新高考数学题型全归纳之排列组合 专题15 隔板法模型(解析版)

专题15 隔板法模型
例1．2020年高考强基计划中，北京大学给了我校10个推荐名额，现准备将这10个推荐名额分配给高三理科的6个班级，这6个班级每班至少要给一个名额，则关于分配方案的种数为（ ） A ．462 B ．126 C ．210 D ．132
【解析】
将10个名额分为6份，即从9个分段中选择5个段分开，且不分顺序， 共有5
9126N C ==种方案. 故选：B .
例2．不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（ ） A ．55 B ．60 C ．91 D ．540
【解析】
不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数. 现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，
因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为2
1491C =.
故选：C.
例3．有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹果，问有多少种不同的分配方案？( ) A ．680 B ．816 C ．1360 D ．1456
【解析】
先给每个小朋友分三个苹果，剩余18个苹果利用“隔板法”，
18个苹果有17个空，插入三个 “板”，共有3
17
C =680种方法. 故选：A.
例4．从A 、B 、C 、D 4个班级中选10人组成卫生检查小组，每班至少选一人，每班人数的不同情况有多少种（ ） A ．42
B ．56
C ．84
D ．168
【解析】
将10个人排成一排，然后从中间形成的9个空中选3个，分别放入一个隔板，即可将10个人分为4个部分，且每部分至少1个人，由此可得每班人数的不同情况有3
9987
84321
C ⨯⨯==⨯⨯种．
故选C ．
例5．把9个完全相同的口罩分给6名同学，每人至少一个，不同的分法有（ ）种 A ．41 B ．56 C ．156 D ．252
【解析】
问题可转化为将9个完全相同的口罩排成一列，再分成6堆，每堆至少一个，求其方法数． 事实上，只需在上述9个完全相同的口罩所产生的8个“空档”中选出5个“空档”插入档板， 即产生符合要求的方法数．故有5
856C =种． 故选：B
例6．方程123412x x x x +++=的正整数解共有（ ）组 A ．165 B ．120
C ．38
D ．35
【解析】
如图，将12个完全相同的球排成一列，
在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、
2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，
反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，
故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109
165321
C ⨯⨯=
=⨯⨯，
故选：A.
例7．把16个相同的小球放到三个编号为1，2，3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（ ） A ．18 B ．28
C ．36
D ．42
【解析】
根据题意，16个相同的小球放到三个编号为123
，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，
则原问题可以转化为将剩下的10个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，
将剩下的10个球排成一排，有9个空位，在9个空位中任选2个，插入挡板，有2989
36 2
C
⨯
==种不同的
放法，
即有36个不同的符合题意的放法；
故选：C．
例8．把座位号为1、2、3、4、5、6的六张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为（）
A．96B．240C．280D．480
【解析】
因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，
又分给甲、乙、丙、丁四个人，
则在座位号1、2、3、4、5、6的五个空位插3个板子，有3
510
C=种，
然后再分给甲、乙、丙、丁四个人，有4
424
A=种，
所以不同的分法种数为1024240
⨯=,
故选：B
例9．（1）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（2）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（3）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（4）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
【解析】
（1）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法：2、
2、1、1；
3、1、1、1；再放入4个不同的箱子，故不同的方法共有
2211
34
6421
64
22
22
1560
C C C C
C A
A A
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
（种）
（2）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，先把6个小球分组，有两种分法：2、
2、1、1；
3、1、1、1；再放入4个相同的箱子，故不同的方法共有
2211
3
6421
6
22
22
65
C C C C
C
A A
+=（种）
（3）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少一个小球，则采用插板法，在5个空中插入3块
板，则不同的方法共有3
5
10C =（种） （4）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子至少一个小球，故可以首先每个箱子放入1个小球，还剩下2个小球，则这2个小球，只有两种结果，即两个在一个箱子中，或两个小球分别在一个箱子中，故只有2种放法.
例10．（1）求方程12345x x x x +++=的非负整数解的个数；
（2）某火车站共设有4个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客求—个小组4人进站的不同方案种数，要求写出计算过程. 【解析】
（1）若定义()()12341234:,,,,,,f x x x x y y y y →，其中()11,2,3,4i i y x i =+=，
则f 是从方程12345x x x x +++=的非负整数解集到方程12349y y y y +++=的正整数解集的映射，利用
隔板法得，方程12349y y y y +++=正整数解得个数是3
8C 56=
从而方程12345x x x x +++=的非负整数解得个数也是56；
（2）这4名旅客通过安检口有4种情况：从1个安检口通过，从2个安检口通过，从3个安检口通过，从4个安检口通过。

从1个安检口通过共有：14
4496C A ⋅=种方案；
从2个安检口通过，可能有1个安检口通过1人，另一个安检口通过3人有：323
443288C A A ⋅⋅=种方案；
从2个安检口通过，可能每一个安检口都通过2人有：2222
442222
144C A A A A ⋅⋅⋅=种方案；
从3个安检口通过，可能有2个安检口各通过1人，有1个安检口通过2人有：232
442288C A A ⋅⋅=种方案； 从4个安检口通过共有：4
424A =种方案，
所以这4个旅客进站的不同方案有：96+288+144+288+24=840种. 例11．现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学.
（1）若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？ （2）若5本书都不相同，共有多少种分法？
（3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？
【解析】
（1）根据题意，若5本书完全相同，将5本书排成一排，中间有4个空位可用， 在4个空位中任选2个，插入挡板，有246C =种情况， 即有6种不同的分法；
（2）根据题意，若5本书都不相同，每本书可以分给3人中任意1人，都有3种分法， 则5本不同的书有5333333243⨯⨯⨯⨯==种； （3）根据题意，分2步进行分析： ①将5本书分成3组，
若分成1、1、3的三组，有3152
2
2
10C C A =种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有122542
2
2
15C C C A =种分组方法， 则有101525+=种分组方法；
②将分好的三组全排列，对应3名学生，有3
36A =种情况， 则有256150⨯=种分法.
例12．（1）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有几种？ （2）把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有几种？ （3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，共有多少种放法？ （注：最后结果需用数字作答） 【解析】
（1）按照最左端排谁分两类：
①排甲：其余5个人作全排列，有3
3120A =种，
②排乙：最右端不排甲有1
4A 种，其余四人作全排列有44A 种，故共有14
4496A A =种， 由分类计数原理共有12096216+=种； （2）分步完成：
①将A ，B 捆在一起当作一个元素与除C 的3个元素一起作全排列，有24
24A A 种， ②将C 插入到已经排好的排列中，让A ，C 不相邻，有1
4A 种，
由分步计数原理可得共有241
244192A A A =种；
（3）四个不同的小球编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，有23
44144C A =种不同的放法. 例13．将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有_________种放法.（用数字作答） 【解析】
根据题意，将6个小球排成一排，排好后有5个可用的空位，
在5个空位中任选3个，插入挡板，共有3
5
10C =种情况， 可以将6个小球分成4组，依次放入4个不同的盒子中即可， 所以共有10中不同的放法．
例14．方程10x y z ++=的正整数解的个数__________. 【解析】
问题中的x y z ､､看作是三个盒子，问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法． 将10个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球． 隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的9个空内．
∴共有2936C =种．
故答案为：36
例15．现有15个省三好学生名额分给1、2、3、4共四个班级，其中1班至少2个名额，2班、4班每班至少3个名额，3班最多2个名额，则共有_________种不同分配方案. 【解析】
由3班最多2个名额，3班有2、或1个，或0个名额三种情况.
（1）、当3班有2个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的8个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.
相当于将8个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有2
721C =种分法.
（2）、当3班有1个名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的9个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.
相当于将9个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有2828
C =
种分法.
（3）、当3班没有分得名额时，先给1班1个名额，2班、4班各2个名额，然后将剩下的10个名额分给1班、2班和4班，每个班至少一个名额.
相当于将10个元素排成一排，在中间加入2个隔板将他们分成3组，1班、2班和4班分别得到一组，有
2936C =种分法.
所以一共有21+28+3685=种不同的分配方案. 故答案为：85.
例16．小红同学去超市买糖果，现有四种不同口味的糖果可供选择（可以有糖果不被选择），单价均为一元一颗，小红只有7元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有______种. 【解析】
把7元看作7个相同的小球，四种糖果看作是四个盒子，问题变为把7个小球放到4个盒子中，允许有空盒，因此补充4个小球，共11个小球，分到四个盒子中，用插隔板方法， 共有方法数为3
11120C =． 故答案为：120．
例17．10个相同的小球放在三个编号为1，2，3的盒中，每盒至少1个，有_________种方分法. 【解析】
依据题意，10个相同的小球放在3个盒中，每盒至少1个，可转化为将10个相同小球分成三组，每组至少1个；
可将10个小球排成一列，进而在排除两端的9个空位中，选取2个，插入隔板即可， 由组合公式可得共有2
936C =种分法. 故答案为：36.
例18．将3个1，11个0排成一列，使得每两个1之间至少隔着两个0，则共有__________种不同的排法. 【解析】
解：符合条件的排列中，3个1将11个0分成四段， 设每一段分别有1234,,,x x x x 个0，
则10x ≥，22x ≥，32x ≥，40x ≥且123411x x x x +++=，
令22
2x x '=−，332x x '=−，
则12
347x x x x ''+++=． 因此原问题等价于求方程12
347x x x x ''+++=的自然数解的组数， 将7个1与3块隔板进行排列，其排列数即对应方程自然数解的组数， 所以方程共有3
10120C =组自然数解，故共有120种不同的排法． 故答案为：120
例19．24个志愿者名额分给3个学校，则每个学校至少有1个名额且学校名额互不相同的分法有________种． 【解析】
设分配给3个学校的名额数分别为x 1，x 2，x 3，
则每校至少有一个名额的分法数为不定方程x 1＋x 2＋x 3＝24的正整数解的组数， 用隔板原理知有3-1
2
24123=C C −＝253种．
又在“每校至少有一个名额的分法”中要排除“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法： 只有两校人数相同，设为(i ，i ，24－2i )，
由题意有i ＝1，2，3，4，5，6，7，9，10，11共3×10种情况； 三校人数都相同的只有(8，8，8)这1种．
综上可知，满足条件的分配方法共有253－31＝222种． 故答案为：222
例20．在5月6日返校体检中，学号为i （1,2,3,4,5i =）的五位同学的体重增加量()f i 是集合
{1,1.5,2,2.5,3,3.5}kg kg kg kg kg kg 中的元素，并满足(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ≤≤≤≤，则这五位同学的体
重增加量所有可能的情况有________种 【解析】
当五位同学的体重增加量是1个数字时，有1
66C =种情况；
当五位同学的体重增加量是2个不同数字时，有1
2
4660C C =种情况（类似隔板法，把五个同学按照1,2,3,4,5的顺序排好，他们之间有4个空，从4个空里选1个空放隔板把他们分隔成两个部分，有1
4C 种方法，再从6个体重增加量的集合里选两个数给他们，有2
6C 种方法，即此时有1
2
4660C C =种方法，下面操作方法都相同.）；
当五位同学的体重增加量是3个不同数字时，有23
46120
C C=种情况；
当五位同学的体重增加量是4个不同数字时，有32
4660
C C=种情况；
当五位同学的体重增加量是5个不同数字时，有5
66
C=种情况.所以共有6+60+120+60+6=252种不同的方法.
故答案为：252。