2022-2023学年河北省石家庄市第四十二中学九年级上学期数学期末考试卷含详解

石家庄市第42中学2022－2023年度第一学期
九年级阶段性学情调研数学
注意事项：本试卷分卷Ⅰ和Ⅱ两部分，卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题．本试卷共120分，考试时间90分钟．
卷（Ⅰ）客观题
一、选择题（本大题共16个小题，每小题3分，共48分）
1.下列说法正确的是（）
A.长度相等的弧是等弧
B.直径是圆中最长的弦
C.弧是半圆
D.三点确定一个圆
2.若反比例函数()0k
y k x
=≠的图象经过点()2,1，则该函数图象一定经过（）A.
()
1,1- B.12,
2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
C.
()
1,2- D.1,42⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
3.在Rt △ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB =，3AC =，则C ∠的余弦值为（）
A.
3
B.
23
C.
355
D.
13
4.关于x 的方程()()131x x x -=-，下列解法完全正确的是（）
①两边同时除以()1x -得3x =；
②整理得243x x -=-， 1a =，4b =-，3c =-，2428b ac -=，∴422
x ==±
；
③整理得243x x -=-，配方得2421x x -+=-，∴()2
21x -=-，∴21x -=±，∴11x =，23x =；④移项得：()()310x x --=，∴30x -=或10x -=，∴11x =，23x =．A.①
B.②
C.④
D.③④
5.共同富裕的要求是：在消除两极分化和贫穷基础上实现普遍富裕．下列有关个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（
）
A.平均数小，方差大
B.平均数小，方差小
C.平均数大，方差小
D.平均数大，方差大
6.用一个半径为3,面积为3π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（）
A.
π
B.2π
C.2
D.1
7.已知二次函数20.50.5y x x =--，求顶点坐标．小明的计算过程如下：解：20.50.5y x x =--(
)
2
0.520.5y x x =--……①
()20.52110.5y x x =-+--……②()2
0.51 1.5y x =--……③
∴顶点坐标是()1, 1.5-……④请你认真检查一下，小明是从第（）步开始出现错误的．
A.①
B.②
C.③
D.④
8.如图所示，棋盘上有A 、B 、C 三个黑子与P 、Q 两个白子，要使△ABC ∽△RPQ ，则第三个白子R 应放的位置可以是（
）
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
9.初三年级甲、乙、丙、丁四个级部举行了知识竞赛，如图，平面直角坐标系中，x 轴表示级部参赛人数，y 轴表示竞赛成绩的优秀率（该级部优秀人数与该级部参加竞赛人数的比值），其中描述甲、丁两个级部情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个级部在这次知识竞赛中成绩优秀人数的多少正确的是（
）
A.甲>乙>丙>丁
B.丙>甲=丁>乙
C.甲=丁>乙>丙
D.乙>甲=
丁>丙
10.已知函数23y ax bx =++的图像如图所示，则a ，b 的值可能是（
）
A.1a =，2b =
B.1a =，2b =-
C.1a =-，2b =
D.1a =-，2
b =-11.有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x 个人，下列结论：①1轮后有()1x +个人患了流感；②第2轮又增加()2
1x +个人患流感；③依题意可得方程()2
181x +=；④不考虑其
他因素经过三轮一共会有648人感染．所以正确的结论为（）
A.①③
B.①②③
C.①③④
D.①②③④
12.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 沿EF 折叠，点C 的对应点为O ，连接AO ，使AO 平分∠BAC ，若∠BAC ＝∠CFE ＝50°，则点O 是（
）
A.△ABC 的内心
B.△ABC 的外心
C.△ABF 的内心
D.△ABF 的外心
13.如图，M 是O 上一个定点，将直角三角板的30︒角顶点与点M 重合，两边与O 相交，设交点为A ，B ，绕点M 顺时针旋转三角板，直至其中一个交点与点M 重合时停止旋转，设AB y =，旋转角为a ，下列能反映y 与a 关系的为（
）
A. B. C.
D.
14.如图，O 是ABC 的外接圆，在弧BC 上找一点M ，使点M 平分弧BC ．以下是甲乙丙三种不同的作法：
作法正确的个数是（）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
15.二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）中的x 与y 的部分对应值如表，下列选项正确的是（）
x
……
2
-0134……
y (6)
4-6-4
-m ……
A.6
m = B.这个函数的图像与x 轴无交点C.二次函数2y ax bx c =++有最小值6
- D.当1x <，y 的值随x 值得增大而减小
16.定义新运算：()()
2a b a b a b b a a b ⎧+≤⎪⊕=⎨->⎪⎩，则函数1y x =⊕的图象大致为（）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写）
二、填空题（本大题共4个小题，每空4分，共32分）
17.已知关于x 的一元二次方程()2
1410a x x -+-=有两个实数根，则a 的取值范围是______．
18.有一处斜坡如图所示，分为8m MO NO ==的两段，MO 段的坡度为1:1，NO 段的坡度为，则
MON ∠=_______°．若将两段斜坡建造成台阶，且每一级台阶的高度不超过15cm ，则这一处斜坡最少可以建造
的台阶数为_______级． 1.41≈ 1.73≈）
19.如图，已知二次函数21y x bx b =+++的图象经过点()2,3A -．
（1）b =______；
（2）将抛物线沿x 轴平移n 个单位，使平移后的抛物线经过点()1,3B ，则n =______；（3）当22x -<<时，该二次函数y 的取值范围为______．
20.小明要在边长为10的正方形内设计一个有共同中心O 的正多边形，使其能在正方形内自由旋转．
（1）如图1．若这个正多边形为边长最大的正六边形，
EF =______；
（2）如图2，若这个正多边形为正EFG ，则EF 的取值范围为______．
三、解答题（本大题共3个小题，共40分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21.假期里，小红和小慧去买菜，三次购买的西红柿价格和数量如下表：单价/（元/千克）12108合计小红购买的数量/千克1236小慧购买的数量/千克
2
2
2
6
（1）小红和小慧购买西红柿数量的中位数是______千克，众数是______千克；（2）从平均价格看，谁买的西红柿要便宜些？
（3）小明在直角坐标系中画出反比例函数的图象，图象经过点P （如图），点P 的横、纵坐标分别为小红和小慧购
买西红柿价格的平均数．
①求此反比例函数的关系式；②当812x ≤≤时，求y 的最大值．
22.如图，x 轴上依次有A ，B ，D ，C 四个点，且2AB BD DC ===，从点A 处向右上方沿抛物线()()26y x x =-+-发出一个带光的点P ．
（1）求点A 的横坐标，且在图中补画出y 轴；
（2）通过计算说明点P 是否会落在点C 处；
（3）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（4）在x 轴上从左到右有两点E ，F ，且2EF =，从点F 向上作GF x ⊥轴，且1GF =．在GFE 沿x 轴左右平移时，必须保证沿抛物线下落的点P 能落在边EG （包括端点）上，直接写出点G 横坐标的最大值与最小值．
23.如图，矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，点O 在AB 的延长线上，OB =，60AOE =︒∠．动点P 从点O 出发，以每秒2个单位的速度沿射线OE 方向运动，以P 为圆心，OP 为半径作P ．设P 的运动时间为t 秒．
（1）BOC ∠=______，PA 的最
小值是______；
（2）当P 过点C 时，①求证：P 与BC 相切；②求扇形OPC 的面积；（3）当P 与矩形ABCD 的边所在直线相切时，直接写出t 的值．
石家庄市第42中学2022－2023年度第一学期
九年级阶段性学情调研数学
注意事项：本试卷分卷Ⅰ和Ⅱ两部分，卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题．本试卷共120分，考试时间90分钟．
卷（Ⅰ）客观题
一、选择题（本大题共16个小题，每小题3分，共48分）
1.下列说法正确的是（）
A.长度相等的弧是等弧
B.直径是圆中最长的弦
C.弧是半圆
D.三点确定一个圆
B
【分析】根据等弧、弦、弧的和定义和确定圆的条件逐项判断即可．【详解】解：A 、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以A 选项错误；B 、直径是圆中最长的弦，所以B 选项正确；
C 、弧不一定是半圆，而半圆是弧，所以C 选项错误；
D 、不共线的三点确定一个圆，所以D 选项错误．故选B ．
【点睛】本题考查了圆的相关概念，解题的关键是掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．2.若反比例函数()0k
y k x
=≠的图象经过点()2,1，则该函数图象一定经过（）A.()
1,1- B.12,
2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
C.
()
1,2- D.1,42⎛⎫
-
- ⎪⎝⎭
D
【分析】将()2,1代入()0k
y k x
=≠即可求出k 的值，再根据=k xy ，将各坐标代入计算即可．【详解】解：∵反比例函数()0k
y k x
=≠的图象经过点()2,1，
∴212k =⨯=，
A 、1112-⨯=-≠，不合题意；
B 、1
2122
⨯
=≠，不合题意；C 、()1222⨯-=-≠，不合题意；D 、()1
422
-
⨯-=，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．3.在Rt △ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB =，3AC =，则C ∠的余弦值为（
）
A.53
B.
23
C.
5
D.
31313
A
【分析】如图，由勾股定理得BC =，求出BC 的值，根据cos BC
C AC
=
计算可得结果．【详解】解：如图
∵90ABC ∠=︒，2AB =，3
AC =
∴BC ==∴5
cos 3
BC C AC ==故选A ．
【点睛】本题考查了勾股定理，余弦．解题的关键在于正确的计算．4.关于x 的方程()()131x x x -=-，下列解法完全正确的是（）
①两边同时除以()1x -得3x =；
②整理得243x x -=-， 1a =，4b =-，3c =-，2428b ac -=，∴428
22
x =
=±；③整理得243x x -=-，配方得2421x x -+=-，∴()2
21x -=-，∴21x -=±，∴11x =，23x =；④移项得：()()310x x --=，∴30x -=或10x -=，∴11x =，23x =．A.① B.②
C.④
D.③④
C
【分析】①不能两边同时除以()1x -，会漏根；②化为一般式，利用公式法解答；③利用配方法解答；④利用因式分解法解答．
【详解】解：①不能两边同时除以()1x -，会漏根，故错误；②化为一般式，1a =，4b =-，3c =，故错误；
③利用配方法解答，整理得243x x -=-，配方得，22421x x -+=，故错误；④利用因式分解法解答，完全正确，故选C ．
【点睛】本题考查解一元二次方程，涉及公式法、配方法、因式分解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题
关键．
5.共同富裕的要求是：在消除两极分化和贫穷基础上实现普遍富裕．下列有关个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（
）
A.平均数小，方差大
B.平均数小，方差小
C.平均数大，方差小
D.平均数大，方差大
C
【分析】根据算术平均数和方差的定义解答即可．
【详解】解：人均收入平均数大，方差小，最能体现共同富裕要求．故选：C ．
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6.用一个半径为3,面积为3π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（）
A.π
B.2π
C.2
D.1
D
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到1
2•2π•r•3=3π，然后解方程即可．【详解】解：根据题意得1
2•2π•r•3=3π，解得r=1．故选：D ．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7.已知二次函数20.50.5y x x =--，求顶点坐标．小明的计算过程如下：解：20.50.5
y x x =--()20.520.5y x x =--……①()20.52110.5y x x =-+--……②()2
0.51 1.5y x =--……③
∴顶点坐标是()1, 1.5-……④请你认真检查一下，小明是从第（）步开始出现错误的．
A.①
B.②
C.③
D.④
C
【分析】根据配方法将二次函数解析式化为顶点式可得第③步出现错误．
【详解】解：解：2
0.50.5
y x x =--()20.520.5y x x =--……①()20.52110.5y x x =-+--……②()2
0.511y x =--……③
∴顶点坐标是()
1,1-，
故从第③步开始出现错误，故选C ．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数一般式与顶点式的转化．
8.如图所示，棋盘上有A 、B 、C 三个黑子与P 、Q 两个白子，要使△ABC ∽△RPQ ，则第三个白子R 应放的位置可以是（
）
A .
甲
B.乙
C.丙
D.丁
D
【分析】先求出AB 、BC 、PQ 的长，再根据相似三角形的判定即可判断求解．
【详解】解：由图可知BC =2，AB =BC =，PQ =4，所以PQ ：BC =4：2=2．
而与AC 比为2
在甲乙丙丁四点中，只有点丁与P 、Q 连线是，
所以选择丁故选D
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
9.初三年级甲、乙、丙、丁四个级部举行了知识竞赛，如图，平面直角坐标系中，x 轴表示级部参赛人数，y 轴表示竞赛成绩的优秀率（该级部优秀人数与该级部参加竞赛人数的比值），其中描述甲、丁两个级部情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四个级部在这次知识竞赛中成绩优秀人数的多少正确的是（
）
A.甲>乙>丙>丁
B.丙>甲=丁>乙
C.甲=丁>乙>丙
D.乙>甲=
丁>丙
D
【分析】根据题意可知xy 的值即为该级部的优秀人数，再根据图象即可确定各级部人数的大小关系．
【详解】解：根据题意，可知xy 的值即为该级部的优秀人数，
∵描述甲、丁两级部情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，
∴甲、丁两级部的优秀人数相同，
∵点乙在反比例函数图象上面，
∴乙级部的xy 的值最大，即优秀人数最多，
∵点丙在反比例函数图象下面，
∴丙级部的xy 的值最小，即优秀人数最少，
∴乙>甲=丁>丙，
故选：D ．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键．
10.已知函数23y ax bx =++的图像如图所示，则a ，b 的值可能是（）
A.1a =，2
b = B.1a =，2b =-C.1a =-，2
b = D.1a =-，2
b =-C 【分析】由于开口向下可以判断a<0，由于对称轴b x 02a
=-
>，可以得到0b >，所以可以找到结果．【详解】解：根据二次函数图像的性质，
开口向下，<0a ∴，
对称轴b x 02a
=->，
>0b ∴，
所以C 选项符合题意．
故选C ．
【点睛】本题考查了二次函数2y ax bx c =++图像和系数的关系，根据图像性质的出关系式是解题的关键．11.有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x 个人，下列结论：①1轮后有()1x +个人患了流感；②第2轮又增加()21x +个人患流感；③依题意可得方程()2
181x +=；④不考虑其他因素经过三轮一共会有648人感染．所以正确的结论为（
）A.①③
B.①②③
C.①③④
D.①②③④
A 【分析】第一轮的传染源是1个人，他传染了x 人，则第一轮后共有()1x +人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x 人，则第二轮后共有()11x x x ⎡⎤+++⎣⎦人患了流感，而此时患流感人数为81，根据这个等量关系列出方程，再进行一一判断即可．
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x 人．
则第一轮后共有()1x +人患了流感，故①正确；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x 人，
则第2轮又增加()1x x +个人患流感，故②错误；
依题意，得()1181x x x +++=，即()2
181x +=，故③正确；
解方程()2181x +=，得18x =，210x =-（舍去）．∴每轮传染中平均每人传染了8人．
∴经过三轮一共会有81818729+⨯=人感染，故④错误；
综上可知，正确的结论有①③，
故选A ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系列出一元二次方程．
12.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，把△ABC 沿EF 折叠，点C 的对应点为O ，连接AO ，使AO 平分∠BAC ，若∠BAC ＝∠CFE ＝50°，则点O 是（）
A.△ABC 的内心
B.△ABC 的外心
C.△ABF 的内心
D.△ABF 的外心
B
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质可得AO 是BC 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得OB=OC ，根据折叠的性质可得CF ＝OF ，∠OFE ＝∠CFE ＝50°，进而可求出∠OAC ＝∠OCA ＝25°，可得OA=OC ，即可得出O 是△ABC 的外心．
【详解】如图，连接OB 、OC ，
∵AB ＝AC ，AO 平分∠BAC ，
∴AO 是BC 的垂直平分线，
∴OB ＝OC ，
∵∠BAC ＝50°，AO 平分∠BAC ，
∴∠BAO ＝∠CAO ＝25°，
∵把△ABC 沿EF 折叠，点C 的对应点为O ，∠CFE=50°，
∴CF ＝OF ，∠OFE ＝∠CFE ＝50°，
∴∠OFC ＝100°，∴∠FCO ＝1
2（180°﹣100°）＝40°，
∵AB ＝AC ，∠BAC ＝50°，
∴∠ACB ＝12（180°﹣50°）＝65°，
∴∠OCA ＝∠ACB ﹣∠FCO ＝65°﹣40°＝25°，
∴∠OAC ＝∠OCA ＝25°，
∴OA ＝OC ，
∴OA ＝OB ＝OC ，
∴O 是△ABC 的外心．
故选：B ．
【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质，利用翻折变换的性质得出对应相等关系是解题关键．
13.如图，M 是O 上一个定点，将直角三角板的30︒角顶点与点M 重合，两边与O 相交，设交点为A ，B ，绕点M 顺时针旋转三角板，直至其中一个交点与点M 重合时停止旋转，设AB y =，旋转角为a ，下列能反映y 与a 关系的为（）
A. B. C.
D.
D
【分析】由圆周角定理的推论同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弦也相等可得结论．【详解】解：由题意可知，30AMB ∠=︒，
∴线段AB 的长度是不变的，
即随着旋转角a 的变化，y 的值是一个定值．
故选：D ．
【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弦也相等；掌握相关定理是本题解题基础．
14.如图，O 是ABC 的外接圆，在弧BC 上找一点M ，使点M 平分弧BC ．以下是甲乙丙三种不同的作法：
作法正确的个数是（）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
D 【分析】根据基本作图得到所做图形的性质，再结合圆周角定理和垂径定理判断正确与否．
【详解】解：如图甲，作BAC ∠的平分线，则BAM CAM ∠=∠，
所以 BM
CM =，所以作法正确；如图乙，过点O 作BC 的垂线，根据垂径定理的推论，
可得 BM
CM =，所以作法正确；如图丙，PQ 垂直平分BC ，则PQ 必过圆心，
所以 BM
CM =，所以作法正确；故选：D ．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和圆周角定理以及垂径定理的推论．
15.二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）中的x 与y 的部分对应值如表，下列选项正确的是（）x
……2-0134……y ……64-6-4-m ……
A.6m =
B.这个函数的图像与x 轴无交点
C.二次函数2y ax bx c =++有最小值6
- D.当1x <，y 的值随x 值得增大而减小D
【分析】根据表格数据求出二次函数的表达式，从而根据二次函数的性质判断各选项．
【详解】解：∵根据二次函数的x 与y 的部分对应值图，
当2x =-时，6y =，当0x =时，4y =-，当1x =时，y =-6，
∴64246a b c c a b c =-+⎧⎪-=⎨⎪-=++⎩，解得：134a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
，
∴234y x x =--，
令4x =，则243440m y ==-⨯-=，故A 错误；∵()()23414250--⨯⨯-=>，
∴这个函数的图像与x 轴有两个交点，故B 错误；
函数有最小值为()()
2414325414
⨯⨯---=-⨯，故C 错误，∵抛物线的对称轴为直线33212
x -=-
=⨯，开口向上，∴当32x <，y 的值随x 值得增大而减小，即当1x <，y 的值随x 值得增大而减小，故D 正确，
故选D ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
16.定义新运算：()()2a b a b a b b a a b ⎧+≤⎪⊕=⎨->⎪⎩，则函数1y x =⊕的图象大致为（）
A. B. C. D.
C
【分析】先根据新定义运算列出y 的关系式，再根据此关系式及x 的取值范围画出函数图象即可．【详解】解：根据新定义运算可知，()()211111x x y x x x ⎧+≤⎪=⊕=⎨->⎪⎩
，当1x >时，此函数解析式为21y x =-+，函数图象在第四象限的抛物线；
当1x ≤时，此函数解析式为1y x =+，图象在一、二象限．
故选：C ．
【点睛】此题主要考查了二次函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
第Ⅱ卷（用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写）
二、填空题（本大题共4个小题，每空4分，共32分）
17.已知关于x 的一元二次方程()2
1410a x x -+-=有两个实数根，则a 的取值范围是______．3a ≥-且1a ≠##1a ≠且3
a ≥-【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到10a -≠且()()2
44110a ∆=-⨯-⨯-≥，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得：10a -≠且()()244110a ∆=-⨯-⨯-≥，
解得3a ≥-且1a ≠，
故答案为：3a ≥-且1a ≠．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当Δ0>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．
18.有一处斜坡如图所示，分为8m MO NO ==的两段，MO 段的坡度为1:1，NO 段的坡度为
，则MON ∠=_______°．若将两段斜坡建造成台阶，且每一级台阶的高度不超过15cm ，则这一处斜坡最少可以建造
的台阶数为_______级． 1.41≈ 1.73≈）
①.165②.65
【分析】①过点O 作OA ⊥底边于点A ，过点O 作OB ⊥右边交于B ，利用坡度求出∠MOA 和∠NOB ，即可求出∠MON ；②利用锐角三角函数值求出OA 和NB 的值，利用总高度除以一级台阶的高度即可求得答案．
【详解】①∵MO 段的坡度为1:1，∴tan 1AMO ∠=,∴45MOA AMO ∠=∠=︒，
∵NO 段的坡度为3，∴1
3tan 3
3NOB ∠==,∴30NOB ∠=︒，
∴165MON MOA NOB AOB ∠=∠+∠+∠=︒;
②如图，在Rt MOA △中，45MOA ∠=︒，8m MO =，∴MA OA =22MO =
2(m)=，在Rt ONB △中，30NOB ∠=︒，8m ON =，∴14(m)2
BN ON =
=，∴4249.64(m)OA BN +=≈，49641564
15÷=，则这一阶梯的台阶数最少为65;
故答案为：165，65．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟
记锐角三角函数的定义是解题的关键．
19.如图，已知二次函数21y x bx b =+++的图象经过点()2,3A -．
（1）b =______；
（2）将抛物线沿x 轴平移n 个单位，使平移后的抛物线经过点()1,3B ，则n =______；
（3）当22x -<<时，该二次函数y 的取值范围为______．
①.2②.3或1##1或3③.211
y ≤<【分析】（1）将点A 代入函数表达式，求出b 值即可；（2）由（1）得到函数表达式，设出平移后的表达式，将点B 代入，求出n 值即可；
（3）求出抛物线对称轴和开口方向，根据x 的范围求出y 的最大值和最小值即可．
【详解】解：（1）将()2,3A -代入21y x bx b =+++中，
得：()2
3221b b =--++，
解得：2b =；
（2）由（1）得抛物线为223y x x =++，
设平移后的表达式为：()()223y x n x n =++++或()()223y x n x n =-+-+，∵平移后的抛物线经过点()1,3B ，
∴()()231213n n =++++或()()2
31213n n =-+-+，解得：3n =-（舍）或1n =-（舍）或3n =或1n =；
（3）∵抛物线223y x x =++的对称轴为直线2121
x =-
=-⨯，开口向上，且22x -<<，∴当=1x -时，y 取最小值为2，
当2x =时，y 取最小值为11，
∴y 的取值范围是211y ≤<．
故答案为：2，3或1，211y ≤<．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的性质和最值，二次函数图象的平移，解题的关键善于借助函数图象解决问题．
20.小明要在边长为10的正方形内设计一个有共同中心O 的正多边形，使其能在正方形内自由旋转．
（1）如图1．若这个正多边形为边长最大的正六边形，
EF =______；
（2）如图2，若这个正多边形为正EFG ，则EF 的取值范围为______．
①.5②.0EF <≤【分析】（1）如图1，连接OE ，OF ，OI ，作正方形ABCD 的内切圆O ，根据正六边形的性质得出EF OF =，再根据O 的直径等于正方形ABCD 的边长可得5OF EF ==；（2）如图2，作正方形ABCD 的内切圆O ，作O 的内接正三角形EFG ，此时EF 最大，连接OE ，OF ，过点F 作FM EG ⊥于点M ，解直角三角形即可得出结论．
【详解】解：（1）如图1，连接OE ，OF ，OI ，作正方形ABCD 的内切圆O ，
由正六边形可得OEF 是等边三角形，
EF OF ∴=，
由正方形ABCD 的边长为10，可知O 的直径为10，即10FI =，
5OF EF ∴==，
故答案为：5；
（2）如图2，作正方形ABCD 的内切圆O ，作O 的内接正三角形EFG ，
∴O 的直径为10，60G ∠=︒，
此时EF 最大，连接OE ，OF ，
5OF OE ∴==，2120EOF G ∠=∠=︒，
过点F 作FM EG ⊥于点M ，
则60EOM ∠=︒，
5
2OM ∴=，EM =2EF EM ==，
∴EF 的取值范围为0EF <≤
故答案为：0EF <≤【点睛】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，正六边形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，解题的关键是正确作出辅助线．
三、解答题（本大题共3个小题，共40分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21.假期里，小红和小慧去买菜，三次购买的西红柿价格和数量如下表：单价/（元/千克）
12108合计小红购买的数量/千克
1236小慧购买的数量/千克2226
（1）小红和小慧购买西红柿数量的中位数是______千克，众数是______千克；
（2）从平均价格看，谁买的西红柿要便宜些？（3）小明在直角坐标系中画出反比例函数的图象，图象经过点P （如图），点P 的横、纵坐标分别为小红和小慧购买西红柿价格的平均数．
①求此反比例函数的关系式；
②当812x ≤≤时，求y 的最大值．
（1）2，2
（2）小红（3）①2803y x
=；②353【分析】（1）根据中位数是一列按由小到大的顺序排列的数中间的数或中间两个数的平均数，可得中位数，根据众数是一列数中出现次数最多的数，可得众数；
（2）根据总价格除以数量，可得平均价格，再比较即可；
（3）①根据待定系数法，可得函数解析式；②根据反比例函数的增减性可求解．
【小问1详解】
解：购买西红柿的数量由小到大排列，得1，2，2，2，2，3，
中位数是2222
+=，众数是2；【小问2详解】
小红购买西红柿的总价格为1122103856⨯+⨯+⨯=元，
小红购买西红柿的平均价格为56281233
=++元，小慧购买西红柿的总价格为2122102860⨯+⨯+⨯=元，小慧购买西红柿的平均价格为6010222=++元，
∵28103
<，∴小红购买西红柿便宜些；
【小问3详解】①设反比例函数的解析式为k y x =，将28,103P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得282801033
k =⨯=，∴反比例函数的解析式为2803y x
=；②由图可知：0x >时，y 随x 的增大而减小，∴当8x =时，y 最大，且为353y =
．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，（1）利用了平均数、中位数的定义，（2）注意平均价格是总价格除以总数量，不是价格的平均；（3）利用了待定系数法求函数解析式．
22.如图，x 轴上依次有A ，B ，D ，C 四个点，且2AB BD DC ===，从点A 处向右上方沿抛物线()()26y x x =-+-发出一个带光的点P ．
（1）求点A 的横坐标，且在图中补画出y 轴；
（2）通过计算说明点P 是否会落在点C 处；
（3）求抛物线的顶点坐标和对称轴；
（4）在x 轴上从左到右有两点E ，F ，且2EF =，从点F 向上作GF x ⊥轴，且1GF =．在GFE 沿x 轴左右平移时，必须保证沿抛物线下落的点P 能落在边EG （包括端点）上，直接写出点G 横坐标的最大值与最小值．（1）2-，画图见解析
（2）不会落在点C 处
（3）顶点为(2,16)，对称轴为直线2
x =
（4）最大值为8，最小值为2+【分析】（1）令0y =，则(2)(6)0x x -+-=，解得2x =-或6，求得(2,0)A -；（2）由（1）可知抛物线与x 轴的另一个交点为(6,0)，根据2AB BD DC ===，即可判断点P 不会落在点C 处；
（3）把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标和对称轴；
（4）求出抛物线与x 轴的交点，以及1y =时，点的坐标，判断出两种特殊位置点G 的横坐标的值，可得结论．
【小问1详解】解：图形如图所示，
抛物线(2)(6)y x x =-+-，
令0y =，则(2)(6)0x x -+-=，
解得2x =-或6，
(2,0)A ∴-，
∴点A 的横坐标为2-；
【小问2详解】
由（1）可知抛物线与x 轴的另一个交点为(6,0)，
(2,0)A - ，2AB BD DC ===，
(4,0)C ∴，
∴点P 不会落在点C 处；
【小问3详解】
2(2)(6)(2)16y x x x =-+-=--+ ，
∴抛物线的顶点为(2,16)，对称轴为直线2x =；
【小问4详解】
当1y =时，1(2)(6)x x =-+-，解得2x =±，
∴
抛物线经过(2+，1)，
Rt EFG △中，90EFG ∠=︒，2EF =，1FG =，
∴当点E 与(6,0)重合时，点G 的横坐标的值最大，最大值为8，当点G 与(2+，1)重合时，点G 的横坐标最
小，最小值为2+，
∴点G 横坐标的最大值为8，最小值为2+．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
23.如图，矩形ABCD 中，4AB =，2BC =，点O 在AB 的延长线上，OB =
，60AOE =︒∠．动点P 从点O 出发，以每秒2个单位的速度沿射线OE 方向运动，以P 为圆心，OP 为半径作P ．设P 的运动时间为t 秒．
（1）BOC ∠=______，PA 的最
小值是______；
（2）当P 过点C 时，①求证：P 与BC 相切；②求扇形OPC 的面积；
（3）当P 与矩形ABCD 的边所在直线相切时，直接写出t 的值．
（1）30︒，3
+（2）①见解析；②169
π
（3）233或4233
+或4-【分析】（1）在直角OBC △中，先根据锐角的正切求BOC ∠的度数；根据垂线段最短可知：当AP OP ⊥时，PA 的值最小，根据三角函数求AP 的最小值；
（2）①如图2，证明PC BC ⊥可得结论；②作辅助线，构建矩形PCBN ，根据扇形面积公式可得结论；
（3）分三种情况：①当P 与矩形ABCD 的边BC 相切时，是（2）问中的情况，此时3
t =；②当P 与矩形ABCD 的边AD 相切时，如图3，根据AN NO AO +=列式可得t 的值；③当P 与矩形ABCD 的边CD 相切时，如图4，根据PM PH BC +=列式可得t 的值．
【小问1详解】
解：如图1，
四边形ABCD 是矩形，
90ABC ∴∠=︒，
90OBC ∴∠=︒，
tan
3BC BOC OB ∠===，
30BOC ∴∠=︒，
当AP OP ⊥时，PA 的值最小，
4OA AB OB =+=+
，
在Rt AOP △中，60AOE ∠=︒ ，
sin 60AP
OA ∴=，
(43
AP ∴=+=；
则PA 的最小值是3；
故答案为：30︒，3+；
【小问2详解】
①证明：如图2，连接PC 、PM ，
由题意得：OP =半
径2r t =，则2PC PM PO r t ====，
603030POC PCO BOP BOC BOC ∴∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒=∠，
903060BCO ∠=︒-︒=︒ ，
603090PCB BCO PCO ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，
即半径PC BC ⊥，
∴直线BC 与P 相切；
②如图2，作PN OM ⊥于N ，
90PNB NBC BCP ∴∠=∠=∠=︒，
∴四边形PCBN 是矩形，。