2025届湖北省武汉市钢城第四中学高三5月综合测试(三模)数学试题文试题

2025届湖北省武汉市钢城第四中学高三5月综合测试（三模）数学试题文试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知椭圆22y a +2
2x b =1(a >b >0)与直线1y a x b -=交于A ，B 两点，焦点F (0，-c )，其中c 为半焦距，若△ABF 是直角
三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A ．
5-1
2
B ．
3-12
C ．
31
4
+ D ．
51
4
+ 2．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301
x
x -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
3．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．
的是（ ）
A ．点F 的轨迹是一条线段
B ．1A F 与BE 是异面直线
C ．1A F 与1
D
E 不可能平行
D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值
4．已知复数z 满足(3)1i z i +=+，则z 的虚部为（ ） A ．i -
B ．i
C ．–1
D ．1
5．已知函数3sin ()(1)()x x x x
f x x m x e e
-+=+-++为奇函数，则
m =（ ） A ．
12
B ．1
C ．2
D ．3
6．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（ ）
A ．1?S >-
B ．0?S <
C ．–1?S <
D ．0?S >
7．已知a >0，b >0，a +b =1，若 α=11
a b a b
β+=+，，则αβ+的最小值是（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8．复数1z 在复平面内对应的点为()22,3,2,z i =-+则1
2
z z =（ ） A ．1855
i -
+ B ．1855
i -
- C ．815i -+
D ．815
i --
9．过抛物线2
4y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，
则直线AB 的斜率为( ) A ．2±B ．2- C ．2D ．22±
10．已知函数()()6
14,7,7
x a x x f x a
x -⎧-+≤=⎨
>⎩是R 上的减函数，当a 最小时，若函数()4y f x kx =--恰有两个零点，
则实数k 的取值范围是（ ） A ．1
(,0)2
-
B ．1(2,)2
- C ．(1,1)-
D ．1(,1)2
11．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）
A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著
B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关
C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上
D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列 12．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）
A ．1-
B ．
23
C ．
32
D ．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设1F ，2F 分别是椭圆C ：22
221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，直线l 过1F 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴
于E 点，若满足112F E AF =，且
1260EF F ∠=，则椭圆C 的离心率为______. 14．若关于x 的不等式1
12
log (4
2)0x x λ++⋅<在0x >时恒成立，则实数λ的取值范围是_____
15．如图所示，点()1,2A ，B 均在抛物线2
4y x =上，等腰直角ABC 的斜边为BC ，点C 在x 轴的正半轴上，则点B 的坐标是________.
16．如图，AB 是圆O 的直径，弦,BD CA 的延长线相交于点,E EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：
2··AB BE BD AE AC =-
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研发投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格试销，得到一组检测数据如表所示: 试销价格
x (元)
4 5 6
7
8 9
产品销量y (件)
89 83 82 79 74 67
已知变量,x y 且有线性负相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲453y x =+； 乙
4105y x =-+；丙 4.6104y x =-+，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.
（1）试判断谁的计算结果正确？
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数X 的分布列和数学期望.
18．（12分）已知2()2ln(2)(1)()(1)f x x x g x k x =+-+=+，.
（1）求()f x 的单调区间；
（2）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；
（3）若存在01x >-，使得当0(1,)x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围. 19．（12分）如图，已知椭圆，为其右焦点，直线
与椭圆交于
两点，
点
在上，且满足
.(点
从上到下依次排列)
(I )试用表示：
(II )证明：原点到直线l 的距离为定值. 20．（12分）如图，在三棱柱ADE
BCF 中，ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，CDEF 是矩形，1ED =，
且平面CDEF ⊥平面ABCD ，P 点在线段BC 上移动（P 不与C 重合），H 是AE 的中点.
（1）当四面体EDPC 的外接球的表面积为5π时，证明：//HB .平面EDP
（2）当四面体EDPC 的体积最大时，求平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角的余弦值. 21．（12分）已知ABC ∆3
1AB AC ⋅=-. （1）求角A 的大小及BC 长的最小值； （2）设M 为BC 的中点，且2
3
AM =
BAC ∠的平分线交BC 于点N ，求线段MN 的长. 22．（10分）已知函数2
()(1)ln f x x ax a x =-+- （I ）若2a ≥-讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）若0a >，且对于函数()f x 的图象上两点()()()()()1112221
2,,P x f x P x f x x
x <，存在()012,x x x ∈，使得函数
()f x 的图象在0x x =处的切线12//l PP .求证：12
02
x x x +<
. 参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解题分析】
联立直线与椭圆方程求出交点A ，B 两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式，解方程求解即可. 【题目详解】
联立方程22
22
11
y x a b y x a b
⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解方程可得0x y a =⎧⎨=⎩或0x b y =-⎧⎨=⎩，
不妨设A (0，a )，B (-b ，0)，由题意可知，BA ·BF =0， 因为(),BA b a =，(),BF b c =-，
由平面向量垂直的坐标表示可得，0b b ac ⋅-=， 因为222b a c =-，所以a 2-c 2=ac ， 两边同时除以2a 可得，210e e +-=， 解得e
e =，
故选：A 【题目点拨】
本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于,,a b c 的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型. 2、D 【解题分析】
由题意，本题符合几何概型，只要求出区间的长度以及使不等式成立的x 的范围区间长度，利用几何概型公式可得概率，即等差数列的公差，利用条件2642a a a +=，求得42a =-，从而求得1033
n n
a =-+，解不等式求得结果. 【题目详解】
由题意，本题符合几何概型，区间[]3,3-长度为6， 使得
301
x
x -≥-成立的x 的范围为(]1,3，区间长度为2，
故使得
301
x x -≥-成立的概率为21
63d ==，
又26442a a a +=-=，42a ∴=-，()11024333
n n
a n ∴=-+-⨯=-+， 令0n a >，则有10n >，故n 的最小值为11， 故选：D. 【题目点拨】
该题考查的是有关几何概型与等差数列的综合题，涉及到的知识点有长度型几何概型概率公式，等差数列的通项公式，属于基础题目. 3、C 【解题分析】
分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，体积公式分别进行判断． 【题目详解】
对于A ，设平面1AD E 与直线BC 交于点G ，连接AG 、EG ，则G 为BC 的中点 分别取1B B 、11B C 的中点M 、N ，连接AM 、MN 、AN ，
11//A M D E ，1A M ⊂/平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ， 1//A M ∴平面1D AE ．同理可得//MN 平面1D AE ， 1A M 、MN 是平面1A MN 内的相交直线
∴平面1//A MN 平面1D AE ，由此结合1//A F 平面1D AE ，可得直线1A F ⊂平面1A MN ，
即点F 是线段MN 上上的动点．A ∴正确． 对于B ，
平面1//A MN 平面1D AE ，BE 和平面1D AE 相交，
1A F ∴与BE 是异面直线，B ∴正确．
对于C ，由A 知，平面1//A MN 平面1D AE ，
1A F ∴与1D E 不可能平行，C ∴错误．
对于D ，因为//MN EG ，则F 到平面1AD E 的距离是定值，三棱锥1F AD E -的体积为定值，所以D 正确； 故选：C ． 【题目点拨】
本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 4、C 【解题分析】
利用复数的四则运算可得2z i =--，即可得答案. 【题目详解】
∵(3)1i z i +=+，∴131i
z i i
++=
=-， ∴2z i =--，∴复数z 的虚部为1-. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查复数的四则运算、虚部概念，考查运算求解能力，属于基础题. 5、B 【解题分析】
根据()f x 整体的奇偶性和部分的奇偶性，判断出m 的值. 【题目详解】
依题意()f x 是奇函数.而3sin y x x =+为奇函数，x x
y e e -=+为偶函数，所以()()()1g
x x m x =+-为偶函数，故
()()0g x g x --=，也即()()()()110x m x x m x +---+=，化简得()220m x -=，所以1m =.
故选：B 【题目点拨】
本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数值，属于基础题. 6、B 【解题分析】
根据程序框图知当11=i 时，循环终止，此时1lg110S =-<，即可得答案. 【题目详解】
1i =，1S =.运行第一次，1
1lg 1lg30,33S i =+=->=，不成立，运行第二次，
13
1lg lg 1lg50,535
S i =++=->=，不成立，运行第三次，
135
1lg lg lg 1lg70,7357S i =+++=->=，不成立，运行第四次，
1357
1lg lg lg lg 1lg90,93579S i =++++=->=，不成立，运行第五次，
13579
1lg lg lg lg lg 1lg110,11357911
S i =+++++=-<=，成立，
输出i 的值为11，结束. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查补充程序框图判断框的条件，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意模拟程序一步一步执行的求解策略. 7、C 【解题分析】
根据题意，将a 、b 代入αβ+，利用基本不等式求出最小值即可. 【题目详解】 ∵a >0，b >0，a +b =1，
∴
21
1111152a b a b
ab a b αβ+=+++=+
≥+=+⎛⎫
⎪⎝⎭
， 当且仅当1
2
a b ==时取“＝”号． 答案：C 【题目点拨】
本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题. 8、B 【解题分析】
求得复数1z ，结合复数除法运算，求得1
2
z z 的值.
【题目详解】 易知123z i =+，则()()1223(23)(2)(23)(2)2225z i i i i i z i i i ++--+--===-+-+--1818555
i i --==--. 故选：B 【题目点拨】
本小题主要考查复数及其坐标的对应，考查复数的除法运算，属于基础题. 9、D 【解题分析】
根据抛物线的定义，结合||3AF =，求出A 的坐标，然后求出AF 的斜率即可． 【题目详解】
解：抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，
设(,)A x y ，则||13AF x =+=，故2x =
，此时y =±(2,
22)A ．
则直线AF
的斜率21
k ±==±- 故选：D ． 【题目点拨】
本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题． 10、A 【解题分析】
首先根据()f x 为R 上的减函数，列出不等式组，求得
112a ≤<，所以当a 最小时，1
2
a =，之后将函数零点个数转化为函数图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果. 【题目详解】
由于()f x 为R 上的减函数，则有()10
01714
a a a a ⎧-<⎪<<⎨
⎪≤-+⎩
，可得1
12a ≤<， 所以当a 最小时，12
a =
， 函数()4y f x kx =--恰有两个零点等价于方程()4f x kx =+有两个实根，
等价于函数()y f x =与4y kx =+的图像有两个交点．
画出函数()f x 的简图如下，而函数4y kx =+恒过定点()0,4，
数形结合可得k 的取值范围为102
k -<<． 故选：A.
【题目点拨】
该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有分段函数在定义域上单调减求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，数形结合思想的应用，属于中档题目.
11、D
【解题分析】
由折线图逐项分析即可求解
【题目详解】
选项A ，B 显然正确；
对于C ，2.9 1.60.81.6
->，选项C 正确； 1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故D 错.
故选：D
【题目点拨】
本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题
12、D
【解题分析】
模拟程序运行，观察变量值的变化，得出S 的变化以4为周期出现，由此可得结论．
【题目详解】 234,1;1,2;,3;,4;4,532S i S i S i S i S i ===-=======；如此循环下去，当2020i =时，3;4,20212S S i ===，此时不满足2021i <，循环结束，输出S 的值是4.
故选：D ． 【题目点拨】 本题考查程序框图，考查循环结构．解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，可得结论．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、713- 【解题分析】
采用数形结合，计算1F E 以及1AF ，然后根据椭圆的定义可得2AF ，并使用余弦定理以及c e a
=
，可得结果. 【题目详解】
如图 由1260EF F ∠=，所以12cos60
c F E c == 由112F E AF =，所以1112
AF F E c == 又122AF AF a +=，则22AF a c =-
所以2221212
12121
cos 2AF F F AF AF F AF F F +-∠= 所以()()22222cos12022c c a c c c
+--=⋅ 化简可得：()2
27227c a c a c c =-⇒-=
则
c
a
==
故答案为：
1
3
【题目点拨】
本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档题.
14、3
λ≥-
【解题分析】
利用对数函数的单调性，将不等式去掉对数符号，再依据分离参数法，转化成求构造函数最值问题，进而求得λ的取值范围。

【题目详解】
由
1
1
2
log(42)0
x x
λ
++⋅<
得1
421
x x
λ
++⋅>，两边同除以2x，得到，
1
42
2
x
x
λ>-⋅，
x，设21
x
t=>，
1
4t
t
λ
∴>-，由函数
1
4
y t
t
=-在()
1+∞
，上递减，
所以
1
4143
t
t
-<-=-，故实数λ的取值范围是3
λ≥-。

【题目点拨】
本题主要考查对数函数的单调性，以及恒成立问题的常规解法——分离参数法。

15
、(3,
【解题分析】
设出,B C两点的坐标，结合抛物线方程、两条直线垂直的条件以及两点间的距离公式列方程，解方程求得B的坐标. 【题目详解】
设()()()
,,,0,,,0
B a b
C c a b c>，由于B在抛物线上，所以24
b a
=.由于三角形ABC是等腰直角三角形，AC BA
⊥，所以
22
1
11
AC BA
b
k k
c a
-
⋅=⋅=-
--
.由AB AC
=
=
()
()
2
2
2
2
64
124
42
b
b
b
⎛⎫
-+-=+
⎪
+
⎝⎭
，可得()()()
222
2
416264162
b b b
⎡⎤⎡⎤
-⨯++=⨯++
⎣⎦⎣⎦，所以24
8
b-=，解得
b=
3
a=.所以(
3,
B.
故答案为：(3,
【题目点拨】
本题考查抛物线的方程和运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
16、证明见解析．
【解题分析】
试题分析：,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅，又△ABC ∽△AEF ，所以AB AC AE AF
=，即AB AF AE AC ⋅=⋅，得证．
试题解析：
A ．连接AD ，因为A
B 为圆的直径，所以AD BD ⊥，
又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，
所以BD BE BA BF ⋅=⋅．
又△ABC ∽△AEF ， 所以AB AC AE AF
=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴()2BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）乙同学正确
（2）分布列见解析， ()32
E X =
【解题分析】
（1）由已知可得甲不正确，求出样本中心点(,)x y 代入验证，即可得出结论；
（2）根据（1）中得到的回归方程，求出估值，得到“理想数据”的个数，确定“理想数据”的个数X 的可能值，并求出概率，得到分布列，即可求解.
【题目详解】
（1）已知变量,x y 具有线性负相关关系，故甲不正确， 6.5,79x y ==，代入两个回归方程，验证乙同学正确，
故回归方程为：4105y x =-+
（2）由（1）得到的回归方程，计算估计数据如下表：
“理想数据”有3个，故“理想数据”的个数X 的取值为:
0,1,2,3. ()0333361020C C P X C ===，()1233369120
C C P X C === ()2133369220C C P X C ===，()3033361120
C C P X C === 于是“理想数据”的个数X 的分布列
()0123202020202
E X ∴=⨯
+⨯+⨯+⨯= 【题目点拨】 本题考查样本回归中心点与线性回归直线方程关系，以及离散型随机变量的分布列和期望，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.
18、（1）单调减区间为3(2,
)2-+-，单调增区间为3()2-+∞；（2）详见解析；（3）(,2)-∞. 【解题分析】
试题分析：（1）对函数()f x 求导后，利用导数和单调性的关系，可求得函数()f x 的单调区间.（2）构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数求得函数()h x 在()1,-+∞上递减，且()10h -=，则()0h x <，故原不等式成立.（3）同（2）构造函数()()()h x f x g x =-，对k 分成2,2,2k k k =三类，讨论函数(
)h x 的单调性、极值和最值，由此求得k 的取值范围.
试题解析：
（1）()()2'212
f x x x =-++ ()2231
(2)2x x x x -++=>-+，
当()'0f x <时，2310++>x x .
解得x >
当()'0f x >时，解得2x -<<．
所以()f x 单调减区间为32,2⎛-- ⎝
⎭，
单调增区间为32⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
． （2）设()()()h x f x g x =-
()()()2
2ln 211(1)x x k x x =+-+-+>-，
当2k =时，由题意，当()1,x ∈-+∞时， ()0h x <恒成立．
()()
223122'x x x h x -++=-+
()()2312
x x x -++=+， ∴当1x >-时，()'0h x <恒成立，()h x 单调递减．
又()10h -=，
∴当()1,x ∈-+∞时，()()10h x h <-=恒成立，即()()0f x g x -<．
∴对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立．
（3）因为()()
223'12x x k x h x -++=-+
()226222
x k x k x ++++=-+． 由（2）知，当2k =时，()()f x g x <恒成立，
即对于1x ∀>-，()()()2
2ln 2121x x x +-+<+，
不存在满足条件的0x ；
当2k >时，对于1x ∀>-，10x +>，
此时()()211x k x +<+．
∴()()()()2
2ln 21211x x x k x +-+<+<+，
即()()f x g x <恒成立，不存在满足条件的0x ；
当2k <时，令()()()22622t x x k x k =--+-+， 可知()t x 与()'h x 符号相同，
当()0,x x ∈+∞时，()0t x <，()'0h x <，
()h x 单调递减．
∴当()01,x x ∈-时，()()10h x h >-=，
即()()0f x g x ->恒成立．
综上，k 的取值范围为(),2-∞．
点睛：本题主要考查导数和单调区间，导数与不等式的证明，导数与恒成立问题的求解方法.第一问求函数的单调区间，这是导数问题的基本题型，也是基本功，先求定义域，然后求导，要注意通分和因式分解.二、三两问一个是恒成立问题，一个是存在性问题，要注意取值是最大值还是最小值.
19、 (I )
；(II )证明见解析
【解题分析】
(I )直接利用两点间距离公式化简得到答案.
(II ) 设，，联立方程得到，，代入化简得到，计算得到证明.
【题目详解】
(I ) 椭圆，故，
.
(II )设，，则将代入得到： ，故
， ， ，故，得到， ，故，同理：，
由已知得：或， 故
， 即，化简得到. 故原点到直线l 的距离为
为定值. 【题目点拨】 本题考查了椭圆内的线段长度，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20、（1）证明见解析（2）78 【解题分析】
（1）由题意，先求得P 为BC 的中点，再证明平面//HMB 平面EDP ，进而可得结论；
（2）由题意，当点P 位于点B 时，四面体EDPC 的体积最大，再建立空间直角坐标系，利用空间向量运算即可.
【题目详解】
（1）证明：当四面体EDPC 的外接球的表面积为5π时.
则其外接球的半径为52. 因为ABCD 时边长为2的菱形，CDEF 是矩形.
1ED =，且平面CDEF ⊥平面ABCD .
则ED ABCD ⊥平面，5EC =.
则EC 为四面体EDPC 外接球的直径.
所以90EPC ∠=︒，即CB EP ⊥.
由题意，CB ED ⊥，EP ED E =，所以CB DP ⊥.
因为60BAD BCD ∠=∠=︒，所以P 为BC 的中点.
记AD 的中点为M ，连接MH ，MB .
则MB DP ，MH DE ，DE DP D ⋂=，所以平面//HMB 平面EDP .
因为HB ⊂平面HMB ，所以//HB 平面EDP .
（2）由题意，ED ⊥平面ABCD ，则三棱锥E DPC -的高不变.
当四面体EDPC 的体积最大时，DPC △的面积最大.
所以当点P 位于点B 时，四面体EDPC 的体积最大.
以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.
则()0,0,0D ，()0,0,1E ，)
3,1,0B ，311,22H ⎫-⎪⎝⎭，()0,2,0C . 所以()3,1,0DB =，311,222DH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,2,1EC =-，()
3,1,1EB =-. 设平面HDB 的法向量为()111,,m x y z =.
则1111130,3110,222DB m x y DH m x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
令11x =，得(1,3,23=--m .
设平面EBC 的一个法向量为()222,,n x y z =. 则2222220,30,
EC n y z EB n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 令23y =，得()
3,3,6n =. 设平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角是ϕ，则7cos 8
ϕ⋅==m n
m n . 所以当四面体EDPC 的体积最大时，平面HDP 与平面EPC 所成锐二面角的余弦值为
78. 【题目点拨】
本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，正确运用平面与平面的平行、线面平行的判定，利用好空间向量是关键，属于基础题．
21、（1）23A π=，min 6BC =（2）7MN =【解题分析】
（1）根据面积公式和数量积性质求角A 及最大边a ；
（2）根据AM 的长度求出b ，c 再根据面积比值求BM ，BN 从而求出MN ．
【题目详解】
（1）在ABC ∆中，由1AB AC =-，得cos 1cb A =-，
由ABC S ∆=
，得sin bc A = 所以222()(cos sin )4bc A A +=，
所以2bc =，1cos 2
A =-， 因为在ABC ∆中，0A π<<，所以23
A π=， 因为222222cos 222a b c bc A b c bc =+-=+++（当且仅当b c =时取等），
所以BC
；
（2）在三角形ABC 中，因为AM 为中线，
所以AM AB BM =+，AM AC CM =+，所以2AM AB AC =+，
因为2
AM =2222(2)()23AM AB AC b c =+=+-=， 所以225b c +=，
由（1）知2bc =，所以1b =，2c =或2b =，1c =，
所以2222cos a b c bc A =+-=，
因为AN 为角平分线，1sin 23ABN S AB AN π∆=，1sin 23
ACN S AC AN π∆=， ∴12
ABN ACN S c BN S b CN ∆∆==
=或2， 所以
BM =
BN =
， 所以MN =
【题目点拨】
本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,余弦定理解三角形及三角形面积公式的应用，属于中档题．
22、 (1)见解析(2)见证明
【解题分析】
(1)对函数()f x 求导，分别讨论0a ≥，20a -<<以及2a =-，即可得出结果；
(2)根据题意，由导数几何意义得到()()()()1122110122122ln
2R P x a f x f x x f x k x x a x x x x -===+-+++'-，将证明1202x x x +<转化为证明()2121122ln x x x x x x ->+即可，再令21x t x =，设()()21ln 1
t g t t t -=-+ (1)t >，用导数方法判断出()g t 的单调性，进而可得出结论成立.
【题目详解】
（1）解：易得，函数()f x 的定义域为()0,+∞，
()()()()1221x x a a f x x a x x
-+=-+='-， 令()0f x '=，得1x =或2a x =-
. ①当0a ≥时，01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；
1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.
此时，()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞.
②当20a -<<时，12
a x -<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 02
a x <<-或1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 此时，()f x 的减区间为,12a ⎛⎫-
⎪⎝⎭，增区间为0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,+∞. ③当2a =-时，0x >时，()()2210x f x x -'=
>，函数()f x 单调递增；
此时，()f x 的减区间为()0,+∞. 综上，当0a ≥时，()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞：
当20a -<<时，()f x 的减区间为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，增区间为0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.()1,+∞； 当2a =-时，()f x 增区间为()0,+∞.
（2）证明：由题意及导数的几何意义，得()()()1121021R P f x f x f x k x x =='--
()()2222211121
1ln 1ln x ax a x x ax a x x x ⎡⎤⎡⎤-+---+-⎣
⎦⎣⎦=- ()2
11222ln
2x a x x x a x x =+-+++ 由（1）中()f x '得()121212
222x x a f x x a x x +⎛⎫=+-+- ⎪+⎭'⎝. 易知，导函数()()21a f x x a x
=-+-' (0)a >在()0,+∞上为增函数， 所以，要证1202x x x +<，只要证()1202
x x f x f +⎛⎫< ⎪⎝'⎭'， 即212112ln
2x a x a x x x x <--+，即证()2121122ln x x x x x x ->+. 因为210x x >>，不妨令21x t x =，则()()21ln 1
t g t t t -=-+ (1)t >. 所以()()()()222
114011t g t t t t t -=-=+'>+ (1)t >， 所以()g t 在()1,t ∈+∞上为增函数，
所以()()10g t g >=，即()
21ln 01t t t -->+，
所以()
21ln 1t t t ->+，即ln 211
t t t >-+， 即()212112
2ln x x x x x x ->+. 故有1202x x x +<
（得证）. 【题目点拨】
本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，利用导数的方法研究函数的单调性以及函数极值等即可，属于常考题型.。