中考数学专题复习三角形综合问题

三角形综合问题
【专题点拨】
三角形综合问题是指针对三角形的知识点之间的综合性的考查，特别是等腰三角形、等边三角形、直角三角形等特殊三角形的性质应用，及其与三角形相关的知识点之间的综合考查。

【解题策略】
从具体问题入手→探索三角形知识点→综合各点联系→综合把握各个知识点之间的内在关系→综合应用并解决问题
【典例解析】
类型一：三角形边角关系问题
例题1：（2016·青海西宁·3分）下列每组数分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（）
A．3cm，4cm，8cm B．8cm，7cm，15cm
C．5cm，5cm，11cm D．13cm，12cm，20cm
【考点】三角形三边关系．
【解析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即两短边的和大于最长的边，即可作出判断．
【解答】解：A、3+4＜8，故以这三根木棒不可以构成三角形，不符合题意；
B、8+7=15，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
C、5+5＜11，故以这三根木棒不能构成三角形，不符合题意；
D、12+13＞20，故以这三根木棒能构成三角形，符合题意．
故选D．
变式训练1：
（2016·湖北荆门·3分）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或11
类型二：三角形全等问题
例题2：（2016·四川南充）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；
（2）求证：∠M=∠N．
【解析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可
（2）证出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B=∠C，由AAS证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．
【解答】（1）证明：在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
（2）证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，
即∠BAN=∠CAM，
由（1）得：△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠C，
在△ACM和△ABN中，，
∴△ACM≌△ABN（ASA），
∴∠M=∠N．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．变式训练2：
（2016·四川泸州）如图，C是线段AB的中点，CD=BE，CD∥BE．求证：∠D=∠E．
类型三：等腰或等边三角形问题
例题3：（2016·山东省菏泽市·3分）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°
①求证：AD=BE；
②求∠AEB的度数．
（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．
【考点】等腰三角形的性质．
【解析】（1）①通过角的计算找出∠ACD=∠BCE，再结合△ACB和△DCE均为等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出△ACD≌△BCE，由此即可得出结论AD=BE；
②结合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再通过角的计算即可算出∠AEB的度数；
（2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论，通过解直角三角形即可求出线段AD、DE的长度，二者相加即可证出结论．【解答】（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，
∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．
∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE．
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，
∴AC=BC，DC=EC．
在△ACD和△BCE中，有，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE．
②解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC．
∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，
∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，
∴∠BEC=130°．
∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．
（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．
∵CM⊥DE，
∴∠CMD=90°，DM=EM．
在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，
∴DE=2DM=2×=2CM．
∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，
∴∠BEN=180°﹣120°=60°．
在Rt△BNE中，∠BNE=90°，∠BEN=60°，
∴BE==BN．
∵AD=BE，AE=AD+DE，
∴AE=BE+DE=BN+2CM．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形以及角的计算，解题的关键是：（1）通过角的计算结合等腰三角形的性质证出△ACD≌△BCE；（2）找出线段AD、DE的长．本题属于中档题，难度不大，但稍显繁琐，解决该题型题目时，利用角的计算找出相等的角，再利用等腰三角形的性质找出相等的边或角，最后根据全等三角形的判定定理证出三角形全是关键．
变式训练3：
（2016·黑龙江齐齐哈尔·12分）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根
（1）求线段BC的长度；
（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；
（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；
（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
类型四：直角三角形问题
例题4：（2016·湖北随州·3分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= 3 ．
【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质．【解析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MN∥BC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可．【解答】解：连接CM，
∵M、N分别是AB、AC的中点，
∴NM=CB，MN∥BC，又CD=BD，
∴MN=CD，又MN∥BC，
∴四边形DCMN是平行四边形，
∴DN=CM，
∵∠ACB=90°，M是AB的中点，
∴CM=AB=3，
∴DN=3，
故答案为：3．
变式训练4：
（2016·青海西宁·2分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= ．
类型五：相似三角形问题
例题5：（2016·陕西）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．
【考点】相似三角形的应用．
【解析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△ABC∽△EDC，
△ABF∽△GFH，进而利用相似三角形的性质得出AB的长．
【解答】解：由题意可得：∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°，
∠ACB=∠ECD，∠AFB=∠GHF，
故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，
则=， =，
即=， =，
解得：AB=99，
答：“望月阁”的高AB的长度为99m．
变式训练5：
（2016·黑龙江齐齐哈尔·8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）当ta n∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．
类型六：解直角三角形问题
例题6：（2016·山东省德州市·4分）2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5颗新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地面R处雷达站测得AR的距离是6km，仰角为°；1秒后火箭到达B点，此时测得仰角为°
（1）求发射台与雷达站之间的距离LR；
（2）求这枚火箭从A到B的平均速度是多少（结果精确到）？
（参考数据：°≈，°≈，°≈，°≈，°≈，°≈ ）
【考点】勾股定理的应用．
【解析】（1）根据题意直接利用锐角三角函数关系得出LR=AR•cos∠ARL求出答案即可；
（2）根据题意直接利用锐角三角函数关系得出BL=LR•tan∠BRL，再利用AL=ARsin∠ARL，求出AB的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）在Rt△ALR中，AR=6km，∠ARL=°，
由cos∠ARL=，得LR=AR•cos∠ARL=6×°≈（km）．
答：发射台与雷达站之间的距离LR为4.44km；
（2）在Rt△BLR中，LR=4.44km，∠BRL=°，
由tan∠BRL=，得BL=LR•tan∠BRL=×°≈×=（km），
又∵sin∠ARL=，得AL=ARsin∠ARL=6×°≈（km），
∴AB=BL﹣AL=﹣=≈（km）．
答：这枚火箭从A到B的平均速度大约是0.51km/s．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数关系是解题关键．变式训练6：
（2016海南）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）
【能力检测】
1.（2016贵州毕节3分）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
2.（2016·广西桂林·8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF
（1）根据题意，补全原形；
（2）求证：BE=DF．
3.（2016·湖北随州·10分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
【特例探究】
（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a= 4，b= 4；
如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ，b= ；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
【拓展证明】
（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长．
4.（2016·湖北武汉·10分）在△ABC中，P为边AB上一点．
(1) 如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；
(2) 若M为CP的中点，AC＝2，
① 如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；
② 如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．
5.（2016·山东省济宁市·3分）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．
（1）求新坡面的坡角a；
（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆桥？请说明理由．
【参考答案】
变式训练1：
（2016·湖北荆门·3分）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或11
【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【解析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．【解答】解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，
解得m=6，
则原方程为x2﹣7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．
综上所述，该△ABC的周长为10或11．
故选：D．
变式训练2：
（2016·四川泸州）如图，C是线段AB的中点，CD=BE，CD∥BE．求证：∠D=∠E．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【解析】由CD∥BE，可证得∠ACD=∠B，然后由C是线段AB的中点，CD=BE，利用SAS即可证得△ACD≌△CBE，继而证得结论．
【解答】证明：∵C是线段AB的中点，
∴AC=CB，
∵CD∥BE，
∴∠ACD=∠B，
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠D=∠E．
变式训练3：
（2016·黑龙江齐齐哈尔·12分）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根
（1）求线段BC的长度；
（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；
（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；
（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】三角形综合题．
【解析】（1）解出方程后，即可求出B、C两点的坐标，即可求出BC的长度；
（2）由A、B、C三点坐标可知OA2=OC•OB，所以可证明△AOC∽△BOA，利用对应角相等即可求出∠CAB=90°；
（3）容易求得直线AC的解析式，由DB=DC可知，点D在BC的垂直平分线上，所以D
的纵坐标为1，将其代入直线AC的解析式即可求出D的坐标；
（4）A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为以下三种情况：①AB=AP；②AB=BP；
③AP=BP；然后分别求出P的坐标即可．
【解答】（1）∵x2﹣2x﹣3=0，
∴x=3或x=﹣1，
∴B（0，3），C（0，﹣1），
∴BC=4，
（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），
∴OA=，OB=3，OC=1，
∴OA2=OB•OC，
∵∠AOC=∠BOA=90°，
∴△AOC∽△BOA，
∴∠CAO=∠ABO，
∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠BAC=90°，
∴AC⊥AB；
（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣1，
∵DB=DC，
∴点D在线段BC的垂直平分线上，
∴D的纵坐标为1，
∴把y=1代入y=﹣x﹣1，
∴x=﹣2，
∴D的坐标为（﹣2，1），
（4）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，把B（0，3）和D（﹣2，1）代入y=mx+n，
∴，
解得，
∴直线BD的解析式为：y=x+3，
令y=0代入y=x+3，
∴x=﹣3，
∴E（﹣3，0），
∴OE=3，
∴tan∠BEC==，
∴∠BEO=30°，
同理可求得：∠ABO=30°，
∴∠ABE=30°，
当PA=AB时，如图1，
此时，∠BEA=∠ABE=30°，
∴EA=AB，
∴P与E重合，
∴P的坐标为（﹣3，0），
当PA=PB时，如图2，
此时，∠PAB=∠PBA=30°，
∵∠ABE=∠ABO=30°，
∴∠PAB=∠ABO，
∴PA∥BC，
∴∠PAO=90°，
∴点P的横坐标为﹣，
令x=﹣代入y=x+3，
∴y=2，
∴P（﹣，2），
当PB=AB时，如图3，
∴由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，
若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，过点P1作P1F⊥x轴于点F，
∴P1B=AB=2，
∴EP1=6﹣2，
∴sin∠BEO=，
∴FP1=3﹣，
令y=3﹣代入y=x+3，
∴x=﹣3，
∴P1（﹣3，3﹣），
若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，过点P2作P2G⊥x轴于点G，
∴P 2B=AB=2，
∴EP2=6+2，
∴sin∠BEO=，
∴GP2=3+，
令y=3+代入y=x+3，
∴x=3，
∴P2（3，3+），
综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．
变式训练4：
（2016·青海西宁·2分）如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= 2 ．
【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【解析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得
∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
【解答】解：作PE⊥OA于E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP=∠AOP=15°，
∴∠AOB=30°，
∵PC∥OB，
∴∠ACP=∠AOB=30°，
∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD=PE=2，
故答案是：2．
变式训练5：
（2016·黑龙江齐齐哈尔·8分）如图，在△ABC中，A D⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【解析】（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可证明．（2）先证明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得==1，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∴△ACD∽△BFD．
（2）∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°
∴=1，
∴AD=BD，
∵△ACD∽△BFD，
∴==1，
∴BF=AC=3．
变式训练6：
（2016海南）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【专题】应用题；解直角三角形及其应用．
【解析】（1）在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可；
（2）过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．
【解答】解：（1）在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°，
∴DE=DC=2米；
（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，
∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，
∴∠BFD=45°，即△BFD为等腰直角三角形，
设BF=DF=x米，
∵四边形DEAF为矩形，
∴AF=DE=2米，即AB=（x+2）米，
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴BC====米，
BD=BF=x米，DC=4米，
∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，
∴∠DCB=90°，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2=+16，
解得：x=4+或x=4﹣，
则AB=（6+）米或（6﹣）米．
【点评】此题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
【能力检测】
1.（2016贵州毕节3分）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）
A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．
【解析】根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等解答即可．
【解答】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，
故选：D．
2.（2016·广西桂林·8分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF
（1）根据题意，补全原形；
（2）求证：BE=DF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【解析】（1）如图所示；
（2）由全等三角形的判定定理SAS证得△BEO≌△DFO，得出全等三角形的对应边相等即可．
【解答】（1）解：如图所示：
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴OB=OD，OA=OC．
又∵E，F分别是OA、OC的中点，
∴OE=OA，OF=OC，
∴OE=OF．
∵在△BEO与△DFO中，，
∴△BEO≌△DFO（SAS），
∴BE=DF．
3.（2016·湖北随州·10分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
【特例探究】
（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a= 4，b= 4；
如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a= ，b= ；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
【拓展证明】
（3）如图4，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长．
【考点】四边形综合题．
【解析】（1）①首先证明△APB，△PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题．
②连接EF，在RT△PAB，RT△PEF中，利用30°性质求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题．
（2）结论a2+b2=5c2．设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题．
（3）取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，首先证明△ABF是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题．
【解答】（1）解：如图1中，∵CE=AE，CF=BF，
∴EF∥AB，EF=AB=2，
∵tan∠PAB=1，
∴∠PAB=∠PBA=∠PEF=∠PFE=45°，
∴PF=PE=2，PB=PA=4，
∴AE=BF==2．
∴b=AC=2AE=4，a=BC=4．
故答案为4，4．
如图2中，连接EF，
，∵CE=AE，CF=BF，
∴EF∥AB，EF=AB=1，
∵∠PAB=30°，
∴PB=1，PA=，
在RT△EFP中，∵∠EFP=∠PAB=30°，
∴PE=，PF=，
∴AE==，BF==，
∴a=BC=2BF=，b=AC=2AE=，
故答案分别为，．
（2）结论a2+b2=5c2．
证明：如图3中，连接EF．
∵AF、BE是中线，
∴EF∥AB，EF=AB，
∴△FPE∽△APB，
∴==，
设FP=x，EP=y，则AP=2x，BP=2y，
∴a2=BC2=4BF2=4（FP2+BP2）=4x2+16y2，
b2=AC2=4AE2=4（PE2+AP2）=4y2+16x2，
c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，
∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2．
（3）解：如图4中，在△AGE和△FGB中，
，
∴△AGE≌△FGB，
∴BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，同理可证△APH≌△BFH，
∴AP=BF，PE=CF=2BF，
即PE∥CF，PE=CF，
∴四边形CEPF是平行四边形，
∴FP∥CE，
∵BE⊥CE，
∴FP⊥BE，即FH⊥BG，
∴△ABF是中垂三角形，
由（2）可知AB2+AF2=5BF2，
∵AB=3，BF=AD=，
∴9+AF2=5×（）2，
∴AF=4．
4.（2016·湖北武汉·10分）在△ABC中，P为边AB上一点．
(1) 如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC2＝AP·AB；
(2) 若M为CP的中点，AC＝2，
① 如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的长；
② 如图3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接写出BP的长．
【考点】相似形综合，考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形中位线性质，勾股定理。

【答案】（1）证△ACP∽△ABC即可；（2）①BP571
【解析】（1）证明：∵∠ACP＝∠B，∠BAC＝∠CAP，∴△ACP∽△ABC，∴AC：AB＝AP：AC，∴AC2＝AP·AB；
（2）①如图，作CQ∥BM交AB延长线于Q，设BP＝x，则PQ＝2x
∵∠PBM＝∠ACP，∠PAC＝∠CAQ，∴△APC∽△ACQ，由AC2＝AP·AQ得：22＝（3－x）（3＋x）5
即BP ＝5；
②如图：作CQ⊥AB 于点Q ，作CP 0＝CP 交AB 于点P 0， ∵AC ＝2，∴AQ＝1，CQ ＝BQ ＝3 ， 设P 0Q ＝PQ ＝1－x ，BP ＝3－1＋x ，
∵∠BPM＝∠CP 0A ，∠BMP＝∠CAP 0，∴△AP 0C∽△MPB，∴
00AP P C
MP BP
=， ∴MP ∙ P 0C ＝222
01(3)(1)22
x P C +-==AP 0 ∙BP ＝x （3－1＋x ），解得x ＝73-
∴BP ＝3－1＋73-＝71-．
5. （2016·山东省济宁市·3分）某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．
（1）求新坡面的坡角a ；
（2）原天桥底部正前方8米处（PB 的长）的文化墙PM 是否需要拆桥？请说明理由．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 【 解析】（1）由新坡面的坡度为1：，可得tanα=tan∠CAB=
=
，然后由特殊
角的三角函数值，求得答案；
（2）首先过点C作CD⊥AB于点D，由坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：．即可求得AD，BD的长，继而求得AB的长，则可求得答案．
【解答】解：（1）∵新坡面的坡度为1：，
∴tanα=tan∠CAB==，
∴∠α=30°．
答：新坡面的坡角a为30°；
（2）文化墙PM不需要拆除．
过点C作CD⊥AB于点D，则CD=6，
∵坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：，
∴BD=CD=6，AD=6，
∴AB=AD﹣BD=6﹣6＜8，
∴文化墙PM不需要拆除．。