小学五年级奥数第25讲 最大公约数(含答案分析)

第25讲最大公约数
一、专题简析：
1、几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。

我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a和b互质。

2、求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。

二、精讲精练：
例题1 一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。

现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？
练习一
1、把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？
2、一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？
例题2 一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？
练习二
1、一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？
2、有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？
例题3 有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？
练习三
1、有一个长方体木块，长60厘米、宽40厘米，高24厘米。

如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？
2、用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？
例题4一条道路由甲村经过乙村到丙村。

已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米。

现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？
1、一条公路由A经B到C。

已知A、B相距300米，B、C相距215米。

现在路边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵，那么两树间的距离最多有多少米？
2、有336支铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少？
例题5 用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？
1、用辗转相除法求568和1065的最大公约数。

2、试用辗转相除法判断1547与3135是否互质。

三、课后作业
1、将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，小正方形的面积最大是多少？
2、五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？每班各可以分几组？
3、工人加工了三批零件，每加工一批零件，除了王师傅比其他工人多加工若干个外，其他工人加工的都同样多。

已知他们第一批共加工2100个，其中王师傅比每个工人多加工7个；第二批加工1800个，其中王师傅比每个工人多加工6个；第三批加工1600个，其中王师傅比每个工人多加工13个。

这批工人最多有多少人？
4、甲数是36，甲、乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数是多少？
11111是不是最简分数。

5、判断
15015
第25周最大公约数
专题简析：
几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。

我们可以把自然数a、b的最公约数记作（a、b），如果（a、b）=1，则a和b互质。

求几个数的最大公约数可以用分解质因数和短除法等方法。

例题1 一张长方形的纸，长7分米5厘米，宽6分米。

现在要把它裁成一块块正方形，而且正方形边长为整厘米数，有几种裁法？如果要使裁得的正方形面积最大，可以裁多少块？
分析 7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。

因为裁成的正方形的边长必须能同时整除75和60，所以边长是75和60的公约数。

75和60的公约数有1、3、5、15，所以有4种裁法。

如果要使正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公约数15作为正方形的边长，所以可以裁（75÷15）×（60÷15）=20块。

练习一
1，把1米3分米5厘米长、1米5厘米宽的长方形纸，裁成同样大小的正方形，至少能裁多少块？
2，一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，把它锯成若干块正方形而无剩余，所锯成的正方形的边长最长是多少厘米？
3，将一块长80米、宽60米的长方形土地划分成面积相等的小正方形，小正方形的面积最大是多少？【答案】1.（135,105）=15 （135÷15）×（105÷15）=63（块）
2.（45,30）=15 边长最长是15厘米
3.（80,60）=20 20×20=400（平方米）
例题2 一个长方体木块，长2.7米，宽1.8分米，高1.5分米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，正方体的棱长最大是多少分米？
分析 2.7米=270厘米，1.8分米=18厘米，1.5分米=15厘米。

要把长方体切成大小相等的正方体，不许有剩余，正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数。

现要求正方体的棱长最大，所以棱长就是长、宽、高的最大公约数。

（270，18，15）=3，3厘米=0.3分米
练习二
1，一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。

要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？
2，有50个梨，75个橘子和100个苹果，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？
3，五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？每班各可以分几组？
【答案】1.（45,36,24）=3 棱长最长是3厘米
2.（50，75,100）=25 最多可分给25个小组
3.每组最多6人，可以分4组、6组、7组
例题3 有三根钢管，它们的长度分别是240厘米、200厘米和480厘米，如果把它们截成同样长的小段，每小段最长可以是多少厘米？
分析要把三根钢管截成同样长的小段，每小段的长度数应该是240、200和480的公约数，而每小段要
取最长，也就是求240、200和480的最大公约数。

240、200和480的最大公约数是40，所以每小段最长是40厘米。

练习三
1，有一个长方体木块，长60厘米、宽40厘米，高24厘米。

如果要切成同样大小的小正方体，这些正方体的棱长最长是多少厘米？
2，用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？
3，工人加工了三批零件，每加工一批零件，除了王师傅比其他工人多加工若干个外，其他工人加工的都同样多。

已知他们第一批共加工2100个，其中王师傅比每个工人多加工7个；第二批加工1800个，其中王师傅比每个工人多加工6个；第三批加工1600个，其中王师傅比每个工人多加工13个。

这批工人最多有多少人？
【答案】1.（64,40,24）=8 棱长最长是8厘米
2.（1072,469）=67 边长最长是67毫米
3.（2100-7,1800-6,1600-13）=23 这批工人最多23人
例题4 一条道路由甲村经过乙村到丙村。

已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米。

现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？
分析 由于甲乙、乙丙的两村中点各要种上一棵树，所要要将360÷2=180米、675÷2=337.5米平均分成若干段，并且使每段的长度最长。

因为（675、360）=45，而180=360÷2，337.5=675÷2，所以，45÷2=22.5，即相邻两棵树之间距离最多是22.5米。

练习四
1，一条公路由A 经B 到C 。

已知A 、B 相距300米，B 、C 相距215米。

现在路边植树，要求相邻两树间的距离相等，并在B 点及AB 、BC 的中点上都要植一棵，那么两树间的距离最多有多少米？
2，有336支铅笔，252块橡皮，210个文具盒，用这些文具，最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，铅笔、橡皮、文具盒各有多少？
3，甲数是36，甲、乙两数的最小公倍数是288，最大公约数是4，乙数是多少？
【答案】1.两树间的距离最多有2
12 2.（336,252,210）=42（份）铅笔=336÷428（支）橡皮=252÷42=6（块）
文具盒=210÷42=5（个）
3.288=2×2×2×2×2×3×3,36=2×2×3×3
乙数=2×2×2×2×2=32
例题5 用一张长1072毫米、宽469毫米的长方形纸，剪成面积相等的正方形，并且最后没有剩余，这些正方形的边长最长是多少？
分析前面的例题已经告诉了我们，解决这道题只要求出长方形长和宽的最大公约数就行了。

但是这题中，长和宽的数比较大，最大公约数比较难求出，这里再介绍一种求两个数的最大公约数的方法。

第一步：1072÷469，余134；
第二步：469÷134，余67；
第三步：134÷67，没有余数，所以用67毫米为正方形的边长来剪，正好能剪（1072÷67）×（469÷67）=112个正方形，即这些正方形的边长最大是67毫米。

这种求两个较大数的最大公约数的方法叫辗转相除法。

练习五
1，用辗转相除法求568和1065的最大公约数。

2，试用辗转相除法判断1547与3135是否互质。

3，判断11111/15015是不是最简分数。

【答案】1.71 2.1547与3135互质 3.是最简分数。