高等数学第一章课后习题答案

高等数学（本）
第一章 函数与极限
1. 设 ⎪⎩
⎪⎨⎧
≥
<=3||,03|||,sin |)(ππϕx x x x , 求).2(446ϕπϕπϕπϕ、、、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛
6sin )6(π
πϕ=2
1=
2
2
4
sin )4
(=
=ππϕ ()0
222
)4
sin()4(==
-=-ϕππϕ
2. 设()x f 的定义域为[]1,0，问：⑴()
2x f ； ⑵()x f sin ； ⑶()
()0>+a a x f ； ⑷()()a x f a x f -++ ()0>a 的定义域是什么？
（1）][；，－的定义域为所以知－11)(,111022x f x x ≤≤≤≤
[]ππππ)12(,2)(sin ),
()12(21sin 0)2(+∈+≤≤≤≤k k x f Z k k x k x 的定义域为
所以知由
][a a a x f a
x a a x -+-≤≤≤+≤1,)(110)3(－的定义域为
所以知－由
][φ
时，定义域为当时，定义域为当从而得
－知由2
1
1,21
0111010)4(>-≤<⎩
⎨⎧+≤≤-≤≤⎩⎨⎧≤-≤≤+≤a a a a a x a a
x a a x a x
班级 姓名 学号
3. 设()⎪⎩
⎪
⎨⎧>-=<=1
110
1
1x x x x f ，()x e x g =，求()[]x g f 和()[]x f g ，并做出这两个函数的图形。

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==⎪⎩⎪
⎨⎧>-=<=⎪⎩
⎪⎨⎧>-=<=-1,1
,11,)]([.)20,10
,00,1)]([1)(,11)(,01)(,1)]([.)11)
(x e x x e e x f g x x x x g f x g x g x g x g f x f 从而得
4. 设数列{}n x 有界, 又,0lim =∞
→n n y 证明: .0lim =∞
→n n n y x
{}结论成立。

从而时，有，当自然数即又有对有界，∴=<=-<
>∃>∀=≤∀>∃∴∞
→ .
.0)(,0,0lim ,,0εε
ε
εM
M y x y x M
y N n N y M
x n M x n n n n n n n n n
5. 根据函数的定义证明: ⑴ ()813lim 3
=-→x x
8
)13(lim 813303
,033,33813,03
=-<--<-<>∀<-<-=-->∀→x x x x x x x 所以成立时，恒有，当＝取故即可。

只要要使εδε
δεε
εε
(2) 0sin lim
=+∞
→x
x x
班级 姓名 学号
sin lim
,0sin 1
1
,sin ,03
2
2
=<->=
><≤>∀→x x x
x X x X x x x
x x 所以成立时，恒有当，
即可。

故取只要要使
εεεεε
6. 根据定义证明: 当0→x 时,函数x
x
y 21+=是无穷大.问x 应满足什么条件时,才能使?104>y
即可。

只要要使所以成立时，有
，当＝
故取即可。

只要要使2
101
,1021lim 210221
,211221,04
40+<
>∞
=+≥+<<=+<>-≥+=+>∀→x y x
x
M x
x
x M M x M x x x x M x δε
δ
7. 求极限:
⑴ 1
3
lim 223+-→x x x =0
⑵
()h
x h x h 22
lim -+→=x h
h x h h 2)
2(lim
0=+→
⑶ 1
3lim 242+-+∞→x x x
x x =0
(4) ()2121lim n n n -+++∞→ =212)
1(lim 2
=-∞→n n n n (5) ⎪⎭⎫ ⎝⎛---→311311
lim x x x =1)1)(1(31lim 221-=++--++→x x x x x x (6) ()
2
2
32
22lim
-+→x x x x =∞
班级 姓名 学号
8. 计算下列极限:
⑴ x x x 1
sin lim 20→=0
⑵ x x x arctan lim ∞→=0arctan .1
lim =∞→x x x
9. 计算下列极限:
⑴ x x
x ωsin lim 0→=ϖϖϖϖ=→.sin lim 0x x x
⑵ x x x 3tan lim 0→=33cos 1
.3sin lim 0=→x
x x x
⑶ x
x x x sin 2cos 1lim 0-→=2sin .sin 2lim 20=→x x x x
(4)x
x x 321⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→lim = 66
20)21(lim ---→=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-e x x
x
（5）()
x x x 10
21+→lim =
22.210
)
21(lim e x x
x =+→
（6）x
x x x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛--∞→13lim =21)2.(2
1)121(lim -+--∞→=-+e x x
x
10. 利用极限存在准则证明: ⑴ 11211lim 2
22=⎪⎭
⎫
⎝⎛++++++∞
→πππn n n n n n πππππ+≤⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++++≤+2
2222221211
n n n n n n n n n n ,1lim 22=+∞→πn n n n 又1lim 22=+∞→π
n n n 故原式＝1 ⑵ 数列 ,222,22,2+++
的极限存在,并求其极限.
班级 姓名 学号
{}{}2
lim )(1,222,lim ,lim 2222,2,22.222,,2222.1,...3,2,21111011111201=∴-==+=+==∃=+<+=<<<=+>+=>=>+=+==+=∞
→-∞
→∞
→---+--n n n n n n n n n k k k n k k k k k k n n x a a a
a x x a x x x x x x x x x x x x x x x x x n x x 舍去所以知由设所以有界。

故则假设再证有界。

单调递增。

故则假设先证单调。

解：
11. 当0→x 时, 22x x -与3
2x x -相比, 哪一个是较高阶的无穷小?
23220023(1)lim lim 02(2)
0x x x x x x x x x x x x x →→--==--∴→- 当时，是较高阶的无穷小。

12. 当1→x 时, 无穷小x -1和
()
212
1
x -是否同阶?是否等价? .所以同阶且等价
13. 证明: 当0→x 时, 有2
~1sec 2
x x -.
2
11211-(1)(1)2lim lim 112(1)
1x x x x x x x x x x
→→+-==--∴→ （）1
当时，(1-)1-2
班级 姓名 学号
2220002
202
1
1
sec 12(1cos )1cos lim lim lim .cos 224sin 12lim .1cos 0sec 12
x x x x x x x x x x x
x x x
x x x →→→→---====∴→-
当时， 14. 利用等价无穷小的代换定理, 求极限: x
x
x x 30sin sin tan lim -→.
23330001()tan sin tan (1cos )
2lim lim lim sin x x x x x x x x x x x x →→→--=1==2
15. 讨论()201212
x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩ 的连续性, 并画出其图形.
211(10)lim 1
(10)lim (2)1
(1)1,()1.,()[0,2].
x x f x f x f f x x f x →-
→+
-==+=-==∴= 又在处连续总之在上连续
16. 指出下列函数的间断点属于哪一类.若是可去间断点,则补充或改变函数的定义使其
连续.
⑴ 2,12
31
2
2==+--=x x x x x y
221112
22
21(1)(1)lim lim 232(1)(2)1,:2.1(1)
lim
lim ,32(2)
2.
x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x →→=→→--+==--+--∴==--+==∞-+-∴=为可去间断点补充定义即可为无穷间断点
班级 姓名 学号
⑵ 11
311=⎩⎨
⎧>-≤-=x x x
x x y
1x y ==0
1111lim lim(1)0
lim lim(3)2
1.
x x x x y x y x x →-
→-
→+
→+
=-==-== 为其跳跃间断点
17. 讨论函数()x x x x f n
n
n 2211lim +-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型。

()221,11lim 0,1
11,1
1,(10)1,(10)1
1.
1,(10)1,(10)11.
n
n
n x x
f x x x x x x f f x x f f x →∞⎧<⎪-===⎨+⎪
->⎩=--=--+=∴=-=-=+=-∴=在处为跳跃间断点在处为跳跃间断点
18. 求函数 ()63
3223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求()()x f x f x x 30lim ,lim -→→. 5
8
21lim )2)(3()1)(3(lim )(lim 2
1)(lim 22333
,206232330212-=--=-+-+==
∞⋃⋃∞∴-===-+-→-→-→→x x x x x x x f x f x x x x x x x x ）
，＋（），（－），－连续区间为（－得：由 19. 求下列极限：
⑴ 52lim 2
+-→x x x =5
班级 姓名 学号
⑵ ()3
2sin lim 4
απ
α→=1 ⑶ α
α
α--→x x x sin sin lim
αα
α
ααcos 2cos 2sin
2lim
=-+-=→x x x x ⑷ ()
x x x x
x --++∞
→22
lim
12lim
2
2
=-++=+∞
→x
x x x x x
⑸ x
x e 1lim ∞
→101
lim
===∞→e e
x
x
⑹ x x x sin ln
lim 0
→01ln sin lim ln 0==⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
=→x x x ⑺ 2
11lim x x x ⎪⎭⎫
⎝⎛+∞→21
2
11)11(lim e x x
x =⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+=∞→
20. 设函数()⎩⎨
⎧≥+<=0
x x
a x e x f x
, 应怎样选择a ，使()x f 在()+∞∞-,内连续。

）内连续
，＋在（－时，∞∞=∴==-=-
→)(11
lim )00()0(0x f a e f a
f x x
21. 证明方程b x a x +=sin 其中,0,
0>>b a 至少有一正根，并且它不超过b a +.
[].
0)(),0(,0)(;,0)(0
)sin()sin()(0
)0(0)(sin )(b a f b a b a f b a b a f a b a a b a b b a a b a f b f b a x f x b x a x f +∴=+∈∃<++=+≤-+=+-++=+>=+-+=超过方程至少有一正根且不使若＝取若上连续，在显然，证明：令ξξξ
22. 若()x f 在[]b a ,上连续，b x x x a n <<<<< 21, 则在[]n x x ,1上必有ξ, 使
()()()()
n
x f x f x f f n ++=
21ξ.
班级 姓名 学号
[][]n
x f x f x f f x x M
n
f m nM
f nm n i M x f m m M x x x f n n n
i i
n
i i n )
(...)()()(,)
()(,...,2,1,)(,)(2111
11+++=
∈∃≤≤
≤≤∴=≤≤∃∑∑==ξξξξ使由介值定理，即，使与最小值最大值连续，在证明：
23. 证明: 若()x f 在()+∞∞-,内连续, ()x f x ∞
→lim 存在, 则()x f 必在()+∞∞-,内有界.
[]{}内有界。

在，即，有则对，
＝取使即上连续，故有界在又即
成立时，有当，，对证明：设),()()(),(1,max )(,,)(1)(,1)(1)(lim 111+∞-∞≤+∞-∞∈∀+≤∃-+<<->∃==∞
→x f M x f x A M M M x f M X X x f A
x f A x f X x X A x f x ε。