初中三角函数知识点 题型总结 课后练习

锐角三角函数知识点
1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4
5 锐角三角函数题型训练
类型一：直角三角形求值
1．已知Rt △ABC 中，,12,4
3tan ,90==︒=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．
2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，⋅=∠4
3sin AOC
求：AB 及OC 的长．
3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，⋅=∠5
3sin AOC
(1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4.已知A ∠是锐角，17
8
sin =
A ，求A cos ，A tan 的值 类型二. 利用角度转化求值：
1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点．
DE ∶AE ＝1∶2．
求：sin B 、cos B 、tan B ．
2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，
10BC =,则tan EFC ∠的值为 ( )
Ａ．3
4 Ｂ．43
Ｃ．35
Ｄ．45
3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 为AC 上一点，若
1tan 5
DBA ∠=
，则AD 的长为( )A ．2 B ．2 C ．1 D ．22 4. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD =
3
3
16求∠B 的度数及边BC 、AB 的长.
类型三. 化斜三角形为直角三角形
例1 （2012?安徽）如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．
例2．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，⋅=3
1sin A (1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ．
例3．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5．
D
A
B
C
求：sin ∠ABC 的值．
对应训练
1．（2012?重庆）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）
2．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ． 类型四：利用网格构造直角三角形
例1 （2012?内江）如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为（ ） A ．12
B ．55
C ．1010
D ．255
对应练习：
1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______.
特殊角的三角函数值
例1．求下列各式的值
︒-︒+︒30cos 245sin 60tan 2=. 计算：3－1
+(2π－1)0
－
3
3
tan30°－
tan45°=
30tan 2345sin 60cos 221
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛︒-︒+︒+= ︒-︒+︒60tan 45sin 230cos 2
tan 45sin 301cos 60︒+︒
-︒
=
在ABC ∆中，若0)2
2(sin 21cos 2
=-+-
B A ，B A ∠∠，都是锐角，求
C ∠的度数. 例2．求适合下列条件的锐角??．
(1)2
1cos =α (2)33tan =α (3)22
2sin =α
(4)3
3)16cos(6=-οα
（5）已知??为锐角，且3)30tan(0=+α，求αtan 的值
（6）在ABC ∆中，若0)2
2(sin 21cos 2
=-+-B A ，B A ∠∠，都是锐角，求C ∠的度数.
例3. 三角函数的增减性
1．已知∠A 为锐角，且sin A <
2
1
，那么∠A 的取值范围是 A. 0°< A < 30° B. 30°< A ＜60° C. 60°< A < 90° D. 30°< A < 90°
2.已知
A 为锐角，且030sin cos <A ，则 （ ）
A. 0°< A < 60°
B. 30°< A < 60°
C. 60°< A < 90°
D. 30°< A < 90° 例4. 三角函数在几何中的应用
1．已知：如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，BE ＝16cm ，⋅=
13
12
sin A 求此菱形的周长．
2．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，3==BC AC ，作∠DAC ＝30°，AD 交
CB 于D 点，求：
(1)∠BAD ；
(2)sin ∠BAD 、cos ∠BAD 和tan ∠BAD ．
3. 已知：如图△ABC 中，D 为BC 中点，且∠BAD ＝90°，3
1tan =∠B ，求：sin ∠CAD 、cos ∠CAD 、tan ∠CAD ．
解直角三角形：
1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)： 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，
①三边之间的等量关系：________________________________．
②两锐角之间的关系：__________________________________． ③边与角之间的关系：
==B A cos sin ______；==B A sin cos _______；==
B
A tan 1
tan _____；==B A
tan tan 1
______． ④直角三角形中成比例的线段(如图所示)． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ．
CD 2＝_________；AC 2＝_________； BC 2＝_________；AC ·BC ＝_________．
类型一
例1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°．
(1)已知：a ＝35，235=c ，求∠A 、∠B ，b ；(2)已知：32=a ，2=b ，求∠A 、∠B ，c ； (3)已知：32sin =
A ，6=c ，求a 、b ；(4)已知：,9,2
3
tan ==b B 求a 、c ； (5)已知：∠A ＝60°，△ABC 的面积,312=S 求a 、b 、c 及∠B ．
例2．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝60°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．
例3．已知：如图，Rt △ABC 中，∠D ＝90°，∠B ＝45°，∠ACD ＝60°．BC ＝10cm ．求
AD 的长．
例4．已知：如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，AC ＝10cm ．求AB 及BC 的长．
类型二：解直角三角形的实际应用 仰角与俯角：
例1．（2012?福州）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气
球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ）
A ． 200米
B ． 200米
C ． 220米
D ． 100（）米
例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D 点．已知∠BAC ＝60°，∠DAE ＝45°．点D 到地面的垂直距离m 23=DE ，求点B 到地面的垂直距离BC ． 例3（昌平）19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD =30m ． 从水平面上一点C 测得风力发电装置的顶端A 的仰角∠DCA =60°， 测得山顶B 的仰角∠DCB =30°，求风力发电装置的高AB 的长． 例4 .如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为1.7米，
求这棵树的高度.
例5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A 处测得河对岸点C 的
俯角为30°，测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽CD 为50m ．现需从山顶A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆绳AC ，求山的高度及缆绳AC 的长(答案可带根号)．
例5．（2012?泰安）如图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为（ ）
A ． 10米
B ． 10米
C ． 20米
D ． 米 例6．（2012?益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A 处，离益阳大道的距离（AC ）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B 处行驶到C 处所用的时间为8秒，∠BAC=75°． （1）求B 、C 两点的距离；
（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？
（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，
A
B
C
D E
tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒） 类型四. 坡度与坡角
例．（2012?广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤坝高BC=50m ，则应水坡面AB 的长度是（ ）
A ．100m
B ．1003m
C ．150m
D ．503m 类型五. 方位角
1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A 处测得灯塔M 在北偏西30°，
货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔M 在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M 之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，732.13≈) 综合题：
三角函数与四边形：
（西城二模）1．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2， tan∠BDC=
6
3
． (1) 求BD 的长； (2) 求AD 的长．
（2011东一）2．如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 分别作AE ⊥BC 于点E ，AF ⊥CD 于点F ．
（1）求证：∠BAE =∠DAF ； 的长．
（2）若AE =4，AF =245，3
sin 5
BAE ∠=，求CF 三角函数与圆：
1． 如图，直径为10的⊙A 经过点(05)C ，
和点(00)O ，，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y 轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC 的值为（ ）
D C B A O
y
x
第8题图
C
B A
A ．12 B
．
C ．35
D ．45 （延庆）19. 已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC
D,
(1) 求证：∠AOD=2∠C
(2) 若AD=8，tanC=3
4
，求⊙O 的半径。

（2013朝阳期末）21.如图，DE 是⊙O 的直径，CE 与⊙O 相切，E 为切点.连接CD 交⊙O 于点B ，在EC 上取一个点F ，使EF=BF.
（1）求证:BF 是⊙O 的切线;
（2）若5
4C cos =, DE =9，求BF 的长． 作业：
（昌平）1．已知2
1sin =A ，则锐角A 的度数是
A ．75︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．30︒ （西城北）2．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB tan A 的值为
A C ．12
D ．2 (房山)3．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5
3
，那么tan A 的值等于（ ）.
A ．35
B . 45
C . 34
D . 43
(大兴)4. 若sin α=
3
2
，则锐角α＝ . (石景山)1．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC =2， 则tan B 的值是
A ．2
3
B ．32
C D ．
（丰台）5．将∠α放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tan α的值是 A ．2
1
B ．2
C ．
2
5
D ．552
(大兴)5. △ABC 在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin α的值是A
α
A. 35
B. 34
C. 43
D. 45
(通县)4．如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，40B ∠=o ，
则直角边BC 的长是（ ） A ．sin 40m o
B ．cos 40m o
C ．tan 40m o
D ．
tan 40
m
o
（通州期末））1．如图，已知P 是射线OB 上的任意一点，PM ⊥OA 于M ，
且OM : OP =4 : 5，则cos α的值等于（ ）
A ．34
B ．43
C ．4
5
D ．35
（西城）6．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，若OB 长为10，
3
cos 5
BOD ∠=， 则AB 的长是（ ) A . 20 B. 16 C.
12 D. 8
7.在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果cosA=5
4
，那么tanA 的值是 A ．53 B ．35 C ．43 D ．3
4
11．如图，在△ABC 中，∠ACB =∠ADC= 90°，若sin A =35
，则cos ∠BCD 的值
为 ．
13.
计算：
︒
-︒+︒60tan 45sin 230cos 2 13．计算
︒+︒-︒-︒45tan 30tan 345cos 260sin 2.
13．计算：22604cos 30+sin 45tan 60-⋅o o o o ．
14.如图，小聪用一块有一个锐角为30︒的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距33米，小聪身高AB 为1.7米，求这棵树的高度. 15．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a=6
4
，b=2
12
.解这个直角三角形
20. 如图，在Rt △ABC 中，∠CAB =90°，AD 是∠CAB 的平分线，tan B =2
1
，求CD
BD
的值．
D
C
B
A
第1题图
O P B
A
α
（延庆）19. 已知：在⊙O 中,AB 是直径，CB 是⊙O 的切线，连接AC 与⊙O 交于点D,
(3) 求证：∠AOD=2∠C
(4) 若AD=8，tanC=3
4，求⊙O 的半径。

（延庆期末）19．如图，某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端 B 处的俯角为30︒，荷塘另一端D 处C 、B 在 同一条直线上，已知32AC =米，16CD =米， 求荷塘宽BD 为多少米？（结果保留根号）
18.（6分）如图，在△ABC 中，点O 在AB 上，以O 为圆心的圆 经过A ，C 两点，交AB 于点D ，已知2∠A +∠B =90︒． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；
（2）若OA =6，BC =8，求BD 的长．
（西城）15．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 在AC 边上．若DB =6，AD =12
CD ，sin ∠CBD =23
，求AD 的长和tan A 的值．
18．如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A 处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P 的北偏东30°方向上的B 处.
（1）B 处距离灯塔P 有多远？ （2）圆形暗礁区域的圆心位于PB 的延长线上，距离灯塔200知圆形暗礁区域的半径为50险．请判断若海轮到达B 22．已知，如图，在△ADC 中，90ADC ∠=︒，以DC 为直径作半圆于点F ，点B 在CD 的延长线上，连接BF ，交AD 于点E ，2BED ∠=（1）求证：BF 是O e 的切线； （2）若BF FC =，3AE =
，求O e 的半径．
15．如图，为了测量楼AB 的高度，小明在点C 处测
D O C
B
A D A C
B
F
E
得楼AB 的顶端A 的仰角为30o ，又向前走了20米后到达点D ，点B 、D 、C 在同一条直线上，并在点D 测得楼AB 的顶端A 的仰角为60o ，求楼AB 的高．
14.（2009·眉山中考）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见
灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C 处的距离。

15.（2009·常德中考）如图，某人在D 处测得山顶C 的仰角为30o ，向前走200
米来到山脚A 处，测得山坡AC 的坡度为i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，3 1.73≈，结果保留整数）． 16.（2008·广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45o 降为30o ，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）
（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。

(参考数据：2 1.414,3 1.732,6 2.449=== )
18. 在一次数学活动课上，海桂学校初三数学老师带领学生去测万泉河河宽，如图13所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45︒的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．
（参考数值：tan31°≈53，sin31°≈21）
． 图13。