第四章年金精算现值

与折现因子有何区别与联系？
元。
nEx
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二、生存年金 （一次性生存给付例题分析）
【例4.5】计算25岁的男性购买40年定期 生存险的趸缴纯保费。已知
p 40 250.78765825
假定i＝6％ 假定i＝2.5％
(1)1040 E 020 5 100 0 1.004 60 00.787 6756 .785 825 (1)1040 E 020 5 100 0 1.002 4 0 050.787 6259.4 838 235
用总额法和现时支付法求该终身年金的精算现值。
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一、期初付年金及其精算现9 p 0 1 v 2 2 0 p 9 0 1 .5 0 1 7 5 0 1 2 . 1 0 2 0 1 3 0 5 0 9 6 .9 0 7
0 Y 5v
5v 10v2
k 0 k 1 k 2
EY5v1|q50(5v1v02)2|q50 5vp501v022p50
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种类
确定性年金：支付与否、支付的数额都是确定的 不确定性年金：未来相应的时间点上的支付是否
发生不确定，由其生命状态决定
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一、确定性年金（图示）
1 1 1 ---- 1 1 1---- 期末付永久年金
1 1 1 ---- 1 1 1---- 期初付永久年金
1 1 1 ---- 1 0 0 0---
y x
y x
其中： v(1g)v 1 , j i g
1 j
1 g
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一、期初付年金及其精算现值
-变额生存年金
例题分析
【例4.7】已知： i 0.05
x
90 91 92 93
lx
100 72 39
0
dx
28 33 39 －
假定91岁存活给付5，92岁存活给付10，试分别
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二、生存年金
生存年金：在已知某人生存的条件下，按预先
约定金额进行一系列的给付的保险，
且每次年金给付必须以年金受领人
生存为条件；一旦年金受领人死亡，
给付便立即中止。
分类
期初付年金/延付（期末付）年金 连续年金/离散年金 定期年金/终身年金 即期年金/延期年金
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k0
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一、期初付年金及其精算现值
-变额生存年金
等比例变额生存年金
应用场合：养老保险中，其给付额在一个基础水平上按 一个规定比例增长，这个比例常是价格指数或社会平均 工资指数
精算现值
x n 1
x n 1
( A) x P b V ( 1 g ) y x v y x y x p x b( v ) y x y x p x b a x :n |j
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一、确定性年金（例题分析）
【例4.2】某人以名义利率5.58%从银行贷 款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。 问：（1）他每月等额还款额等于多少？ （2）假如他想在第五年末提前还完贷款， 问除了该月等额还款额之外他还需一次性 付给银行多少钱？
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(1) lx n Ex (1i)n lxn
(2)
S
1 n Ex
vn
1 n
px
(1i)n lx lxn
(3)
n Ex
t Ex nt Ext
t Ex n Ex
1 E nt xt
年龄
x
x+t
x+n
nE x
E n t x t
1
现值
1
S
tE x
1
二、生存年金（精算现值的求法）
现时支付法 以生存给付事件为考虑线索 考虑未来连续支付的现时值之和
vk
k
px
ax
a x:m|
m Ex
axm
k m
延期m年的n年定期生存年金
m n 1
a m| x:n|
vk
k
px
a x: m n |
a x:m|
m Ex
a xm:n|
k m
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一、期初付年金及其精算现值
-变额生存年金
一般公式
n年定期变额生存年金的精算现值
xn1
(AP)xV byvyxyxpx yx
4.递减型n年定期年金的现值与终值
现值
na
(D a ) n(n 1 )v vn 1 n |
n|
终值
d
(Ds) (1i)n(Da )
n|
n|
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一、确定性年金（期末付）
n年定期年金
现值：
a v v2 vn va
n|
n|
终值：
s (1 i)n1 (1 i)n2 (1 i) 1 vs
二、生存年金（与确定性年金关系）
确定性年金
支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年 金）
生存年金与确定性年金的联系
都是间隔一段时间支付一次的系列付款
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二、生存年金（与确定性年金的区别）
年金
生存年金
支付期数是不确定的 ，它以被保险人生存 为给付条件，被保险 人一旦死亡，给付就 终止
n|
n|
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一、确定性年金（连续型年金）
n年定期年金
现值 终值
a n vt dt 1 vn
n|
0
s
n
(1
i)nt
dt
(1
i)n
1
(1
i)n
a
n|
0
n|
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一、确定性年金（永续年金）
收付时间趋于无穷大
期初付永续年金
公式 a lim a 1 含义：若期|初投n资1/d元n| ，则d每年期初可获得1元的收益。
a 1 d
1 vn
a
n|
s (1 i)n 1 (1 i)n a
n|
n|
一、确定性年金（例题分析）
【例4.1】一项年金在20年内每半年末付500元，设年
名义利率为9%，求此项年金的现时值。
5 0 0 a 5 0 0 1 8 .4 0 1 6 9 2 0 0 .8 4 0 0 .0 4 5
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二、生存年金 （一次性生存给付-精算积累因子）
精算积累因子
S 1 (1 i)n
n Ex
n px
(x)现在存入1元，仅其n年后生存时才获得
给付，则n年后生存时的给付额为
1
n
E
元。
x
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二、生存年金
（一次性生存给付相关公式及意义）
第四章年金精算现值
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本章结构
年金简介（包括确定性 年金和生存年金）
年付一次生存年金 年付多次的生存年金
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第一节 年金简介
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一、年金的概念和种类 二、确定性年金简介 三、生存年金简介
年金的概念和种类
概念
按一定的时间间隔支付的一系列付款
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一、确定性年金（例题分析）
I 100000 7 % 7000
B ：7000 a 49465 10 0 .07
C : 7000 ( a a ) 24993
20 0 .07
10 0 .07
D : 7000 ( a a ) 25842
0 .07
20 0 .07
1000 k p301.09k k0
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一、期初付年金及其精算现值
-n年定期生存年金
现时支付法：
n 1
n 1
a x: n |
vk k px
k Ex
k 0
k 0
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一、期初付年金及其精算现值
-延期生存年金
延期m年的终身生存年金
m| ax
终身变额生存年金的精算现值
1
(AP)xV byvyxyxpx yx
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一、期初付年金及其精算现值
-变额生存年金
等差递增生存年金
n1
(Ia )x
(k1)vkkpx,
(Ia ) x:n|
(k1)vkkpx
k0
k0
等差递减生存年金
n1
(Da ) x:n|
(nk)vkkpx
将时刻 t 时的年金给付额折现至签单时的现值，再将所有的现值相加或
积分
总额支付法
以死亡事件发生为考虑线索 考虑年金在死亡或到期而结束时的总值
先求出在未来寿命期限内所有可能年金给付额现值，再求现值的数学期望。
两种方法是等价的（最终的结果相同） 掌握现时支付法的计算公式
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期初付年金
1 1 1 ---- 1 0 0---
期末付年金
0 1 2 3 ------- n n+1 n+2---
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一、确定性年金（期初付）
1. n年定期年金
现值
公式：
an|
1
v
v2
v n 1
1 vn d
含义：期初投资 元a，则之后的n年里，每年年初
可得1元的收益n 。|
（一次性生存给付-精算折现因子）
现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末获 得生存赔付的保险。
也就是上一章讲到的n年期生存保险。n年期生存保险的
趸缴纯保费为
A1
在生存年金研究中习惯用x :n 且将其称为精算折现因子。
n
E
表示该保险的精算现值，
x
nEx Ax:1n vnnpx
精算折现因子的含义 (x)要在n年后生存时获得1元，此时需要存入
一、确定性年金（例题分析）
（1）
Ra
300000
15120.465%
R2464
（2）
PV60
Ra 1200.465%
22621.054
或者
PV60
3000001.0046650
Rs 600.465%
22621.054
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一、确定性年金（例题分析）
【例4.3】有一企业想在一学校设立一永久奖 学金，假如每年末发出5万元奖金，问：在年 实实际利率为20%的情况下，该奖学金基金 的本金至少为多少？
vK
步骤二：计算该当期年金现值按照可能支付的 时间求和，得到精算现值
ax vk k px k Ex
k 0
k 0
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一、期初付年金及其精算现值
-终身生存年金
【例4.6】张华今年30岁，从今年起，只要 他存活，可以在每年年初获得1000元的生 存给付，假设年利率为9%。计算这一年 金的精算现值。
P5a 5 25 0.2 0.2
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一、确定性年金（例题分析）
【例4.4】A留下一笔100000元的遗产。这 笔财产头10年的利息付给受益人B，第2 个10年的利息付给受益人C，此后的利息 都付给慈善机构D。若此项财产的年实际 利率为7%，试确定B，C，D在此笔财产 中各占多少份额？
期末付永续年金
公式
1
a lim a
i |
含义？
n n|
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一、确定性年金（常用结论）
年金 期末付 期初付 连续型
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有限年金
现值
终值
永续年金 现值
a 1 vn
n
i
s (1i)n 1
n
i
a 1 i
a 1 vn
n
d
s (1i)n 1
n
d
Y a , K 0, 1, 2, K 1|
步骤二：计算这个年金现值关于时间求和所得的 年金期望值，即终身生存年金精算现值
为何是aK 1| 而不是
a K|
ax E(Y )
a k 1|
k|qx
k 0
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一、终身生存年金
-精算现值的现时支付法
步骤一：计算时间 K 所支付的当期年金的现值
终值
公式： s (1 i) (1 i)2 (1 i)n (1 i)n 1
n|
d
两者之间的关系
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s (1 i)n a
n|
n|
一、确定性年金（期初付）
2.延期m年的n年定期年金
现值
m| an| vm vm1 vmn1 amn| am| vman|
终值
m
|
s n
|
(1 i) (1 i)2
(1 i)n
s n|
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一、确定性年金（期初付）
3.递增型n年定期年金
现值
a nnv
(Ia ) 12 v3 v2 nn v 1n |
n|
d
终值
(Is) (1i)n(Ia )
n|
n|
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一、确定性年金（期初付）
第二节 年付一次生存年金
一、期初付年金及其精算现值(掌握现时支付法) 二、期初付年金精算现值与寿险精算现值
之间的关系
三、期末付年金及其精算现值 四、用换算函数计算年金精算现值(重点)
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一、终身生存年金
-精算现值的总额支付法
步骤一：计算到死亡发生时间K为止的所有 已支付的年金的现值之和
确定性年金
支付期数是确定的， 无论中间发生什么事 情，支付时期都不可 发生更改
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二、生存年金（用途）
被保险人保费交付常使用生存年金的方式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生
存年金的方式，特别在：
养老保险 伤残保险 抚恤保险 失业保险
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二、生存年金