2.2.1 条件概率

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第二章
随机变量及其分布
做一做
3 3 已知 P(AB)＝ ,P(A)＝ ,则 P(B|A)等于________． 10 5
1 答案: 2
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随机变量及其分布
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 条件概率的计算
例1 一只口袋内装有2个白球和2个黑球,那么
(1) 先摸出 1 个白球不放回 , 再摸出 1 个白球的概率是多 少？ (2) 先摸出 1 个白球后放回 , 再摸出 1 个白球的概率是多 少？
求出这些简单事件的概率 ,再利用加法公式即得所求的
复杂事件的概率．
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随机变量及其分布
跟踪训练 2．某厂有甲、乙两台机床生产同一规格的螺丝钉,它
们的产量各占70%,30%,在各自的产品里,废品各占
4%,5%.问从该厂所生产的这种螺丝钉中任取一个,它 是废品的概率是多少？
解 :设事件 A 表示所取螺丝钉是废品,B、 C 分别表示所 取螺丝钉是甲、乙机床所生产的, 则 P(B)＝0.70,P(C)＝0.30, P(A|B)＝0.04,P(A|C)＝0.05. 所求概率为 P(A)＝ P(AB∪ A B )＝P(AB∪AC)＝ P(AB) ＋ P(AC) ＝ P(B)P(A|B) ＋ P(C)P(A|C) ＝ 0.70× 0.04 ＋ 0.30× 0.05＝0.043.
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随机变量及其分布
做一做 2．条件概率性质 (1)0≤P(B|A)≤1. (2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)＝ P(B|A)＋P(C|A) ． _______________ P(B|A)和P(A|B)相同吗？
提示:不相同．前者表示事件A发生的条件下事件B发生
的概率,后者表示事件B发生的条件下事件A发生的概 率．
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随机变量及其分布
方法感悟
1． 由条件概率的定义知 ,P(B|A)与 P(A|B)是不同的 ;另外 , 在事件 A 发生的前提下 ,事件 B 发生的可能性大小不一 定是 P(B),即 P(B|A)与 P(B)不一定相等． P AB 2． P(B|A)＝ 可变形为 P(AB)＝ P(B|A)· P(A),即只要 P A 知道其中两个值就可以求得第三个值．故已知 P(A)、 P(AB)可求 P(B|A);已知 P(A)、 P(B|A)可求 P(AB)．
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－ － P(A)＝ P(AB∪ A B )＝ P(AB)＋P(A B ) － － ＝ P(A|B)P(B)＋ P(A| B )P( B ) 4 2 1 1 ＝ × ＋ × 9 3 3 3 11 ＝ . 27
【名师点评】
若事件 B,C 互斥 ,则 P(B∪ C|A) ＝ P(B|A)
＋P(C|A),即为了求得比较复杂事件的概率,往往可以先 把它分解成两个 ( 若干个 ) 互不相容的较简单事件之和 ,
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随机变量及其分布
P AB (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是 P(B|A)＝ ＝ P A 0.12 ＝0.6. 0.2
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随机变量Fra Baidu bibliotek其分布
题型二
条件概率的性质
例2 1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球 和3个红球,现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱,然后 从2号箱中随机取出一球．问从2号箱中取出红球的概率 是多少？
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随机变量及其分布
【解】 设抛掷一枚骰子出现的点数不超过 4 为事件 A,出 现的点数为奇数为事件 B. 1 4 2 2 1 P AB 3 1 因为 P(A)＝ ＝ ,P(AB)＝ ＝ ,所以 P(B|A)＝ ＝ ＝ . 6 3 6 3 P A 2 2 3 【防范措施】 计算条件概率需要注意 P AB (1)公式 P(B|A)＝ 仅限于 P(A)＞ 0 的情况．当 P(A) P A ＝ 0 时 ,我们不定义条件概率． (2)计算条件概率 P(B|A)时 ,不能随便用事件 B 的概率 P(B)代替 P(AB)． (3)条件概率是指在一定条件下发生的概率 ,是概率的一 种 ,具有概率的一般性质．
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随机变量及其分布
跟踪训练 3．已知某产品的次品率为4%,其合格品中75%为一级 品,则任选一件为一级品的概率为( A．75% C．72% ) B．96% D．78.125%
解析:选 C.记“任选一件产品是合格品”为事件 A,则 P(A) － ＝1－P( A )＝1－4% ＝96%. 记“任选一件产品是一级品”为事件 B.由于一级品必是合 格品 ,所以事件 A 包含事件 B,故 P(AB)＝ P(B)． 由合格品中 75% 为一级品知 P(B|A)＝75%; 故 P(B)＝P(AB)＝P(A)P(B|A)＝96% ×75% ＝72%.
【解】 设事件 A:最后从 2 号箱中取出的是红球;事件 B: 从 1 号箱中取出的是红球． 4 2 － 1 则 P(B)＝ ＝ ,P( B )＝1－ P(B)＝ . 3 2＋4 3 3＋1 4 3 1 － P(A|B)＝ ＝ . P(A| B )＝ ＝ , 5＋3＋1 9 8＋1 3
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【名师点评】
条件概率的计算方法有两种 :
(1)利用定义计算 ,先分别计算概率 P(AB)和 P(A),然后代入 P AB 公式 P(B|A)＝ . P A (2) 利用缩小样本空间计算 (局限在古典概型内 ),即将原来 的样本空间 Ω 缩小为已知的事件 A,原来的事件 B 缩小为 n AB AB,利用古典概型计算概率 :P(B|A)＝ . n A
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【解】 (1)设“先摸出 1 个白球不放回”为事件 A,“再摸 出 1 个白球”为事件 B,则“先后两次摸到白球”为 AB,先 摸一球不放回 ,再摸一球共有 4× 3 种结果． 2×3 1 2×1 1 故 P(A)＝ ＝ ,P(AB)＝ ＝ . 2 4×3 4×3 6 1 P AB 6 1 因此 ,P(B|A)＝ ＝ ＝ , P A 1 3 2 1 即先摸出 1 个白球不放回 ,再摸出 1 个白球的概率为 . 3
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精彩推荐典例展示
易错警示
条件概率的概念不明致误 例3
抛掷一枚骰子,观察出现的点数,若已知出现的
点数不超过4,求出现的点数是奇数的概率．
【常见错误】 解答本题的易误点 :对条件概率的概念 不明确 ,易把事件 B|A 误认为事件 AB,如令“点数不超过 2 4”为事件 A,“点数为奇数”为事件 B,则 P(B|A)＝ ＝ 6 1 . 3
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随机变量及其分布
2．2
二项分布及其应用
2．2.1 条件概率
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随机变量及其分布
新知初探思维启动
P AB P A 一般地 ,设 A,B 为两个事件 ,且 P(A)＞ 0,称 P(B|A)＝ _______
1．条件概率的定义 为在事件 A 发生的条件下 ,事件 B 发生的条件概率 ,P(B|A) 读作 A 发生的条件下 B 发生的概率．
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随机变量及其分布
(2)设“先摸出一个白球放回”为事件 A1, “再摸出一个白球”为事 件 B1,两次都摸到白球为事件 A1B1. 2×4 1 2×2 1 P(A1)＝ ＝ ,P(A1B1)＝ ＝ , 4×4 2 4×4 4 1 P A1B1 4 1 故 P(B1|A1)＝ ＝ ＝ , 1 2 P A1 2 1 即先摸出 1 个白球后放回 ,再摸出 1 个白球的概率为 . 2
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跟踪训练 1 ．甲、乙两地都位于长江下游 , 根据一百多年的气象
记录 , 知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为
20%和18%,两地同时下雨的比例为12%,问: (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ (2)甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？
解:设“甲地为雨天”为事件 A,“乙地为雨天”为事件 B, 根据题意得 P(A)＝0.2,P(B)＝0.18,P(AB)＝0.12. P AB (1)乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是 P(A|B)＝ ＝ P B 0.12 ≈0.67. 0.18