专题10 平面向量(理科)(解析版)-十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编
平面向量
目录
题型一：平面向量的概念及线性运算.......................................................1题型二：平面向量的基本定理....................................................................3题型三：平面向量的坐标运算....................................................................9题型四：平面向量中的平行与垂直.........................................................13题型五：平面向量的数量积与夹角问题.................................................14题型六：平面向量的模长问题..................................................................32题型七：平面向量的综合应用 (37)
题型一：平面向量的概念及线性运算
一、选择题
1．(2021年高考浙江卷·第3题)已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =
”的
()
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
【答案】B
解析:若a c b c ⋅=⋅ ，则()
0a b c -⋅=r r r ，推不出a b = ；若a b = ，则a c b c ⋅=⋅ 必成立，故“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =
”
的必要不充分条件,故选B ．
2．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学(海南)·第3题)在ABC 中，D 是AB 边上的中点，则CB
=
()
A ．2CD CA
+ B ．2CD CA - C ．2CD CA - D ．2CD CA
+ 【答案】C
解析：()
222CB CA AB CA AD CA CD CA CD CA
-=+=+=+-= 3．(2022新高考全国I 卷·第3题)在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==
，，
则CB
=(
)
A ．32m n -
B ．23m n
-+
C ．32m n
+
D ．23m n
+
【答案】B
解析：因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =
，即()
2CD CB CA CD -=- ，
所以CB =3232CD CA n m -=-
23m n =-+
．
故选：B ．
4．(2019·上海·第13题)已知直线方程02=+-c y x 的一个方向向量d 可以是(
)
A.)
1,2(-B ．
)1,2(C ．)2,1(-D ．)
2,1(【答案】D
【解析】依题意：)1,2(-为直线的一个法向量，∴方向向量为)2,1(，选D .
【点评】本题主要考查直线的方向量．
5．(2019·全国Ⅰ·理·第4题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为
512(51
0.6182
≈，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51
2
．若某人满足上述两个黄金
分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是(
)
A ．165cm
B ．175cm
C ．185cm
D ．190cm
【答案】答案：B
解析：如图，0.618,0.618,0.618c a
a b c d d b
==∴==，26c <，则42.070.618c d =<，68.07a c d =+<，110.150.618
a
b =<，
所以身高178.22h a b =+<，
又105b >，所以0.61864.89a b =>，身高64.89105169.89h a b =+>+=，故(169.89,178.22)h ∈，故选B ．
二、填空题
1．(2020北京高考·第13题)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1()2
AP AB AC =+ ，则||PD = _________；
PB PD =
_________．
【答案】(1)．(2)．1
-【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点()0,0A 、()2,0B 、()2,2C 、()0,2D ，()
()()()111
2,02,22,1222
AP AB AC =+=+= ，
则点()2,1P ，()2,1PD ∴=- ，()0,1PB =-
，
因此，
PD =
()021(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-
；1-．2．(2014高考数学北京理科·第10题)已知向量a 、b 满足|a |=1,b =(2,1),且0a b λ+=
(R λ∈),则||
λ=
．
【答案】5
解析：∵0a b λ+= ，∴a b λ=-
，b a
λ∴==
3．(2015高考数学新课标2理科·第13题)设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b +
平行，则实数
λ=_________．
【答案】
1
2
解析：因为向量a b λ+ 与2a b + 平行，所以2a b k a b λ+=+ （）
，则12,
k k λ=⎧⎨=⎩，所以1
2λ=．题型二：平面向量的基本定理
一、选择题
1．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第6题)在ABC ∆中,AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =
()
A ．3144
AB AC
-
B ．1344AB AC
-
C ．3144AB AC
+
D ．1344
AB AC
+
【答案】A
解析：在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，
()
11312244
EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=-
，故选A ．
2．(2014高考数学福建理科·第8题)在下列向量组中，可以把向量)2,3(=a
表示出来的是
()
A ．)2,1(),0,0(21==e e
B ．)
2,5(),2,1(21-=-=e e C ．)10,6(),5,3(21==e e D ．)
3,2(),3,2(21-=-=e e 【答案】B
解析：根据12a e e λμ=+ ，
选项A ：()()()3,20,01,2λμ=+，则3μ=，22μ=，无解，故选项A 不能；
选项B ：()()()3,21,25,2λμ=-+-，则35λμ=-+，222λμ=-，解得，2λ=，1μ=，故选项B 能．
选项C ：()()()3,23,56,10λμ=+，则336λμ=+，2510λμ=+，无解，故选项C 不能．
选项D ：()()()3,22,32,3λμ=-+-，则322λμ=-，233λμ=-+，无解，故选项D 不能．故选：B ．
3．(2015高考数学新课标1理科·第7题)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =
，则
()
A ．1433
AD AB AC
=-+
B ．1433
AD AB AC
=-
C ．4133
AD AB AC
=+
D ．4133
AD AB AC
=-
【答案】A
解析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+
=+-=
=1433
AB AC -+
，故选A ．
4．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第12题)在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆
心且与BD 相切的圆上，若AP AB AD λμ=+
，则λμ+的最大值为()
A ．3
B ．
C
D ．2
【答案】A
【解析】法一：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如下图
则()0,0A ，()1,0B ，()0,2D ，()1,2C ，连结BD ，过点C 作CE BD ⊥于点E
在Rt BDC ∆中，有BD =
=11
22
ACD S BC CD BD CE =⨯⨯=⨯⨯△即112512225CE CE ⨯⨯=⇒=
所以圆C 的方程为()()2
2
4125
x y -+-=
可设25251cos ,2sin 55P θθ⎛⎫++ ⎪ ⎪
⎝⎭
由AP AB AD λμ=+ 可得()2525
1cos ,2,255θθλμ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭
所以1cos 5
1sin 5λθμθ
⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，所以2cos sin 55λμθθ+=++()2sin θϕ=++
其中sin 5ϕ=
，cos 5
ϕ=所以λμ+的最大值为3，故选A ．
法二：通过点C 作CE BD ⊥于E 点，由1AB =，2AD =
，可求得BD ==又由11
22
ACD S CD CB BD CE =
⨯⨯=⨯⨯△，可求得255CE =
由等和线定理可知，当点P 的切线(即FH )与DB 平行时，λμ+
取得最大值
又点A 到BD 的距离与点C 到直线BD 的距离相等，均为
255
而此时点A 到直线FH 的距离为
25252565
225555
r +=+⨯=所以
65
5325
5
AF
AB ==，所以λμ+的最大值为3，故选A ．另一种表达：如图，由“等和线”相关知识知，当P 点在如图所示位置时，λμ+最大，且此时若
AG x AB y AD =+
，则有x y λμ+=+，由三角形全等可得2AD DF FG ===，知3,0x y ==，
所以选A
．
法三：如图，建立平面直角坐标系
设()()()()0,1,0,0,2,1,,A B D P x y
根据等面积公式可得圆的半径是
，即圆的方程是()2
2
425x y -+=
()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-= ，若满足AP AB AD
λμ=+ 即21x y μ
λ
=⎧⎨
-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12x y λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，
点(),P x y 在圆()2
2
425x y -+=
上，所以圆心到直线的距离d r ≤，
≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．法四：由题意，画出右图．
设BD 与C 切于点E ，连接CE ．以A 为原点，AD 为x 轴正半轴，AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系
则C 点坐标为(2,1)．∵||1CD =，||2BC =
．∴BD ==．BD 切C 于点E ．∴
CE
⊥
BD
．∴
CE
是
Rt BCD
△中斜边
BD
上的
高．1
2||||
22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅=
===△即C
．∵P 在C 上．∴P 点的轨迹方程为224
(2)(1)5
x y -+-=．设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P
点坐标满足的参数方程如下：0021x y θθ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
而00(,)AP x y = ，(0,1)AB = ，(2,0)AD =
．∵(0,1)(2,0)(2,)
AP AB AD λμλμμλ=+=+=
∴011cos 25
x μθ=
=+
，01y λθ==+．
两式相加得：
115
2)2sin()3λμθθθϕθϕ+=+
++=++=++≤(其中5sin 5ϕ=，25cos 5
ϕ=)当且仅当π
2π2
k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．二、填空题
1．(2023年天津卷·第14题)在ABC 中，60A ∠= ，1BC =，点D 为AB 的中点，点E 为CD 的中点，
若设,AB a AC b == ，则AE 可用,a b
表示为_________；若13
BF BC = ，则AE AF ⋅ 的最大值为
_________．
【答案】①．1142
a b + ②．
13
24
解析：空1：因为E 为CD 的中点，则0ED EC += ，可得AE ED AD
AE EC AC
⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
，
两式相加，可得到2AE AD AC =+
，即122AE a b =+ ，则1142
AE a b =+ ；
空2：因为13BF BC = ，则20FB FC += ，可得AF FC AC
AF FB AB
⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ，
得到()
22AF FC AF FB AC AB +++=+ ，
即32AF a b =+
，即2133
AF a b =+ ．
于是()
22
112112524
23312a b a F b a AE A a b b ⎛⎫⎛⎫+⋅+=
+⋅+ ⎪ ⎪⎝⋅=⎭⎝⎭ ．记,AB x AC y ==，
则()
()222222111525225cos 602221212122A x xy a a b b xy y x y E AF ⎛⎫+⋅+=++=++ ⎪⋅⎝⎭
= ，在ABC 中，根据余弦定理：222222cos 601BC x y xy x y xy =+-=+-= ，
于是1519222122122AE xy x xy AF y ⎛⎫⎛⎫
++=+ ⎪
⎪⎝⎭=⎝⎭
⋅ ，由221+-=x y xy 和基本不等式，2212x y xy xy xy xy +-=≥-=，故1xy ≤，当且仅当1x y ==取得等号，则1x y ==时，AE AF ⋅
有最大值
13
24
．故答案为：1142a b + ；13
24
．
2．(2015高考数学北京理科·第13题)在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC = ，BN NC =
．若
MN x AB y AC =+
，则x =
；y =．【答案】
11
,26
-解析：特殊化，不妨设,4,3AC AB AB AC ⊥==，利用坐标法，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为
y
轴
，
建
立
直
角
坐
标
系
，
3
(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,)2
A M C
B N ，
1(2,),(4,0),2
MN AB =-=
(0,3)
AC = ，则1
(2,(4,0)(0,3)
2
x y -=+，111
42,3,,226
x y x y ==-∴==-
．
3．(2017年高考数学江苏文理科·第12题)如图,在同一个平面内,向量OA ,OB ,OC 的模分别为
,OA 与
OC 的夹角为α,且tan α=7,OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+ (,)m n ∈R ,则m n +=______．
【答案】3
解析:由tan 7α=可得72sin 10α=,2
cos 10
α=,根据向量的分解,易
得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪
⎨
︒-=⎪⎩
,
即22
2102720210
n m n +=⎪⎪-=⎪⎩
,即510
570
n m n m +=⎧⎨-=⎩,即得57,44m n ==,所以3m n +=．
题型三：平面向量的坐标运算
一、选择题
1．(2023年北京卷·第3题)已知向量a b ，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= (
)
α
A C
B
O
(第12题)
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．1
【答案】B
解析：向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-
，
所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-
．
故选：B
2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·第3题)已知向量()()1,1,1,1a b ==-
，若()()
a b a b λμ+⊥+ ，则(
)
A ．1λμ+=
B ．1λμ+=-
C ．1λμ=
D ．1
λμ=-【答案】D
解析：因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，
()1,1a b μμμ+=+- ，由()()a b a b λμ+⊥+ 可得，()()
0a b a b λμ+⋅+=
，
即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．
3．(2014高考数学重庆理科·第4题)已知向量)1,2(),4,1(),3,(===c b k a ，且(23)a b c -⊥
,则实数k =
(
)
A ．92
-
B ．0
C ．3
D ．
152
【答案】C
解析：(23)a b c -⊥ (23)0a b c ⇒-= 230a c b c ⇒-= 2(23)360 3.
k k ⇒+-⨯=⇒=C ．13r R ≤<<D ．13r R
<<<【答案】A
解析：因为||||1a b == ，且0a b ⋅= ，设(1,0)a = ，(0,1)b =
，
则由)OQ a b =+
得Q 曲线C:设(,)P x y ，则(1,0)cos (0,1)sin (cos ,sin )OP θθθθ=+=
，02θπ≤<，则
cos ,
(02)sin x y θθπθ
=⎧≤<⎨
=⎩，表示以(0,0)为圆心，1为半径的圆；区域Ω：设(,)P x y ，则由||r PQ R ≤≤
，则有：2
222(2)(2)r x y R ≤-+-≤，
表示以(2,2)为圆心，分别以r 和R 为半径的同心圆的圆环形区域(如图)，
若使得C Ω 是两段分离的曲线，则由图像可知：13r R <<<，故选A ．
5．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第3题)已知向量13(,)22BA = ,31
(,)22
BC = ,则ABC ∠=
()
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．120︒
【答案】A
【解析】由题意,得133132222cos 112BA BC ABC BA BC +⋅∠==
=⨯⋅ ,所以30ABC ∠=︒,故选A.6．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第3题)已知向量(1,)(3,2)a m b =- ，=，且()a b b ⊥
+，则m =(
)
A ．8
-B ．6
-C ．6
D ．8
【答案】D
【解析】由()a b b ⊥ +可得：()0a b b +=，所以2
0a b b += ，又(1,)(3,2)
a m
b =- ，=所以
22
32+(3(2))0m -+-=，所以8m =，故选D ．二、填空题
1．(2021年高考全国乙卷理科·第14题)已知向量()()1,3,3,4a b == ，
若()a b b λ-⊥
，则λ=__________．【答案】
35
解析：因为()()()1,33,413,34a b λλλλ-=-=--
，所以由()
a b b λ-⊥ 可得，
()()3134340λλ-+-=，解得3
5
λ=．
故答案为：
35
．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()1122,,,a x y b x y ==
，121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
2．(2020江苏高考·第13题)在ABC ∆中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得
9AP =，若3()2
PA mPB m PC =+-
(m 为常数)，则CD 的长度是________
．
【答案】
185
【解析】,,A D P 三点共线，∴可设()0PA PD λλ=> ，32PA mPB m PC ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭
，
32PD mPB m PC λ⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭
，即32m m PD PB PC λλ
⎛⎫- ⎪⎝⎭=+ ，若0m ≠且32m ≠，则,,B D C 三点共线，321m m λλ
⎛⎫
- ⎪⎝⎭∴+=，即32
λ=，9AP = ，3AD ∴=，4AB = ,3AC =,90BAC ∠=︒，5BC ∴=，
设CD x =，CDA θ∠=，则5BD x =-，BDA πθ∠=-．
∴根据余弦定理可得222cos 26AD CD AC x
AD CD θ+-==，()()()2
22257cos 265x AD BD AB AD BD x πθ--+--==⋅-，
()cos cos 0θπθ+-= ，()()2
57
0665x x x --∴+=-，解得185x =，CD ∴的长度为185．
当0m =时，32
PA PC =
，,C D 重合，此时CD 的长度为0，
当32m =
时，32PA PB = ，,B D 重合，此时12PA =，不合题意，舍去．故答案为：0或18
5
．
3．设向量a 与b 的夹角为θ，(33)a = ，，2(11)b a -=-
，，则cos θ=
．
【答案】
10解：设向量a 与b 的夹角为,θ且(3,3),2(1,1),a b a =-=- ∴(1,2)b =
，
则cos θ
=||||a b a b ⋅==
⋅
31010。

4．(2015高考数学江苏文理·第6题)已知向量(2,1)a =，(1,2)b =-,若(9,8)m n +=-a b (,m n R ∈),则
m n -的值为_______．
【答案】3
-
解析：由题意得：29,282,5, 3.
m n m n m n m n +=-=-⇒==-=-5．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第13题)设向量(),1a m = ，()1,2b =
，且222a b a b +=+ ，则
m =
．
【答案】2m =-【解析】由已知得：()
1,3a b m +=+
∴()222
222222
13112a b a b m m +=+⇔++=+++ ，解得2m =-．
题型四：平面向量中的平行与垂直
一、选择题
1．(2018年高考数学北京（理）·第6题)设a ，b 均为单位向量，则“33a b a b -=+ ”是“a b ⊥
的
(
)
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
解析：33a b a b -=+ 等号两边分别平方得：22226996a a b b a a b b -⋅+=+⋅+ ，因为2
21a b == ，
所以0a b ⋅= ，与a b ⊥
等价，故选C ．
2．(2016高考数学山东理科·第8题)已知非零向量,m n 满足4||3||m n = ，1cos ,3
m n <>=
．若
()n tm n ⊥+
，则实数t 的值为
()A ．4B ．4
-C ．
9
4
D ．–
94
【答案】B
【解析】由43m n = ，可设3,4(0)m k n k k ==> ，又()n tm n ⊥+
，所以
22221
()cos ,34(4)4160
3
n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=+= 所以
4t =-，故选B ．
二、填空题
1．(2014高考数学湖北理科·第11题)设向量(3,3)a = ，(1,1)b =- ，若()()a b a b λλ+⊥-
，则实数
λ=．【答案】3
±解析：由题意得(a ＋λb )·(a －λb )＝0，即a 2－λ2b 2＝0，则a 2＝λ2b 2．
∴222
218
92λ==
=a b ．∴λ＝±3．2．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第13题)已知向量()1,2a = ，()2,2b =- ，()1,c λ=
，若()
//2c a b + ，
则λ=．
【答案】
12
解析：依题意可得()()()22,42,24,2a b +=+-= ，又()1,c λ=
，()
//2c a b
+ 所以4210λ⨯-⨯=，解得12
λ=
．3．(2021年高考全国甲卷理科·第14题)已知向量()()
3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥ ，则k =________．【答案】103
-
．解析：()()()3,1,1,0,3,1a b c a kb k ==∴=+=+
,
(),33110a c a c k ⊥∴⋅=++⨯= ，解得103
k =-,
故答案为：103
-
．题型五：平面向量的数量积与夹角问题
一、选择题
1．(2020年高考课标Ⅲ卷理科·第6题)已知向量a ，b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=
+a a b (
)
A ．3135
-
B ．1935
-
C ．
1735
D ．
1935
【答案】D
解析：5a = ，6b = ，6a b ⋅=-
，()
225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-= ．
7a b +=
= ，
因此，()
1919
cos ,5735
a a
b a a b a a b ⋅+<+>==
=⨯⋅+ ．故选：D ．
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题．
2．(2022年高考全国乙卷数学（理）·第3题)已知向量,a b
满足||1,||2|3a b a b ==-= ，则a b ⋅=
(
)
A ．2-
B ．1
-C ．1
D ．2
【答案】C
解析：∵222|2|||44-=-⋅+
a b a a b b ，
又∵||1,||3,|2|3,
==-=
a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅ a b a b ，
∴1a b ⋅= 故选：C ．
3．(2019·全国Ⅱ·理·第3题)已知()2,3AB = ，()3,AC t =
，1BC = ，则AB BC ⋅=
()
A ．3-
B ．2
-C ．2
D ．3
【答案】C
【解析】∵()2,3AB = ，()3,AC t = ，∴()1,3BC AC AB t =-=- ,∴()22
131BC t =+-= ，解得3t =，即()1,0BC =
，则AB BC ⋅= ()()2,31,021302⋅=⨯+⨯=．
4．(2018年高考数学天津（理）·第8题)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，
120BAD ∠=︒，1AB AD ==，若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅
的最小值为
()
A ．
21
16
B ．
32
C ．
2516
D ．3
【答案】A
【基本解法1】连接AC ，则易证明ABC ADC △≌△，所以60DAC BAC ∠=∠=︒
所以3BC CD ==(01)DE DC λλ=<<
，则()()()()
(1)AE BE AD DE BC CE AD DC BC DC
λλ⋅=+⋅+=+⋅--
2(1)AD BC DC BC DC λλλ=⋅+⋅-- 2cos30cos60(1)AD BC DC BC DC
λλλ=⋅︒+⋅︒-- 2
2
331213322416λλλ⎛
⎫=-+=-+ ⎪⎝
⎭，当14λ=时，AE BE ⋅ 取得最小值，最小值为2116．
【基本解法1】连接AC ，则易证明ABC ADC △≌△，所以60DAC BAC ∠=∠=︒，所以3BC CD ==
，以D 为坐标原点，,DA DC 所在方向为,x y 轴正方向
建立如图所示平面直角坐标系，过B 作BF x ⊥轴于点F
则13
cos 60,sin 6022AF AB BF AB =︒==︒=，所以33,22B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，设(03)DE λλ=<<
，则(1,0),(0,)A E λ，
2
2
3333321(1,),2222416AE BE λλλλλ⎛⎛⋅=-⋅--=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，当34
λ=时，AE BE ⋅ 取得最小值，最小值为2116．
5．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）·第4题)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=
a a
b (
)
A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
【答案】B
解析：2(2)2||213⋅-=-⋅=+=a a b a a b ，故选B ．
6．(2014高考数学天津理科·第8题)已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD ∠= ,点,E F 分别在边,BC DC
上,BE BC λ=,DF DC μ=．若1AE AF ⋅= ,2
3
CE CF ⋅=- ,则λμ+=
(
)
A ．
12
B ．
23
C ．
56
D ．
712
【答案】C
解析:记CE m =,CF n =,则2()()AE AF AC CE AC CF AC CA CE CA CF CE CF
⋅=+⋅+=-⋅-⋅+⋅
22242cos 602cos 6044(22)(22)1333m n m n λμ=-⋅︒-⋅︒-
=---=-----=,所以5
6
λμ+=．故选C ．7．(2014高考数学上海理科·第16题)如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，
()1,2,,8i P 是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=
的不同值的个数为()．A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【答案】A
解析:()1,2,i AP i = 在AB 上的投影为AB
，所以()21,2,1i AB AP i AB ⋅=== ,值只有一个．
8．(2014高考数学课标2理科·第3题)设向量a,b 满足，|a-b|=，则a ⋅b=(
)
A ．1
B ．2
C ．35【答案】A
解析：因为222||()210,a b a b a b a b +=+=++⋅=r r r r r r r r 222||()26,
a b a b a b a b -=-=+-⋅=r r r r r r r r
两式相加得：22
8,a b +=r r 所以1a b ⋅=r r ，故选A ．
9．(2015高考数学四川理科·第7题)设四边形ABCD 为平行四边形，6AB = ，4AD =
．若点,M N 满足3BM MC = ，2DN NC = ，则AM NM ⋅=
(
)
A ．20
B ．15
C ．9
D ．6
【答案】C 解析：
311,443
AM AB AD NM CM CN AD AB =+=-=-+
，所以
221111(43)(43)9)(1636916)94124848AM NM AB AD AB AD AB AD ⋅=+-=-=⨯-⨯= ，选C ．
10．(2015高考数学陕西理科·第7题)对任意向量,a b
，下列关系式中不恒成立的是()
A ．||||||a b a b ⋅≤
B ．||||||||
a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22
()()a b a b a b
+-=- 【答案】B
解析：因为cos ,a b a b a b a b ⋅=≤ ，所以选项A 正确；当a 与b
方向相反时，a b a b -≤- 不
成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；()()
22
a b a b a b +-=- ，
所以选项D 正确．故选B ．
11．(2015高考数学山东理科·第4题)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=
,则BD CD ⋅=
()
A ．232
a -
B ．234
a -
C ．
234
a D ．
232
a 【答案】D
解析：因为()
BD CD BD BA BA BC BA ⋅=⋅=+⋅ ()
22223cos 602
BA BC BA a a a
+⋅=+=
故选D ．
12．(2015高考数学福建理科·第9题)已知1,,AB AC AB AC t t
⊥==
，若P 点是ABC ∆所在平面内一
点，且4AB AC AP AB AC
=+ ，则PB PC ⋅ 的最大值等于
()A ．13
B ．15
C ．19
D ．21
【答案】A
解析：以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t
，(0,)C t ，1AP =
（，0)+4(0,1)=(1,4)，即1P （，4)，所以11PB t
- =（，-4)，1PC - =（，t-4)，因此PB PC
⋅
11416t t =--+117(4)t t =-+，因为144t t +≥=，所以PB PC ⋅ 的最大值等于13，当1
4t t
=，
即1
2
t =时取等号．
13．(2015高考数学安徽理科·第8题)C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =
，C 2a b A =+
，则下列结论正确的是
()A ．1b = B ．a b ⊥ C ．1a b ⋅=
D ．()
4C
a b +⊥B 【答案】D 解析：如图，
由题意，(2)2BC AC AB a b a b =-=+-= ，则||2b = ，故A 错误；|2|2||2a a == ，所以||1a =
，又
22(2)4||222cos 602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯=
，
所以1a b ⋅=- ，故,B C 错误；设,B C 中点为D ，则2AB AC AD += ，且AD BC ⊥ ，而22(2)4AD a a b a b =++=+ ，所以()
4C a b +⊥B
，故选D ．
14．(2017年高考数学浙江文理科·第10题)如图,已知平面四边形
ABCD ,AB BC ⊥,2AB BC AD ===,3CD =,AC 与BD 交于点O ．记
1I OA OB =⋅ ,2I OB OC =⋅ ,3I OC OD =⋅ ,则()
A ．123
I I I <<B ．132
I I I <<C ．312
I I I <<D ．213
I I I <<【答案】C 【解析】法一:
动态研究问题:D D '→,O O '→．
此时有90AOB ∠>︒,90BOC ∠<︒,90COD ∠>︒,且CO AO >,DO BO >．
故OB OC OA OB OC OD ⋅>⋅>⋅
．故选C ．
【解析】法二:
如图,取AC 边中点K ,则BK AC ⊥,O 在线段AK 上,再取AB ,BC 中点,M N ,则ON OM >．所以
2221()12
AB I OA OB OM OM =⋅=-=- ,
22
22()12
BC I OB OC ON ON =⋅=-=- ,所以12I I <．
作//AS BC 交CD 于S ,所以45ACB CAS ∠=∠=︒,而32CD AD =>=,所以,45DAC BAC ∠>︒=∠,所以OD OB >,又OC OA >,90AOB COD ∠=∠>︒．
所以3I OC OD =⋅ <1I OA OB =⋅
0<,所以312I I I <<．故选C ．
法三:余弦定理得2cos 4BD ABD BD ∠=,25
cos 4BD CBD BD
-∠=,所以cos cos ABD CBD ∠>∠,
所以ABD CBD ∠<∠,所以,90OA OC AOB BOC <∠>︒>∠．
又由余弦定理得322
cos cos 162
CAD BAC ∠=
<=∠,所以CAD BAC ∠>∠,所以OB OD <．故OA OB OC OD ⋅<⋅．
而1cos 0I OA OB BOA =⋅⋅∠<,2cos 0I OB OC BOC =⋅⋅∠>,
3cos 0I OC OD COD =⋅⋅∠<,所以312I I I <<．故选C ．
15．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第12题)已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一
点，则()PA PB PC ⋅+
的最小值是()
A ．2-
B ．32-
C ．4
3
-D ．1
-【答案】B
【命题意图】本题主要考查等边三角形的性质及平面向量的线性运算﹑数量积，意在考查考生转化与化归思想和运算求解能力【解析】解法一：建系法
∵2PC PB PO += ，∴()
2PA PC PB PO PA
⋅+=⋅ 由上图可知：OA PA PO =- ；两边平方可得()()
22
32PA PO
PA PO
=+-⋅
∵
()()
2
2
2PA
PO
PA PO +≥-⋅ ，∴
322
PO PA ⋅≥-
∴()
322PA PC PB PO PA ⋅+=⋅≥- ，∴最小值为32
-
解法三：配凑法
∵2PC PB PO
+= ∴()
()(
)(
)()
22
22
322
2
2
PO PA PO PA PO PA AO
PA PC PB PO PA +--+-⋅+=⋅=
=≥-
16．(2016高考数学天津理科·第7题)已知ABC △是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的
中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅
的值为
(
)
A ．58
-
B ．
18
C ．
14D ．
118
【答案】B
解析：BC AC AB
=- AF AD DF =+ 1322AB DE =+ 1324
AB AC
=+ ∴()
1324BC AF AC AB AB AC ⎛⎫⋅=-⋅+ ⎪
⎝⎭
1113311111222442=⋅⋅⋅-+-⋅⋅⋅13131
44288
=+--=，选B ．17．(2019·全国Ⅰ·理·第7题)已知非零向量a ，b 满足2a b = ，且()
a b b -⊥ ，则a 与b
的夹角为
()
A ．
6
πB ．
3
πC ．
23
πD ．
56
π【答案】B
解析：()()
2
22,0,a b b a b b a b b a b b b -⊥∴-⋅=⋅-=∴⋅== ，所以221cos ,22b a b a b a b b
⋅===⋅
，
所以,3
a b π= ．
18．(2023年全国甲卷理科·第4题)已知向量,,a b c
满足1,a b c === ，且0a b c ++= ，则
cos ,a c b c 〈--〉=
()A ．4
5
-
B ．25-
C ．
25
D ．
45
【答案】D
解析：因为0a b c ++=
,所以a b c +=-r
r
r
,
即2222a b a b c ++⋅=
,即1122a b ++⋅=r
r ,所以0a b ⋅=
．
如图,设,,OA a OB b OC c ===
,
由题知
,1,OA OB OC OAB === 是等腰直角三角形,
AB
边上的高,22
OD AD =
=
,
所以22
CD CO OD =+=
+
=
,1tan ,cos 3AD ACD ACD CD ∠=
=∠=,2cos ,cos cos22cos 1a c b c ACB ACD ACD 〈--〉=∠=∠=∠-
2
4215=⨯-=．故选:D ．
19．(2014高考数学四川理科·第7题)平面向量(1,2),(4,2),()c m m R ===+∈a b a b ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =(
)
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
【答案】D
解析：(4,22)
c m m =++
因为cos ,||||c a c a c a ⋅=⋅
，cos ,||||c b c b c b ⋅=⋅ ，所以||||||||
c a c b
c a c b ⋅⋅=⋅⋅
，又||2||b a =
所以2c a c b ⋅=⋅
即2[(4)2(22)]4(4)2(22)m m m m +++=+++2
m ⇒=解析2：由几何意义知c 为以ma ，b 为邻边的菱形的对角线向量，又||2||b a =
故2
m =20．(2023年全国乙卷理科·第12题)已知O 的半径为1，直线PA 与O 相切于点A ．直线PB 与O 交
于B ．C 两点，D 为BC 的中点，若2PO =，则PA PD ⋅
的最大值为
()
A ．
12
2+B ．
1222
+C ．12+D ．22
+
【答案】A
解析：如图所示，1,2OA OP ==，则由题意可知:45APO ∠= ，
由勾股定理可得221
PA OP OA =
-=当点,A D 位于直线PO 异侧时，设=,04
OPC παα∠≤≤
，则：PA PD ⋅ =||||cos 4
PA PD πα⎛⎫⋅+ ⎪
⎝
⎭
12cos 4παα⎛
⎫=+ ⎪
⎝
⎭22
2cos sin 22ααα⎛⎫=- ⎪ ⎪
⎝⎭2cos sin cos ααα=-1cos 21
sin 222
αα+=
-12sin 2224πα⎛⎫=
-- ⎪⎝
⎭04πα≤≤
，则2444
πππ
α-≤-≤∴当ππ
244
α-
=-时，PA PD ⋅ 有最大值1．
当点,A D 位于直线PO 同侧时，设=,04
OPC παα∠≤≤
，则：PA PD ⋅ =||||cos 4
PA PD πα⎛
⎫⋅- ⎪
⎝
⎭
1cos 4παα⎛
⎫=- ⎪
⎝
⎭22
cos sin 22ααα⎛⎫=+ ⎪ ⎪
⎝⎭2cos sin cos ααα=+1cos 21
sin 222
αα+=
+1sin 2224πα⎛⎫=
++ ⎪⎝
⎭04π
α≤≤
，则2442
πππα≤+≤∴当242ππα+
=时，PA PD ⋅
有最大值12
．综上可得，PA PD ⋅ 的最大值为12
2
．
故选：A ．二、填空题
1．(2020年高考课标Ⅱ卷理科·第13题)已知单位向量a →,b →
的夹角为45°，k a b →
→
-与a →
垂直，则k =__________．【答案】
2
2
解析：由题意可得：11cos 452
a b →→
⋅=⨯⨯=
，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→
⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭
，
即：2
02
k a a b k →→→
⨯-⋅=-
=，解得：2
2k =．
故答案为：
2
．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
2．(2020年浙江省高考数学试卷·第17题)设1e ，2e
为单位向量，满足21|2|-
e e ，12a e e =+ ，123b e e =+ ，设a ，b
的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．【答案】
2829
解析：12|2|e e -≤u r u r
Q ，
124412e e ∴-⋅+≤u r u r
，
1234
e e ∴⋅≥u r u r ，
22
2121222121212(44)4(1)()
cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a b
θ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅u r u r u r u r r r u r u r u r u r u r u r
r r 12
424228
(1)(133********
e e =
-≥-=
+⋅+⨯
u r u r ．3．(2022年高考全国甲卷数学（理）·第13题)设向量a ，b 的夹角的余弦值为1
3
，且1a = ，3b =r ，则
()
2a b b +⋅=
_________．
【答案】11
【解析】设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1
cos 3
θ=，
又1a = ，3b =r ，所以1
cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯= ，
所以()
2
2222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= ．
故答案为：11．
30．(2021高考北京·第13题)已知向量,,a b c
在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则
()a b c +⋅= ________；=a b ⋅ ________．
【答案】①．0②．3
解析：以,a b
交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则(2,1),(2,1),(0,1)a b c ==-=
，
()4,0a b ∴+= ，()40010a b c +⋅=⨯+∴⨯=
，()22113a b ∴⋅=⨯+⨯-=
．
故答案为：0；3．
5．(2019·天津·理·第14题)在四边形ABCD 中，//,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒，点E 在
线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=
．
【答案】答案：1
-解析：以A 为坐标原点，AD 所在直线为x 轴建立如图所示平面直角坐标系，
则(0,0),(5,0),(8,A D B C ，因为AE BE =，所以30EAB EBA BAD ∠=∠=∠=︒，
又AB =2AE =，又60EAD ∠=︒，所以E ，所以(2,BD AE ==
，211BD AE ⋅=⨯=-
．
6．(2018年高考数学上海·第8题)在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -、(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的
两个动点，且2EF = ，则AE BF ⋅
的最小值为
．
【答案】3
-解析：设(0,),(0,2)E m F m +，则(1,),(2,2)AE m BF m ==-+ ，2(2)
AE BF m m ⋅=-++
2222(1)3m m m =+-=+-，最小值为3-．
解法2：()()
2AE BF AO OE BO OF AO BO AO OF OE BO OE OF OE OF ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅-
．
取EF 中点G ，则21OE OF OG ⋅=- ．显然2
0OG ≥(当E F 、关于原点对称)．
所以1OE OF ⋅- ≥．则3AE BF ⋅-
≥．
7．(2014高考数学课标1理科·第15题)已知A,B,C 是圆O 上的三点,若1()2
AO AB AC =+ ,则AB 与AC
的夹角为______．【答案】0
90
解析:∵1()2
AO AB AC =+
,∴O 为线段BC 中点,故BC 为O 的直径,
∴090BAC ∠=,∴AB 与AC 的夹角为0
90．
8．(2014高考数学江苏·第12题)如图，在平行四边形ABCD 中，已知8=AB ，5=AD ，3CP PD =
，2=⋅BP AP ，
则AD AB ⋅的值是
．
A B
D
C
P
【答案】22
解析：解法一：(基底法)考虑将条件中涉及的,AP BP 向量用基底,AB AD
表示，而后实施计算．14AP AD DP AD AB =+=+ ，34
BP BC CP AD AB =+=- ．
则22
13132()()44216
AP BP AD AB AD AB AD AB ⋅==+⋅-=-⋅- ．
因为8,5AB AD ==，则3122564162
AB AD =-⨯-⋅
，故22AB AD ⋅= ．
解法二：(坐标法)不妨以A 点为坐标原点，AB 所在直线作为x 轴建立平面直角坐标系，可设
(0,0),(8,0),(.),(2,),(8,)A B D a t P a t C a t ++，则(2,)AP a t =+ ，(6,)BP a t =-
．由2AP BP ⋅=
，得22414a t a +-=，由5AD =，得2225a t +=，则411a =，
所求822AB AD a ⋅==
．
9．(2015高考数学天津理科·第14题)在等腰梯形ABCD 中,已知
//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ
== 则AE AF ⋅
的最小值为．【答案】
29
18
解析：因为1,9DF DC λ= 12DC AB = ，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ
--=-=-==
，AE AB BE AB BC λ=+=+ ，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ
-+=++=++=+ ，
()
221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC
λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
19199421cos1201818
λλ
λλ++=
⨯++⨯⨯⨯
︒2117172992181818λλ=
++≥+=当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅ 的最小值为29
18
．10．(2015高考数学上海理科·第14题)在锐角ABC ∆中，1
tan 2
A =
，D 为BC 边上的一点，ABD ∆与ACD ∆
面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅=
．
【答案】16
15
-
解析：由题可知，cos cos EDF A ∠=-，
A
B
C D
E F
122ABD S AB DE ∆==，1
42ACD S AC DF ∆==，
1sin 62ABC S AB AC A == ，所以4DE AB =，8
DF AC
=，12sin AB AC A =
4832cos cos cos DE DF DE DF EDF A A AB AC AB AC
⋅=⋅∠=-=- ，化简可得
28442tan 16sin cos sin 23331tan 15
A DE DF A A A A ⋅=-=-=-=-+ ．
11．(2015高考数学湖北理科·第11题)已知向量OA AB ⊥ ，||3OA =
，则OA OB ⋅=
．
【答案】9
解析：因为OA AB ⊥ ，||3OA = ，所以
OA OB ⋅= 222()||||39OA OA AB OA OA OB OA ⋅+=+⋅=== ．12．(2017年高考数学天津理科·第13题)在ABC △中,60A =︒∠,3AB =,2AC =．若2BD DC = ,()AE AC AB λλ∈=-R
,且4AD AE ⋅=- ,则λ的值为___________．
【答案】
3
11
【解析】以点A 为坐标原点,以AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)．依题意易得()(
)(0,0,3,0,1,A B C ,则可
得
25,333AD AB BD AB BC ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭
,()
AE AC AB λλ=-=- ,
于
是
有
()511432533AD AE λλλ-=⋅=-+=- ,解得311
λ=．
13．(2017年高考数学江苏文理科·第13题)在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆
2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅
≤则点P 的横坐标的取值范围是______．
【答案】[-解析:设(,)P x y ,由20,PA PB ⋅ ≤得250x y -+≤,由22
25050x y x y -+=⎧⎨+=⎩,可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1
:7x B y =⎧⎨=⎩
,由250x y -+≤得P 点在圆左边弧上 AB 上,
由限制条件x -≤,可得点P
横坐标的取值范围为[-．
14．(2016高考数学浙江理科·第15题)已知向量,a b ，||1,||2==a b ．若对任意单位向量e ，
均有||||⋅+⋅≤a e b e ，则⋅a b 的最大值是
．
【答案】
12
解析：由于|()||||+⋅≤⋅+⋅≤a b e |a e b e 对任意单位向量e 恒成立，所以||+≤a b ，222++⋅a b a b 6≤，所以21⋅≤a b ，即12⋅≤
a b ，故⋅a b 的最大值是12
．15．(2016高考数学上海理科·第12题)在平面直角坐标系中，已知()()1,0,0,1A B -，P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是．
【答案】解析：由题意设(cos ,sin )P αα，[0,]απ∈，则(cos ,1sin )BP αα=+ ，又()1,1BA =
所以π
=cos sin )+1[0,14
BP BA ααα⋅+++∈+ ．
所以BP BA ⋅
的范围为．
16．(2016高考数学江苏文理科·第13题)如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上两个三等
分点，4BA CA ⋅= ，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅
的值是
．
【答案】
78
．解析：令DF a = ，DB b = ，则DC b =- ，2DE a = ，3DA a =
则3BA a b =- ，3CA a b =+ ，2BE a b =- ，A B =∅ ，BF a b =- ，CF a b =+ 则229BA CA a b ⋅=- ，22BF CF a b ⋅=- ，224BE CE a b ⋅=- ，由4BA CA ⋅= ，1BF CF ⋅=- 可得2294a b -= ，22
1a b -=- ，
因此22513,88a b == ，因此22451374888
BE CE a b ⨯⋅=-=-= ．
17．(2019·上海·第3题)已知向量)2,0,1(=a ，)0,1,2(=b ，则a 与b
的夹角为________.
【答案】2arccos
5
【解析】52
552
cos =⋅==b
a θ.故2,arccos
5a b = 18．(2019·全国Ⅲ·理·第13题)已知a ，b 为单位向量，且·=0a b
，
若2c a =- ，则
cos ,a c 〈〉=
___________．
【答案】
23
．
【解析】因为2c a = ，·=0a b
，所以22=2a c a b ⋅=-⋅
，
222||4||5||9c a b b =-⋅+= ，所以||3c = ，所以cos ,a c 〈〉= 22133a c a c
⋅==⨯⋅ ．【点评】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
19．(2014高考数学江西理科·第15题)已知单位向量1e 与2e 的夹角为α,且1
cos 3
α=,向量1232a e e =- 与
123b e e =-
的夹角为β,则cos β=_______
【答案】
22
3
分析:因为22111
942329,912318,929118,333a b a b =+-⨯⨯⨯==+-⨯⨯⨯=⋅=+-⨯⨯⨯=
所以
22
cos 3
β=
=
20．(2021年高考浙江卷·第17题)已知平面向量,,,(0)a b c c ≠
满足
()
1,2,0,0a b a b a b c ==⋅=-⋅= ．记向量d 在,a b
方向上的投影分别为x ，y ，d a - 在c 方向上的投影为z ，则222x y z ++的最小值为___________．
【答案】
25
解析:由题意，设(1,0),(02),(,)a b c m n ===
，，则()
20a b c m n -⋅=-= ，即2m n =，
又向量d 在,a b
方向上的投影分别为x ，y ，所以(),d x y = ，
所以d a - 在c
方向上的投影
()||d a c z c -+-⋅===
即22x y +
=,
所以(
()(
)22
222
22222
112
21210105
x y z x y z x y ⎡⎤++=
++++≥+-=⎢⎥⎣⎦
，
当且仅当2122x y x y ⎧
==⎪⎨⎪+=⎩
即25
15x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪
⎪=⎪⎩
时，等号成立，所以222x y z ++的最小值为25．故答案为25．21．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第15题)已知向量0a b c ++= ，
1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=
_______．【答案】9
2
-
解析:由已知可得()
()()
2
2222920a b c
a b c a b b c c a a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅=
，
因此，92a b b c c a ⋅+⋅+⋅=- ．故答案为：9
2
-．
题型六：平面向量的模长问题
一、选择题
23．(2014高考数学大纲理科·第4题)若向量,a b
满足：()()
1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥ 则b =
(
)
A ．2B
C ．1
D
．
2
【答案】B
解析：因为()a b a +⊥ ，所以()=0a a ⋅ ，即2
=0a a b +⋅ ，所以2||1a b a ⋅=-=- ，
又因为(2)a b b +⊥
，
所以22(2)=02022||a b b a b b b a b b +⋅⇒⋅+=⇒=-⋅=⇒=
，故选B ．
2．(2015高考数学湖南理科·第8题)已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的
坐标为(2,0)，则PA PB PC ++
的最大值为()
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9【答案】B ．
分析：由题意得，AC 为圆的直径，故可设),(n m A ，),(n m C --，),(y x B ，
∴(6,)PA PB PC x y ++=-
，∴PA PB PC ++
的最大值为圆221x y +=上的动点到点
)0,6(距离的最大值，从而易得当⎩⎨
⎧=-=0
1y x 时PA PB PC ++
的最大值为7，故选B ．3．(2018年高考数学浙江卷·第9题)已知a b e
，，是平面向量，e 是单位向量，
若非零向量a 与e 的夹角为3
π，向量b 满足2430b e b -⋅+= ，则a b -
的最小值是()。