合肥工业大学线性代数习题册答案
线代参考答案(完整版)
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一.选择题1.若行列式x52231521- = 0,则=x [ C ] (A )2 (B )2- (C )3 (D )3- 2.线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ,则方程组的解),(21x x = [ C ](A )(13,5) (B )(13-,5) (C )(13,5-) (D )(5,13--)3.方程093142112=x x根的个数是 [ C ] (A )0 (B )1 (C )2 (D )34.下列构成六阶行列式展开式的各项中,取“+”的有 [ A D ] (A )665144322315a a a a a a (B )655344322611a a a a a a (C )346542165321a a a a a a (D )266544133251a a a a a a 5.若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项,则l k ,的值及该项的符号为[ B ](A )3,2==l k ,符号为正; (B )3,2==l k ,符号为负; (C )2,3==l k ,符号为正; (D )2,3==l k ,符号为负6.下列n (n >2)阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1.行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2.排列36715284的逆序数是 133.已知排列397461t s r 为奇排列,则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ,t = 8,5,2 4.在六阶行列式ij a 中,623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
合工大2005-2006第一学期《线性代数》试卷参考答案
2005-2006学年第一学期《线性代数》试卷参考答案一、填空题(每小题3分,共计15分)1. 已知220340005A ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭=,那么1A -=32210100015⋅⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭- ; 2. 设A 是4阶方阵,()2R A =,*A 是A 的伴随矩阵,则*()R A = 0 ;3. 若齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ⎧⎪⎨⎪⎩++=++=++= (1)λ≠有非零解,则λ= -2 ;4. 设矩阵1104102A a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-=-与200010001B ⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=相似,则a = 3 ; 5. 在多项式1210423()2332112x x f x x x-=中,4x 的系数是 -6 .二、选择题(每小题3分,共计15分)1. 设M 是n 阶方阵,若0M =,则矩阵M 中( C ).()A 必有一行元素全为0 ()B 必有两行元素对应成比例()C 必有一行向量是其余行向量的线性组合()D 任一行向量是其余行向量的线性组合2. 设,A B 都是n 阶方阵,则下列结论正确的是( C ).()A 若A 与B 相似,则A 与B 有相同的特征值和特征向量 ()B 若A 与B 相似,则A 与B 都相似于同一个对角阵()C 若A 与B 相似,则A 与B 等价()D 若A 与B 等价,则A 与B 相似3. 设123,,ξξξ是齐次线性方程组A =0x 的基础解系,则( D )也是A =0x 的基础解系。
()A 与123,, ξξξ等价的一个向量组 ()B 与123,,ξξξ等秩的一个向量组 ()C 122331,,--- ξξξξξξ ()D 122331,,+++ξξξξξξ4. 设3阶方阵A 有3个线性无关的特征向量,3λ=是A 的二重特征值, 则(3)R A E -=( A ).()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 无法确定5. 设二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++,则下列结论正确的是( B ).()A f 是正定的 ()B f 的秩是2 ()C f 的秩是3 ()D f 的特征值是1,1,1三、(10分)计算n 阶行列式0000000000n a b a b D a b ba=.解 按第一列展开,得1110000000000000(1)00000000n n n n a b b a b ab D a b a b b aab+--=+-阶阶1111(1)(1)n n nnn n a a ab bb --++=⨯+=+-⨯- .四、(10分)求下列向量组的一个最大线性无关组1234(1,1,1),(0,2,5),(2,4,7),(1,1,3)TTTT====-αααα并指出4 α能否被123,,ααα线性表示.解 因为()1234102110211021124102220222157305540001---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα, 所以124,,ααα或134,, ααα是向量组1234,,,αααα的最大线性无关组。
合肥工业大学线性代数习题册答案专业知识讲座
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线性代数练习册附答案
第1章 矩阵 习 题1. 写出下列从变量x ,y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵:(1)⎩⎨⎧==011y x x ; (2)⎩⎨⎧+=-=ϕϕϕϕcos sin sin cos 11y x y y x x2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示,每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ,求3AB -2A 和A T B .4. 计算(1) 2210013112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1)1,,(212221211211y x c b b b a a b a a y x5. 已知两个线性变换32133212311542322yy y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪⎨⎧,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ,A 是n 阶方阵,定义f (A )=a 0A m + a 1A m -1+…+ a m E .当f (x )=x 2-5x +3,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3312A 时,求f (A ).7. 举出反例说明下列命题是错误的.(1) 若A2= O,则A= O.(2) 若A2= A,则A= O或A= E..7. 设方阵A满足A2-3A-2E=O,证明A及A-2E都可逆,并用A分别表示出它们的逆矩阵.8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=132126421321A(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=03341431210110122413B .9. 对下列初等变换,写出相应的初等方阵以及B 和A 之间的关系式.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121121322101A ~122r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121123302101~13c c +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--131123302001=B .10. 设ΛAP P =-1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2001Λ,求A 9.11. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200030004A ,矩阵B 满足AB =A+2B ,求B .12. 设102212533A --⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭,利用初等行变换求A -1.复习题一1. 设A , B , C 均为n 阶矩阵,且ABC =E ,则必有( ). (A) ACB =E ; (B) CBA =E ; (C) BAC =E ; (D) BCA =E .2. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010100012P ,则必有 ( ) .(A) AP 1P 2=B ; (B )AP 2P 1=B ; (C) P 1P 2A =B ; (D) P 2P 1A =B .3. 设A 为4阶可逆矩阵,将A 的第1列与第4列交换得B ,再把B 的第2列与第3列交换得C ,设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00010100001010001P ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10000010010000012P ,则C -1=( ). (A) A -1P 1P 2; (B)P 1A -1P 2; (C) P 2P 1A -1; (D) P 2A -1P 1.4. 设n 阶矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ,则下列结论中一定正确的是( ). (A) A -E 不可逆 ; (B) A -2E 不可逆 ; (C) A -3E 可逆; (D) A -E 和A -2E 都可逆.5. 设A =(1,2,3),B =(1,1/2,1/3),令C =A T B ,求.6. 证明:如果A k =O ,则(E -A )-1=E +A +A 2+…+A k -1,k 为正整数.7.设A ,B 为三阶矩阵,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=710004100031A ,且A -1BA =6A +BA ,求B .8. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O B A .9. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000000000000000121n n aa a a X (021≠n a a a ),求X -1. 第2章 行列式习 题1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-013222321321321x x x x x x x x x2.当x 取何值时,0010413≠xx x .3.求下列排列的逆序数:(1) 315624; (2)13…(2n-1)24…(2n).4.证明:3232a cb a b a ac b a ba acb a=++++++.. .5. 已知四阶行列式|A |中第2列元素依次为1,2,-1,3,它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 ,求|A |.6. 计算下列行列式: (1) 1111111111111111------(2)yx y x x y x y yx y x +++(3) 0111101111011110(4)1222123312111x x x x x x(5)nn a a a D +++=11111111121,其中021≠n a a a .7.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *,证明: |A *|=|A |n-1,(n ≥2)...8. 设A ,B 都是三阶矩阵,A *为A 的伴随矩阵,且|A |=2,|B |=1,计算 |-2A *B -1|.9.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111012112A ,利用公式求A -1. 复习题二1.设A ,B 都是n 阶可逆矩阵,其伴随矩阵分别为A *、B *,证明:(AB )*=B *A *.2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2200020000340043A ,求A -1.3.已知A 1, A 2, B 1, B 2都是3⨯1矩阵,设A =( A 1, A 2, B 1,),B =( A 1, A 2, B 2),|A |=2,|B |=3,求|A+2B |...4.设A ,B 都是n 阶方阵,试证:AB E E A BE -=.第3章 向量空间习 题1.设α1=(1,-1,1)T , α2=(0,1,2)T , α3=(2,1,3)T ,计算3α1-2α2+α3.2.设α1=(2,5,1,3)T , α2=(10,1,5,10)T , α3=(4,1,-1,1)T ,且3(α1- x )+2(α2+x )=5(α3+x ) ,求向量x .3. 判别下列向量组的线性相关性:(1) α1=(-1,3,1)T , α2=(2,-6,-2)T , α3=(5,4,1)T ;(2) β1=(2,3,0)T , β2=(-1,4,0)T ,β3=(0,0,2)T .4.设β1=α1, β2=α1+α2, β3=α1+α2+a3,且向量组α1, α2, α3线性无关,证明向量组β1, β2, β3线性无关.5.设有两个向量组α1, α2, α3和β1=α1-α2+α3, β2=α1+α2-α3,β3= -α1+α2+α3,证明这两个向量组等价.6.求向量组α1=(1,2,-1)T, α2=(0,1,3)T, α3=(-2,-4,2)T,α4=(0,3,9)T的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示...7.设α1, α2,…, αn是一组n维向量,已知n维单位坐标向量ε1,ε2,…,εn能由它们线性表示,证明:α1, α2,…,αn线性无关.8.设有向量组α1, α2, α3,α4, α5,其中α1, α2, α3线性无关,α4=aα1+bα2,α5=cα2+dα3(a, b, c, d均为不为零的实数),求向量组α1, α3,α4, α5的秩.9.设矩阵A= (1,2,…,n), B=(n,n-1,…,1),求秩R(A T B).10.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=97963422644121121112A ,求A 的秩,并写出A 的一个最高阶非零子式.11.已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+---=120145124023021t t A ,若A 的秩R (A )=2,求参数t 的值...12. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=5913351146204532A ,求A 的列向量组的秩,并写出它的一个极大无关组.13. 设A 为n 阶矩阵,E 为n 阶单位矩阵,证明:如果A 2=A ,则R (A )+R (A -E )=n .14.已知向量空间3R 的两组基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010,01121αα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1130α和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,01121ββ-,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103β, 求由基α1, α2, α3到基β1, β2,β3的过渡矩阵.复习题三1.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k k 111111111111A ,已知A 的秩为3,求k 的值.2.设向量组A : α1, …,αs 与B :β1,…,βr ,若A 组线性无关且B 组能由A 组线性表示为(β1,…,βr )=(α1, …,αs )K ,其中K 为r s ⨯矩阵, 试证:B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )=r ...3.设有三个n 维向量组A :α1, α2, α3;B :α1, α2, α3, α4;C :α1, α2, α3, α5.若A 组和C 组都线性无关,而B 组线性相关,证明向量组α1, α2, α3, α4-α5线性无关.4.设向量组A : α1=(1,1,0)T ,α2=(1,0,1)T ,α3=(0,1,1)T 和B : β1=(-1,1,0)T ,β2=(1,1,1)T ,β3=(0,1,-1)T(1) 证明:A 组和B 组都是三维向量空间3R 的基;(2) 求由A 组基到B 组基的过渡矩阵;(3) 已知向量α在B 组基下的坐标为(1,2,-1)T ,求α在A 组基下的坐标.第4章 线性方程组习 题 1.写出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x 的矩阵表示形式及向量表示形式.2.用克朗姆法则解下列线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=-0322az cx bc bz cy ab ay bx ,其中0≠abc3.问μλ,取何值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02 00 321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解?4. 设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++=++42 - 4 3212321321x x x k x kx x x k x x ,讨论当k 为何值时, (1)有唯一解?(2)有无穷多解?(3)无解?5. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-0 26 83054202108432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系...6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知η1, η2, η3是它的三个解向量,且η1=(2,3,4,5)T , η2+η3=(1,2,3,4)T ,求此方程组的的通解.7 .求下列非齐次线性方程组的通解:⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x8.设有向量组A :12122,131-==-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα,3110-=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α及向量131β=-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 问向量β能否由向量组A 线性表示?. .9. 设η*是非齐次线性方程组AX =b 的一个解,ξ1, ξ2,…, ξn -r 是它的导出组的一个基础解系,证明:(1)η*, ξ1, ξ2,…, ξn -r 线性无关;(2)η*, η*+ξ1, η*+ξ2,…, η*+ξn -r 线性无关.复习题四 1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101102121a a a A ,且方程组AX =θ的解空间的维数为2,则a =.2.设齐次线性方程组a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n =0,且a 1,a 2,…,a n 不全为零,则它的基础解系所含向量个数为.3.设有向量组π:α1=(a ,2,10)T , α2=(-2,1,5)T , α3=(-1,1,4)T 及向量β=(1,b ,-1)T ,问a , b 为何值时,(1)向量β不能由向量组π线性表示;(2)向量β能由向量组π线性表示,且表示式唯一;(3)向量β能由向量组π线性表示,且表示式不唯一,并求一般表示式.4.设四元齐次线性方程组(Ⅰ)⎩⎨⎧=-=+004221x x x x (Ⅱ)⎩⎨⎧=+-=+-00432321x x x x x x 求: (1) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的基础解系;(2) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解.5.设矩阵A =(α1, α2, α3, α4),其中α2, α3, α4线性无关,α1=2α2-α3,向量β=α1+α2+α3+α4,求非齐次线性方程组Ax=β的通解.6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321b b b β,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321c c c γ,证明三直线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0:0:0:333322221111c y b x a l c y b x a l c y b x a l 3,2,1,022=≠+i b a i i相交于一点的充分必要条件是向量组βα,线性无关,且向量组γβα,,线性相关.第5章 矩阵的特征值和特征向量习 题1.已知向量α1=(1,-1,1)T ,试求两个向量α2, α3,使α1, α2, α3为R 3的一组正交基.2.设A , B 都是n 阶正交矩阵,证明AB 也是正交矩阵...3. 设A 是n 阶正交矩阵,且|A |=-1,证明:-1是A 的一个特征值.4.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----201335212的特征值和特征向量.5. 已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3,计算行列式|A 3-5A 2+7E |.6.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40000005y Λ相似,求y x ,;并求一个正交矩阵P ,使P -1AP =Λ.7.将下列对称矩阵相似对角化:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022..(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310130004.8. 设λ是可逆矩阵A 的特征值,证明:(1)λA是A *的特征值.(2)当1,-2,3是3阶矩阵A 的特征值时,求A *的特征值.9.设三阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=6, λ2=λ3=3,属于特征值λ1=6的特征向量为p 1=(1,1,1)T ,求矩阵A .复习题五1.设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是.2.已知3阶矩阵A , A -E ,E +2A 都不可逆,则行列式|A +E |=.3.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111b b a a A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000B ,已知A 与B 相似,则a , b 满足. 4.设A 为2阶矩阵, α1, α2为线性无关的2维列向量,A α1=0, A α2=2α1+, α2,则A 的非零特征值为.5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=50413102x A 可相似对角化,求x .6.设矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ,证明A 的特征值只能是1或2.7.已知p 1=(1,1,-1)T 是对应矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的特征值λ的一个特征向量. (1) 求参数a , b 及特征值λ; (2) 问A 能否相似对角化?说明理由.8. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3223A ,求φ(A )=A 10-5A 9. 第6章 二次型习 题1.写出下列二次型的矩阵表示形式:42324131212423222146242x x x x x x x x x x x x x x f -+-+-+++=2.写出对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32201112121A 所对应的二次型.3.已知二次型322123222132164),,(x x x x ax x x x x x f ++++=的秩为2,求a 的值.4.求一个正交变换将322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=化成标准形.5.用配方法将二次型31212322214253x x x x x x x f -+++=化成标准形,并写出所用的可逆线性变换.6. 设二次型)0(233232232221>+++=a x ax x x x f ,若通过正交变换Py x =化成标准形23222152y y y f ++=,求a 的值.7. 判别下列二次型的正定性:(1)312123222122462x x x x x x x f ++---=(2)4342312124232221126421993x x x x x x x x x x x x f --+-+++=8. 设3231212322214225x x x x x ax x x x f +-+++=为正定二次型,求a 的取值X 围.复习题六1. 设A 为n m ⨯矩阵,B =λE +A T A ,试证:λ>0时,矩阵B 为正定矩阵.2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100120000010010A ,写出以A , A -1为矩阵的二次型,并将所得两个二次型化成标准形.3. 已知二次曲面方程5223121232221=-+++x x x bx ax x x ,通过正交变换X=PY 化为椭圆柱面方程522221=+y y ,求b a ,的值.4. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ,2)(A E B +=k ,其中k 为实数,求对角矩阵Λ,使B与Λ相似,并讨论k 为何值时,B 为正定矩阵.测试题一一、计算题:1.计算行列式111131112+=n D n .2.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=210530001B ,计算T B A 3.3.设A 、B 都是四阶正交矩阵,且0<B ,*A 为A 的伴随矩阵,计算行列式*2BAA -.4.设三阶矩阵A 与B 相似,且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321A ,计算行列式E B 22-. 5.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2411120201b a A ,且A 的秩为2,求常数b a ,的值. 二、解答题: 6.设4,3,2,1),,,1(32==i t t t T i i i i α,其中4321,,,t t t t 是各不相同的数,问4维非零向量β能否由4321,,,αααα线性表示?说明理由.7.求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系.8.问k 取何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211k x x kx k x kx x kx x x(1)有唯一解;(2)有无穷多解;(3)无解.9.已知四阶方阵A =(4321,,,αααα),其中321,,ααα线性无关,3243ααα-=,求方程组4321αααα+++=Ax 的通解.10.三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3.矩阵A 的属于特征值1,2的特征向量分别是T )1,1,1(1--=α,T )1,2,1(2--=α,求A 的属于特征值3的所有特征向量,并求A 的一个相似变换矩阵P 和对角矩阵Λ,使得Λ=-AP P 1. 三、证明题:11.设2112ααβ+=,32223ααβ+=,13334ααβ+=,且321,,ααα线性无关,证明:321,,βββ也线性无关.12.设A 为实对称矩阵,且满足O E A A =--22,证明E A 2+为正定矩阵. 测试题二一、填空题:1、若规定自然数从小到大的次序为标准次序,则排列134782695的逆序数为;2、已知A 为三阶正交矩阵,且A <0,则*AA =;3、设方阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--24523121x ,若A 不可逆,则=x ; 4、设Λ=-AP P 1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5432P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ1001,则6A =; 5、“若向量组321,,ααα线性无关,向量组432,,ααα线性相关,则4α一定能由32,αα线性表示”.该命题正确吗? 。
线性代数课后练习参考答案(初稿)
线性代数课后习题参考答案(初稿)习题一1. 用行列式定义计算下列各题(1)4245322635-=-⨯-⨯=-(2)12130111110101(1)(1)21011110++=-+-=(3)1312001002020030(1)3002(1)243000040040004++=-=⨯-=- (4)11121310000230234645(1)4562(1)3(1)4045681089891078910+++=-=⨯-+⨯-= 2. 利用行列式的性质计算下列各题(1)214121413121506201232123250625062-== (2)28512851105131025319061906512511310805120512121100107609712--------==---=----=----------(3)111111111abac aebcebdcdde adf b c e adfbce bfcfef b c e ----=-=----111024020adfbce adfbce -== (4)3300011()()01000a b b b a b b b ab a b a b a a b a a b a a b a a b b a a b b b b a b a b a -==--=-------- (5)x a a aa x aa a ax a a a ax =(1)(1)(1)(1)x n a a aax n a x a ax n a a x a x n a a ax+-+-+-+- =[(1)]x n a+-1111a aa x a a a x a a ax=[(1)]x na +-1001001001x ax a x a---[(1)]x n a =+-1()n x a --(6)22222222222222222222(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)2123250(1)(2)(3)212325(1)(2)(3)212325a a a a a a a ab b b b b b b bc c c c c c c cd d d d d d d d ++++++++++++==++++++++++++(7)12311000011231110001223110200(1)!1232110020123111001n n n n n n n n n n n n n nn -+-+-==--+----+-(8)0121111110001012111112002131111122012301230123241n n n n n n n n n n n n n --------==-----------------12(1)2(1)n n n --=--3. 证明下列各题(1)111111111111111122222222222222223333333333333333a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a a b b c c a a b c c a b b c c a ++++++++++=++++++++++++111111111111112222222222222233333333333333a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a a b c c b c c a a b c b c a ++=+++=+++ 1112223332a b c a b c a b c = (2)00()()()()00x y z x z yx y z y z x z x y x y z y z x z y x =-+++-+-+-(证明略)(3)11111111111111111110111111111110111111111110111x x x x x y y y y y y+---=++++--- 21000111111111001111110111001111110111000x x x x y xy x y y y y y y y-⎛-⎫- ⎪=++=++++ ⎪ ⎪---⎝⎭- 222222210011001100y xy x y x xy xy x y x y y y ⎛⎫+ ⎪=+-=-+= ⎪- ⎪-⎝⎭(4)设01211000100010n n n a a x D a x a x----=-, 则按最后一行展开,可得01113210001101(1)0011n n n n n a a x xD a x a x x a x+-------=-+--211122122()n n n n n n n n a xD a x a xD a xa x D --------=+=++=++. 332123223321123210n n n n n n n n n n n a xa a x a xx D a xa a x a x a x a x -----------==+++++=++++++4. 解法参考例 1.11.5. 问齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0x x x x x x x x x λλλ--+=⎧⎪+-+=⎨⎪++-=⎩ 有非零解时,必须满足什么条件? 解:齐次线性方程组有非零解,当且仅当1242310111λλλ---=-. 又124111111231231012111112403(1)(3)λλλλλλλλλλλλ-----=--=--------+-(2)(3)0,λλλ=---=解得,0,λ=或2λ=,或3λ=.所以,当0,λ=或2λ=,或3λ=,齐次线性方程组有非零解.习题二 1. 1654127,2211210712A B A B -⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭2. 解:由A X B +=, 得020133.221X B A -⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪--⎝⎭ 3. 解:213220583221720,0564292290T AB A A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 4. 解:(1)()31,2,32132231101⎛⎫ ⎪=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ (2)()22411,212336-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, (3)12110162134021311491231042217--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭(4) 131********78113413120510402⎛⎫⎪--⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭5. 解: (1) 错误,令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有AB BA ≠;(2)错误,令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则有222()2.A B A AB B +≠++(3) 错误,令1101,,0111A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则可得22()().A B A B A B +-≠- (4) 错误, 设00,10A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则有20A =,但0.A ≠(5)错误, 设10,00A ⎛⎫= ⎪⎝⎭则有2A A =,但.A I ≠6. 解:2221010(),0101AB A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭7. 证明: 因为A 为对称矩阵,所以T A A =. 故(),T T T T T B AB B A B B AB ==因此,T B AB 是对称矩阵.8. 证明: 因为(),(),T T T T T T A A A A AA AA == 所以,T T A A AA 是对称矩阵.9. 解: 由32,A X B -=得43/211(3)15/2127/211/25/2X B A -⎛⎫ ⎪=--=- ⎪ ⎪⎝⎭. 10. 2cos 2sin 2,sin 2cos 2A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭对n 作数学归纳法. 当2n =时,22222cos 2sin 2cos sin 2cos sin sin 2cos 22cos sin cos sin A θθθθθθθθθθθθ-⎛⎫--⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭, 结论成立. 假设, 当n k =时, 结论成立, 即cos sin sin cos k k k A k k θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭. 下证1n k =+结论成也立. 由归纳假设可得,1k A+=cos sin cos sin sin cos sin cos k k k A A k k θθθθθθθθ--⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭cos cos sin sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin sin k k k k k k k k θθθθθθθθθθθθθθθθ---⎛⎫=⎪+-⎝⎭cos(1)sin(1)sin(1)cos(1)k k k k θθθθ+-+⎛⎫=⎪++⎝⎭因此,由归纳法可得cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭. 11. (1)解: 由初等行变换可得,11103111031110311007221240012200122001043314500244000390001311118002150000000000A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪----⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)解: 由初等行变换可得,111111107125016016234000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭12. 解法见第38页 例2.14. 13. (1)解:22222311111111111011111110111λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221101100(1)(2)(1)(1)λλλλλλλλλλ⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭, 当2λ=-时, 方程组无解, 当1λ=时,方程组的增广矩阵为111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此方程组的解为12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 12,k k 为任意常数, 当1λ≠, 且2λ≠-时,方程组有唯一解,221211(1)(1),,222x x x λλλλλλλ+++=-=-+=-+++(2)解:322111************213221λλλλλλλλλλλλ---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 112111210111011101(2)(1)2(1)00(1)(3)1λλλλλλλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-+--→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭当1λ=时,方程组无解,方程组的增广矩阵为111100000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因此方程组的解为12111010001k k --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 12,k k 为任意常数,当3λ=时,方程组无解,当3λ≠且1λ≠时,方程组有唯一解,123411,,.33x x x λλλ-=-==-- 14. 解: 通过初等变换,可得A 的标准型矩阵为,17100010101002800105100015⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭15. 解析:通过初等行变换可将矩阵()A I 化为()()A I I B →,则1A B -= 例如(1)通过初等行变换,121012101052250101210121-⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 故 112522521--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭相类似的方法可求的其余矩阵的逆矩阵,答案见教材第177页. 16. 解: 原线性方程组可写成123123122103430x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,因此,11231123132210234301x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭17.(1) 由原矩阵方程可得121122111321182431511133X --⎛⎫-⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭⎝⎭, (2) 由原矩阵方程可得1111143120112011104X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(3)由原矩阵方程可得11010143100210100201001134001120010102X ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭18证明: 因为21()()k k I A I A A A I A I +-++++=-=, 所以12()()k I A I A A A --=++++19. 解: 由220A A I --=, 得()2A I AI -=,3(2)4A IA I I -+=-, 因此,1(),2A I A --=13(2)4A IA I --+=- 20. 证明: 由220A AB B ++=, 且B 可逆得,22[()],()A A B B E B A A B E ---+=-+=,因此,,A A B +可逆,且1212(),().A A B B A B B ----=-++=-21. 令11123,01121001B C ⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,则111311044,0111100122B C --⎛⎫-⎛⎫- ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭, 因此1111130004411000002200001100001101B B A A A ----⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎪=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. 22. 证明: 若,B C 可逆,则有11000B C I CB --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以A 可逆,且1110.0C A B---⎛⎫= ⎪⎝⎭ 反之,若A 可逆, 设其逆为XY Z V ⎛⎫⎪⎝⎭, 则, 000B X Y I o C Z V I ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 因此,,BZ I CY I ==, 因此,B C 可逆.23. 证明:用反证法. 假设A 是奇异矩阵,则由2A A =, 得211A A AA --=, 即A E =, 这与已知条件矛盾,所以A 是非奇异矩阵.习题三 1. (3,8,7)T β=2. 解: 设11223344,x x x x βαααα=+++ 即12341111121111,1111111111x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 解得, 12345111,,,4444x x x x ===-=-, 因此12345111.4444βαααα=+--3. 解: 由3(),αβαβ-=+ 得117(1,,2,)222T αα=-=---. 4. 类似第2题的解法,可得1234243.βαααα=+-+ 5. (1) 解: 设1122330,x x x ααα++= 即1231111260133x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 上面方程组只有零解,所以123,,ααα线性无关. (2) 因为111111111141406120612117024000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以秩(A)=2, 故123,,ααα线性相关. 6. 用反证法容易证明结论成立.7. 证明: (1) 设11220,m m x x x βββ+++= 则有11220,m m x x x ααα+++= 又因为12,,,m ααα线性无关, 所以120,m x x x ==== 因此12,,,,mβββ线性无关.(2) 若12,,,,m βββ线性相关, 则存在不全为零的数12,,,,m x x x 使得11220,m m x x x βββ+++= 因此11220,m m x x x ααα+++= 故而12,,,m ααα线性相关.8. 证明: ()⇒设112223331()()()0,k k k αααααα+++++= 整理得,131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=,因为123,,ααα线性无关, 所以131223000k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 又因为1011100011≠, 所以上面方程组只有零解, 故122331,,αααααα+++线性无关.()⇐ 设1122330,k k k ααα++= 整理得,123121232312331111()()()()()()0,222k k k k k k k k k αααααα+-++-++++-++= 又因为122331,,αααααα+++线性无关, 所以123123123(000k k k k k k k k k +-=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩ 解得上面方程组只有零解, 因此,123,,ααα线性无关. 证明: 9.(⇒)设1mi i i k αα==∑, 和10.mi i i l α==∑ 则,111()mmmi i i i i i i i i i k l k l αααα====+=+∑∑∑,又α的表达式唯一,因此,i i i k l k += 即0,i l = 故,12,,,m ααα 线性无关.(⇐)设11m m i i i i i i k l ααα====∑∑, 则1()0mi i i i k l α=-=∑,因为12,,,m ααα 线性无关,所以,,i i k l =故α的表达式唯一.10. 证明:因为12,,,m ααα 线性相关, 则存在不全为零的数12,,,m k k k 使得,10.mi i i k α==∑若有某个0i k =, 不妨设10k =,则有20,mi i i k α==∑ 又任一1m -向量都线性无关,因此230m k k k ====, 这与12,,,m k k k 不全为零矛盾,因此12,,,m k k k 全不为零, 命题得证. 11. 答案见教材178页. 12. 解: (1) 因为13213213221307107132076005A c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以, 当50,c -+≠ 即5c ≠时,123,,ααα线性无关.(2 ) 当5c =时,123,,ααα线性相关, 且312111.77ααα=+ 13. 解: (1)因为234411231123112311232344050100501032613261050100000102110210120000A ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此,向量组1234,,,αααα的秩为2, 12,αα是一个极大线性无关组, 且314122,2.ααααα==-+用类似的方法可求(2), (3), 答案见教材.14. (1) 因为120131(,)1224αα⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 有一个二阶子式01331=--,所以秩(12,αα)=2, 即12,αα线性无关.(2) 容易计算124,,ααα线性无关. 15. 答案见教材.16. (1)任取()()12121,,,,,,,,,n n x x x y y y V k R ∈∈则有11220n n x y x y x y ++++++=,120n kx kx kx +++=所以()()()121211221,,,,,,,,,n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++∈,12121(,,,)(,,,)n n k x x x kx kx kx V =∈,因此,1V 是线性空间.(2) 任取()()12122,,,,,,,n n x x x y y y V ∈,则有11222n n x y x y x y ++++++=,因此, ()()()121211222,,,,,,,,,.n n n n x x x y y y x y x y x y V +=+++∉ 因此,2V 不是线性空间. 17. 证明: 因为111111101101211110011==-=--,所以123,,ααα线性无关, 即秩(123,,ααα)=3,故123,,ααα生成的子空间就是R .18. 因为 12311160,032-=-≠ 所以,秩(123,,ααα)=3,故123,,ααα是R 的一组基.令1112233k k k βααα=++, 即123(5,0,7)(1,1,0)(2,1,3)(3,1,2).k k k =-++ 因此123123232350327k k k k k k k k ++=⎧⎪-++=⎨⎪+=⎩, 解得,1232,3,1,k k k ===- 所以112323βααα=+-.19. 方法见例3.17. 20. 见教材答案21. 证明: 因为A 是正交阵, 所以21,1T A A A -==.又*,A A A E = 即*1A A A -=.因此,2**()T A A A E E ==, 故*A 是正交阵. 习题四 1. 解(1)1251251251320170171490214000378017000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪---⎪ ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 所以,原方程组与下面方程组同解,1232325070x x x x x ++=⎧⎨-=⎩选取3x 作为自由未知量, 解得基础解系为1971-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 因此, 方程组的解为1971k -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2)313411311131159815980467113131340000------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 选取选取34,x x 作为自由未知量, 解得基础解系为3/23/43/27/4,1001-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故方程组的同解为123/23/43/27/41001k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(3)见教材答案 (4)见教材答案2. (1) 对增广矩阵做行初等变换得1121011210(,)211210*********/200031/2A b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭解得特解为5/6101/6⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭, 对应的齐次线性方程组的基础解系为3510-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 因此方程组的同解为5/6101/6⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭+3510k -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(2) 答案见教材 3. (略)4. 证明: 令i e 为n 阶单位矩阵的第i 列,即(0,0,,1,0,,0)Ti ie =, 则有0,1,2,,i Ae i n ==,因此12(,,,)0,n A e e e AI == 故0A =。
(完整)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是 ( )。
(A) 24315 (B ) 14325 (C ) 41523 (D )24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( )。
(A )k (B)k n - (C )k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A ) 0 (B )2-n (C ) )!2(-n (D) )!1(-n4.=001001001001000( )。
(A ) 0 (B)1- (C) 1 (D ) 25.=001100000100100( )。
(A) 0 (B )1- (C ) 1 (D) 26.在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B ) 4- (C) 2 (D) 2-8.若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ).(A )ka (B)ka - (C )a k 2 (D)a k 2-9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B )3- (C ) 3 (D ) 210。
若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A )1- (B)2- (C )3- (D )011。
若2235001011110403--=D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B )2- (C)3- (D )012。
合肥工业大学2002-2003第一学期《线性代数》试卷参考答案
2002-2003第一学期《线性代数》试卷参考答案一、填空题(每小题3分,共计15分)1.设三阶行列式1112223330a b c a b c a a b c =≠,则三阶行列式111111222222333333222222222a b b c c a a b b c c a a b b c c a ++++++=+++9a ; 2.设矩阵12341123A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭,则1A -=2131223121-⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎪--⎝⎭; 3.若3阶方阵A 的特征值分别为1,2,3--,则16A -的特征值为6,3,2--;4.设A x b =是3元非齐次线性方程组,若矩阵A 的秩为2,且1122ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,2321ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是A x b = 的两个特解,则方程组的通解是210212X c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭(c 为任意常数); 5.设()12,2,1T a = ,()22,1,2T a =- ,()31,2,2T a =- ,()44,3,2Ta = ,则该向量组的一个最大无关组是123,,ααα.二、选择题(每小题3分,共计15分)1.设,A B 为n 阶矩阵,0A ≠,且0AB =,则( B )()A 0B = ()B 0A =或0B = ()C 0BA = ()D 222()A B A B +=+2.若4阶实对称矩阵A 的特征值为0,1,2,3,则A 的秩为( C )()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 43.设A 为正交阵,且1A =-,则必有A *=( B )()A T A ()B TA - ()C A ()D A -4.已知二次型222113223322f tx x x tx x x x =++-+正定,则t 的取植范围是( C )()A 1t <- ()B 11t -<< ()C 2t > ()D 02t <<5.向量组12,,,m ααα线性无关的充分必要条件是( C ) ()A 12,,,m ααα均不为零向量()B 12,,,m ααα中任意两个向量的分量成比例()C 12,,,m ααα中任意一个向量均不能由其余1m -个向量线性表示 ()D 12,,,m ααα中有一部分向量线性无关三、(8分)计算行列式1111111111111111a a D a a ---+-=--+--(a 为常数).解:0111111101111111011111111111111a a a a D a a a-----+--+-=+--------4100111100111100111100a a a a a a a a --=--+-+=--.四、(9分)设E 为3阶单位阵,101020101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,求满足2AX E A X +=+的矩阵X .解:由2AX E A X +=+得2()A E X A E -=-,12()()X A E A E A E -=--=+201031102⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. 五、(15分)a 取什么值时,下面的线性方程组1231231232221ax x x x ax x x ax x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,,,无解?有唯一解?有无穷多解?当有无穷多解时,求其通解.解:系数行列式1111(1)121a D a a a a==--, (1)当0a =时,1012()01120001A b ⎛⎫⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭,()()R A b R A ≠ ,方程组无解; (2) 当0a ≠且1a ≠时,0D ≠,方程组有唯一解;(3) 当1a =时,()()23R A b R A ==<,方程组有无穷多解,此时11121013()0101010100000000A b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1323,1x x x =-+⎧⎨=-⎩, 得通解130110X c -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(c 为任意常数). 六、(15分)设矩阵A 与B 相似,其中20022111A x -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,12B y ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,(1)求x 与y ;(2)求可逆阵Q ,使1QAQ B -=.解:(1)因为矩阵A 与B 相似,且B 为对角阵,所以1,2,y -也是A 的特征值.220022(2)(2)0111A E x x x λλλλλλλλ---=-=+-+-++=--分别将1,y λλ==代入上式,得0,2.x y =⎧⎨=-⎩(2)当1λ=时,A E λ-~012100000-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,120,2,x x =⎧⇒⎨=⎩基础解系1021ξ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭, 当2λ=-时,A E λ-~111000000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,1230x x x ⇒++=,基础解系2101ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3110ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.所以所求可逆阵()123011,,201110Q ξξξ--⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 七、(15分)若有正交变换X P Y =使二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>化为标准形22212325f y y y =++,求正交阵P 及常数a 的值.解:二次型f 所对应的矩阵为2000303A a a⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 则2220003(2)[(3)]003A E a a aλλλλλλ--=-=---=-.由题意可知:11λ=,22λ=,35λ=满足上面等式,将11λ=代入得2a =或2a =-. 由于0a >,所以2a =.当11λ=时,由()A E X O λ-= ,A E λ-~100011000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭得基础解系1011ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,单位化得10p ⎛⎫⎪= ⎪ -⎝ ;当22λ=时,由()A E X O λ-= ,A E λ-~000010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭得基础解系2100ξ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭ ,取22p ξ= ; 当35λ=时,由()A E X O λ-= ,A E λ-~100011000⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭得基础解系3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,单位化得30p ⎛⎫= ⎝ ;所以所求正交矩阵()123010,,00P p p p ⎛⎫ == -⎝ ,使得1125P A P -⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭. 八、(8分)设有向量组12,,,(2)m m ααα>线性无关, 证明:向量组1(1,2,,)mi jj j ij m βα=≠==∑也线性无关.证明:设有一组数12,,,m λλλ ,使得123213121()()()0m m m m λαααλαααλααα-++++++++++++=, 即231132121()()()0m m m mλλλαλλλαλλλα-++++++++++++=.因为12,,,m ααα 线性无关,所以23131210,0,0.m m m λλλλλλλλλ-+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩由于101111011(1)(1)01110m m -=--≠,从而关于12,,,m λλλ 的线性方程组只有零解,即120,0,0.mλλλ=⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=⎩故向量组1(1,2,,)mi jj j ij m βα=≠==∑也线性无关.。
线性代数习题册(答案)
线性代数习题册答案第一章 行列式练习 一班级 学号 姓名1.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)τ(3421)= 5 ; (2)τ(135642)= 6 ;(3)τ(13…(2n-1)(2n)…42) = 2+4+6+…+(2 n-2)= n (n-1).2.由数字1到9组成的排列1274i56j9为偶排列,则i= 8 、j= 3 .3.在四阶行列式中,项12233441a a a a 的符号为 负 .4.00342215= -24 .5.计算下列行列式:(1)122212221-----= -1+(-8)+(-8)-(-4)-(-4)―(-4)= -5或(2)111111λλλ---= -3λ+1+1-(-λ)-(-λ)―(-λ) = -3λ+3λ+2=2(2)(1)λλ-+练习 二班级 学号 姓名 1.已知3阶行列式det()ij a =1,则行列式det()ij a -= -1 . 3(1)11-⋅=-2. 1112344916= 2 .3.已知D=1012110311101254--,则41424344A A A A +++= —1 .用1,1,1,1替换第4行4. 计算下列行列式: (1)111ab c a b c abc +++= 13233110110011,0110111111r r r r c c a b c bcabcabc-----+-==++++++(2) xy x y y x y x x yxy+++(3)130602121476----(4)1214012110130131-5.计算下列n 阶行列式:(1)n xa a a x a D aax=(每行都加到第一行,并提公因式。
)(2)131111n +(3) 123123123n n n a ba a a a ab a a a a a a b+++练习 三班级 学号 姓名 1.设线性方程组123123123111x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩有惟一解,则λ满足的条件是什么?1,0,1λλλ≠-≠≠2. 求解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩3.已知齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ--=⎧⎪-++=⎨⎪--+=⎩有非零解,求λ的值。
《线性代数》习题集(含答案)
《线性代数》习题集(含答案)第一章【1】填空题 (1) 二阶行列式2a ab bb=___________。
(2) 二阶行列式cos sin sin cos αααα-=___________。
(3) 二阶行列式2a bi b aa bi+-=___________。
(4) 三阶行列式xy zzx y yzx =___________。
(5) 三阶行列式a bc c a b c a bbc a+++=___________。
答案:1.ab(a-b);2.1;3.()2a b -;4.3333x y z xyz ++-;5.4abc 。
【2】选择题(1)若行列式12513225x-=0,则x=()。
A -3;B -2;C 2;D 3。
(2)若行列式1111011x x x=,则x=()。
A -1, B 0, C 1, D 2,(3)三阶行列式231503201298523-=()。
A -70;B -63;C 70;D 82。
(4)行列式00000000a ba b b a ba=()。
A 44a b -;B ()222a b-;C 44b a -;D 44a b 。
(5)n 阶行列式0100002000100n n -=()。
A 0;B n !;C (-1)·n !;D ()11!n n +-•。
答案:1.D ;2.C ;3.A ;4.B ;5.D 。
【3】证明33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++ 答案:提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和,即得结果。
【4】计算下列9级排列的逆序数,从而确定他们的奇偶性: (1)134782695;(2)217986354;(3)987654321。
答案:(1)τ(134782695)=10,此排列为偶排列。
合工大2005 2006第一学期《线性代数》试卷参考答案
2005-2006学年第一学期《线性代数》试卷参考答案一、填空题(每小题3分,共计15分)1. 已知220340005A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=,那么1A -=32210100015⋅⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭- ; 2. 设A 是4阶方阵,()2R A =,*A 是A 的伴随矩阵,则*()R A = 0 ;3. 若齐次线性方程组123123123000x x x x x x x x x λλλ⎧⎪⎨⎪⎩++=++=++= (1)λ≠有非零解,则λ= -2 ;4. 设矩阵11040102A a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-=-与200010001B ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭=相似,则a = 3 ;5. 在多项式1210423()2332112xx f x x x-=中,4x 的系数是 -6 .二、选择题(每小题3分,共计15分)1. 设M 是n 阶方阵,若0M =,则矩阵M 中( C ).()A 必有一行元素全为0 ()B 必有两行元素对应成比例()C 必有一行向量是其余行向量的线性组合()D 任一行向量是其余行向量的线性组合2. 设,A B 都是n 阶方阵,则下列结论正确的是( C ).()A 若A 与B 相似,则A 与B 有相同的特征值和特征向量 ()B 若A 与B 相似,则A 与B 都相似于同一个对角阵()C 若A 与B 相似,则A 与B 等价()D 若A 与B 等价,则A 与B 相似3. 设123,,ξξξ是齐次线性方程组A =0x 的基础解系,则( D )也是A =0x 的基础解系。
()A 与123,,ξξξ等价的一个向量组 ()B 与123,,ξξξ等秩的一个向量组 ()C 122331,,---ξξξξξξ ()D 122331,,+++ξξξξξξ4. 设3阶方阵A 有3个线性无关的特征向量,3λ=是A 的二重特征值, 则(3)R A E -=( A ).()A 1 ()B 2 ()C 3 ()D 无法确定5. 设二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =++-++,则下列结论正确的是( B ).()A f 是正定的 ()B f 的秩是2 ()C f 的秩是3 ()D f 的特征值是1,1,1三、(10分)计算n 阶行列式00000000000n a b a b D a b b a=.解 按第一列展开,得1110000000000000(1)00000000000000n n n n a b b a ba b D aba b b a a b +--=+-阶阶1111(1)(1)n n n n n n a a a b b b --++=⨯+=+-⨯- .四、(10分)求下列向量组的一个最大线性无关组1234(1,1,1),(0,2,5),(2,4,7),(1,1,3)T T T T ====-αααα并指出4α能否被123,,ααα线性表示.解 因为()1234102110211021124102220222157305540001---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭αααα, 所以124,,ααα或134,,ααα是向量组1234,,,αααα的最大线性无关组。
合工大-线性代数习题册参考解答
第一章 行列式1、求下列排列的逆序数,并确定它们的奇偶性。
(1)1347265;(2)321)1( -n n 。
【解】(1)62130000)1347265(=++++++=τ,偶排列; (2)2)1()1(210]321)1([-=-++++=-n n n n n τ。
当14,4+=k k n 时,2),14(22)1(-=-k k k n n 当34,24++=k k n 时,4)(12(2)1(+=-k n n 排列。
■2、用行列式定义计算x x x x x f 111231112)(=中4x 和3x 的系数,并说明理由。
2;(4,4)的元素乘积项,而10=+,611061203110225161103110612022516011301160212152323112241324--=---=--=↔↔++-r r c c r r r r r r D930003003110225123242-=--=--r r r r 。
■ 4、求84443633224211124=D 。
【解】性质(三角化法)+行和相等的行列式:211112111121111224844436332242111243212432434r r r r r r r D +++÷÷÷===12010100010111112014,3,2==-=r r k k 。
■mnn11))((-=--∑n ni i m m x 。
■6、求nn a a a D 01001011110211=+,其中021≠n a a a 。
【解】箭形行列式(爪形行列式):利用对角线上元素将第一行(或列)中元素1化为零。
为此,第一列减去第k 列的ka 1(n k ,,3,2 =)可得: n n i inni in a a a a a a a a D2112111)1(0000000001111∑∑==+-=-=。
■ 7、求7111141111311112=D 。
线性代数习题册(答案)
线性代数习题册答案第一章 行列式 练习 一 班级 学号1.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)τ (3421)= 5 ; (2)τ (135642)= 6 ;(3)τ (13⋯ (2n-1)(2n ) ⋯42) = 2+4+6+ ⋯ +(2 n-2)= n (n-1). 2.由数字 1 到 9 组成的排列 1274i56j9 为偶排列,则 i= 8 、 j= 3 3.在四阶行列式中,项 a 12a 23a 34a 41 的符号为 负 .= - 3 + 3 +2= (2 )( 1)21 2 21) 2 1 2 = - 1+2 2 15.计算下列行列式:- 8)+(- 8 )-(- 4 )或 -(- 4)―(- 4) = - 511 2) 111 13+1+ 1-(- )-(- )―(- )00 4. 0 421练习班级学号31.已知 3阶行列式det(a ij ) =1,则行列式det( a ij )= -1 . ( 1)3 111 1 1 2.234 = 24 9 161 a b c(1) a 1 b c a b 1 cx y x y (2) y x y xx y x y 1 0 110 0r1 r,rr30 1 1c3 c1 0 1 1a b 1c a b 1c111 a b cb1c0 1 21 0 3,则A41 A421 1 02 5 4113.已知 D=1 1用 1, 1,1,1 替换第4 行4.计算下列行列2 1 5 1 13 0 60 2 1 21 4 7 61 2 1 40 1 2 11 0 1 3 0 1 3 15.计算下列n 阶行列式:每行都加到第一行,并提公因式。
)(2 ) 21M13MLLM11ML1 1 n1a1 b a2 a3 L a n(3 ) a1 a2 b a3 L a n M M M M Ma1 a2 a3 L a n b练习班级学号x3 1x1 x21.设线性方程组x1 x2 x3 1 有惟一解,则满足的条件是什么?x1 x2 x3 11, 0, 1x1 x2 x3 x4 5x1 2x2 x3 4x4 22. 求解线性方程组12x1 3x2 x3 5x4 23x1 x2 2x3 11x4 0x1 x2 x3 03.已知齐次线性方程组x1 x2 x30 有非零解,求的值。