28.1 第3课时 特殊角的三角函数值

28．1锐角三角函数
第3课时特殊角的三角函数
1．经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义；(重点)
2．能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算；(重点)
3．能够结合30°、45°、60°的三角函数值解决简单实际问题．(难点
)
一、情境导入
问题1：一个直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？
问题2：两块三角尺中有几个不同的锐角？各是多少度？设每个三角尺较短的边长为1，分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
二、合作探究
探究点一：特殊角的三角函数值
【类型一】利用特殊的三角函数值进行计算
计算：
(1)2cos60°·sin30°－6sin45°·sin60°；
(2)
sin30°－sin45°
cos60°＋cos45°
.
解析：将特殊角的三角函数值代入求解．
解：(1)原式＝2×
1
2×
1
2－6×
2
2×
3
2＝
1
2－
3
2＝－1；
(2)原式＝
1
2－
2
2
1
2＋
2
2
＝22
－3.
方法总结：解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型二】已知三角函数值求角的取值范围
若cosα＝
2
3，则锐角α的大致范围是()
A．0°＜α＜30°B．30°＜α＜45°
C．45°＜α＜60°D．0°＜α＜30°
解析：∵cos30°＝
3
2，cos45°＝
2
2，cos60°＝
1
2，且
1
2＜
2
3＜
2
2，∴cos60°＜cos
α＜cos45°，∴锐角α
的范围是45°＜α＜60°.故选C.
方法总结：解决此类问题要熟记特殊角的三角函数值和三角函数的增减性．
【类型三】根据三角函数值求角度
若3tan(α＋10°)＝1，则锐角α的度数是()
A ．20°
B ．30°
C ．40°
D ．50° 解析：∵3tan(α＋10°)＝1，∴tan(α＋10°)＝33.∵tan30°＝3
3
，∴α＋10°＝30°，∴α＝20°.故选A.
方法总结：熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题 探究点二：特殊角的三角函数值的应用
【类型一】 利用三角形的边角关系求线段的长
如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠A ＝30°，D 是边AB 上一点，∠BDC ＝45°，
AD ＝4，求BC 的长．
解析：由题意可知△BCD 为等腰直角三角形，则BD ＝BC ，在Rt △ABC 中，利用锐角三角函数的定义求出BC 的长即可．
解：∵∠B ＝90°，∠BDC ＝45°，∴△BCD 为等腰直角三角形，∴BD ＝BC .在Rt △ABC 中，tan ∠A ＝tan30°＝BC AB ，即BC BC ＋4＝33
，解得BC ＝2(3＋1)．
方法总结：在直角三角形中求线段的长，如果有特殊角，可考虑利用三角函数的定义列出式子，求出三角函数值，进而求出答案．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型二】 判断三角形的形状
已知△ABC 中的∠A 与∠B 满足(1－tan A )2＋|sin B －
3
2
|＝0，试判断△ABC 的形状． 解析：根据非负性的性质求出tan A 及sin B 的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A 及∠B 的度数，进而可得出结论．
解：∵(1－tan A )2＋|sin B －
32|＝0，∴tan A ＝1，sin B ＝3
2
，∴∠A ＝45°，∠B ＝60°，∠C ＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABC 是锐角三角形．
方法总结：一个数的绝对值和偶次方都是非负数，当几个数或式的绝对值或偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型三】 构造三角函数模型解决问题
要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算．作Rt △ABC ，使∠C
＝90°，斜边AB ＝2，直角边AC ＝1，那么BC ＝3，∠ABC ＝30°，∴tan30°＝AC BC ＝1
3＝
3
3
.在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°与tan75°的值．
解析：根据角平分线的性质以及勾股定理首先求出CD 的长，进而得出tan15°＝CD
BC ，
tan75°＝BC
CD
求出即可．
解：作∠B 的平分线交AC 于点D ，作DE ⊥AB ，垂足为E .∵BD 平分∠ABC ，CD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∴CD ＝DE .设CD ＝x ，则AD ＝1－x ，AE ＝2－BE ＝2－BC ＝2－ 3.在Rt △ADE
中，DE 2＋AE 2＝AD 2，x 2＋(2－3)2＝(1－x )2，解得x ＝23－3，∴tan15°＝23－3
3＝2－3，
tan75°＝BC CD ＝3
23－3
＝2＋ 3.
方法总结：解决问题的关键是添加辅助线构造含有15°和75°的直角三角形，再根据三角函数的定义求出15°和75°的三角函数值．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题 三、板书设计
1
2.应用特殊角的三角函数值解决问题．
课程设计中引入非常直接，由三角尺引入，直击课题，同时也对前两节学习的知识进行了整体的复习，效果很好．在讲解特殊角的三角函数值时讲解的也很细，可以说前面部分的
教学很成功，学生理解的很好.。