创新设计浙江专用2018版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I第4讲幂函数与二次函数课件

(1)二次函数解析式的三种形式：
ax2＋bx＋c(a≠0) 一般式：f(x)＝________________. (m，n) 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为_______. 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
考点二 二次函数的图象与性质 【例2】 (2017· 湖州调研)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6]. (1)当a＝－2时，求f(x)的最值；
(2) 求实数 a 的取值范围，使 y ＝ f(x) 在区间 [ － 4 ， 6] 上是单调函
数； (3)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间. 解 (1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， 由于x∈[－4，6]，∴f(x)在[－4，2]上单调递减， 在[2，6]上单调递增，∴f(x)的最小值是f(2)＝－1，
又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数 f(x)的图象开口向上，对称轴是 x＝－a， 所以要使 f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4 或－a≥6， 即 a≤－6 或 a≥4，故 a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞). (3)当 a＝－1 时，
1
答案 (1)C (2)D
规律方法
(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、
单调性；
(2)α的正负：当α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限 的图象上升；当α<0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一 象限的图象下降. (3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当
的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的
命题角度二 二次函数的零点问题
【例 3－2】(2016· 全国Ⅱ卷)已知函数 f(x)(x∈R)满足 f(x)＝f(2－x)， 若函数 y＝|x2－2x－3|与 y＝f(x)图象的交点为(x1， y1)， ( x2 ， y2 ) ， „， (xm，ym)，则 xi＝(
【训练3 】 (2016· 九江模拟 ) 已知f(x)＝ x2＋ 2(a－ 2)x＋ 4 ，如 果对x∈[－3，1]，f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围为 ________.
解析 因为f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，
对称轴x＝－(a－2)， 对x∈[－3，1]，f(x)＞0恒成立，
所以讨论对称轴与区间[－3，1]的位置关系得：
规律方法
(1) 对于函数 y ＝ ax2 ＋bx ＋ c ，若是二次函数，就
隐含着 a≠0 ，当题目未说明是二次函数时，就要分 a ＝ 0 和 a≠0两种情况讨论.
(2) 由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，
转 化 为 求 函 数 最 值 问 题 ， 其 依 据 是 a≥f(x)⇔a ≥ f(x)max ， a≤f(x)⇔a≤f(x)min.
解析
2 m －3m＋3＝1， 由 2 解得 m －m－2≤0，
m＝1 或 2.
经检验 m＝1 或 2 都适合.
答案 1或2
6.若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数， 则实数a的取值范围是________.
解析 二次函数f(x)图象的对称轴是x＝1－a，由题意知1－
见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函 数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)， 事半功倍.
【训练2】 (1)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能
是( )
(2)(2017· 武汉模拟 ) 若函数 f(x) ＝ (x ＋ a)(bx ＋ 2a)( 常数 a ， b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解 析式f(x)＝________.
－ A.－∞，
5－1 2
B. D.
5－1 ，＋∞ 2 5－1 ，2 2
C.(－1，2)
解析
(1)由幂函数的定义知 k＝1.又 f
1 ＝ 2
1α 2 2 2 ，所以2 ＝ 2 ，
1 3 解得 α＝2，从而 k＋α＝2. (2)因为函数 y＝x2的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所 1 m ≥ － ， 2 2m＋1≥0， 2 － 5－1 5－1 以不等式等价于m ＋m－1≥0， 解得 或m≥ ， 2m＋1>m2＋m－1. m≤ 2 2 －1＜m＜2， 5－1 即 2 ≤m<2.
2 2 x ＋ 2 x ＋ 3 ＝（ x ＋ 1 ） ＋2，x≤0， 2 f(|x|)＝x －2|x|＋3＝ 2 2 x －2x＋3＝（x－1） ＋2，x>0，
其图象如图所示，
又∵x∈[－ 4 ，6]，∴ f(|x|) 在区间 [－ 4，－1) 和 [0 ， 1) 上为减 函数，在区间[－1，0)和[1，6]上为增函数. 规律方法 解决二次函数图象与性质问题时要注意： (1) 抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常
1 1 ∴α＝2，因此 f(x)＝x2，根据图象的特征，C 正确.
(2)∵幂函数 f(x)＝(n ＋2n－2)x
2 n ＋2n－2＝1， ∴ 2 ∴n＝1， n －3n<0，
2
n
2
－3n
在(0，＋∞)上是减函数，
又 n＝1 时，f(x)＝x－2 的图象关于 y 轴对称，故 n＝1. 答案 (1)C (2)B
答案 A
3.已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值是( A.5 C.6 B.－5 D.－6
)
解析
由f(1)＝f(2)＝0知方程x2＋px＋q＝0的两根分别为1，
2，则p＝－3，q＝2，∴f(x)＝x2－3x＋2，∴f(－1)＝6. 答案 C
4.(2017· 杭州测试)若函数 f(x)是幂函数，则 f(1)＝________，若满 足 f(4)＝8f(2)，则
(2)由题意知，x2＋2x＋1>x＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即 k<x2 ＋x＋1 在区间[－3，－1]上恒成立，令 g(x)＝x2＋x＋1，x∈[－3， －1]，由
12 3 g(x)＝x＋2 ＋ 知 4
g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，
则 g(x)min＝g(－1)＝1，所以 k<1，故 k 的取值范围是(－∞，1).
减； 单调性
b － ，＋∞ 2a 上单调递 在____________
递增；
b 在－2a，＋∞上单调递
增a对称
诊断自测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数 y＝2x3是幂函数.(
1
) ) )
(2)当 n>0 时，幂函数 y＝xn 在(0，＋∞)上是增函数.( (3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数.(
(4) 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(x∈[a ， b]) 的 最 值 一 定 是 4ac－b2 4a .( )
解析 (1)由于幂函数的解析式为 f(x)＝x ， 故 y＝2x3不是幂函数， (1)错. (3)由于当 b＝0 时，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c 为偶函数，故(3)错. 4ac－b b b (4)对称轴 x＝－2a， 当－2a小于 a 或大于 b 时， 最值不是 4a ， 故(4)错.
答案 (1)D (2)－2x2＋4
考点三 二次函数的应用(多维探究)
命题角度一 二次函数的恒成立问题
【例3－1】 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R. (1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单 调区间； (2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求
解析
(1)由 A，C，D 知，f(0)＝c<0，从而由 abc>0，所以 ab<0，
b 所以对称轴 x＝－2a>0，知 A，C 错误，D 满足要求；由 B 知 f(0) b ＝c>0，所以 ab>0，所以 x＝－2a<0，B 错误. (2)由 f(x)是偶函数知 f(x)图象关于 y 轴对称， ∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋2a2，又 f(x)的值域为(－∞，4]， ∴2a2＝4，故 f(x)＝－2x2＋4.
图象
定义域
(－∞，＋∞)
(－∞，＋∞)
值域
4ac－b2 ，＋∞ 4 a ______________
b 在－∞，－2a上单调递
4ac－b2 －∞， 4 a _______________
b －∞，－ 2a 上单调 在_____________
第4讲
幂函数与二次函数
最新考纲
1
1.了解幂函数的概念；掌握幂函数 y＝x，y＝x2，y＝ 1 x 的图象和性质；2.理解二次函数的图象和性质，
x
3
，y＝x2，y＝
能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
知识梳理
1.幂函数 (1)幂函数的定义 y＝xα 的函数称为幂函数，其中x是自变量， 一般地，形如_______ α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象
图象和性质是解题的关键.
【训练1】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)
的图象是(
)
(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴 对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( A.－3 B.1 )