(完整版)圆锥曲线中的一类对称问题
完美版圆锥曲线知识点总结
完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。
若为椭圆上任意一点，则有。
椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。
注：①以上方程中的大小，其中；②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。
例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质①范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。
若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。
这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。
在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。
同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。
∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。
当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。
2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。
注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。
(完整版)解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数)7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题(3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4)圆锥曲线的有关最值（范围)问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知---—-—--这类问题一般可用待定系数法解决. 2．曲线的形状未知-———-求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中,r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1〉r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明.2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常用“点差法"，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，弦AB 中点为M （x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法,具体有：(1))0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0，y 0），则有02020=+k b y a x 。
圆锥曲线一类对称问题的通法探究
又 中点 Ｍ （ ， ｏ 在 直 线 ｚ 函 Ｙ） ： 一４ ＋ 上 ， 以 所 一４ ＋ ｍ，② ｘｏ 由① ② 得 。 一 ｍ， ＝ 一３ 一 ，
因为 ｔ．２ １ ｔ一
三 二 ＜ｏ 二
所 以 ３ 。 Ｉ ｙ 一 １ — ３ ＋ ４× ９ — １ ＜ Ｏ ｘ － ４ ｏ － ２ ｍ ｍ ２
一 １得 ：
（ 一 或＞ ） ｚ ＜ ｚ 又一＋ ｚ 去 ＋ ｚ ． 又 为 ＜ ６ ÷ 一 ｚ丢 ：＿ 因 ｚ 一 詈 卫
或 ＞
。０— ｙ １） 一． ｓ： ） ｏ ｒ ２ｏ ＋ Ｊ ３ ～ ＋ １
上式 化简得 ： ２ ＋坠 ５
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解 Ｅ 一 ， ） 在 圆ｃ 存 两 ＡＢ 得ｂ （ ， 椭 上 在 点 ， 故
７
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２ １ 第 ３期 ０ ０年
数 学 教 育 研 究
・ ５ ５ ・
解 得 一 ±
，
所以弦 Ａ， 中 点 Ｍ 的轨 迹方 程 为 Ｙ一÷ － Ｂ ｚ
霉 …牵 ４ ㈣ 等
所 以 ～
＜ ＜
为 的 范 围 ．
４ 方 法 四 直 线参 数 法 例 ４ 已知椭圆 ｃ ＋寺 １试确定 ｍ的取值 ： ，
范 围， ｌ 使 ： 一４ ＋ ｍ 在 椭 圆 Ｃ 上 存 在 不 同两 点 关 于 直 ｚ 线 ｚ 称． 对 解 ：设 这 不 同 两 点 为 Ａ，Ｂ 线 段 Ａ 的 中 点 Ｍ Ｂ
￡ ｚ＋ ４ ＋３
。
ｚ １ 一 ２
一 ０．
所以 ｂ 的取值 范 围是 ｂ 一 ＜
或 ６ 、 ， ＞ ／ 故双 ，
因 为 Ａ，Ｂ两 点 对 称 分 布 在 Ｍ （ 。 Ｙ ） 侧 ， 以 ｘ ， 。两 所
(完整版)圆锥曲线常见题型及答案
圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。
此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。
此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。
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试题为高清版 下载可打印专题7.8：圆锥曲线中一类对称问题的研究与拓展
【探究拓展】
引例：试探究是否存在实数，使得椭圆有不同的两点关于直线对称？若存在，m 13
42
2=+y x m x y +=4求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由；
m 结论：若直线交椭圆于两点，且不与轴垂直，为线段的中点，则_____变式1：已知AB B A ,AB x P AB 直线与双曲线相交于两点，是否存在实数，使两点关于直线1+=kx y 132
2=-y x B A ,k B A ,对称？若存在，求出实数的值，不存在，请说明理由
02=-y x k 变式2：已知抛物线与直线，试问上是否存在关于直线对称的两点？若存在，x y C =2:4
3:+
=kx y l C l 求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由k 变式3：中心在原点，焦点在轴上的椭圆的一个顶点为，右焦点到直线
x C )1,0(-B 的距离为3
022:=+-y x m （1）求椭圆的标准方程；
C （2）是否存在斜率的直线交于两点，使得？若存在，求出的取值范围；若不0≠k l N M ,BN BM =k 存在，请说明理由
【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？。
微难点13 圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)
微难点13 圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)
析典例 ·举题破难
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高考总复习 一轮复习导学案 ·数学
微难点13 圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)
若 AB 是圆 O：x2＋y2＝r2 的直径，P 是圆 O 上一点，且 PA，PB 都存在非
零斜率 kPA，kPB，则 kPA·kPB＝－1；若 M 是 AB 的中点，且 AB，OM 都存在非零斜率 kAB，kOM，则 kAB·kOM＝－1.
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微难点13 圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)
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微难点13 圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)
栏 目 导 航
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析典例 ·举题破难 解类题 ·融会贯通
高考总复习 一轮复习导学案 ·数学
通过类比得到如下结论：AB 是过椭圆xa22＋by22＝1(a>0，b>0)中心的弦，P 是椭圆 上任意一点，且 PA，PB 都存在非零斜率 kPA，kPB，则 kPA·kPB＝__－__ba_22___；若 M 是 AB 的中点，且 AB，OM 都存在非零斜率 kAB，kOM，则 kAB·kOM＝__－__ba_22___.(填空并证明此
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微难点13 圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)
(2) 如图(2)，过点 B 作椭圆的直径 BC，连接 AC，则 OM∥AC，
图(2) 由上述类比知 kABkOM＝kABkAC＝－ba22.
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(完整版)圆锥曲线解题方法技巧归纳
圆锥曲线解题方法技巧归纳第一、知识储备: 1. 直线方程的形式(1) 直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、 一般式。
(2) 与直线相关的重要内容 ① 倾斜角与斜率k tan , [0,)② 点到直线的距离dA/ B y0_C tan(3) 弦长公式 直线 y kx b 上两点 A(x i , yj, B(X 2, y 2)间的距离：AB| J i k 2|x X 2J (1 k 2)[(X i X 2)2 4沁]或 AB J i *|y i y 2(4) 两条直线的位置关系 ① l 1 l 2 k 1k 2=-1② l 1 //12k 1 k 2且b 1 b 22、圆锥曲线方程及性质(1) 、椭圆的方程的形式有几种？(三种形式)标准方程： 2 2—匚 1(m 0, n 0且 m n) m n 距离式方程:.(x c)2 y 2 . (x c)2 y 2 2a参数方程： x a cos , y bsin(2) 、双曲线的方程的形式有两种③夹角公式：k 2 12 2标准方程：—-1(m n 0)(3) 、三种圆锥曲线的通径你记得吗？椭圆：近；双曲线：玄；抛物线：2pa a(4) 、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？b 2 tan —2P 在双曲线上时，S FP F 2 b 2 cot —,t| PF |2 | PF |2 4c 2 uur ujrn uur uimr(其中 F 1PF 2,COS 】1鳥尙，PF ?PF 2 |PF 1||PF 2|COS(6)、 记住焦 半 径公式： (1 )椭圆焦点在x 轴上时为a ex g ；焦点在y 轴上时为a ey °，可简记为“左加右减，上加下减”(2) 双曲线焦点在x 轴上时为e|x 01 a(3) 抛物线焦点在x 轴上时为| x , | 2,焦点在y 轴上时为| % | 2 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ _ 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题)2B X 2,y 2，M a,b 为椭圆— 42 2 2 2 2222如: 已知F ,、 2 2F 2是椭圆勻七1的两个焦点,平面内一个动点 M足MF !MF 22则动点M 的轨迹是(A 、双曲线;B 、双曲线的一支；C 、两条射线;D 、一条射线(5)、焦点三角形面积公式：P 在椭圆上时，S F1p F2设 A x ,, y ,2仝1的弦AB 中点则有3仝生1,空空1 ;两式相减得二竺上上04 3 4 3 4 3x i X2 捲X2 y i y2 y i y2 3a4 3 k AB一不2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式0，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点A(X!, y i), B(X2, y2)，将这两点代入曲线方程得到①②两个式子，然后①-②，整体消元..................... ,若有两个字母未知数，贝S要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。
圆锥曲线中的典型问题与方法：圆锥曲线解题技巧和方法综合
圆锥曲线的解题技巧一、常规七大题型：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。
如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有0220=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.典型例题 给定双曲线x y 2221-=。
过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。
（2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 22221+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。
（1）求证离心率βαβαsin sin )sin(++=e ；（2）求|||PF PF 1323+的最值。
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。
典型例题抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。
y p x p x y t x 210=+>+=()()（1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。
圆锥曲线对称性定点问题与习题含详解
k 2 x 2 2 px P (
2p 2p
, )
k2 k
1
2p 2p
,
) A （2pk 2 ,-2pk）（由于算法相同只需将 k 用 - 来代替即可以表达出 A
1
1
k
( ) 2
k
k
点坐标）
1
2
当 A，P 横坐标相同时 2pk =
2p
k 1 ，AP 直线方程为 x 2 p ，与点 x 轴交点 (2 p, 0)
1 4k
2
2
2
去分母
4（1
+k 2）
(m 2 -1)-8k 2 m( m 1) (4 k 2 1)( m2 2 m 1) 0
按降幂排列
4k 2 m 2 -8k 2 m 2 +4k 2 m 2 +8k 2 m-8k 2 m+4m 2 + m2 -4k 2 +4k 2 -2m-4+1 0
k2 4 k2 4
2
k 2 4 1 4k 2
2
2
k2 4 k2 1
8k
k2 1
(x 2
) ，化简得：
直线 PQ 的斜率为 k k 4 1 4k
，直线 PQ 的方程为 y 2
8k
8k
k
4
5
k
k
4
5
k
k 2 4 1 4k 2
y
k2 1
3
（检验项数发现展开刚好是 12 项，验算没有问题）
2
得到： 5m -2m-3 0 m
圆锥曲线的应用(韦达定理,对称)
韦达定理——圆锥曲线硬解定理 联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y b y a x 12222消去y 得：0)(2)(22222222=-+++b m a kmx a x k a b2222212k a b km a x x +-=+；22222221)(ka b b m a x x +-=+；)(4222222m k a b b a -+=∆ 消去x 得：0)(2)(222222222=-+-+k a m b my b y k a b2222212k a b m b y y +-=+；222222221)(ka b b a m b y y +-=+；)(42222222m k a b k a b -+=∆ 韦达定理：主要适用于设而不求，弦长公式，如面积;2222222222212)(411k a b m k a b b a k x x k AB +-+•+=-+= 22222222222212)(41111k a b m k a b k a b k y y k AB +-+•+=-+=超级韦达定理——反向点乘双根式 联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y b y a x 12222消去y 得：0)(2)(22222222=-+++b m a kmx a x k a b2222222222222121212)()())((p k a b kmp a k a b b m a p x x p x x p x p x ++++-=++-=-- 2222222222221)(2)())((ka b b m a kmp a p k a b p x p x +-+++=-- 22222222222221)(2)())((k a b k a m b mq b q k a b p y p y +-+-+=-- 超级韦达定理：主要适用于λ=•→→MB MA 型，如垂直、圆过定点；例1、（全国卷）已知)2,0(-A ，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为23，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为332，O 为坐标原点． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点)2,0(-A 的直线l 与E 相交于Q P ,两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．例2、（上海高考）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥u u u r u u u r ,求直线l 的方程.例3、已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程;(II)若直线:l y kx m=+与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.对称与对称思想： 1、标准对称例1、如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e 。
第12讲 圆锥曲线的对称性问题
第12讲 圆锥曲线的对称性问题一、考情分析通过近几年各地高考试题可以发现,对对称性问题的考查在逐渐加深,并与圆锥曲线相结合在一起命题,成为一个新的动向.与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想结合可以呈现别具一格的新颖试题.二、经验分享1.对于圆锥曲线的相交的动点问题，设出交点，由交点(或韦达定理)结合条件解决问题，在求解过程中、数形结合是常用的打开思路的方式、形是引路、数是依据、二者联手，解决问题就易如反掌、设面不求、灵活消参是常用的策略。
2. 中点弦问题（点差法）的呈现有多种形式，处理重直问题最好的方法是应用向量的坐标形式转化，常规的思路是:联立方程组消去 成y,得到一个二次方程，设交点，韦达定理 代人垂直的数量积坐标公式整理求解。
3.涉及弦长要注意圆的几何性质的应用。
三、题型分析（一）中点弦问题（点差法）例1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1【变式训练1】过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ．【变式训练2】（2011陕西）设椭圆C: ()222210x y a b a b +=>>过点（0，4），离心率为35（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．（二）点关于直线对称例2．（2015安徽）设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为10． （Ⅰ）求E 的离心率e ；（Ⅱ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．【变式训练1】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，点()01P ，和点 ()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．（三）圆锥曲线的光学性质例3.从()4,3-P 出发的一条光线经x 轴反射后经过椭圆1422=+y x 的上顶点，以该椭圆的右顶点A 为圆心，()0>r r 为半径的圆与反射光线没有公共点则r 的取值范围为_________.【变式训练1】.从()4,3-P 出发的一条光线经x 轴反射后经过椭圆1422=+y x 的上顶点，以该椭圆的右顶点A 为圆心，()0>r r 为半径的圆与反射光线没有公共点则r 的取值范围为_________.四、迁移应用1. 若一个圆2244240x y x y +---=上至少有三个不同的点到直线:l y x b =+的距离为,则b 的取值范围是（ ）.A [1,1]- .B [4,4]- .C [8,8]- .D [2,)+∞2.若曲线y =:l 44y kx k =+-有两个交点,则实数k 的取值范围是（ ）.A 3(,1)4 .B 3(,1]4 .C 3(,)4+∞ .D [1,)+∞3.已知ABC ∆是边长为2的正三角形，P 是平面ABC 内一点，则()PC PB PA +⋅的最小值是（ ） .A 2- .B 23-.C 34- .D 1- 4. 已知双曲线C ：()0,012222>>=-b a by a x 的右顶点为A ，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点Q P ,,若oPAQ 60=∠，且OP OQ 3=（其中O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（ ）.A 27 .B 773 .C 7 .D 72 5．已知离心率为12的椭圆22221(0)y x a b a b +=>>内有一个内接三角形ABC ，O 为坐标原点，边AB 、BC 、AC 的中点分别为D 、E 、F ，直线AB 、BC 、AC 的斜率分别为123,,k k k ，且均不为0，若直线OD 、OE 、OF 斜率之和为1，则111123k k k ++=（ ）A. 43- B.43 C. 34- D. 346．已知抛物线C ：22y px =的焦点F 与双曲线422413y x -=的右焦点相同，过点F 分别做两条直线12,l l ，直线1l 与抛物线C 交于A,B 两点，直线2l 抛物线C 交于D ，E 两点，若1l 与2l 斜率的平方和为1，则AB +DE 的最小值为（ ）A 、16B 、20C 、24D 、327.设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为510． （Ⅰ）求E 的离心率e ；（Ⅱ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．8．已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称． （Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．9．（2017天津）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD △AP 的方程．。
高考数学微专题 圆锥曲线中的对称问题
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即a12＋b2yx1＋1＋yx22yx1－1－yx22＝0， 又 kAB＝yx11－ －yx22＝1， 所以a12－21b2＝0，即 a2＝2b2. 又因为椭圆 C 过点1， 26，所以a12＋23b2＝1，解得 a2＝4，b2＝2，所以椭圆 C 的标 准方程为x42＋y22＝1.
yAx－－x＋yx200x×0＋－ByBA＋2＝y0－＋1CB＝≠0.0，
当然有时利用“点差法”点训练 2】 (2022·江苏南京模拟)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)过点1， 26， 直线 l：y＝x＋m 与椭圆 C 交于 A，B 两点，且线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点，直 线 OM 的斜率为－12.
y)＝0.
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8
【对点训练 1】 在平面直角坐标系 Oxy 中，已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 22， 椭圆 C 截直线 y＝1 所得线段的长度为 2 2.
(1)求椭圆 C 的方程； (2)如图，动直线 l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆 C 于 A，B 两点，交 y 轴于点 M.点 N 是 M 关于 O 的对称点，⊙N 的半径为|NO|.设 D 为 AB 的中点，DE，DF 与⊙N 分别相切于点 E，F，求 ∠EDF 的最小值．
m2
＝
5k2mk2－2＋44k2－4＝0，得 k2＝5m24－4.
因为 MN 的中点x1＋2 x2，y1＋2 y2在直线 l：y＝kx＋32上， 所以y1＋2 y2＝k·x1＋2 x2＋32，
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即－1kx1＋m2－1kx2＋m＝k·x1＋2 x2＋32，即 2k2m＋k2＋4＝0，把 k2＝5m24－4代入上式， 得 5m2＋2m－3＝0，解得 m＝35或 m＝－1.
圆锥曲线解题技巧之对称性分析如何通过对称性分析圆锥曲线的特点解决问题
圆锥曲线解题技巧之对称性分析如何通过对称性分析圆锥曲线的特点解决问题对称性分析是解决圆锥曲线问题的重要技巧之一。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们都具有一定的对称性质，通过对称性分析可以更加简便地解决相关问题。
本篇文章将介绍对称性分析在圆锥曲线解题中的应用，以及如何通过对称性分析圆锥曲线的特点来解决问题。
一、椭圆的对称性分析椭圆是圆锥曲线中最基本的一种曲线。
它具有以下对称性质：1. 关于x轴对称：椭圆关于x轴对称，即对于椭圆上的任意一点(x,y)，如果(x,y)在椭圆上，那么(x,-y)也在椭圆上。
2. 关于y轴对称：椭圆关于y轴对称，即对于椭圆上的任意一点(x,y)，如果(x,y)在椭圆上，那么(-x,y)也在椭圆上。
通过对椭圆的对称性分析，可以轻松解决一些问题。
例如，已知椭圆的一个焦点坐标和离心率，求另一个焦点的坐标。
根据椭圆的对称性，我们可以通过已知焦点和离心率得到另一个焦点的坐标。
二、双曲线的对称性分析双曲线也是常见的圆锥曲线，在物理学和工程学中有广泛的应用。
它具有以下对称性质：1. 关于x轴对称：双曲线关于x轴对称，即对于双曲线上的任意一点(x,y)，如果(x,y)在双曲线上，那么(x,-y)也在双曲线上。
2. 关于y轴对称：双曲线关于y轴对称，即对于双曲线上的任意一点(x,y)，如果(x,y)在双曲线上，那么(-x,y)也在双曲线上。
通过对双曲线的对称性分析，可以解决一些双曲线的性质问题。
例如，已知双曲线的渐近线和一个焦点，求另一个焦点的坐标。
通过对双曲线的对称性，我们可以得到另一个焦点的坐标。
三、抛物线的对称性分析抛物线是圆锥曲线中最简单但又最常见的一种曲线。
它具有以下对称性质：1. 关于y轴对称：抛物线关于y轴对称，即对于抛物线上的任意一点(x,y)，如果(x,y)在抛物线上，那么(-x,y)也在抛物线上。
通过对抛物线的对称性分析，可以解决一些与焦点和直线的关系问题。
例如，已知抛物线的焦点坐标和准线的方程，求抛物线的方程。
圆锥曲线中的定点、定值问题的结论及多种证明方法 高考数学
七、圆锥曲线中的平行弦的问题
在前面一、推论：“若圆锥曲线为圆，直线AB交C于A、B两点，的斜率分别为，当时，为定值，”给出了平移图像法、一般法、参数方程法等多种证明方法。现在我们对一、推论
31.采用另一种思维方式探究如下：设点是圆上的一定点，过点P作x轴的
2. 当 时， 【1】化为： 。即 时，为定值，,
3.当)时，,得， ，，即 ，
，即 。 得：
； 【2】
即： 或 (因为直线AB不过点P，舍去)AB的方程为化为： 即 由得 即直线AB恒过定点( )。
3. 当时， 由 【2】化为： ， ， ， 即：。(因为直线AB不过点P，舍去)或；，即 为定值.
1.当时，， ， ，
，即： ， ，
化为：， (因为直线AB不过点P，舍去)或。， ； 【6】AB的方程为化为： 即 由得 即当时，直线AB恒过定点( )。
2.当 时， 【6】化为：； 即当时，为定值，。
3.当时， 即， ，，即 ，
， ； 【7】 ，化为：， (因为直线AB不过点P，舍去)或。由，
2.当时，直线AB恒过定点(
3.当时，为定值
4.当时，即直线AB恒过定点( ). 及其证法已知点(其中 是圆锥曲线上的一个定点，过点作直线分别与圆锥曲线C相交于点A、 则必定存在以下结论：
二、椭圆、双曲线、抛物线、圆中的定点、定值问题的统一结论
1.当时，为定值，
2.当时，直线AB恒过定点( )
圆锥曲线中的定点、定值问题的
结论及多种证明方法
主讲人：某某某老师
某某学校
山东东营 徐新华 大家都知道，圆锥曲线的很多重要结论，特别是圆锥曲线的定点、定值问题并没有列入高中数学教材，但它们一直确是高考数学试题中考察的重要内容。本文件中，从多个角度、采用多种方法对圆锥曲线的定点、定值问题的结论作出了证明，并力求对证明过程给予最大化的展示。需要说明的是，个别证法有相当大的难度，其证明过程也极为复杂，因此叙述也就比较详细具体。
圆锥曲线中存在点关于直线对称问题
圆锥曲线中存在点关于直线对称问题对于此类问题有第一种通法，即抓住两点对称中体现的两要点：垂直（斜率之积为－1）和两点连线中点在对称直线上，至于参数的范围则是由联立后方程的△产生，下面举例说明：例1：已知椭圆C ：3x 2＋4y 2=12,试确定m 的取值范围，使得对于直线l ：y=4x ＋m ，椭圆C 上有不同两点关于这条直线对称.解：设存在两点A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2)关于l 对称，中点为C （x 0,y 0），则AB 所在直线为y=－14x ＋b. 与椭圆联立得：134x 2－2bx ＋4b 2－12=0， ∴ x 0= x 1＋x 22= 4b 13, y 0=y 1＋y 22= －14 x 1＋b －14 x 2＋b 2= 12b 13. ∵ C 在y=4x ＋m 上,∴12b 13= 4b 13×4＋m, b=－ 13m 4. 又∵ △=4b 2－4× 134(4b 2－12)=4b 2－52b 2＋13×12>0, 故 b 2<134,即 169m 216<134， 解得：－21313<m<21313. 由此解题过程不难归纳出步骤如下：1．假设这样的对称点A 、B 存在，利用对称中的垂直关系设出两点A 、B 所在的直线方程.2．联立AB 所在直线方程与圆锥曲线方程，求出中点C 的坐标.3．把C 的坐标代入对称直线，求出两个参数之间的等式.4．利用联立后方程的△求出其中需求参数的范围.利用此通法、步骤可解决以下类似问题：1．已知双曲线x 2－ y 23=1,双曲线存在关于直线l ：y=k x ＋4的对称点，求k 的取值范围.注：对于此类求斜率k 范围要考虑k=0和k ≠0，因为要用到－ 1k. 2．k 为何值时，抛物线y 2=x 上总存在两点关于直线l ：y=k （x －1）＋1对称.在此通法体现的解题思路上总结得到下面的第二种通法，不过首先说明以下两个问题：1o弦中点位置问题椭圆双曲线抛物线弦中点在内部弦中点在Ⅰ（交点在同一支上）弦中点在抛物线“内部”或Ⅱ（交点不在同一支上）2o范围问题椭圆x2a2＋y2b2=1 双曲线抛物线M（x0，y0）为中点，则M（x0，y0）为中点，则M（x0，y0）为中点，则x2 a2＋y2b2<1x2a2－y2b2>1或x2a2－y2b2<0 y2－2px<0 (p>0)(焦点在x轴上)y2＋2px<0 (p>0)y2a2－x2b2>1或y2a2－x2b2<0 x2－2py<0 (p>0)（焦点在y轴上）x2＋2py<0 (p>0)在此基础上用第二种通法来解例1：已知椭圆C：3x2＋4y2=12,试确定m的取值范围，使得对于直线l：y=4x＋m，椭圆C 上有不同两点关于这条直线对称.解：设存在两点A（x1,y1）、B(x2,y2)关于l对称，中点为C（x,y），则3x12＋4y12=12,3x22＋4y22=12, 得y1－y2x1－x2=－3(x1＋x2)4(y1＋y2)=－3x4y=－14,∴y=3x.联立y=4x＋m,解的x=－m,y=－3m, ∵M在椭圆内部，∴(－m)24＋(－3m)23<1,即－21313<m<21313.这种通法的步骤是：1o设出两点和中点坐标（x，y）；2o用“点差法”根据垂直关系求出x，y满足的关系式；3o联立直线方程，求出交点，即中点；4o由中点位置及对应范围求出参数取值范围.另外，由于抛物线方程形式的特殊性，对于抛物线此类问题，还有一种简洁解法：例2：在抛物线y= ax2－1上存在两点关于直线x＋y=0对称，求a的范围.解：显然a≠0.设存在两点为A（x1,y1）、B(x2,y2)，y1－y2 x1－x2=a x12－a x22x1－x2= a（x1＋x2）=1，即x1＋x2=1a，y1＋y22＋x1＋x22=0，即x1x2=1－aa2，因为存在这样的两点，故方程x2－1ax＋1－aa2=0的△>0，即1a2－41－aa2>0，a>34.这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中点关系求出两根之和、两根之积，构造方程，利用△求出参数范围.当然，不管是两种通法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两点关于直线对称所产生的垂直及中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.。
解圆锥曲线问题常用的八种方法及七种常规题型
解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K 参数、角参数）7、代入法8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a by a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有0220=+k b y a x 。
圆锥曲线对称问题
应满足两个条件． 第一个条件是 PP′的连线垂直于直线 Ax+By+C=0，第二个条件是 P，P′的
中点应落在直线 Ax+By+C=0上．
这两个条件能否用方程表示：
y y' A
1
方程组： x x '
B
A x x' B y y' C 0
2
2
方程组中含有 x′， y′，也可认为这是一个含
x′， y′的二元一
的距离相等
问题 7： P 与 P′到直线 Ax+By+C=0的距离相等的含义是什么？
就是 P 与 P′的中点落在直线 Ax+By+C=0上，换句话说 P 与 P′的中点坐标满足直线方程
Ax+By+C=0．
问题 8：两点 P(x， y) 、P′ (x ′， y′ ) 关于直线 Ax+By+C=0对称应满足的条件？
圆锥曲线的对称问题
问题 1：点 P(x ，y) 、P′(x ′，y′ ) 关于点 Q(x 0，y0) 对称， 那么它们的坐标应满足什么条件？
Q 点是 P 与 P′的中点，即满足 x0
x x' , y0
2
y y' 2
问题 2： P(x ， y) ， P′ (x ′， y′ ) 关于原点对称，那么它们的坐标满足什么条件？
即为 |A′ D|。
在
Rt△ A ′CD
中，
|A′ D| 2
y0
2
2
代入 C 的方程可得 x = y 2 +4 y +6
y2 x2
例2
已知点
A(0,2) 和圆
C：(
圆锥曲线解题技巧之六利用曲线的对称性解题
圆锥曲线解题技巧之六利用曲线的对称性解题圆锥曲线解题技巧之利用曲线的对称性解题圆锥曲线是数学中一类重要的曲线，包括抛物线、椭圆和双曲线。
在解题过程中，我们常常可以利用曲线的对称性来简化问题，提高解题效率。
本文将介绍如何在解题中充分利用曲线的对称性。
一、关于对称性的概念在几何图形中，如果存在一个轴，使得该轴两侧的图形完全相同或相似，那么我们称这个图形具有对称性。
对称性在数学中有重要的应用，可以帮助我们简化问题，降低难度。
二、抛物线的对称性抛物线是一种平面曲线，其特点是顶点和焦点之间的距离相等。
根据抛物线的性质，我们可以利用其对称性解决一些问题。
例题1：已知抛物线y=ax^2的焦点为F，过F作抛物线的准线，该准线与抛物线相交于P和Q两点，试证明PF=QF。
解析：根据抛物线的性质，我们知道焦点F是准线和抛物线的对称中心。
设准线与抛物线的交点分别为P'和Q'，通过找到对称性，可以得到解题思路。
首先，我们观察到PF和QF是准线和抛物线的两个交点所构成的线段，而且根据对称性，PF和QF是对准线和抛物线的对称的。
因此，我们可以通过证明P'F=Q'F来得出PF=QF。
接下来，我们来证明P'F=Q'F。
由于焦点F是准线和抛物线的交点，而PF'和QF'是准线和抛物线的交点，根据对称性可知，P'F=PF，Q'F=QF。
因此，P'F=PF=Q'F=QF，即PF=QF。
通过利用抛物线的对称性，我们简化了证明过程，得出了结论。
三、椭圆的对称性椭圆是一种平面曲线，其特点是两个焦点之间的距离之和为常数。
利用椭圆的对称性可以解决一些问题。
例题2：在椭圆x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1中，点A(a*sinθ, b*cosθ)在椭圆上，求点A关于x轴、y轴和原点的对称点坐标。
解析：根据椭圆的对称性，我们可以利用这个性质来简化求解过程。
构造同解方程妙解一类圆锥曲线问题
摘要：本文首先分析说明如何构造同解方程，然后通过实例给出了利用同解方程解决圆锥曲线问题的方法.关键词：构造；同解方程；圆锥曲线1从两圆公共弦所在的直线谈起在计算两圆公共弦长时，通常会引出两圆公共弦所在的直线方程，即已知圆O 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0与圆O 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0相交于A ,B 两点，则弦AB 所在的直线方程为(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +(F 1-F 2)=0.证明：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，因为A ,B 是圆O 1与圆O 2交点，则x 12+y 12+D 1x 1+E 1y 1+F 1=0，x 12+y 12+D 2x 1+E 2y 1+F 2=0，x 22+y 22+D 1x 2+E 1y 2+F 1=0，x 22+y 22+D 2x 2+E 2y 2+F 2=0，两式作差可得(D 1-D 2)x 1+(E 1-E 2)y 1+(F 1-F 2)=0，(D 1-D 2)x 2+(E 1-E 2)y 2+(F 1-F 2)=0，所以点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在直线(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +(F 1-F 2)=0上，因为过两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)有且只有一条直线，故弦AB 所在的直线方程为(D 1-D 2)x +(E 1-E 2)y +(F 1-F 2)=0.上述证明过程所采用的方法即为同解思想，主要通过A ,B 两点的几何地位等同建立代数形式一致的方程.恰当、巧妙地运用同解思想构造同解方程，能够使解析几何问题化“难”为“易”，下面举例说明.2同解方程的构造技巧2.1由点的同形位置引发同解例1已知椭圆x 22+y 2=1，求过点P (12,)12且被P 平分的弦所在的直线方程.解：设弦两端点分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆x 22+y 2=1上，代入椭圆方程得x 122+y 12=1，x 222+y 22=1.因为点P 为弦中点，所以x 1+x 2=1,y 1+y 2=1，则x 1=1-x 2,y 1=1-y 2，所以()1-x 222+()1-y 22=1，即æèçöø÷x 222+y 22+12-x 2-2y 2=0，又x 222+y 22=1，所以2x 2+4y 2-3=0，同理可得2x 1+4y 1-3=0.因为过两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)有且只有一条直线，所以过点P (12,12)且被P 平分的构造同解方程妙解一类圆锥曲线问题中央民族大学附属中学海南陵水分校侯军572400广东省汕头市澄海苏北中学卜大海515829··11弦所在的直线方程为2x +4y -3=0.评注：求中点弦问题的常规方法是点差法，这里考虑到A ,B 的几何位置对称，构造关于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点的同解方程求解.例2已知抛物线D :x 2=4y ，过x 轴上一点E （不同于原点）的直线l 与抛物线D 交于A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)两点，与y 轴交于点C .若 EA =λ1 EC ， EB =λ2 EC ，求λ1⋅λ2的值.解：设E (m ,0)，C (0,n )，所以EA =(x 1-m ,y 1), EC =(-m ,n )，因为 EA =λ1 EC ，所以ìíîx 1-m =-λ1my 1=λ1n ，则ìíîx 1=()1-λ1m y 1=λ1n，因为点A (x 1,y 1)在抛物线D 上，所以[]()1-λ1m 2=4λ1n ，整理得m 2λ21-(2m 2+4n )λ1+m 2=0；又 EB =λ2 EC ，同理可得m 2λ22-(2m 2+4n )λ2+m 2=0.故λ1，λ2是方程m 2λ2-(2m 2+4n )λ+m 2=0的两根，由韦达定理可得λ1⋅λ2=1.评注：本题常规方法是将λ1，λ2坐标化，将λ1⋅λ2表示成关于x 1+x 2，x 1⋅x 2的形式，再将直线AB 和抛物线联立进行求解.这里考虑到 EA =λ1 EC ， EB =λ2 EC ，可知A ,B 的几何地位等同，故选择A ,B 作为运算的基础点，构造关于λ1，λ2的一元二次方程求解.2.2由曲线的同形切线引发同解例3（2019年全国三卷理21）已知曲线C :y =12x 2，D 为直线y =-12上的动点，过D作C 的两条切线，切点分别为A ,B .证明：直线AB 过定点.解：设D (t ,-12)，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2),则x 12=2y 1.由于y ′=x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1+12x 1-t =x 1.整理得2tx 1-2y 1+1=0；同理可得2tx 2-2y 2+1=0.故直线AB 的方程为2tx -2y +1=0.若直线AB 过定点，则{-2y +1=0x =0，所以直线AB 过定点(0，12).评注：由题目所叙述“过点D 作曲线C的两条切线，切点分别为A ,B ”，可知切线DA ,DB 具有相同的几何特性，由此构造出一组关于A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)同解方程.例4已知椭圆x 29+y 24=1,若动点P (x 0,y 0)为椭圆外一点，且点P 到椭圆的两条切线互相垂直，求点P 的轨迹方程.解：若一条切线垂直于x 轴，则另一切线垂直于y 轴，则符合题意的点P 有(-3,-2)，(-3,2)，(3,2)，(3,-2)，若两条切线均不垂直于坐标轴，设切线方程为y -y 0=k (x -x 0),(x 0≠±3)，与椭圆联立得(9k 2+4)x 2+18k (y 0-kx 0)x +9[](y 0-kx 0)2-4=0，由题意可知Δ=0，即(y 0-kx 0)2-(9k 2+4)=0，整理得(x 02-9)k 2-2x 0y 0k +y 02-4=0，因为两切线互相垂直，所以k 1k 2=y 02-4x 02-9=-1，即x 02+y 02=13，所以点P 的轨迹方程为x 2+y 2=13.2.3由斜率和积的代数特征引发同解例5（2021八省联考第7题）已知抛物线y 2=2px 上三点A (2,2)，B ,C ,直线AB ,AC 是圆(x -2)2+y 2=1的两条切线，则直线BC 的方程为（）.A.x +2y +1=0B.3x +6y +4=0C.2x +6y +3=0D.x +3y +2=0解：设B (y 122,y 1)，C (y 222,y 2)，k BC =y 2-y 1y 222-y 122=2y 2+y 1，所以直线BC 的方程为y -y 1=2y 2+y 1(x -y 122)，整理得2x -()y 1+y 2y +y 1y 2=0（*）；同理可得，直线AB 的方程为2x -(y 1+2)y +2y 1=0，直线AC 的方程为2x -(y 2+··12图12)y +2y 2=0,因为直线AB ,AC 是圆(x -2)2+y 2=1的两条切线，所以4+2y =1，4+2y 1，整理得3y 12+12y 1+8=0，222=0,故y 1,y 2是方程3y 2+12y +8=0两根，所以y 1+y 2=-4,y 1y 2=83，代入（*）得直线BC 的方程为3x +6y +4=0.评注：本题中3y 12+12y 1+8=0，3y 22+12y 2+8=0,还可以通过y 12=2x 1和y 22=2x 2代换得6x 1+12y 1+8=0，6x 2+12y 2+8=0，进而可知BC 的方程为3x +6y +4=0.2.4由曲线的同形割线引发同解例6（2018年浙江卷21）如图1所示，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线C :y 2=4x 上存在不同的两点A ,B 满足PA ,PB 的中点均在抛物线C 上.设AB 的中点为M ,证明：PM 垂直于y 轴.解：设P (x 0,y 0)，A (y 124,y 1)，B (y 224,y 2)，因为PA ,PB 的中点在抛物线上，所以æèçöø÷y 1+y 022=4⋅y 124+x 02，æèçöø÷y 2+y 022=4⋅y 224+x 02，所以y 1,y 2是方程æèçöø÷y +y 022=4⋅y 24+x 02的两根，即方程y 2-2y 0y +8x 0-y 02=0的两根为y 1,y 2，所以y 1+y 2=2y 0，因此PM 垂直于y 轴.评注：PA ,PB 两条割线均为从y 轴左侧的点P 引出，交换A ,B 位置，不会改变题设，故割线PA ,PB 有相同的几何内涵，这里抓住了“PA ,PB 的中点在抛物线上”这一共性特征构造出关于y 1,y 2的同解方程.2.5由直线的同形垂线引发同解例7过抛物线C :y 2=4x 上一点Q (1,2)作两条直线QA ,QB ,分别与抛物线C 交于A ,B 两点，且点D (3,0)到直线QA ,QB 的距离均为m (0<m 2)，求线段AB 中点的横坐标的取值范围.解：易知直线QA ,QB 的斜率存在且不为0，设直线QA ,QB 的斜率分别为k 1,k 2，故直线QA 的方程为y =k 1(x -1)+2(k 1≠0)，点D 到直线QA 的距离d 1=2k +2m ，整理得(m 2-4)k 12-8k 1+m 2-4=0；同理可得(m 2-4)k 22-8k 2+m 2-4=0，所以k 1，k 2是方程(m 2-4)k 2-8k +m 2-4=0的两根，所以Δ=32m 2-4m 4>0，由韦达定理得k 1+k 2=8m 2-4，k 1⋅k 2=1.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由{y =k 1(x -1)+2y 2=4x得k 1y 2-4y -4k 1+8=0，所以Δ=16+16k 12-32k 1>0，由韦达定理得2y 1=8-4k 1k 1，所以y 1=4-2k 1k 1=4k 1-2=4k 2-2；同理可得y 2=4k 1-2，设线段AB 的中点为x 0=x 1+x 22=y 12+y 228=2(k 1+k 2)2-2(k 1+k 2)-3,设t =k 1+k 2，则t =8m 2-4∈[)-4,-2，x 0=2t 2-3,t ∈[)-4,-2，所以x 0∈(]9,37.评注：本题由“D (3,0)到直线QA ,QB 的距离均为m (0<m 2)”可构造同解方程得到k 1,k 2的和积关系，进而为后续求x 0的范围做铺垫.基金项目：本文是海南省十三五规划课题“基于数学核心素养的高中可视化教学的实践研究”的阶段性研究成果（课题编号：QJH201910099）.xMAPy OB ··13。
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圆锥曲线中的一类对称问题
大庆实验中学 郝明泉
圆锥曲线上存在两点关于直线对称问题是高考中的一类热点问题，该问题集直线与圆锥曲线位置关系，点与圆锥曲线的位置关系，中点弦，方程与不等式等数学知识于一体，经常在知识网络交汇处、思想方法的交汇线和能力层次的交叉区设置问题，一般问题的综合性较强，但难度不是很大，具有很好的选拔功能，对学生的知识和能力的考察情况也较好。
下面本文就这一类问题的解决方法，结合下面的例题，谈一下自己的看法。
例：已知椭圆22
:143
x y C +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线:4l y x m =+，椭圆C 上有不同的两点关于这条直线对称。
法一：利用判别式及韦达定理来求解
两点,A B 关于直线l 对称，对称中体现的两要点：垂直和两点连线中点在对称直线l 上，因此使用这种方法求解时,必须同时确保: ⑴垂直;⑵平分⑶存在,下面就说明三个确保的实施。
解:椭圆上存在两点,A B 关于直线:4l y x m =+对称
设直线AB 为:n x y +-=4
1 (确保垂直). 则直线AB 与椭圆有两个不同的交点
2222141381648014
3y x n x nx n x y ⎧=-+⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩ 2192(413)0b ∆=--> (确保存在)
即：22
n -<< ① 12881313
n n x x -+=-= ,A B 两点的中点的横坐标为
124,213x x n +=纵坐标为141241313n n n -⨯+= 则点412,1313n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
在直线:4l y x m =+上,12441313n n m =⨯+. (确保平分) 413
m n ⇒=-
把上式代入①中,
得：1313
m -<< 法二：点差法
点差法是解决中点弦问题的一种常见方法，对称问题符合点差法的应用条件，过程如下 解:设椭圆上关于l 对称的两点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，弦AB 的中点为00(,)M x y ，代入椭圆方程后作差，得
0121203144
x y y x x y -=-=-- ① 由点00(,)M x y 在直线:4l y x m =+上，得004y x m =+ ②
由①②解得00,3x m y m =-=-
因为点00(,)M x y 在椭圆的内部
所以 22
()(3)143
m m --+<
解得1313
m -<<
法三：利用根的分布求解
C 上存在不同的两点关于直线l 对称，等价于C 上存在被l 垂直平分的弦，即等价于C 的适合条件的弦所在的直线方程，与曲线C 的方程组成的方程组在某确定的区间上有两不同的解，因此可利用一元二次方程根的分布来求解，过程如下。
解：由解法二，知中点00(,)M x y 的坐标为(,3)m m --，
所以直线AB 的方程为11344m y x =-
- 代入椭圆方程整理得221326169480x mx m ++-=
此方程在[2,2]-上有两个不等实根
令22
()132616948f x x mx m =++-，则
0(2)0(2)0
22
f f m ∆>⎧⎪≥⎪⎨-≥⎪⎪-<-<⎩ 解得
1313m -<<
法四： 平行弦中点轨迹法
寻求有关弦中点轨迹，通过轨迹曲线与圆锥曲线的位置关系，利用数形结合寻求参量范围。
解：设椭圆上关于l 对称的两点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，弦AB 的中点为00(,)M x y ，将,A B 坐标代入椭圆方程后作差，得
0121203144
AB x y y k x x y -==-=-- 003y x = 所以以14
-为斜率的平行弦的中点轨迹是直线3y x =在椭圆内的一段，不包括端点。
将3y x =与椭圆22
:143
x y C +=
联立得两交点(P Q 所以问题可以转化为直线:4l y x m =+与线段3y x =
(x ∈有交点。
易得m
的取值范围是1313
m -<< 以上方法在处理其它圆锥曲线时同样适用，但在处理非封闭曲线时，应注意对是否存在的验证。
以上是笔者对这类问题的一点拙见，方法总结未必全面，希望能给各位读者带来帮助，也希望各位读者批评指正。