理论力学3-平面任意力系的简化与求解
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第03章 平面任意力系(第4-6讲)
第 4 讲教案第4讲平面任意力系简化第三章 平面任意力系力的作用线分布在同一平面内的力系称为平面力系。
（简易吊车梁）当物体所受的力对称于某一平面时，也可简化为在对称平面内的平面力系。
本章将讨论平面任意力系（简称平面力系）的简化和平衡问题。
§3-1 力线平移定理实际工程与实际生活中与力线平移有关的例子是很多的。
例如、驾船划桨，若双桨同时以相等的力气划，船在水面只前进不转动；若单桨划，船不仅有向前的运动，而且有绕船质心的转动。
此外，乒乓球运动中的各种旋转球也都与力线平移有关。
F A xF AyG 1 G 2F BABα设计： 1、用图片（课件中的简易吊车梁受力）引入平面任意力系。
2、启发学员思考分析任意力系合成和平衡问题的方法：化复杂问题为简单问题。
3、由分析方法引出力线平移设计： 1、用动画讲解力线平移定理。
ABCα定理：作用在刚体上某点的力F可平行移到任一点，平移时需附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原力F对新作用点的矩。
如图。
证明：在点B上加一平衡力系(F',F")，令F'=-F"=F。
则力F与力系（F',F",F）（图b）等效或与力系[F',(F,F"）]（图c）等效。
后者即为力F向B点平移的结果。
附加力偶（F,F’）的力偶矩M=Fd=M B(F)证毕。
·该定理指出，一个力可等效于一个力和一个力偶，或一个力可分解为作用在同平面内的一个力和一个力偶。
其逆定理表明，在同平面内的一个力和一个力偶可等效或合成一个力。
·该定理既是复杂力系简化的理论依据，又是分析力对物体作用效应的重要方法。
例1、如单手攻丝时（图），由于力系（F'，M O）的作强调：1、该定理表明一个力可分解为同平面内的一个力和一个力偶。
2、其逆定理表明，在同平面内的一个力和一个力偶可合用，不仅加工精度低，而且丝锥易折断。
理论力学-3平面任意力系
桥梁设计中的力学分析
三维空间平面任意力系的分析在 桥梁设计中扮演着重要角色。需 要考虑桥梁所受的力、力的大小 和重量，以及力的分布。
汽车撞击测试中的应用
建筑维护中的力学剖析
三维空间平面任意力系的分析在 汽车撞击测试中扮演着重要角色。 需要考虑撞击的力、撞击的位置 和角度，以及汽车的强度。
三维空间平面任意力系的分析在 建筑维护中扮演着重要角色。需 要考虑建筑的支撑，风力和建筑 物本身的结构效应。
分力
一般指一个力按照某个方向的分量。可以利用向量 的减法，将力向量分解成两个方向的分力向量。
勾股定理和正弦定理在三维力系中的应用
勾股定理（余弦定理）
可以用于计算平面任意力系中的力向量大小。使用 两个已知力向量和这两个向量之间的角度确定未知 的向量。
正弦定理（正弦定理）
可以用于计算平面任意力系中三边不等的三角形中 的角度。使用三个已知边长和它们之间的角度来确 定未知角度。
理论力学-3平面任意力系
本讲题旨在探讨三维空间平面任意力系的概念，以及对其进一步简化、力的 合成分解、力矩的概念和计算、平衡条件以及应用力系计算方法于实际问题 的案例分析。
三维空间平面任意力系的定义
三维空间坐标系
三维空间平面任意力系中，各力 作用于任意一点，并与三维空间 坐标系中的三个坐标轴有关。
力的向量表示
矢量可以用向量表示法表示为一 个带有大小和方向的箭头，用于 描述力的大小和方向。
力在坐标系中的分解
力可以表示为沿坐标轴的分量的 和。这种分解对问题的求解非常 有用。
三维力系的平面简化
1 平面任意力系
当三维力系中所有力作用 平面内时，成为平面任意 力系。在平面力系中只考 虑平面内的效应可以简化 问题的求解。
[所有分类]3理论力学
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d
XA = - 1.225 kN Yi = 0
A mA 1m
0.5m YA
YA - W - W1 - W2 = 0
W1
0.45m
W2
YA = 8.575 kN mA(Fi) = 0 mA - (0.5-0.333)F- 0.45W - 0.5 W1 - 0.95 W2 = 0 mA = 5.043 kN.m
度上支座的约束反力.槽的单位体积重量
( = 24.5kn/m³ .)
C
0.5m 0.8m
A
1m
B
27
解:取水槽为研究对象画受力图.
W1 = 24.5×1×1×0.1 = 2.45 kN W2 = 24.5×1×0.7×0.1 = 1.715 kN
XA W 0.45m F d
C
0.5m 0.8m
A
16
(2)均布线荷载
合力大小: R = q xi = q xi= ql
合力作用线通过中心线AB的中点C
b R B b
a
A
q
R qxi
q
l/2 l
C
B
xi
a
A
C
17
(3)按照线性规律变化的线荷载
合力大小:
qm R qdx xdx l 0 0
l l
R
qdx
b
qm
A x C dx B
24
例题3-3. 在水平梁AB上作用一力偶矩为m
的力偶,在梁长的中点C处作用一集中力P它
与水平的夹角为, 如图所示.梁长为 l 且自
重不计.求支座A和 B的反力.
m P C
A
B
l /2
l /2
理论力学第3章新
先讨论平面任意力系的合成问题。
问题是：如何将平面任意力系简化为平面汇交力 系与平面力偶系？
§3–1 平面任意力系向作用面内一点简化 1、力的平移定理
把力F 向某点B 平移时，须附加 一个力偶，附加力偶的矩等于原
力F 对点B 的矩。
说明： F' = F" =
2、平面任意力系向作用面内一点简化 主矢和主矩
几点说明
1、上述平衡方程是从直角坐标系推导出来的，但可 以证明，对斜交的坐标系仍成立。 2、平衡方程的形式不是唯一的，可以利用平衡的必 要性（在任一轴上的投影为零，对任一轴之矩的代 数和为零）列出2个、3个取矩方程，称为二矩式方 程、三矩式方程。刚才得到的方程称为基本形式的 平衡方程。 所以平面任意力系的平衡方程有三种形式。
FAy = qa+F 1 2 MA = 2 qa +2Fa-M
2、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置
有关。因此，谈到力系的主矩时，一定要指
明简化中心。
如何求出主矢、主矩? 主矢大小：
主矢方向：
主矩：
结论： 平面任意力系向作用面内任一点O简化，可 得一个力和一个力偶。该力的大小方向由主矢 确定，作用线通过简化中心O；力偶的力偶矩等 于该力系对简化中心O点的主矩。
或者说，若力系合成一合力偶，则力系对任一点之矩 不能为0。
所以该力系不可能合成一合力偶。
2、说明力系不可能合成合力。 二矩式方程第二式为：
由合力矩定理得： 所以， 力系要有合力，则合力作用线必过A。
同理，由二矩式方程第三式 力系要有合力，则合力作用线必过B。 由 沿AB连线。 ，力系要有合力，则合力作用线必
下面用其他形式的平衡方程求解
∑MA(F)=0 ∑MC(F)=0 ∑MD(F)=0 FC sin45 · - P · = 0 l 2l -FAy · - P · = 0 l l 2l -FAx· - P · = 0 l
工程力学教学课件 第3章 平面任意力系
A
MA
FAx
A
简 化
2021/7/22
FAy
11
一、简化结果分析
3.2
平
面 任
F1
A1
F2
O A n A2
M O FR'
O
意
Fn
力
系 的 简 化
1 . F R ' 0 ,M o 0
2 . F R ' 0 ,M O 0
结 果
3 . F R ' 0 ,M O 0 4 . F R ' 0 ,M O 0
的 简 化
此时主矩与简化中心的位置无关。
3、主矢不等于零，主矩等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
结 果
此时平面力系简化为一合力，作用在简化
中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即
FRF
2021/7/22
13
一、简化结果分析
3.2 4、主矢和主矩均不等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
平
此时还可进一步简化为一合力。
面
任
FR'
FR'
FR
FR
意 力
O M O O
O
d
O
O
O
d
系 的 简 化
FR'' M O m O ( F R ) F R d F R 'd 于是
d M
F
由主矩的定义知：M O m O (F i)
O ' R
结 所以：
m O (F R ) m O (F i)
果 结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩
杆所受的力。
A
45
大学理论力学第三章
解:
取冲头B,画受力图.
F
解得
FB
iy
0 F FB cos 0
F Fl cos l 2 R2
F
解得
ix
0
FN FB sin 0
FR l 2 R2
FN F tan
取轮,画受力图.
F
解得
ix
0
FR l 2 R2
Fox FA sin 0
三矩式
M A 0 M B 0 M 0 C
A, B, C 三个取矩点，不得共线
2、平面平行力系的平衡方程
Fx 0 Fx 0 Fy 0
0 0 0 0
F1 cos F2 cos F3 cos 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0
解得
FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例3-3 已知： P 尺寸如图； 1 10kN, P 2 40kN, 求： 轴承A、B处的约束力. 解： 取起重机，画受力图.
Fx 0
Fy 0
FAx FB 0
FAy P 1P 2 0
M
解得
A
0 FB 4a M P 2a q 2a a 0
3 1FAy q 2a P FB 0
P 3 FAy qa 4 2
例3-5 已知： P 100kN, M 20kN m,
节点法与截面法
1、节点法
2、截面法
例3-1
已知： P 1 450kN, P 2 200kN,
F1 300kN, F2 70kN;
第三章力系的简化
例：求图示刚架的约束力
解：画出刚架受力图
受力图
3. 平面平行力系的平衡条件 力的作用线在同一平面内且相互平行的力系 称为平行力系。是平面力系的特殊情况。 平衡方程：
二矩式：
条件：AB两点连线与各力作用线不平行
如图，一种车载式起重机受力如图，车重G1=26kN， 起重臂重G2=4.5kN，起重机部分G3=31kN，求车不翻倒的 最大起重重量GMax。 解： FA=FB =300N
例：如图，已知AB上的M为 800N· m，求A、C两点的约 束力。 解：受力分析
BC为二力构件，其约束 力沿BC两点连线方向。 AB构件受力为平面力偶系。
由Mi=0 有：M-MAC=0
MAC=FAd=FCd =FC × 12 ×cos45+ FC × 24 ×cos45 =0.255·FC(N· m) FC=800/0.255=3137N
三、平面任意力系的平衡条件及方程
1. 平面任意力系的平衡条件 平面任意力系平衡的充要条件：力系的主矢 FR和力系对作用面内任意一点的主矩MO都为零。 即有：
2. 平面任意力系的平衡方程
基本式
二矩式 条件：x轴不垂直于AB两点的连线
三矩式
条件：A、B、C三点不共线
上述平衡方程只有三个独立方程，只能求解 三个未知数。
M O M O ( Fi )
力系若有合力，力系合力对任意轴的 矩等于力系各力对同一轴的矩的矢量和；
M x M x ( Fi )
7. 空间任意力系简化为力螺旋
简化后，若FR0，MO0，且FR与MO平行， 此时无法进一步简化。 这样力与力偶作用面垂直的情况称为力螺旋。
FR与MO同向，称右手螺旋；
合力大小由余弦定理：
理论力学(郝桐生)第三版第3单元课件
动画
力线平移定理
参见动画：平面力线平移定理
2021/10/10
5
参见动画：钳工用丝锥攻螺纹(断)
为什么如此攻螺纹会断？
参见动画：力线平移实例
2021/10/10
6
二、平面任意力系向作用面内一点简化‧主矢和主矩
参见动画：平面任意力系向平面内任一点的简化
2021/10/10 称点O为简化中心
7
平面力系向作用面内一点简化
30
例题
平面任意力系
例题5
解： 1. 取T 字形刚架为研究对象，受力分析如图。
l
60
F
B
l
D
M
l
F 60
B
y l
D M
3l
G
A
q
2021/10/10
F1
G
l MA FAy
x
A FAx 31
例题
平面任意力系
例题5
2. 按图示坐标，列写平衡方程。
y
l
l
F 60
Fx 0,
FAx F1 F sin 60 0
FR (Fx)2(Fy)2
coF sR (,i)FFRx ,
co(F sR , j)FFRy
原力系的主矢与简化中心O的位置无关
主矩： 原力系中各力对简化中心O之矩的代数和称为原力
系对点O的主矩。
n
M O M O (F1) M O (F2 ) ...... M O (Fn ) M o (Fi )
M O (FR ) FRd M O
n
而 M O M o (Fi )
n
i 1
M O (FR ) M o (Fi ) 合力矩定理得证
第三章平面力系
(3)若FR‘≠0，MO‘≠0，这时根据力的平移定理的 逆过程，可以进一步简化成一个作用于另一点 的合力。
(4) FR‘=0，MO‘=0，则力系是平衡力系 。 综上所述，平面一般力系简化的最后结果 (即合成结果)可能是一个力偶，或者是一个合 力，或者是平衡。 3-1-3合力矩定理 当FR‘=0，MO‘≠0 时，还可进一步简化为一 M o ( FR ) FR d 合力，合力对点的矩是 / / 而 Mo mo ( F ) FR d M o 所以 Mo (FR ) mO (F )
3-1-2简化结果的分析 平面一般力系向一点简化，一般可得到一 个力和一个力偶，但这并不是最后简化结果。 根据主矢与主矩是否存在，可能出现下列几种 情况： (1)若FR‘=0，MO‘≠0，说明原力系与一个力偶等 效，而这个力偶的力偶矩就是主矩。 (2)若FR‘≠0，MO‘=0 ，则作用于简化中心的主 矢FR'就是原力系FR的合力，作用线通过简化中 心。
228 .9kN m
计算结果为正值表示是逆时针转向。
因为主矢
≠0，主矩 FR
/ Mo ，如图 0 (b)所示，
所以还可进一步合成为一个合力FR。 FR的大小、 方向与FR‘相同，它的作用线与点的距离为
M O 228.9 d 0.375m FR 612.9
因为MO正，故m0(FR)也应为正，即合力FR 应在点O左侧，
X
F F
0
二力矩形式的平衡方程 (简称二矩式)
在力系作用面内任取两点A、B及X轴，平 面一般力系的平衡方程可改写成两个力矩方程 和一个投影方程的形式，即
F m m
X
0 0 0
A
B
式中轴不与A、B两点的连线垂直。
平面任意力系的简化及重心资料
F1′
M1
F1 =F1′ M1=MO(F1)
O
简化中心 F2 =F2′ M2=MO(F2)
F3 =F3′ M3=MO(F3)
FR′Βιβλιοθήκη MOOFR′ =F′1+F′2+F′ 3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F2)+ MO(F2) + MO(F3)
y
FR′
MO
O
x
n
FR Fi i 1
问题提出
F
当钉子打偏的时候， 会发生什么现象？
使钉子弯曲的作 用来自哪里呢？
F (a)
F (b)
两圆盘运动形式是否一 样？二者之间有什么联系呢？
两个问题的相同之处在于： 如何将一个力等效地平移到另外一点？
§3-1 平面任意力系向作用面内一点的简化
1.力的平移定理
F′
F′
F
M
Bd
B
A
A
F′ ′
M=F. d=MB(F)
xC
A
A
,
yC
A
A
,
zC
A
A
曲线：
xdl
ydl
zdl
xC
l
l
,
yC
l
l
,
zC
l
l
均质物体的重心就是几何中心，通常称——形心
3. 确定物体重心的方法 （1）简单几何形状物体的重心
例题9
求：半径为R，圆心角为2
的均质圆弧线的重心。
A
解: 取圆心 O 为坐标原点
xc 0
yC
ydl l l
n
理论力学第三章 任意力系的简化与平衡条件
例3-2 已知：涡轮发动机叶片轴向力F=2kN，力偶矩
M=1kN.M, 斜齿的压力角=20 ,螺旋角 。 =10 ,齿轮节圆半径 r=10cm。不计发动 机自重。 O1O2=L1=50cm, O2A=L2=10cm. 求： FN, O1,O2处的约束力。
。
第三章 力系的简化与平衡条件
§3-5 力系的平衡条件
3
F2 F3
1
F'
F1
1 O 200 1
x
2
1 3 1 FRy F1 F2 F3 = -161.6(N) 2 10 5
第三章 任意力系的简化与平衡条件
§3-4 力系简化计算
解：(1)先将力系向O点简化，求主矢和主矩。 FRx FRy =466.5(N) 2 2 FR
Xi 0 F x F2x Fr 0 1
F y F2y F 0 1
Zi 0
F z Fa F 0 1
第三章 力系的简化与平衡条件
§3-5 力系的平衡条件
例3-2 解： 3、列平衡方程
Mx (F) 0
F2 y L1 F (L1 L2 ) 0
y
100 1
F
80
3
Байду номын сангаас
F2 F3
1
F'
F1
1 O 200 1
x
2
第三章 任意力系的简化与平衡条件
§3-4 力系简化计算
例3-1 (1)先将力系向O点简 解： 化，求主矢和主矩。 1 1 F2 FRx F1 10 2 2 F3 5 = -437 .6（N）
y
100 1
F
工程力学 第三章 平面任意力系
M O FR d
合力矩定理：
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
3.1.5 平面任意力系的简化结果分析 ⑶平衡的情形
FR 0 M O 0
平衡
与简化中心的位置无关
例3-1 已知作用在梁AB上的 两力a=3m，求合力大小及作 用线位置。 解：
⑴大小： FR=30KN ⑵方向： 铅垂向下 ⑶作用线位置： A
Fy 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0
平面平行力系的方程为两个，有两种形式：
Fy 0 M A 0
各力不得与投影轴垂直
M A 0 M B 0
两点连线不得与各力平行
例3-10已知： P 700kN, P2 200kN, AB=4m； 1
3.2.1 平面任意力系的平衡条件 平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR 0 M O 0
3.2.2 平面任意力系的平衡方程
FR ( Fx ) ( Fy )
2
2
M O M O ( Fi )
Fx 0 Fy 0 M O 0
d.方程要标准
例3-4 已知： AC=CB= l，P=10kN;求：铰链A和DC杆 受力。
解：取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAx FC cos 45 0 Fy 0 FAy FC sin 45 P 0 M A 0 FC cos 45 l P 2l 0 解得： FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例 3-5 已知： 1 4kN, P2 10kN, 尺寸如图； P 求：BC杆受力及铰链A受力。
第03章 平面任意力系
第三章平面任意力系3.1 平面任意力系的简化·主矢与主矩3.2 平面任意力系的平衡条件与平衡方程3.3 物体系统的平衡·静定与静不定问题3.4 平面简单桁架的内力计算3.1 平面任意力系的简化·主矢与主矩所谓平面任意力系是指力系中各力的作用线在同一平面内且任意分布的力系，简称平面力系。
在实际工程中经常会遇到平面任意力系的情形，例如，下图所示的曲柄连杆机构，受力F ，矩为M 1，M 2的力偶以及支座反力F Ax ，F Ay 和F N 的作用，这些力及力偶构成平面任意力系。
3、固定端（或插入端）约束FAxFAyM AA4、平面任意力系的简化结果分析（1）简化为一个力偶当F R = 0，M O ≠0则原力系合成为合力偶，其矩为∑=)(i O O M M F 此时主矩与简化中心选择无关，主矩变为原力系合力偶。
由此很容易证得平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。
即∑=)()(R i O O M M F F 当F R ’= 0，M O = 0则原力系平衡。
（3）平面力系平衡例题3-3考虑一小型砌石坝的1m长坝段，受重力和的静水压力作用。
已知h = 8 m，a= 1.5 m，b= 1 m，P1=600 kN，P2=300 kN，单位体积的水重γ = 9.8 kN/m3。
求（1）将重力和水压力向O点简化的结果，（2）合力与基线OA的交点到点O的距离x，以及合力作用线方程。
解：（1）以点O 为简化中心，求主矢∑=′x RxF F ()()kNF F yxR1.95322=+=′∑∑F 329.0cos =′=∑RxF F θ944.0cos −=′=∑RyF F β°±=79.70θ°±°=21.19180β故主矢在第四象限内，与x 轴的夹角为°−79.70F R ’M O θβkN 6.313=22121h qh γ==kN P P F F y Ry 90021−=−−==′∑（2）以点O 为简化中心，求主矩F R ’M O θβ()()()q M P M P M M O O O O ++=21bP a P hh 212321−+×−=γmkN ⋅−= 27.236表明主矩的方向与假设方向相反，及主矩的方向为顺时针。
工程力学平面力系
例3-9
求杆BD、CD和CE的内力
Ⅰ
Ⅰ
40
HOHAI UNIVERSITY
例3-10
求1杆内力。 Ⅰ
Ⅰ
41
HOHAI UNIVERSITY
F
A
Ⅲ
I
B
例3-11 F Ⅲ Ⅱ ② Ⅰ
E C
求指定4根杆的内力。 可以求出杆2内力
①
J
D
I-I Ⅱ Ⅰ
③
K
④
F
II-II 可以求出杆3、4内力
III-III 可以求出杆1的内力
∑Fix =0 ∑ Fiy =0
35
HOHAI UNIVERSITY
空间汇交力系：
∑Fix =0
∑ Fiy =0
∑ Fiz =0
36
HOHAI UNIVERSITY
例3-8
用节点法求各杆内力
零杆——内力为零的杆件
零杆判断：
②
①
1.如有三根杆件在某一节点相交，其中两根在同一直线上，且该节点不 受外力作用，则第三根杆（不必与另两根杆垂直）必为零杆； 2.如只有两根不共线的杆件相交于一节点，节点上无外力，则该两杆必 37 均为零杆。
25
HOHAI UNIVERSITY
按材料分：
木桁架
钢桁架
钢筋混凝土桁架
26
HOHAI UNIVERSITY
按空间形式分： 平面桁架：所 有杆件的轴线 在同一平面内。
空间桁架
27
HOHAI UNIVERSITY
按内力计算分： 静定桁架
超静定桁架
28
HOHAI UNIVERSITY
木桁架的榫接节点
21
HOHAI UNIVERSITY
第3章 平面任意力系
,i
FRx FR
0.614,
FR , i 52.1
A
cosFR
,
j
FRy FR
0.789,
2. 求主矩MO
FR , j 37.9
MO O
FRF R
MO MO F
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合
成结果是一个合力FR。如右图所示。
M
F
q
45
B
A
l
24
例题3-6
A
y
FAx
A
MA FAy
解： 取梁为研究对象，受力分析如图
由平衡方程
M
F
Fx 0, FAx F cos 45 0
q
45
B
Fy 0, FAy ql F sin 45 0
l
M AF 0,
MA
ql 2 2
Fl cos
45
M
0
解方程得
q
M 45 F FAx F cos 45 0.707 F
FR FR
合力FR到O点的距离
d MO 0.51 m FR
B x
C
12
例题3-2
水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
A l
解：
q
在梁上距A端为x的微段dx
B x 上，作用力的大小为q'dx，其
中q'为该处的载荷集度 ，由相
似三角形关系可知
F
A
B
C
D
20
例题3-4
A
理论力学第三章平面一般力系
再研究轮
mO(F)0
SAco R sM 0
X0
XOSAs in0
Y0 SAco sYO0
MPRXOPtg YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
23
由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统——桁架
§3-7 平面简单桁架的内力分析
24
工程中的桁架结构
25
工程中的桁架结构
26
工程中的桁架结构
18
[例]
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移 谐调条件来求解。
19
二、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
20
物系平衡的特点： ①物系静止 ②物系中每个单体也是平衡的。每个单体可列3个 平衡方程，整个系统可列3n个方程（设物系中 有n个物体）
平面力偶系的平衡方程
X 0
Y 0
mi 0
四、静定与静不定
独立方程数 ≧未知力数目—为静定
独立方程数 < 未知力数目—为静不定 五、物系平衡
物系平衡时，物系中每个构件都平衡， 解物系问题的方法常是：由整体 局部
单体
39
六、解题步骤与技巧
解题步骤
解题技巧
①选研究对象
① 选坐标轴最好是未知力 投影轴；
解： 研究整体 画受力图 选坐标列方程
m B 0 , Y A 2 .5 P 1 .2 0
Y0 YAR Bq a P 0
R B q 2 m a a 2 P 2 2 0 0 .8 0 1 .8 2 6 2 1 0 ( k 2 )N Y A P q R B a 2 2 0 0 . 0 8 1 2 2 ( k 4 )N 17
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R F1 F2 Fn F1 F2 Fn Fi
平面力偶系的合成结果为 MO M1 M2 Mn MO (F1) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (Fi )
平面汇交力系力，R′ (主矢，作用在简化中心)
平面力 偶 系力偶，MO (主矩，作用在该平面上)
如果主矢和主矩均不等于零，此时还可进一步 简化为一合力。如图
R′
MO
O
O′
R′ R
O d
R″
O′
O
d
d MO R
R O′
4.2 平面任意力系简化结果分析
从图中可以看出
MO (R) Rd MO
由主矩的定义知：
所以
MO MO (Fi ) MO (R) MO (Fi )
FR
O
O′
d
结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等 于力系中各力对同一点之矩的代数和。这就是平面任 意力系的合力矩定理。
例1 例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
Fx 0 : FAx qb 0
P a A
q
b
Fy 0 : FAy P 0
P
M A(F) 0 :
MA
M
A
Pa
1 2
qb2
0
FAx
A
FAy
q
解之得：
FAx qb
FAy P
M
A
Pa
1 2
4.1.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系 的主矢。主矢与简化中心的位置无关。
R' R'x + R'y X i Y j R' ( X )2 (Y )2
cos( R'
,
i)
X R'
cos( R'
,
j)
Y R'
4.1.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
4.1.2.2 平面固定端约束
一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约 束称为固定端支座。
A
A
RA A MA
MA YA XA A
4.2 平面任意力系简化结果分析
四种情况：(1) R'＝0，MO≠0 ; (2) R' ≠ 0，MO ＝ 0 ; (3) R' ≠ 0， MO≠0 ; (4) R' ＝0，MO＝0
R R
A
C
P3 x
主矩 LA = mA 300N cm
最终结果 合力 大小： R R 250N
方向: =36.9° 在A点左还是右？
位置图示： h L 300 1.2cm R 250
4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
4.3.1 平衡条件
平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系 的主矢和对任一点的主矩都等于零。即
4.2.2 平行分布线荷载的简化
1、均布荷载 Q ql 2、三角形荷载 Q 1 ql
2
3、梯形荷载
可以看作一个三角形荷载和一 个均布荷载的叠加 结论： 1、合力的大小等于线荷载所组成几何 图形的面积。 2、合力的方向与线荷载的方向相同。 3、合力的作用线通过荷载图的形心。
Q q
l/2 l/2 Q q
FR 0 MO 0
FR ( Fx )2 ( Fy )2 MO MO (Fi )
4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
4.3.2 平衡方程 由于 FR ( Fx )2 ( Fy )2 , MO MO (Fi )
所以
Fxi 0 Fyi 0来自M O (Fi ) 0
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各 力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分 别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。 上式称为平面任意力系的平衡方程。
(1)平面任意力系简化为一个力偶的情形
R' ＝0，MO≠0
原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简化 中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。
MO MO(F)
4.2 平面任意力系简化结果分析
(2)平面任意力系简化为一个合力的情形·合力矩定理
如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面 力系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。
2l
l
3
3
q1
q2
l
[例] 图示力系，已知：P1=100N, P2=50N, P3=200N,图中距离
单位cm。
y
求：1、力系主矢及对A点之矩？
2、力系简化最后结果。 P1
P2
B
4
R
解： 1、建立坐标系
A 6 3C
P3 x
2、X=∑Fx=P3 =200N
Y=∑Fy=P1+ P2 =100+50 =150N
第四章 平面任意力系
4 平面任意力系
• 平面任意力系向作用面内一点的简化 • 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 • 物体系统的平衡·静定和超静定问题 • 平面简单桁架的内力计算
4.1 平面任意力系向作用面内一点简化
4.1.1 力线平移定理
定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行
移到任一点O，但必须同时附加一个力偶，这
∴主矢 R X 2 Y 2 2002 1502 250N
cos cos(R, x) X 200 0.8
R 250
∴ =36.9°
mA mA (Fi ) P2 6 50 6 300N cm
2、简化最终结果
主矢 R 250N 方向： =36.9°
y
P2
P1
mA
B
原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系 对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位 置有关。
n
MO MO (F i ) i 1
平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得 一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢， 作用线通过简化中心O 。这个力偶的矩等于该 力系对于点O的主矩。主矢与简化中心的位置 无关，主矩和简化中心的位置有关。
个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点O的
矩。
F′
B
F″ B
F＝
F＝
F′ MB
A
A
A
力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一 个力偶合成一个力。
说明： ①力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力
力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d
③力的平移定理是力系简化的理论基础。
4.1.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
F1 F2
y FR′
O
j
MO
Oi
x
Fn y
F1 F1 F2 F2
Fn Fn
F1′ M1
M2
O Mn
Fn′
F2′
M1 M O (F1)
M 2 M O (F2 )
x
M n M O (Fn )
4.1.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
平面任意力系 向一点简化 平面汇交力系+平面力偶系 其中平面汇交力系的合力为
平面力偶系的合成结果为 MO M1 M2 Mn MO (F1) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (Fi )
平面汇交力系力，R′ (主矢，作用在简化中心)
平面力 偶 系力偶，MO (主矩，作用在该平面上)
如果主矢和主矩均不等于零，此时还可进一步 简化为一合力。如图
R′
MO
O
O′
R′ R
O d
R″
O′
O
d
d MO R
R O′
4.2 平面任意力系简化结果分析
从图中可以看出
MO (R) Rd MO
由主矩的定义知：
所以
MO MO (Fi ) MO (R) MO (Fi )
FR
O
O′
d
结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等 于力系中各力对同一点之矩的代数和。这就是平面任 意力系的合力矩定理。
例1 例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
Fx 0 : FAx qb 0
P a A
q
b
Fy 0 : FAy P 0
P
M A(F) 0 :
MA
M
A
Pa
1 2
qb2
0
FAx
A
FAy
q
解之得：
FAx qb
FAy P
M
A
Pa
1 2
4.1.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
平面任意力系中各力的矢量和称为平面任意力系 的主矢。主矢与简化中心的位置无关。
R' R'x + R'y X i Y j R' ( X )2 (Y )2
cos( R'
,
i)
X R'
cos( R'
,
j)
Y R'
4.1.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
4.1.2.2 平面固定端约束
一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约 束称为固定端支座。
A
A
RA A MA
MA YA XA A
4.2 平面任意力系简化结果分析
四种情况：(1) R'＝0，MO≠0 ; (2) R' ≠ 0，MO ＝ 0 ; (3) R' ≠ 0， MO≠0 ; (4) R' ＝0，MO＝0
R R
A
C
P3 x
主矩 LA = mA 300N cm
最终结果 合力 大小： R R 250N
方向: =36.9° 在A点左还是右？
位置图示： h L 300 1.2cm R 250
4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
4.3.1 平衡条件
平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系 的主矢和对任一点的主矩都等于零。即
4.2.2 平行分布线荷载的简化
1、均布荷载 Q ql 2、三角形荷载 Q 1 ql
2
3、梯形荷载
可以看作一个三角形荷载和一 个均布荷载的叠加 结论： 1、合力的大小等于线荷载所组成几何 图形的面积。 2、合力的方向与线荷载的方向相同。 3、合力的作用线通过荷载图的形心。
Q q
l/2 l/2 Q q
FR 0 MO 0
FR ( Fx )2 ( Fy )2 MO MO (Fi )
4.3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
4.3.2 平衡方程 由于 FR ( Fx )2 ( Fy )2 , MO MO (Fi )
所以
Fxi 0 Fyi 0来自M O (Fi ) 0
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各 力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分 别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。 上式称为平面任意力系的平衡方程。
(1)平面任意力系简化为一个力偶的情形
R' ＝0，MO≠0
原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简化 中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。
MO MO(F)
4.2 平面任意力系简化结果分析
(2)平面任意力系简化为一个合力的情形·合力矩定理
如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面 力系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。
2l
l
3
3
q1
q2
l
[例] 图示力系，已知：P1=100N, P2=50N, P3=200N,图中距离
单位cm。
y
求：1、力系主矢及对A点之矩？
2、力系简化最后结果。 P1
P2
B
4
R
解： 1、建立坐标系
A 6 3C
P3 x
2、X=∑Fx=P3 =200N
Y=∑Fy=P1+ P2 =100+50 =150N
第四章 平面任意力系
4 平面任意力系
• 平面任意力系向作用面内一点的简化 • 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 • 物体系统的平衡·静定和超静定问题 • 平面简单桁架的内力计算
4.1 平面任意力系向作用面内一点简化
4.1.1 力线平移定理
定理：可以把作用在刚体上点A的力F平行
移到任一点O，但必须同时附加一个力偶，这
∴主矢 R X 2 Y 2 2002 1502 250N
cos cos(R, x) X 200 0.8
R 250
∴ =36.9°
mA mA (Fi ) P2 6 50 6 300N cm
2、简化最终结果
主矢 R 250N 方向： =36.9°
y
P2
P1
mA
B
原力系各力对简化中心力矩的代数和称为原力系 对简化中心的主矩。一般来说，主矩与简化中心的位 置有关。
n
MO MO (F i ) i 1
平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得 一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢， 作用线通过简化中心O 。这个力偶的矩等于该 力系对于点O的主矩。主矢与简化中心的位置 无关，主矩和简化中心的位置有关。
个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点O的
矩。
F′
B
F″ B
F＝
F＝
F′ MB
A
A
A
力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一 个力偶合成一个力。
说明： ①力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力
力+力偶
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d
③力的平移定理是力系简化的理论基础。
4.1.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
F1 F2
y FR′
O
j
MO
Oi
x
Fn y
F1 F1 F2 F2
Fn Fn
F1′ M1
M2
O Mn
Fn′
F2′
M1 M O (F1)
M 2 M O (F2 )
x
M n M O (Fn )
4.1.2 平面任意力系向一点简化·主矢与主矩
平面任意力系 向一点简化 平面汇交力系+平面力偶系 其中平面汇交力系的合力为