备考2023年中考数学一轮复习-数与式_代数式_定义新运算

备考2023年中考数学一轮复习-数与式_代数式_定义新运算
定义新运算专训
单选题：
1、
(2018扬州.中考模拟) 对于点A（x
1， y
1
），B（x
2
， y
2
），定义一种运算：A⊕B=
（x
1+x
2
）+（y
1
+y
2
）．例如,A（﹣5，4），B（2，﹣3），A⊕B=（﹣5+2）+（4
﹣3）=﹣2．若互不重合的四点C，D，E，F，满足C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，则C，D，E，F四点（）
A . 在同一条直线上
B . 在同一条抛物线上
C . 在同一反比例函数图象上
D . 是同一个正方形的四个顶点
2、
(2019.中考模拟) 数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b+1．例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）+1＝8．现将实数对（﹣2，3）放入其中得到实数m，再将实数对（m，1）放入其中后，得到的实数是（）
A . 8
B . 55
C . 66
D . 无法确定
3、
(2018滨州.中考真卷) 如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2.3]=2，那么函数y=x﹣[x]的图象为（）
A .
B .
C .
D .
4、
(2019花都.中考模拟) 对于实数a、b定义一种运算“※”，规定a※b＝
，如1※3═ ，则方程x※（﹣2）＝﹣的解是（）A . x＝4 B . x＝5 C . x＝6 D . x＝7
5、
(2019柳州.中考真卷) 定义：形如a+bi的数称为复数(其中a和b为实数，i
为虚数单位，规定i2=-1)，a称为复数的实部，b称为复数的虚部.复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数.例如
(1+3i)2=12+2×1×3i+(3i)2=1+6i+9i2=1+6i-9=-8+6i，因此，(1+3i)2的实部是-8，虚部是6.已知复数(3-mi)2的虚部是12，则实部是( )
A . -6
B . 6
C . 5
D . -5
6、
(2019玉林.中考真卷) 定义新运算：p⊕q＝，例如：3⊕5＝，3⊕（﹣5）＝，则y＝2⊕x（x≠0）的图象是（）
A .
B .
C .
D .
7、
(2020百色.中考模拟) 对于任意实数m、n，定义一种新运算m※n＝mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：2※6＝2×6﹣2﹣6+3＝7．请根据上述定义解决问题：若a＜4※x＜8，且解集中有2个整数解，则a的取值范围是（）
A . ﹣1＜a≤2
B . ﹣1≤a＜2
C . ﹣4≤a＜﹣1
D . ﹣4＜a≤﹣1
8、
(2020海淀.中考模拟) 在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点P为“同号点”．下列函数的图象中不存在“同号点”的是（）
A .
B .
C .
D .
9、
定义，则方程的解为（）
A .
B .
C .
D .
10、
定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：.若关于x的方程
有两个实数根，则k的取值范围是（）
A . 且
B .
C .
且 D .
填空题：
11、
(2019丽水.中考模拟) 如果是整数,且,那么我们规定一种记号,例如,那么记作(3,9)=2,根据以上规定,求(−2,16)=________.
12、
(2018武汉.中考模拟) 若规定一种特殊运算※为：a※b=ab- ，则（﹣1）※（﹣2）________．
13、
(2018龙岗.中考模拟) 在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为
，根据这个规则求方程的解为________．
14、
(2018南山.中考模拟) 定义新运算：对于任意有理数a、b都有a⊗b=a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：2⊗5=2×（2﹣5）+1=2×（3）+1=6+1=5．则4⊗x=13，则x=________．
15、
(2017福田.中考模拟) 在实数范围内规定新运算“△”，其规则是：
a△b=a+b-1，则x△(x-2)>3的解集为________.
16、
(2018巴中.中考真卷) 对于任意实数a、b，定义：a◆b=a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5=0的两根记为m、n，则m2+n2=________．
17、
(2020莆田.中考模拟) 我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫
做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，则该等腰三角形的顶角为
________．
18、
(2020台州.中考模拟) 阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2
＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部.它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.
例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；
（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；
（4+i）（4﹣i）＝16﹣i2＝16﹣（﹣1）＝17；
（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i
根据以上信息，完成下面计算：
（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝________.
解答题：
19、
(2019通州.中考模拟) 在平面直角坐标系xOy中，点A（x
1， y
1
），B（x
2
， y
2
），
若x
1x
2
+y
1
y
2
＝0，且A，B均不为原点，则称A和B互为正交点．比如：A（1，1），
B（2，﹣2），其中1×2+1×（﹣2）＝0，那么A和B互为正交点．
（1）点P和Q互为正交点，P的坐标为（﹣2，3），
①如果Q的坐标为（6，m），那么m的值为多少；
②如果Q的坐标为（x，y），求y与x之间的关系式；
（2）点M和N互为正交点，直接写出∠MON的度数；
（3）点C，D是以（0，2）为圆心，半径为2的圆上的正交点，以线段CD为边，构造正方形CDEF，圆心F在正方形CDEF的外部，求线段OE长度的取值范围．20、
(2018遂宁.中考真卷) 请阅读以下材料：已知向量=（x
1,y
1
），=(x
2
,y
2
)满
足下列条件：
①| |= ，| |=
② （角的取值范围是0°< <90°）；③
利用上述所给条件解答问题：
如：已知=（1，），=（- ，3），求角的大小；解：∵| |= = ，
=
∴ =2×2 cos =4 cos
又∵ = ×（- ）+ ×3=2
∴4 cos =2 ，
∴cos = ，∴ =60°
角的值为60°．
请仿照以上解答过程，完成下列问题：
已知，，求角的大小．
21、
(2018四川.中考真卷) 我们常用的数是十进制数，如
，数要用10个数码（又叫数字）：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，在电子计算机中用的二进制，只要两个数码：0和1，如二进制中等于十进制的数6，
等于十进制的数53.那么二进制中的数101011等于十进制中的哪个数？
22、
(2020呼和浩特.中考真卷) “通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”
是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程，就可以利用
该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和
换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足，求的值．
23、
【问题】探究一次函数y＝kx+k+1（k≠0）图象特点．
【探究】可做如下尝试：
y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，当x＝﹣1时，可以消去k，求出y＝1．
【发现】结合一次函数图象，发现无论k取何值，一次函数y＝kx+k+1的图象一定经过一个固定的点，该点的坐标是▲；
【应用】一次函数y＝（k+2）x+k的图象经过定点P．
①点P的坐标是▲；
②已知一次函数y＝（k+2）x+k的图象与y轴相交于点A，若△OAP的面积为3，求k的值．
24、
(2017青岛.中考真卷) 数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．
（1）
探究一：求不等式|x﹣1|＜2的解集
探究|x﹣1|的几何意义
如图①，在以O为原点的数轴上，设点A′对应的数是x﹣1，由绝对值的定义可知，点A′与点O的距离为|x﹣1|，可记为A′O=|x﹣1|．将线段A′O向右平移1个单位得到线段AB，此时点A对应的数是x，点B对应的数是1．因为AB=A′O，所以AB=|x﹣1|，因此，|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB．
探究求方程|x﹣1|=2的解
因为数轴上3和﹣1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2，所以方程的解为3，﹣1．
探究：
求不等式|x﹣1|＜2的解集
因为|x﹣1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围．
请在图②的数轴上表示|x﹣1|＜2的解集，并写出这个解集．
（2）
探究二：探究的几何意义
探究：
的几何意义
如图③，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为（x，0），Q点坐标为（0，y），OP=|x|，OQ=|y|，
在R t△OPM中，PM=OQ=|y|，则MO= = = ，因此，的几何意义可以理解为点M（x，y）与点O（0，0）之间的距离MO．
探究：
的几何意义
如图④，在直角坐标系中，设点A′的坐标为（x﹣1，y﹣5），由探究二（1）
可知，A′O= ，将线段A′O先向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到线段AB，此时点A的坐标为（x，y），点B的坐标为（1，5），
因为AB=A′O，所以AB= ，因此的几何意义可以理解为点A（x，y）与点B（1，5）之间的距离AB．
探究的几何意义
①请仿照探究二的方法，在图⑤中画出图形，并写出探究过程．
② 的几何意义可以理解为：
（3）
拓展应用：
① + 的几何意义可以理解为：点A（x，y）与点E（2，﹣1）的距离和点A（x，y）与点F（填写坐标）的距离之和．
② + 的最小值为（直接写出结果）
25、
我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形．如图，△ABC中，AB＝AC 且∠A＝36°，则△ABC为黄金三角形．
（1）尺规作图：作∠B的角平分线，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）．（2）请判断△BDC是否为黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
定义新运算答案
1.答案：A
2.答案：C
3.答案：A
4.答案：C
5.答案：C
6.答案：D
7.答案：B
8.答案：
9.答案：
10.答案：
11.答案：
12.答案：
13.答案：
14.答案：
15.答案：
16.答案：
17.答案：
18.答案：
19.答案：
20.答案：
21.答案：
22.答案：
23.答案：
24.答案：
25.答案：。