(完整版)初中数学分式方程典型例题讲解

【知识要点】 1. 分Hale Waihona Puke Baidu的概念以及基本性质 ;
2. 与分式运算有关的运算法则
3. 分式的化简求值 ( 通分与约分 )
4. 幂的运算法则
【主要公式】 1. 同分母加减法则
b
:
c
b ca
0
aa a
2. 异分母加减法则
b
:
d
bc da
bc
da a
0, c
0;
a c ac ac ac
b d bd b c b d bd
3. 分式的乘法与除法 : ?
,
?
a c ac a d a c ac
4. 同底数幂的加减运算法则 : 实际是合并同类项
5. 同底数幂的乘法与除法
; am●
an =am+n; a
a =a m
n
÷
m－n
=n mn
6. 积的乘方与幂的乘方 :(ab) m= a m bn , (a m)
a
7. 负指数幂 :
练习：
1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数
.
（ 1） 0.03x 0.2 y 0.08x 0.5 y
0.4a 3 b
（2） 1 a
5 1b
4 10
2．已知： x 1 x
3 ，求 x4
x2 x2
的值 . 1
1 3．已知：
1
3 ，求 2a 3ab 2b 的值 .
ab
b ab a
4．若 a 2 2a b2 6b 10 0 ，求 2a b 的值 . 3a 5b
3
2
式方程的有（ ）
1
x 2 =x，③ 6
8 x2
=x 1x
1 8 ，④ x- 1 x =0 中，是分
1
2
A．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．①和④
问题 2：怎么解问题 1 中的分式方程：
【主要方法】 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数 ;
2.
解分式方程的关健是化分式方程为整式方程 ; 方程两边同乘以最简公分母 .
的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．
2．建模思想
本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问
题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历
“实际问题 ———
分式方程模型 ——— 求解 ——— 解释解的合理性 ”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对
2
x
（ 2）
x2
4 4x
;
4
（ 3 ）在分式
x
y xyz
z 中， x,y,z
分别扩大到
原来的两倍，则分式大小怎么变化？
题型二：化分数系数、小数系数为整数系数
【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数
.
12 xy
（1） 2 3 1x 1 y 34
0.2a 0.03b （2）
0.04a b
题型三：分数的系数变号
6x （ 4）
| x| 3
1 （ 5）
x1 x
题型三：考查分式的值为 0 的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义
2、当分子为零且分母不为零时，分式值为零。
【例 3】当 x 取何值时，下列分式的值为 0.
（ 1） x 1 x3
（ 2）
|x| x2
2 4
题型四：考查分式的值为正、负的条件
；（ 2）
xy
xy
(x y)2
x
y
. ；（3）
－
xy
x 2 y2 y2 x2
题型四：化简求值题
【例 4】先化简后求值
（ 1） a a
1 2
a2 4
2
a 2a 1
1
2
，其中 a 满足 a2
a1
a
0.
题型二：异分母分数相加减： 正确地找出各分式的最简公分母。
求最简公分母概括为： （通分）
① 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
3.
解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系
, 恰当地设末知数 .
（一）分式方程题型分析
题型一：用常规方法解分式方程
11
(1)
x3 x
1x 1
(2)
2
x2 2x
新授知识 分式方程
问题 1：一艘轮船在静水中的最大航速为 20 千米 / 时，它沿江以最大航速顺流航行 100 千米所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用的时间相等，江水的流速 为多少？
a-p
=
1 ap
a0=1
8. 乘法公式与因式分解 : 平方差与完全平方式
(a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ± b) 2= a 2± 2ab+b2
（一）、分式定义及有关题型
题型一：考查分式的定义（一）分式的概念：
形如 A (A 、B 是整式，且 B 中含有字母， B≠ 0)的式子，叫做分式 .其中 A 叫做分式的分子 ,B B
（ 1） 5 | x 1 | x4
25 x 2 （2） x2 6x 5
3．解下列不等式 （1） | x | 2 0
x1
（2）
x2
x5 2x
3
0
（二）分式的基本性质及有关题型
A AM 1．分式的基本性质：
B BM
AM BM
a 2．分式的变号法则：
b 题型一：分式化简（约分）
a
aa
b
bb
16x2 y 3 （1） 20xy4 ；
② 最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积；
③ 分母是多项式时一般需先因式分解。
（
2 a2
3
）
ab
3a 2b a b b a
m 2n n 2m
【例 2】通分： (1) 5a2b , 5a2b , 5a2b
（2）
,
,
n m m nn m
【例 3】（ 1） 计算： 3 x4
24 x2 16
. （ 2） 计算
5．如果 1 x 2 ，试化简 | x 2 |
x 1 |x| .
2 x | x 1| x
（三）分式的乘除法
题型一：分式的乘法：
① 分式乘分式， 用分子的积作为积的分子， 分母的积作为积的分母 .如果得到的不是最简分式，
应该通过约分进行化简 b d （
）
ac
② 整式和分式相乘， 直接把整式和分式的分子相乘作结果的分子，
（ 1） ( a 2b )3 ( c 2 ) 2 (bc ) 4 ；
c
ab
a
（ 2） ( 3a 3 ) 3 ( x 2
y2)
y (
x) 2 ；
xy
yx
.
（四）、分式的加减法
题型一：同分母分数相加减：分母不变，把分子相加减。 【例 1】 计算：
cd ab ab
（ x y）2
（ 1）
xy
(x y)2
( x y) 2
【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号
.
（ 1） x y xy
a （ 2）
ab
a （ 3）
b
题型四：化简求值题
【例 3】已知： 1 1 5 ，求 2x 3xy 2y 的值 .
xy
x 2xy y
【例 4】已知： x 1 x
2 ，求 x 2
1 x2 的值 .
【例 5】若 | x y 1 | (2x 3)2 0 ，求 1 的值 . 4x 2y
【例 1】解下列分式方程
（ 1） 1 3 ；（ 2） 2 1 0 ；（ 3） x 1 4 1 ；（4） 5 x x 5
x1 x
x3 x
x 1 x2 1
x3 4 x
【主要方法】 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数 ;
2. 解分式方程的关健是化分式方程为整式方程
; 方程两边同乘以最简公分母 .
3.
【例 1】 计算下列各分式：
c 分母不变。 即 a （ ）
b
(1) a 2 4
a2 1 ；（2） a 2 4b2
ab ；（ 3） 42(x 2 y 2)
x2
a 2 2a 1 a 2 4a 4
2
3ab
a 2b
x
35( y x)3
题型二：分数除法：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘
【例 4】（ 1）当 x 为何值时，分式 4 为正； 8x
（ 2）当 x 为何值时，分式
5 x 为负；
3 (x 1)2
练习：
（ 3）当 x 为何值时，分式 x 2 为非负数 . x3
1．当 x 取何值时，下列分式有意义：
（ 1） 1 6|x| 3
（2）
(x
3x 1) 2
1
（ 3） 1 1
1 x
2．当 x 为何值时，下列分式的值为零：
x 1 1 2x
（2） x 2 4 ；
x3
x3
a2 ab
a
b
（3） 1 － 1 ; x3 x3
题型三：加减乘除混合运算
（ 4）
1 a2
1
－
;
4 a2
【例 4】计算：（ 1）、 ( x
x )
4x （2） 3 3
x 2 x 2 2 x ， 2x 4
5 x2
x2
分式方程概念： 方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程
.
做一做
在方程① x 7 =8+ x 15 ，② 6
第十六章分式知识点和典型例习题
【知识网络】
【思想方法】
1．转化思想
转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简
单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分
式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程
.
bd
（
）
ac
【例 2】 计算下列各式：
（ 1） 5b2 3ac
10bc ； 21a
（ 2） 12 xy 5a
8x2 y ；
（ 2）已知 x : y
2 : 3 ，求 ( x2
y2 ) [( x
xy
x y) (
y )3]
x
x 的值 . y2
题型三：分式的混合运算：熟记分式乘除法法则 【例 3】计算：
解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系
, 恰当地设末知数 .
提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记
验根 .
题型二：求待定字母的值 【例 5】若分式方程 2 x a x2
1的解是正数，求 a 的取值范围 .
练习： 1．解下列方程： （ 1） x 1 2x 0 ；
培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．
3．类比法
本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分
式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些
运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．
第一讲 分式的运算
叫做分式的分母 .
1
【例 1】下列代数式中：
x1
a b x2
, x y,
,
y2 x ,
y ，是分式的有：
.
2
ab x y x y
题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零
.如果分母的值是零，则分式没
有意义 . 【例 2】当 x 有何值时，下列分式有意义
（1） x 4 x4
3x
2
（2） x2 2 （3） x2 1