点群中，所有点的总数是多少10+3=13（个）.总的数字相加之和：45+45+10+2=102.（2）列表，依次写出各点群的点数，8.解：按题意，试着写出从1到100的自然数中的头、尾和中间的几部分：1，2，3，……，48，49，50，51，……，（1）从上往下数，第五层包含几块砖96，97，98，99，100.仔细观察可知：（2）整个五层的“宝塔”共包含多少块砖可知第（10）个点群包含有28个点.（3）若另有一座这样的十层宝塔，共包含多少块砖。