圆锥曲线选填题(原卷版+解析版)

15.圆锥曲线选填题
一、选择题
1．(2021年高考全国甲卷理科)已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且
121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为 ( )
A ．
2
B ．
2
C D 2．(2021年高考全国乙卷理科)设B 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满
足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是 ( )
A ．⎫⎪⎪⎣⎭
B ．1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ C ．⎛ ⎝⎦
D ．10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，
到y 轴的距离为9，则p = ( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两条
渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 ( ) A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设双曲线C ：22
221x y a b
-=(a >0，b >0)左、右焦点分别为F 1，F 2，离
P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = ( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)
y px p =>交于D ，
E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 ( )
A ．1,04⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．(1,0)
D ．(2,0)
7．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)双曲线C ：22
42
x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为
坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为
( )
A
．
4
B
．
2
C
．D
．8．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设F 为双曲线:C 22
221x y a b
-=()0,0a b >>的右焦点，O 为坐标
原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若PQ OF =，则C 的离心率为
( )
A
B
C ．2
D
9．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线()2
20y px p =>的焦点是椭圆22
13x y p p
+=的一个焦点，
则p = ( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
10．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于
A ，
B 两点．若222AF F B =，
1AB BF =，则C 的方程为
( )
A ．2
212
x y += B ．22
132x y += C ．22
143x y += D ．22
154
x y +=
11．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)设12,F F 是双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，Q 是
坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若1PF =，则C 的离心率为 ( )
A B ．2
C D 12．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知1F ，2F 是椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左，右焦点，A 是C 的
左顶点，点P 在过A 且斜率为的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 ( )
A ．
23
B ．
12
C ．13
D ．
14
13．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
( ) A ．y = B ．y =
C ．y x =
D ．y = ()
14．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知双曲线2
2:13
x C y -=,O 为坐标原点，F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ．若OMN ∆为直角三角形,则MN = ( )
A ．
32
B ．3 C
．D ．4
15．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)设抛物线2:4C y x =的焦点为F ．过点()2,0-且斜率为
2
3
的直线与C 交于,M N 两点，则FM FN = ( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
16．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,
,直线与交于两点,直线与交于两点,则的是小值为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
17．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆，的左、右顶点分别为，，
且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
18．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知双曲线的一条渐近线方程为
,且与椭圆有公共焦点，则的方程为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ． 19．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)若双曲线(，)的一条渐近线被圆
所截得的弦长为2，则的离心率为 ( )
A ．2
B
C
D
F 2
:4C y x =F 1l 2l 1l C ,A B 2l C ,D E AB DE +161412102222:1x y C a b
+=()0a b >>1A 2A 12A A 20bx ay ab -+=C 3
3
3
13
()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>2y x =22
1123
x y +=C 221810x y -=22145x y -=22154x y -=22
143
x y -=C :22
221x y a b
-=0a >0b >()
2
224x y -+=C
20．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点,A B
、分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点,且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 ( ) A ．
1
3
B ．
12
C ．
23
D ．
34
21．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知12,F F 是双曲线22
22:1x y E a b
-=的左，右焦点，点M 在E 上，1
MF 与x 轴垂直，211
sin 3
MF F ∠=
,则E 的离心率为 ( ) A
B ．32
C
D ．2
22．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于,A B 两点，交C 的准线于,D E 两
点．已知AB =
DE =C 的焦点到准线的距离为 ( ) (A )2(B )4(C )6(D )8
23．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知方程22
2
213-x y m n m n
-=+表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是
( )
(A )(1,3)-(B
)(1-(C )(0,3)(D
)
24．(2015高考数学新课标2理科)已知,A B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三
角形，且顶角为120︒
，则E 的离心率为 ( )
A
B ．2
C
D
25．(2015高考数学新课标1理科)已知00(,)M x y 是双曲线C ：2
212
x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是 ( )
A ．
B ．
C ．
(3-
，3
) D ．
(
)
26．(2014高考数学课标2理科)设F 为抛物线C :y x 23=的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ．B
两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为 ( ) A
B
C ．
6332
D ．
94
27．(2014高考数学课标1理科)已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个交点,若,则= ( ) A ．
B ．
C ．3
D ．2
28．(2014高考数学课标1理科)已知是双曲线:的一个焦点,则点到的一
条渐近线的距离为 ( )
A
B ．3
C
D ．
29．(2013高考数学新课标2理科)设抛物线2:2(0)C y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，
||5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为 ( )
A ．24y x =或28y x =
B ．22y x =或28y x =
C ．24y x =或216y x =
D ．22y x =或216y x =
30．(2013高考数学新课标1理科)已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭
圆于A ．B 两点。

若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( )
A ．
2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D 22
1189
x y += 31．(2013高考数学新课标1理科)已知双曲线C ：22221x y a b -=(0,0a b >>)，则C 的渐
近线方程为 ( )
A ．1
4y x =±
B ．13
y x =±
C ．．1
2
y x =±
D ．y x =± 32．(2012高考数学新课标理科)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162
=的准
线交于,A B 两点，AB =，则C 的实轴长为 ( ) A B ．C ．4
D ．8
C 2
8y x =F l P l Q PF
C 4FP FQ =||QF 7
2
52
F C 2
2
3(0)x my m m -=>F C 3m
33．(2012高考数学新课标理科)设F 1，F 2是椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，P 为直线32a
x =
上一点，21F PF ∆是底角为
的等腰三角形，则E 的离心率为 ( ) A ．
1
2
B ．
23
C ．
34
D ．
45
二、填空题
34．(2021年高考全国甲卷理科)已知12,F F 为椭圆C ：221164
x y
+=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原
点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF
的面积为________． 35．(2021年高考全国乙卷理科)已知双曲线2
2:1(0)x C y m m
-=>
0my +=，则C
的焦距为_________．
36．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知F 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点，
A 为C 的右顶点，
B 为
C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________．
37．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设12F F ，为椭圆22
:+13620
x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第
一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________．
38．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为
12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点．若1F A AB =，120FB F B ⋅=，则
C 的离心率为 ．
39．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知点()1,1M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的
直线与C 交于,A B 两点，若90AMB ∠=︒，则k = ．
40．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知双曲线的右顶点为,以为圆心,为半径作圆,圆与双曲线的一条渐近线交于两点．若,则的离心率为__________．
41．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线
交轴于点．若为的中点，则 ．
30()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>A A b
A A C ,M N 60MAN ∠=︒C F C :2
8y x =M C F M y N M F N F N =
42．(2015高考数学新课标1理科)一个圆经过椭圆
22
1164
x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 。

一、选择题
1．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知⊙M ：222220x y x y +---=，直线l ：220x y ++=，P 为l
上的动点，过点P 作⊙M 的切线,PA PB ，切点为,A B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为
( )
A ．210x y --=
B ．210x y +-=
C ．210x y -+=
D ．210x y ++=
2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的
距离为 ( )
A
B
C
D
3．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆
()
2
222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是 ( )
A ．[]2,6
B ．[]4,8
C
． D
．⎡⎣
4．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则
a =
( )
A ．4
3-
B ．34-
C
D ．2 5．(2015高考数学新课标2理科)过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于,M N 两点，则||MN =
( )
A
．B ．8
C
．
D ．10
6．(2013高考数学新课标2理科)已知点(1,0),(1,0),(0,1)A B C -，直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分
割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 ( )
A ．(0,1) B
．1(1,)22-
C
．1
(1,)23
- D ．11[,)32
二、填空题
7．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知直线l
:30mx y m ++=与圆2
2
12x y +=交于A B 、两点,过
A B 、分别作l 的垂线与轴交于C D 、两点,
若AB =则CD =________________.
x
8．(2014高考数学课标2理科)设点M (x 0,1)，若在圆O : x y 221+=上存在点N ，使得∠OMN =45°，
则x 0的取值范围是________．
15.圆锥曲线小题（解析）
一、选择题
1．(2021年高考全国甲卷理科)已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且
121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为 ( )
A ．
2
B ．
2
C D 【答案】A
解析：因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==， 所以2PF a =，13PF a =；
因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，
整理可得2
2
47c a =，所以22
274a c e ==，即e =
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,a c 间的等量关系是求解的关键．
2．(2021年高考全国乙卷理科)设B 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满
足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是 ( )
A ．⎫⎪⎪⎣⎭
B ．1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭ C ．⎛ ⎝⎦
D ．10,2
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
【答案】C
解析：设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200
221x y a b
+=，222a b c =+，所以
()
()2
2
23422
22
2220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
因为0b y b -≤≤，当32b b c
-≤-，即22b c ≥时，22
max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22
b c ≥
可得222a c ≥，即02
e <≤
； 当32b b c
->-，即22
b c <时，42222max b PB a b c =++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，
显然该不等式不成立． 故选：C ．
【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知A 为抛物线C :y 2=2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，
到y 轴的距离为9，则p = ( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．9
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122
A p AF x =+=，即1292p
=+，解得6p
．
故选：C ．
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题．
4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两条
渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为 ( ) A ．4 B ．8
C ．16
D ．32
【答案】B 解析：
22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>> ∴双曲线的渐近线方程是b y x a
=±
直线x a =与双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点
不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限
联立x a
b y x a =⎧⎪
⎨=⎪⎩
，解得x a y b =⎧⎨
=⎩ 故(,)D a b
联立x a
b y x a =⎧⎪
⎨=-⎪⎩
，解得x a y b =⎧⎨
=-⎩ 故(,)E a b -
∴||2ED b =
∴ODE 面积为：1
282
ODE S a b ab =
⨯==△ 双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>
∴
其焦距为28c =≥==
当且仅当a b ==
∴C 的焦距的最小值：8
故选：B ．
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设双曲线C ：22
221x y a b
-=(a >0，b >0)左、右焦点分别为F 1，F 2，离
P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a = ( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
【答案】A 解析：
5c
a
=，c ∴=，根据双曲线的定义可得122PF PF a -=， 12
121
||42
PF F PF F S P =⋅=△，即12||8PF PF ⋅=， 12F P F P ⊥，()2
2
212||2PF PF c ∴+=，
()
2
212
1224PF PF PF PF c ∴-+⋅=，即22540a a -+=，解得1a =，
故选：A ．
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．
6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)
y px p =>交于D ，
E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为 ( )
A ．1,04⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．(1,0)
D ．(2,0)
【答案】B
解析：因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4
DOx EOx π
∠=∠=
，所以()2,2D ，
代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1
(,0)2
， 故选：B ．
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目．
7．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)双曲线C ：22
42
x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为
坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为 ( )
A B C ．D ．【答案】A
【解析】由2,,a b c ==
==,P PO PF x =∴=
，
又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b
y x a =
上，则222
P y =⨯=．
11
22PFO P S OF y ∴=
⋅==
△，故选A ． 【点评】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
8．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设F 为双曲线:C 22
221x y a b
-=()0,0a b >>的右焦点，O 为坐标
原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若PQ OF =，则C 的离心率为
( )
A
B
C ．2
D
【答案】A
【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又∵||PQ OF c ==，∴
||2
c PA =
， PA 为以为直径的圆的半径，∴A 为圆心．∴,22c c P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，又P 点在圆上，
∴22244c c a +=，即222c a =，∴22
22c e a
==，∴e =A ．
【点评】准确画图，由图形对称性得出p 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
9．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)若抛物线()2
20y px p =>的焦点是椭圆22
13x y p p
+=的一个焦点，
则p = ( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8
【答案】D
【解析】因为抛物线2
2(0)y px p =>的焦点,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
是椭圆
的一个焦点，所以()
PQ x A PQ x ⊥OF ||2c OA =
222x y a +=2231x y p p +=
2
32p p p ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
，解得，故选D ．
【点评】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为()1,0，椭圆焦点为()2,0±，排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ． 10．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知椭圆C 的焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，过2F 的直线与C 交于
A ，
B 两点．若222AF F B =，
1AB BF =，则C 的方程为
( )
A ．2
212
x y += B ．22
132x y += C ．22
143x y += D ．22
154
x y +=
【答案】B
解析：如图，设2BF t =，则212,3AF t BF t ==，由12122AF AF BF BF a +=+=，可得12AF t =，
12AF AF =，所以点A 为椭圆的上顶点或下顶点．
在1ABF △中，由余弦定理可得2222
129491cos 12sin 2323
t t t BAF
OAF t t +-∠=-∠==⨯⨯，
，所以椭圆方程为的左、右焦点，Q 是
8p =
坐标原点，过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P
，若1PF =，则C 的离心率为 ( )
A
B ．2
C
D
【答案】C
解析：法一：根据双曲线的对称性，不妨设过点2F 作渐近线b
y x a
=
的垂线，该垂线的方程为()a y x c b =--，联立方程()b y x a
a y x c
b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得2
P P
ab y c a x c ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
由2
2
11
6PF PF OP =
⇒=222222266a ab ab a c a c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫ ⎪⇒++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
整理可得42222240a a c c a b -++=即()
4222222
40a a c c a c a -++-=
即4223c a c =即223c a =，所以2
3e =
，所以e =C ．
法二：由双曲线的性质易知2PF b =，2OF c =，所以222
OP c b a =-= 在2Rt POF ∆中，2
22cos PF b PF O OF c
∠=
= 在12PF F ∆中，由余弦定理可得22221212212cos 2PF F F PF b
PF O PF F F c
+-∠=
=
所以
)
2
2
2
422b c b b c
c
+-
=
⋅，整理可得2222
464b c a b =-=，即()222224633c a b c a -==- 所以22
3c a =
，所以e =C ．
12．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知1F ，2F 是椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左，右焦点，A 是C 的
左顶点，点P 在过A
且斜率为的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 ( )
A ．
23
B ．
12
C ．13
D ．
14
【答案】D
解析：因为12PF F ∆为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==
，由余弦定理得1PF =，
所以(2)P c ，而(,0)A a -
，由已知AP k =
=，得4a c =，即14e =，故选D ．
13．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
( ) A
．y = B
．y = C
．y x = D
．y = 【答案】A
解析：
因为c e a =所以2222
22
1312b c b e a a -==-=-=，
所以b a =
渐进线的方程为y =，
故选A ．
14．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知双曲线2
2:13
x C y -=,O 为坐标原点，F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ．若OMN ∆为直角三角形,则MN = ( )
A ．
32
B ．3 C
．D ．4
【答案】B
解析：双曲线22:13x C y -=
的渐近线方程为：y x =，渐近线的夹角为：60，不妨设过()2,0F
的直线为：)2y x =-，
则
)2y x y x ⎧=-⎪
⎨=⎪⎩
解得3,22M ⎛ ⎝⎭
;
)
2y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
解得：(3,N ，
则3MN ==，故选B ． 15．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)设抛物线2:4C y x =的焦点为F ．过点()2,0-且斜率为
2
3
的直线与C 交于,M N 两点，则FM FN = ( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】D
解析：抛物线2:4C y x =的焦点为()1,0F ，过点()2,0-且斜率为
2
3
的直线为：324y x =+，联立直线与抛物线2
:4C y x =，消去x 可得：2
680y y -+=，解得122,4y y ==，不妨()1,2M ，()4,4N ，
()0,2FM =，()3,4FN =，则()()0,23,48FM FN ==，故选D ．
16．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,
,直线与交于两点,直线与交于两点,则的是小值为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】法一:设,,直线方程为
取方程,得
∴ 同理直线与抛物线的交点满足 由抛物线定义可知
当且仅当(或)时,取得等号． 法二:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为 根据焦点弦长公式有:
． 故选A ．
法三:设的倾斜角为,则直线的倾斜角为,而 则,代入抛物线中,可得
设对应的参数分别为,则有
F 2
:4C y x =F 1l 2l 1l C ,A B 2l C ,D E AB DE +161412101122(,),(,)A x y B x y 3344(,),(,)D x y E x y 1l 1(1)y k x =-214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩2222
111240k x k x x k --+=21122124k x x k --+=-212
124
k k +=
2l 2
2342
2
24
k x x k ++=1234||||2AB DE x x x x p +=+++
+22
122222121224244448816k k k k k k ++=++=++≥=121k k =-=1-1l α2l π
2
α+224
4
πsin sin 2AB DE α
α+=+
⎛⎫+ ⎪⎝
⎭()2
22222244
16sin cos sin cos αααα+=+≥=+1l α2l π
2
α+()1,0F 11cos :sin x t l y t αα
=+⎧⎨
=⎩C 22
sin 4cos 40t t αα--=,A B 12,t t 1221224cos sin 4sin t t t t αα
α⎧
+=⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
所以 同理可得 所以． 故选A ．
法四:设点,则 设直线的方程为
联立直线与抛物线方程消去可得
所以,所以
同理 所以(当且仅当时等号成立) 小结:本质回归
抛物线的正交弦性质:已知为抛物线的焦点,过作两条互相垂直的直线,直线与交于两点,直线与交于两点,则的调和平均数为定值:
． 于是本题可以直接利用这个性质秒杀
,所以．
椭圆与双曲线有类似的性质,于是得到圆锥曲线的正交定值定理
已知圆锥曲线的焦点作两条互相垂直的直线,直线与交于两点,直线与交于
12AB t t =-=
24
sin α
==
2
244
πcos sin 2DE αα=
=⎛⎫+ ⎪
⎝⎭
AB DE +()2
2222
2244
16sin cos sin cos αααα
+=+≥=+()()1122,,,A x y B x y ()2
21212121224
AB x x p x x y y =++=++=
++()2
12121224y y y y ⎡⎤=
+-+⎣
⎦1l 1x my =+()0m ≠1l 2
:4C y x =x 2
440y my --=121244
y y m y y +=⎧⎨=-⎩()22
1212122444AB y y y y m ⎡⎤=+-+=+⎣⎦24
4DE m
=
+2
24
8416AB DE m m
+=++
≥1m =±F 2
:2C y px =()0p >F 12,l l 1l C ,A B 2l C ,D E ,AB DE 1112AB DE p
+=2
4112AB DE p AB DE
+≥=+816AB CD p +≥=C F 12,l l 1l C ,A B 2l C
两点,则．
其中是圆锥曲线的离心率,是焦点到对应准线的距离． 【考点】抛物线的简单性质
【点评】对于抛物线的焦点弦长问题,要重点抓住抛物线的定义,到定点的距离要想到转化到准线上,另外,直线与抛物线联立,求判别式、韦达定理是通法,需要重点掌握．考查到最值问题时要能想到用函数
方法进行解决和基本不等式法．
17．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知椭圆，的左、右顶点分别为，，
且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为 ( )
A
B
C ．
D
．
【答案】A
【解析】以线段为直径的圆的圆心为原点，半径为，该圆与直线相切 所以圆心到直线的距离，整理可得
所以
A ．
【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系
【点评】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：
①求出，代入公式e ＝
； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不
等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)．
18．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知双曲线的一条渐近线方程为
,且与椭圆有公共焦点，则的方程为 ( )
,
D E 2
1122e AB DE ep
-+=e C p 22
22:1x y C a b
+=()0a b >>1A 2A 12A A 20bx ay ab -+=C 3
13
12A A R a =20bx ay ab -+=()0,020bx ay ab -+=d R a =
==22
3a b =c e a ====,a c c
a
,,a b c 222
b a
c =-,a c a 2
a e e e ()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>y x =22
1123
x y +=C
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】 B
【解析】由渐近线的方程，可设双曲线的方程为 又椭圆
的焦点坐标为 所以，且，故所求双曲线的方程为：
，故选B ． 【考点】双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程
【点评】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据及渐近线之间的关系，求出的值．如果已知双曲线的渐近
线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为，再由条件
求出的值即可．
19．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)若双曲线(，)的一条渐近线被圆
所截得的弦长为2，则的离心率为 ( )
A ．2
B
C
D
【答案】 A
【命题意图】主要考查双曲线的性质及直线与圆的位置关系，意在考查考生的转化与化归思想． 【解析】解法一：常规解法
根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，根据直线与圆的位置关系可求得圆心到
，∴
．
解法二：待定系数法
221810
x y -=22145x y -=22154x y -=22143
x y -=y x =2245
x y λ-=22
1123
x y +=()3,0±0λ>2
4531λλλ+=⇒=C 22
145
x y -=,,,a b c e ,a b ()2
220x y a b
λλ2-=≠λC :22
221x y a b
-=0a >0b >()
2
224x y -+=C b
y x a
=±=2e =
设渐进线的方程为
，
∴
；由于渐近线的斜率与离心率
关系为，解得． 解法三：几何法
从题意可知：，为等边三角形，所以一条渐近线的倾斜较为
由于，可得
渐近线的斜率与离心率关系为，解得． 解法四：坐标系转化法
根据圆的直角坐标系方程：，可得极坐标方程，由可得极 角，从上图可知：渐近线的倾斜角与圆的极坐标方程中的极角相等，所以
渐近线的斜率与离心率关系为，解得． 解法五：参数法之直线参数方程
如上图，根据双曲线的标准方程可求得渐近线方程为，可以表示点的坐标为，∵
， ∴ 点的坐标为，代入圆方程中，
解得．
【知识拓展】双曲线已成为高考必考的圆锥曲线内容（理科），一般与三角形﹑直线与圆﹑向量 相结合，属于中档偏上的题，但随着二卷回归基础的趋势，圆锥曲线小题虽然处于中档题偏上 位置，但难度逐年下降．
20．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点,A B
、y kx ==23k =221k e =-2e =112OA OO O A ===1OO A ∆3
πtan k θ=k 221k e =-2e =()2
224x y -+=4cos ρθ=4cos 2θ=3
π
θ=
k 221k e =-2e =b
y x a
=±A ()2cos ,2sin θθcos a c θ=
sin b c θ=A 22,a b c c ⎛⎫
⎪⎝⎭
2e =
分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点,且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为 ( ) A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．
34
【答案】A
【解析】由题意,设直线l 的方程为()y k x a =+,分别令
x c =-与0x =,得点()FM k a c =-,
OE ka =,由△OBE ∽△CBM ,得
12OE OB FM BC =,即2()ka a k a c a c
=-+,整理得13c a =,所以椭圆的离心率1
3
e =
,故选A . 21．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知12,F F 是双曲线22
22:1x y E a b
-=的左，右焦点，点M 在E 上，1
MF 与x 轴垂直，211
sin 3
MF F ∠=
,则E 的离心率为 ( ) A
B ．32
C
D ．2
【答案】A
【解析1】由题可令21|MF |=3,|MF|=1，则22a 所以1a ，2
48c ，所以2c ，所以2e
故选Ａ．
【解析2】离心率12
21F F e MF MF =
-
，由正弦定理得122112sin sin sin F F M e MF MF F F ====--．故选A ． 22．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于,A B 两点，交C 的准线于,D E 两
点．已知AB =
DE =C 的焦点到准线的距离为 ( ) (A )2(B )4(C )6(D )8 【答案】B
【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理
设抛物线为2
2y px =()0p >，设圆的方程为2
2
2
x y r +=，题目条件翻译如图：
设(0,A x ，2p D ⎛-
⎝
，
点(0
,A x 在抛物线2
2y
px =上，∴082px =……①
点2p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2
252p r ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
……②
点(0,A x 在圆222x y r +=上，∴2
208x r +=……③
联立①②③解得：4p =，焦点到准线的距离为4p =． 故选B ．
23．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)已知方程22
2
213-x y m n m n
-=+表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是
( )
(A )(1,3)-(B )(1-(C )(0,3)(D ) 【答案】A
【解析】22
2
213x y m n m n
-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<< 由双曲线性质知：()()
2222
34c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距
∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =∴13n -<<故选A ．
24．(2015高考数学新课标2理科)已知,A B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三
角形，且顶角为120︒
，则E 的离心率为 ( )
A B ．2
C D 【答案】D
解析：设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b
-=>>，如图所示，AB BM =，0
120ABM ∠=，过点M
作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，MN =，故点M 的坐标为(2)M a ，
代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以e =D ．
考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．
25．(2015高考数学新课标1理科)已知00(,)M x y 是双曲线C ：2
212
x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值范围是 ( )
A ．
B ．
C ．(3-，3
) D ．() 【答案】A
解析：由题知12(F F ，22
0012
x y -=，所以12MF MF •= 0000(,),)x y x y -•-
=2220003310x y y +-=-<，解得0y <<
A ． 考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法．
26．(2014高考数学课标2理科)设F 为抛物线C :y x 23=的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ．B
两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为 ( )
A ．
4
B ．
8
C ．
6332
D ．
94
【答案】D
解析：由题意可知：直线AB 的方程为：3
3
()3
4y
x ，带入抛物线的方程可得：2412390y y ，
设1122(,),(,)A x y B x y ，则所求三角形的面积为
2
1
212
139
()42
4
4
y y y y ，故选D 。

考点：（1）圆锥曲线中的弦长问题；（2）直线与抛物线的位置关系。

难度：C 备注：常考题
27．(2014高考数学课标1理科)已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个交点,若,则= ( ) A ．
B ．
C ．3
D ．2
【答案】C
【解析】:过Q 作QM ⊥直线L 于M ,∵
∴
,又,∴,由抛物线定义知 选C
考点:(1)抛物线的定义(2)直线与抛物线的位置关系的应用 难度:C
备注:高频考点
28．(2014高考数学课标1理科)已知是双曲线:的一个焦点,则点到的一
条渐近线的距离为 ( )
A B ．3
C
D ．
【答案】 A
解析:由:,得
,
设,一条渐近线,即,则点到的一条渐近线的距离C 2
8
y x =F l P l Q PF
C 4FP FQ =||
QF 7
2
52
4FP FQ
=3
4PQ
PF =344
QM PQ PF ==3QM =3QF QM ==F C 2
2
3(0)x my m m -=>F C 3m C 2
2
3(0)x my m m -=>22
133
x y m -=233,c m c =+=)
F
y x =
0x =F C
选A ．．
考点:(1)双曲线的几何性质 (2)点到直线的距离公式 (3)函数与方程的思想 难度:B 备注:高频考点
29．(2013高考数学新课标2理科)设抛物线2:2(0)C y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，
||5MF =，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为 ( )
A ．24y x =或28y x =
B ．22y x =或28y x =
C ．24y x =或216y x =
D ．22y x =或216y x =
【答案】C 解析：由题意知：(
,0)2p F ，抛物线的准线方程为2p x =-，则由抛物线的定义知，52
M p
x =-，设以MF 为直径的圆的圆心为5(,)22M y ，所以圆的方程为22525
(),(y )224M y x --=，又因为圆过点
(0,2)，所以4M y =，又因为点M 在C 上，所以162(5)2
p
p =-
，解得2p =或8p =，所以抛物线C 的方程为24y x =或216y x =，故选C ．
考点：（1）8．3．1求圆的方程；（2）8．7．1抛物线的定义及应用 难度： C 备注：高频考点
30．(2013高考数学新课标1理科)已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭
圆于A ．B 两点。

若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( )
A ．
2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D 22
1189
x y += 【答案】Ｄ
解析：设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，
2211221x y a b += ① 2222
221x y a b
+= ② ①-②得
1212121222
()()()()
0x x x x y y y y a b +-+-+=，
∴AB k =1212
y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a ，又AB k =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2
a
d =
=18，∴椭圆方程为22
1189
x y +=，故选D ．
考点:（1）8．8．2圆锥曲线中的对称点与点差法． 难度：Ｂ 备注：高频考点
31．(2013高考数学新课标1理科)已知双曲线C ：22221x y a b -=(0,0a b >>)，则C 的渐
近线方程为 ( )
A ．1
4y x =±
B ．13
y x =±
C ．．1
2
y x =±
D ．y x =± 【答案】C
解析: 由题知，c a =即54=22c a =222a b a +，∴22
b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为1
2
y x =±，故选C ．
考点: （1）8．6．3双曲线的几何性质． 难度：Ａ 备注：高频考点
32．(2012高考数学新课标理科)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准
线交于,A B 两点，AB =，则C 的实轴长为 ( )
A B ．C ．4 D ．8
【答案】C
解析：设等轴双曲线222:(0)C x y a a -=> ，则 由抛物线x y 162=得准线:4l x =-
∵C 与抛物线x y 162
=的准线交于,A B 两点，AB =
∴(A -(4,B --
将A 点坐标代入双曲线方程得222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=．
考点：（1）8．6．3双曲线的几何性质；（2）8．6．3双曲线的几何性质；（3）8．2．3距离公式的应用． 难度:B 备注：高频考点
33．(2012高考数学新课标理科)设F 1，F 2是椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，P 为直线32a
x =
上一点，21F PF ∆是底角为
的等腰三角形，则E 的离心率为 ( ) A ．
1
2
B ．
23
C ．
34
D ．
45
【答案】C
解析：如上图，∆是底角为
的等腰三角形可得212F F PF ==2c 在2PBF Rt ∆中，|
||
|cos 60,9022222PF BF B PF B PF PBF
=∠∴=∠=∠
即c a c
a B
PF BF PF 232
123
cos |
|||222-=-=∠=
又∵212F F PF =，所以c c a 223=-
c a 43=∴将等式两边同时除以a ，
得4
3
43==∴=a c e a c ．
考点：(1)8．5．1椭圆的定义;(2)8．5．3椭圆的几何性质． 难度：A 备注：高频考点 二、填空题
34．(2021年高考全国甲卷理科)已知12,F F 为椭圆C ：22
1164
x y
+=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原
点对称的两点，且12PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为________． 【答案】8
解析：因为,P Q 为C 上关于坐标原点对称的两点， 且12||||PQ F F =，所以四边形12PFQF 为矩形，
设12||,||PF m PF n ==，则228,48m n m n +=+=，
所以22264()2482m n m mn n mn =+=++=+，
8mn =，即四边形12PFQF 面积等于8．
故答案
：8．
35．(2021年高考全国乙卷理科)已知双曲线2
2:1(0)x C y m m
-=>
0my +=，则C
3021F PF 30
的焦距为_________． 【答案】4
0my +=
化简得y x =
，即b a =，同时平方得2223b a m
=，又双曲线中22,1a m b ==，故
231
m m
=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c = 故答案为：4
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键
36．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知F 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的右焦点，
A 为C 的右顶点，
B 为
C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________． 【答案】2
【解析】联立2222222
1x c
x y a b a b c
=⎧⎪⎪-=⎨⎪⎪=+⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±
⎪⎩，所以2
b
BF a =．
依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()
222
3b c a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2． 故答案为：2．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
37．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设12F F ，为椭圆22
:+13620
x y C =的两个焦点，M 为C 上一点且在第
一象限．若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________．
【答案】(
【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF FF c ∴===．
122212,4MF MF a MF +===．
设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则1212001
42
MF F S F
F y y =
⋅⋅=△，
又1201
442
MF F S y =
⨯=∴=△，解得0y =，
2
2
01
3620
x
∴+=，解得03
x=（
3
x=-舍去），
M的坐标为(．
法二、在得出
112
28
MF FF c
∴===．
122
212,4
MF MF a MF
+===．
222222
1122
12
112
|MF|+|FF|||8847
cos==
2|MF||FF|2888
MF
MF F
-+-
∠=
⨯⨯
，∴
12
sin
8
MF F
∠=．
∴
112
||sin8
M
y MF MF F
=∠==112
7
||cos4843
8
M
x MF MF F
=∠-=⨯-= M的坐标为(．
法三、由题知
112
28
MF F F c
===，又由焦半径公式
1
2
||6=8
3
M M
MF ex a x
=+=+，得3
M
x=，从
而得到
M
y=M的坐标为(．
【点评】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
38．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知双曲线
22
22
:1(0,0)
x y
C a b
a b
-=>>的左、右焦点分别为12
,
F F，过
1
F的直线与C的两条渐近线分别交于,A B两点．若
1
F A AB
=，
12
FB F B
⋅=，则C的离心率为．
【答案】2
解析：注意到，得到OA垂直平分，则，由渐近线的对称
率。