理论力学3-平面任意力系的简化与求解

R F1 F2 Fn F1 F2 Fn Fi
平面力偶系的合成结果为 MO M1 M2 Mn MO (F1) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (Fi )
平面汇交力系力，R′ (主矢，作用在简化中心)
平面力 偶 系力偶，MO (主矩，作用在该平面上)
如果主矢和主矩均不等于零，此时还可进一步 简化为一合力。如图
R′
MO
O
O′
R′ R
O d
R″
O′
O
d
d MO R
R O′
4.2 平面任意力系简化结果分析
从图中可以看出
MO (R) Rd MO
由主矩的定义知：
所以
MO MO (Fi ) MO (R) MO (Fi )
FR
O
O′
d
结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等 于力系中各力对同一点之矩的代数和。这就是平面任 意力系的合力矩定理。
例1 例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
Fx 0 : FAx qb 0
P a A
q
b
Fy 0 : FAy P 0
P
M A(F) 0 :
MA
M
A
Pa
1 2
qb2
0
FAx
A
FAy
q
解之得：
FAx qb
FAy P
M
A
Pa
1 2
4.1.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系 的主矢。主矢与简化中心的位置无关。
R' R'x + R'y X i Y j R' ( X )2 (Y )2
cos( R'
,
i)
X R'
cos( R'
,
j)
Y R'
4.1.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
4.1.2.2 平面固定端约束
一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约 束称为固定端支座。
A
A
RA A MA
MA YA XA A
4.2 平面任意力系简化结果分析
四种情况：(1) R'＝0，MO≠0 ; (2) R' ≠ 0，MO ＝ 0 ; (3) R' ≠ 0， MO≠0 ; (4) R' ＝0，MO＝0
R R
A
C
P3 x
主矩 LA = mA 300N cm
最终结果 合力 大小： R R 250N
方向: =36.9° 在A点左还是右？
位置图示： h L 300 1.2cm R 250
4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
4.3.1 平衡条件
平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系 的主矢和对任一点的主矩都等于零。即
4.2.2 平行分布线荷载的简化
1、均布荷载 Q ql 2、三角形荷载 Q 1 ql
2
3、梯形荷载
可以看作一个三角形荷载和一 个均布荷载的叠加 结论： 1、合力的大小等于线荷载所组成几何 图形的面积。 2、合力的方向与线荷载的方向相同。 3、合力的作用线通过荷载图的形心。
Q q
l/2 l/2 Q q
FR 0 MO 0
FR ( Fx )2 ( Fy )2 MO MO (Fi )
4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
4.3.2 平衡方程 由于 FR ( Fx )2 ( Fy )2 , MO MO (Fi )
所以
Fxi 0 Fyi 0来自M O (Fi ) 0
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各 力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分 别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。 上式称为平面任意力系的平衡方程。
(1)平面任意力系简化为一个力偶的情形
R' ＝0，MO≠0
原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简化 中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。
MO MO(F)
4.2 平面任意力系简化结果分析
(2)平面任意力系简化为一个合力的情形·合力矩定理
如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面 力系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。
2l
l
3
3
q1
q2
l
[例] 图示力系，已知：P1=100N, P2=50N, P3=200N,图中距离
单位cm。
y
求：1、力系主矢及对A点之矩？
2、力系简化最后结果。 P1
P2
B
4
R
解： 1、建立坐标系
A 6 3C
P3 x
2、X=∑Fx=P3 =200N
Y=∑Fy=P1+ P2 =100+50 =150N
第四章 平面任意力系
4 平面任意力系
• 平面任意力系向作用面内一点的简化 • 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 • 物体系统的平衡·静定和超静定问题 • 平面简单桁架的内力计算
4.1 平面任意力系向作用面内一点简化
4.1.1 力线平移定理
定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行
移到任一点O，但必须同时附加一个力偶，这
∴主矢 R X 2 Y 2 2002 1502 250N
cos cos(R, x) X 200 0.8
R 250
∴ =36.9°
mA mA (Fi ) P2 6 50 6 300N cm
2、简化最终结果
主矢 R 250N 方向： =36.9°
y
P2
P1
mA
B
原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系 对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位 置有关。
n
MO MO (F i ) i 1
平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得 一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢， 作用线通过简化中心O 。这个力偶的矩等于该 力系对于点O的主矩。主矢与简化中心的位置 无关，主矩和简化中心的位置有关。
个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点O的
矩。
F′
B
F″ B
F＝
F＝
F′ MB
A
A
A
力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一 个力偶合成一个力。
说明： ①力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力
力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d
③力的平移定理是力系简化的理论基础。
4.1.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
F1 F2
y FR′
O
j
MO
Oi
x
Fn y
F1 F1 F2 F2
Fn Fn
F1′ M1
M2
O Mn
Fn′
F2′
M1 M O (F1)
M 2 M O (F2 )
x
M n M O (Fn )
4.1.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
平面任意力系 向一点简化 平面汇交力系+平面力偶系 其中平面汇交力系的合力为