毕奥-萨伐尔定律及其应用

sin d
0 I
4a
(cos1
cos2 )
若导线长度远大于点P到直导线的垂直距离（L a），则导 线可视为无限长。此时，θ1＝0 ， θ2＝π，P点的磁感应强度为
B 0I
a
上式表明，无限长载流直导线周围的磁场 B 1/ a。这一正 比关系与毕奥－萨伐尔的早期实验结果是一致的。
【例8-2】设在半径为R的圆形线圈上通有电流I，求载流圆 形线圈轴线上一点P的磁感应强度。
有电流元在P点的磁感应强度B的方向 都相同，所以P点的磁感应强度的大小 等于各电流元在P点产生的dB的大小 之和，即
B dB 0 Idl sin
L
L 4 r2
由上图所示可知有以下几何关系
r a
sin( )
l a cos( )
r a
sin
dl
a
sin2
d
于是可得
B
2 1
0 I
4a
但是应当注意的是，磁感应强度是矢量，上式的积分是
矢量积分。在进行具体积分运算时，要首先分析载流导线上 各电流元所产生的磁场dB的方向，若各个dB的方向不同，则 应先求出dB沿3个坐标轴的分量dBx、dBy、dBz，然后对其分 量进行积分，即
Bx L dBx
By L dBy
Bz L dBz
B
dBx
dB sin
0 Idl
4r 2
r
40IrR3 dl
设P点的坐标为（x，0，0），则
所以
r R2 x2
B
0 IR
dl
0 IR
2R 0IR2
4 R2 x2 3/2
4 R2 x2 3/2
2 R2 x2 3/2
B与电流的绕行方向符合右手螺旋法则，即用右手四指表
示电流的流向，大拇指所指的方向就是磁场的方向。
物理学
毕奥－萨伐尔定律及其应用
1.1 毕奥－萨伐尔定律
1820年，法国物理学家毕奥和萨伐尔通过实验得到了长直 载流导线周围磁场与电流的定量关系。在此基础上，数学家拉 普拉斯将毕奥和萨伐尔的实验结果归纳成数学公式，总结出电 流元产生磁场的基本规律——毕奥－萨伐尔定律。
毕奥–萨伐尔定律指出：电流元Idl在真空中某点P所产生 的磁感应强度dB的大小，与电流元的大小Idl成正比，与电流 元和从电流元到P点的矢径r之间的夹角的正弦成正比，与电流 元到点P的距离r的平方成反比，即
B＝B1＋B2＋B3＋B4 由于点O在导线1和导线3的延长线上，因此
B1＝B3＝0 由于导线2为四分之一圆弧，所以由式（8-8）可得
B2
1 0I
4 2R
0 I
8R
B2的方向为垂直纸面向外。
由于导线4为半无限长载流直导线，所以由式（8-6）可得
B4
1 2
0 I
22R
0 I
8R
B4的方向为垂直纸面向外。 所以O点的磁感应强度为
B
B2
B4
0 I
8R
0 I
8R
0 I
8R
(1
1)
B的方向为垂直纸面向外。
物理学
通过前面的三个例子，我们可以总结出几种常用的磁感应 强度公式，如下表所示。
上表所示公式可以直接应用，这样可以简化求解步骤，如 下例所示。
【例8-4】一无限长载流直导线被弯成如下图所示图形，其 中点O在导线1和导线3的延长线上，求O点的磁感应强度。
【解】点O的磁感应强度是由4根载流导线在该点产生的磁 感应强度的矢量和，即
dB 0 Idl sin
4 r2
上式中，μ0称为真空导电率，其值为μ0＝4π×10–7N·A–2磁感 应强度dB的方向垂直于Idl和r所组成的平面，并沿Idl×r的方向。 即当右手弯曲，四指从Idl方向沿小于π的角转向r时，伸直的大 拇指所指的方向为dB的方向。也就是说，dB、Idl、r这3个矢量 的方向符合右手螺旋法则，如下图所示。因此，可将上式写成
B 0nI
上式说明，均匀密绕长直螺线管轴线上的磁场与场点无关， 表明在整个螺线管内部的空间磁场都是均匀的，其磁感应强度 大小为μ0nI，方向沿x轴正向。
（2）在半无限长螺线管的一端，β1＝π/2 ， β2＝0 ，或β1 ＝π， β2＝π/2 。无论哪种情况都有
B
1 2
0nI
上式说明，在半无限长螺旋线管端点轴线上磁感应强度是 内部磁感应强度的一半。
dB
0 R 2dI
2(R2 l 2 )3/2
0 R 2 nIdl
2(R2 l 2 )3/2
dB的方向沿轴线向右，与电流的绕向成右手螺旋关系。
由于各小段螺线管在P点产生的磁场方向向右，所以P点 的总磁场B的大小为
B dB 0R2nIdl
2(R2 l 2 )3/2
为了便于积分，我们引入参变量β角，它的几何意义如上图 所示。由图可知
l R cot R2 l2 R2 csc2 dl R csc2 d
将上式代入积分式得
B
0R2nI (R) csc2 d 0nI
2R3 csc3
2
1 sin d
2
0nI
2
(cos 2
cos 1)
B的方向沿x轴正向。
下面考虑两种特殊情形： （1）无限长螺线管，β1＝π ，β2＝0 ，由上式可得：
【解】如下图所示，在载流线圈上任取一电流元Idl，它在P 点产生的dB的大小为
dB
0Idl sin
0 Idl
4r 2
4r 2
dB的方向垂直于dl与r（为由电流元dl到P点的矢径）组成 的平面。由于电流分布对y轴是对称的，在通过A点的直径的另 一端A′处取一长度一样的电流元，它产生的磁场dB′与dB合成后， 在z轴方向的分量将相互抵消。对于整个线圈来说，由于每条直 径两端的电流元产生的磁场在z轴方向的分量都成对抵消，所以 合磁场B将沿x轴方向，因此P点的总磁场大小为
【例8-3】设长直螺线管长为L，半径为R，线圈管总匝数 为N，单位长度匝数为n＝N/l，求轴线上任意一点P的磁感应强 度。
【解】若线圈是密绕的，则可将螺线管近似看成是由许多
圆线圈并排起来组成的。轴线上任意一点P的磁场便是各匝载流
圆线圈在该点产生的磁场的叠加。
如下图所示，在螺线管上距 P点l处任取长为dl的一小段，将 它视为一个载流圆线圈，其电流 为dI＝nIdl，应用圆线圈磁场公 式，可得这一小段螺线管在P点 产生的磁感应强度dB的大小为
矢量形式为
dB
0
4
Idl er r2
整个载流导线在空间某点P的磁 感应强度B，等于导线上所有电流元 在该点所产生的磁感应强度dB的矢量 和，即
B
dB
L
0 Idl er
L 4 r2
1.2 毕奥－萨伐尔定律的应用
从上式可以看出，应用毕奥－萨伐尔定律的主要方法还
是微元积分法，其步骤与用微元积分法求场强的步骤类似， 这里不再重复。
在载流线圈的中心O处（x＝0）的磁感应强度的大小为
B 0I
2R
若x R，即场点P在远离原点O的x轴上，则 R2 x2 3/2 x3
由式（8-7）可得
B
0 IR 2
2x3
由于线圈电流的面积为S ＝πR2，于是上式可写成
B
0 IS
2x3
在此，我们引入磁矩m来描述载流线圈的性质。定义m＝IS ＝ISen，en是圆电流平面的正法线单位矢量，它与电流I的流向遵 守右手螺旋定则。在国际单位制中，磁矩的单位为安·米2 （A·m2）。
【例8-1】设长为L的直导线通有电流I，求距离导线的距离 为a处一点P的磁感应强度。
【解】如下图所示，在直导线上任取一电流元Idl，它到点P 的失径为r，根据毕奥－萨伐尔定律，该电流元在点P处产生的 磁感应强度dB的大小为
dB
0
4
Idl sin
r2
磁感应强度dB的方向垂直于纸面 向里，图中用 表示。由于直导线上所