2-5分块矩阵
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此式即乘法定义的另一种形式.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , 例4 如果把线性方程组 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 , am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
A11 B11 A B A B s1 s1
A1r B1r . Asr Bsr
A11 A1r 2 设 A , 为数, 那末 A A s1 sr
A11 A1r A 算规则
1 设矩阵A与B的行数相同, 列数相同, 采用
相同的分块法 有 ,
A11 A A s1
A1r B11 , B B Asr s1
B1r Bsr
其中Aij与Bij的行数相同 列数相同, 那末 ,
第二章
矩阵及其运算
中南财经政法大学信息系
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵 A，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块，以子 块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例
a 0 A 1 0 a 0 A 1 0
于是
B11 AB A1 B11 B21
1 1 2 1
E A1 B22
0 1 0 4 0 1 . 4 3 3 1 3 1
例3 按行、列分块时的乘法运算:
a11 a21 am 1 b11 b21 bs1 a12 a22 am 2 b12 b22 bs 2 a1 s 1 a2 s 2 , ams m b1n b2 n 1 , 2 , , n , bsn
B11 A1 B11 B21
B11 AB A1 B11 B21
又
E . A1 B22
0 1 2 1 0 1 A1 B11 B21 1 1 1 2 1 1 0 2 4 3 4 1 , 0 2 1 1 1 1 1 2 4 1 3 3 A1 B22 , 1 1 2 0 3 1
1 0 0 a 0 0 C1 0 b 1 C3 1 1 b
C2 , C4
即
A
a 0 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 C1 C 2 C 3 C4 1 b
a 0 A 1 0 a 0 A 1 0
特殊的分块矩阵
（1）分块上（下）三角矩阵
A1 * * O A2 * A , O O A s 其 中 主 对 角 线 下 方 的块 为 零 矩 阵 。 如 果 分三 角 子 块 矩 阵 的 对 角 线 上 的 子为 方 阵 ， 则 有 如 下 性： 块 质
例1
a 0 设 A 0 0
1 0 0 a a 0 0 1 , B 0 0 b 1 0 1 b 0
0 0 0 a 0 0 0 b 0 0 1 b
求 A B,3 A
解
将 A, B分块
1 0 0 a 0 a 0 0 A1 0 1 a 0 A , B 0 b 1 2 0 0 0 1 b 0 0
s
C1t m1 m C2t 2 C lt ml nt
其中
C ij Aik Bkj
k 1
（i =1、2、…、l），（ j =1、2、…、t）。
即分块矩阵的乘法法则是：当左矩阵列的分法与 右矩阵行的分法一致时，对子块用乘法规则.
设 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 2 0 1 A , B , 1 2 1 0 1 0 4 1 1 1 0 1 1 1 2 0 求 AB. 解 把A, B分块成 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 00 00 E O , A A A1 E 1 1 2 2 11 0 0 1 1 1 1 00 1 1
1 0 0 B1 a 0 0 B , 2 0 b 1 B3 1 1 b
即
1 a 0 1
0 0 b 1
0 B 1 0 B2 B 1 3 b
a 0 A 1 0
0 0 . As Bs
0 0 Bs
0 A1 B1 0 A2 B2 0 0
性质3:
A1 O A2 O As
1
A1 1 O 1 A2 1 O As
的系数矩阵A aij )mn 按列分块为A 1 2 n ) （ （
同时，记 X x1 , x2 , xn )T , b1 , b2 ,bm )T （ （
则由线性方程组的矩阵形式AX ，可得， x1 x2 （ 1 2 n ) 即x11 x22 xnn 这就是线性方程组的向量形式. xn
性质1:
A1 O A2 A , O As
A A1 A2 As .
性质2:
A1 0 0 A2 0 0
0 B1 0 0 0 B2 As 0 0
(4)分块矩阵的转置
A11 A1r 设A , A A sr s1
T T A11 As1 T 则 A . AT AT sr 1r
分块矩阵转置时,不但要把行列互换,而且行列互换后 各子块都要转置.
A
按行
B
按列
则 AB A 1 2 n）（A1 A2 An） （
1 2 ） 或者 AB （ 1 2 n m 1 1 1 2 1 n 2 1 2 2 2 n m 1 m 2 m n
B11 B 21 B Bs1 n1
B12 B1t r1 B22 B2 t r2 Bs 2 Bst rs n2 n t
子块 Aij 为 mi× j 矩阵，子块 Bij 为 ri× j 矩阵. r n
则
C11 C12 C C 22 21 AB Cl1 Cl 2 n1 n2
1 0 0 a 0 0 A O 0 b 1 1 a 0 B E A E B , 其中O 0 b 1 0 b a 1 1 0 1 1 b
1 0 0 a 0 0 A1 A2 0 b 1 1 1 b
A3
1 0 a 0 a A4 ,其中A2 4 1 3 0 1 b 1 0 b
A A1 A2 As .
（2）分块对角矩阵（准对角矩阵）
设A为n阶 矩 阵 若A的 分 块 矩 阵 只 有 在 主 角 线 上 有 , 对 非 零 子 块其 余 子 块 都 为 零 矩 阵 非 零 子 块 都 是 方 阵 , ,且 . 即 A
1 O A2 A , O As 其中 Ai i 1,2, s 都是方阵 .
例2
0 1 1 2 B 1 0 1 1
1 0 0 1 B E 11 4 1 B21B22 2 0
E 则 AB A1
O B11 E B21
E B22 E . A1 B22
（3）分块矩阵的乘法运算 用分块矩阵对矩阵 Amr 与 Brn 进行乘法运算时，A 的列分
块法与 B 的行分块法必须完全一致. 设
A11 A 21 A Al 1 r1
A12 A1 s m1 A22 A2 s m2 Al 2 Als ml r2 r s
a 0 3 A 3 0 0
1 0 0 a 0 0 A1 0 3 A1 0 3 0 3A 0 b 1 0 A2 2 0 1 b
3a 3 0 0 0 3a 0 0 。 0 0 3b 3 0 0 3 3b
例5
a 0 设 A 0 0
1 0 0 a 0 0 , 0 b 1 0 1 b
a 1 B 0 0
求 ABA.
0 0 0 a 0 0 0 b 0 0 1 b
解
将 A, B分块
a 0 A 0 0
a 1 0 0 A1 0 a 0 0 A1 0 0 A , 其中 0 b 1 2 b A2 0 1 b 1
1 , a 1 ; b 0 , a 0 ; b
a 1 B 0 0
a 0 A 0 0
0 0 0 0 B1 0 , b 0 0 B2 1 b
A1 A B 0
0 B1 A2 0
0 B2
A1 B1 0
0 A2 B2
2a 1 0 0 1 2a 0 0 . 0 0 2b 1 0 0 2 2b
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , 例4 如果把线性方程组 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 , am 1 x1 am 2 x2 amn xn bm
A11 B11 A B A B s1 s1
A1r B1r . Asr Bsr
A11 A1r 2 设 A , 为数, 那末 A A s1 sr
A11 A1r A 算规则
1 设矩阵A与B的行数相同, 列数相同, 采用
相同的分块法 有 ,
A11 A A s1
A1r B11 , B B Asr s1
B1r Bsr
其中Aij与Bij的行数相同 列数相同, 那末 ,
第二章
矩阵及其运算
中南财经政法大学信息系
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵 A，为了 简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的 运算化成小矩阵的运算. 具体做法是：将 矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小 矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块，以子 块为元素的矩阵称为分块矩阵.
例
a 0 A 1 0 a 0 A 1 0
于是
B11 AB A1 B11 B21
1 1 2 1
E A1 B22
0 1 0 4 0 1 . 4 3 3 1 3 1
例3 按行、列分块时的乘法运算:
a11 a21 am 1 b11 b21 bs1 a12 a22 am 2 b12 b22 bs 2 a1 s 1 a2 s 2 , ams m b1n b2 n 1 , 2 , , n , bsn
B11 A1 B11 B21
B11 AB A1 B11 B21
又
E . A1 B22
0 1 2 1 0 1 A1 B11 B21 1 1 1 2 1 1 0 2 4 3 4 1 , 0 2 1 1 1 1 1 2 4 1 3 3 A1 B22 , 1 1 2 0 3 1
1 0 0 a 0 0 C1 0 b 1 C3 1 1 b
C2 , C4
即
A
a 0 1 0
1 a 0 1
0 0 b 1
0 0 C1 C 2 C 3 C4 1 b
a 0 A 1 0 a 0 A 1 0
特殊的分块矩阵
（1）分块上（下）三角矩阵
A1 * * O A2 * A , O O A s 其 中 主 对 角 线 下 方 的块 为 零 矩 阵 。 如 果 分三 角 子 块 矩 阵 的 对 角 线 上 的 子为 方 阵 ， 则 有 如 下 性： 块 质
例1
a 0 设 A 0 0
1 0 0 a a 0 0 1 , B 0 0 b 1 0 1 b 0
0 0 0 a 0 0 0 b 0 0 1 b
求 A B,3 A
解
将 A, B分块
1 0 0 a 0 a 0 0 A1 0 1 a 0 A , B 0 b 1 2 0 0 0 1 b 0 0
s
C1t m1 m C2t 2 C lt ml nt
其中
C ij Aik Bkj
k 1
（i =1、2、…、l），（ j =1、2、…、t）。
即分块矩阵的乘法法则是：当左矩阵列的分法与 右矩阵行的分法一致时，对子块用乘法规则.
设 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 2 0 1 A , B , 1 2 1 0 1 0 4 1 1 1 0 1 1 1 2 0 求 AB. 解 把A, B分块成 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 00 00 E O , A A A1 E 1 1 2 2 11 0 0 1 1 1 1 00 1 1
1 0 0 B1 a 0 0 B , 2 0 b 1 B3 1 1 b
即
1 a 0 1
0 0 b 1
0 B 1 0 B2 B 1 3 b
a 0 A 1 0
0 0 . As Bs
0 0 Bs
0 A1 B1 0 A2 B2 0 0
性质3:
A1 O A2 O As
1
A1 1 O 1 A2 1 O As
的系数矩阵A aij )mn 按列分块为A 1 2 n ) （ （
同时，记 X x1 , x2 , xn )T , b1 , b2 ,bm )T （ （
则由线性方程组的矩阵形式AX ，可得， x1 x2 （ 1 2 n ) 即x11 x22 xnn 这就是线性方程组的向量形式. xn
性质1:
A1 O A2 A , O As
A A1 A2 As .
性质2:
A1 0 0 A2 0 0
0 B1 0 0 0 B2 As 0 0
(4)分块矩阵的转置
A11 A1r 设A , A A sr s1
T T A11 As1 T 则 A . AT AT sr 1r
分块矩阵转置时,不但要把行列互换,而且行列互换后 各子块都要转置.
A
按行
B
按列
则 AB A 1 2 n）（A1 A2 An） （
1 2 ） 或者 AB （ 1 2 n m 1 1 1 2 1 n 2 1 2 2 2 n m 1 m 2 m n
B11 B 21 B Bs1 n1
B12 B1t r1 B22 B2 t r2 Bs 2 Bst rs n2 n t
子块 Aij 为 mi× j 矩阵，子块 Bij 为 ri× j 矩阵. r n
则
C11 C12 C C 22 21 AB Cl1 Cl 2 n1 n2
1 0 0 a 0 0 A O 0 b 1 1 a 0 B E A E B , 其中O 0 b 1 0 b a 1 1 0 1 1 b
1 0 0 a 0 0 A1 A2 0 b 1 1 1 b
A3
1 0 a 0 a A4 ,其中A2 4 1 3 0 1 b 1 0 b
A A1 A2 As .
（2）分块对角矩阵（准对角矩阵）
设A为n阶 矩 阵 若A的 分 块 矩 阵 只 有 在 主 角 线 上 有 , 对 非 零 子 块其 余 子 块 都 为 零 矩 阵 非 零 子 块 都 是 方 阵 , ,且 . 即 A
1 O A2 A , O As 其中 Ai i 1,2, s 都是方阵 .
例2
0 1 1 2 B 1 0 1 1
1 0 0 1 B E 11 4 1 B21B22 2 0
E 则 AB A1
O B11 E B21
E B22 E . A1 B22
（3）分块矩阵的乘法运算 用分块矩阵对矩阵 Amr 与 Brn 进行乘法运算时，A 的列分
块法与 B 的行分块法必须完全一致. 设
A11 A 21 A Al 1 r1
A12 A1 s m1 A22 A2 s m2 Al 2 Als ml r2 r s
a 0 3 A 3 0 0
1 0 0 a 0 0 A1 0 3 A1 0 3 0 3A 0 b 1 0 A2 2 0 1 b
3a 3 0 0 0 3a 0 0 。 0 0 3b 3 0 0 3 3b
例5
a 0 设 A 0 0
1 0 0 a 0 0 , 0 b 1 0 1 b
a 1 B 0 0
求 ABA.
0 0 0 a 0 0 0 b 0 0 1 b
解
将 A, B分块
a 0 A 0 0
a 1 0 0 A1 0 a 0 0 A1 0 0 A , 其中 0 b 1 2 b A2 0 1 b 1
1 , a 1 ; b 0 , a 0 ; b
a 1 B 0 0
a 0 A 0 0
0 0 0 0 B1 0 , b 0 0 B2 1 b
A1 A B 0
0 B1 A2 0
0 B2
A1 B1 0
0 A2 B2
2a 1 0 0 1 2a 0 0 . 0 0 2b 1 0 0 2 2b