贵阳第一中学2021届高考适应性月考卷(六)理数-答案

3 3
3
⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 贵阳第一中学 2021 届高考适应性月考卷（六） 理科数学参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D
A
B
C
A
C
D
A
A
D
B
B
【解析】
2． z = 2i
1 + i
= 1 + i ， ∴ z = 1 - i ，故选 A ． 3．∵ f (x + 2) = f (-x )，∴ y = f (x ) 关于 x = 1 对称，∴ ⎰-1 f (x )d x = 2⎰1 f (x )d x = 6 ，故选 B ．
4． (1 + 3x )3
= ∑C k (3x )k ，令k = 2 与 k = 3 ， x 2 的系数为27 - 2 ⨯ 27 = -27 ，故选 C ．
k =0
5．∵ a = a a ，又a > 0 ，∴ a = 1 ，S = a 3 + a 3 + 1 = 13，又 q > 0 ，∴ q = 1，∴ a = a q = 1
，
3 2
4 n
故选 A ． 3 3 q 2 q 3 4 3 3
6． f '(x ) = a e x +
1 - ln x ，f '(1) = a e + 1 = e + 1， ∴ a = 1 ，则切点坐标为 (1，e) 带入切线方程得
x
2
b = -1 ，故选 C ．
7．令 =
1
1
⎛ 1
1 ⎫ ⎛ 1 ⎫ AB a ，AC = b ，易得 AD =
2 (a + b ) ， BM = 2 (b - a ) , AD BM = 2 a + 2 b ⎪ 2
b - a ⎪
=
1
1 2 1 2 1
1 1 1
a b - a + b - b a = - ⨯ 4 + ⨯16 - ⨯ 2 ⨯ 4 ⨯ cos 60︒ = 1，故选 D ． 4 2 4 2 2 4 4
8．6 个人分成 3 组，有(2，2，2)，(4，1，1)，(3，2，1)三种情况，按(2，2，2)分组有
C 4 C 2 C 2 6
4
2 A
3 = 90 ，按(3，2，1)分组有 C 3 C 2 C 1 A 3 = 360 种，按(4，1，1)分组有
3
3
3
C 4
C 1 C 1
6
3
1
3
6 2
1 A 3 = 90 ，故一共有 540 种方法，故选 A ．
2 2
9．∵ f (x ) = 3
⎛ + π ⎫ ，由图易知 a 的最大值为 π
，故选 A ．
2 3 sin x 3 ⎪6
⎝ ⎭
10．圆心坐标为(3，4) ，由三角形的大边对大角可知，当∠ACB 最小时，则弦 AB 最小，所以
CP ⊥ AB ， k CP 故选 D ．
= 4 - 2 = 1 ⇒ k 3 - 1
AB
= -1 ，所以直线方程为 y - 2 = -(x -1) ⇒ x + y - 3 = 0 ，
理科数学参考答案·第 1 页（共 8 页）
3 A A
1⨯ 13 2 13
2
t 2
1 -
2
3 3 3 3 3 3
a
⎨ c 11．令
= 3t ，则 = t ，过 N ，M 作准线l ：x = - p
的垂线，垂足为
| MF |
| NF |
2
N '， M ' ，过 N 作 NH ⊥ MN '， 垂足为 H ，如图 1，易得| MH |= 2t ， ∴在Rt △MNH 中， ∠NMH = 60︒ ，∴直线 MN 的倾斜角为θ = 60︒ ，
焦点弦| MN |=
2 p
sin 2
θ
，∴ p = 6 ，故选 B ． 图 1
12． f (x ) = 3x + log x ，易知 f (x ) 在(0，+ ∞) 上单调递增，∵ 3a
+ log a = 32b + log b ， ∴ f (2b ) =
32b + log 2b > 32b + log b = 3a
+ log a = f (a )，∴ 2b > a ，故选 B ． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
题号
13 14 15 16
答案
2 13
13
14 37
8 3
3 6 4
【解析】
2
2
13．∵ | a + b | = | a - b | ，∴ a ⊥ b ，a c = a (2a - 3b ) = 2a - 3a b = 2a = 2，
| c |2
= (2a - 3b )2 = 2 2 a c 2 4a - 12a b + 9b = 13，| c |= ，∴
cos < a ， c >= = = . | a | | c | 13 14．令 S n = n (n + 1)，T n = n (2n + 3) ，a 7 = S 7 - S 6 = 7 ⨯ 8 - 6 ⨯ 7 = 14，b 9 = S 9 - S 8 = 9 ⨯ (2 ⨯ 9 + 3) - 8
⨯(2 ⨯ 8 + 3) = 37， a 7 = 14
.
b 9 37
15．该几何体为如图 2 所示的三棱锥C - ABD ，所以体积为 1 ⨯ ⎛ 1 ⨯ 4 ⨯ 2 ⎫
3 2
⎪
⨯2 = 8
.
3
⎧a - c =
- 1，
⎝ ⎭
图 2
⎧⎪a = 2，
x
2
16．∵ ⎪
⎪ = ⎩ 2
⇒ ⎨
⎪⎩c = 1，
∴椭圆为 2 + y 2 = 1 ，当直线 AB 的斜率不存在时，设直线
⎛ t 2 ⎫ ⎛ ⎫ AB ：x = t ，不妨令 A t ， 1 - 2 ⎪，B t ，- ⎪， 由OA + OB + OC = 0，得 x c = -2t ，
⎝ ⎭ ⎝ ⎭
y = 0，故 C (-2t ，0) ， 将 (-2t ，0) 代 入椭圆方 程，可得 t 2 = 1 ，| t |= 2
， 所 以 c
2 2
13 2
理科数学参考答案·第 2 页（共8 页）
6
3 6
4
3 3
S
= 1
⨯ 2 ⨯ △ABC
2 ⨯
3 | t |= ；当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB ：y = kx + m ，代 4
入 x 2 + 2 y 2 = 2 ，得 (1 + 2k 2 )x 2 + 4kmx + 2(m 2 -1) = 0 ，设 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2 )， 则 x + x = - 4km
，x x = 1 2
1 + 2k
2 1 2
2(m 2 -1)
1 + 2k 2
， 设C (x 3，y 3 )， 由OA + OB + OC = 0，得 x 3 = -(x 1 + x 2 )
= 4km ，y = -( y + y ) = -[k (x + x ) + 2m ] =- 2m ， 代 入 x 2 + 2 y 2 = 2 ， 得
1 + 2k
2
3 1 2 1 2 1 + 2k 2 1 + 2k 2 = 4m 2，| AB |= | x - x |， O 到直线 AB 的距 离 d =
，所 以
1 2 1 1
S △OAB = 2 ⨯ d ⨯ | AB | = 2 | m | ⨯
= 4m 2 ⨯ 3| m |= 4
，∴ S △ABC = 3S △OAB =
.
三、解答题（共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分）
解：（1）在△ABC 中， sin( A + C ) = sin B ，由正弦定理得b (b - c ) = a 2 - c 2， ∴ b 2 + c 2 - a 2 = bc ， b 2 + c 2 - a 2
1
∴ cos A =
= ， 2bc 2
又∵ A ∈⎛ 0 π ⎫
，
， ⎪ ⎝ 2 ⎭
所以 A = π
.
………………………………………………………………（6 分）
3
（2）在△ABC 中， A + B + C = π，C = 2π
- B ，
3 又因为在锐角△ABC 中， B < π ，C = 2π - B < π
，
2 3 2 所以 π < B < π
，
6 2
sin ⎛ 2π - B ⎫
cos B + 1 sin B c sin C 3 ⎪ 1 由正弦定理得 =
= ⎝ ⎭ = 2 2 = + ， b sin B sin B sin B 2 tan B 2
理科数学参考答案·第 3 页（共 8 页）
1 - t
2 2
3 6 1 + k 2 1 + k
2
⎛ ⎝ - 4km 1 + 2k ⎫
2
2 ⎪ ⎭
- 4 ⨯ 2(m 2 -1) 1 + 2k 2 2| m |
因为 π < B < π ，
6 2
所以 tan B >
3
，∴ 1 < 3 + 1
< 2 ， 3 2 2 tan B 2
即 c ∈⎛ 1 ，2 ⎫
. ………………………………………………………………（12 分）
b 2 ⎪
⎝ ⎭
18．（本小题满分 12 分）
解：（1）由题意知，湖人队 4∶0 获胜或者 0∶4 失败，则
P
= 3 ⨯ 3 ⨯ 1 ⨯ 1 + 1 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯ 1 = 5
， ……………………………………（3 分）
(进行4场比赛)
4 4 2 2 4 4 2 2 32
P
= 3 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯ 3 ⨯ 2 + 3 ⨯ 3 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯ 3 ⨯ 2 = 9
.
…………………（6 分）
(湖人4∶1获胜)
4 4 2 2 4 4 4 2 2 4 32
（2）湖人队最后夺冠的情况有 4∶0，4∶1，4∶2，4∶3，
4∶0 夺冠的概率： P = 1 ⨯ 1 = 1
，
1
2 2 4
4∶1 夺冠的概率： P = 1 ⨯ 1 ⨯ 3 ⨯ 2 = 3
，
2
2 2 4 8
4∶2 夺冠的概率： P = 1 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯ 2 + 1 ⨯ 1 ⨯ 3 ⨯ 1 = 5
，
3
2 2 4 2 2 2 4 2 32
4∶3 夺冠的概率： P = 1 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯ 1 ⨯ 3 ⨯ 3 + 1 ⨯ 1 ⨯ 3 ⨯ 1 ⨯ 3 = 9
，
4
2 2 4 2 4 2 2 4 2 4 64
所以湖人队最终夺冠的概率为 P 1 + P 2 + P 3 + P 4
=
59 . …………………………（12 分）
64
19．（本小题满分 12 分）
（1）证明：由题意知： EF
2
BD ， GH
1
BD ，∴ EF // GH ， 3
2
但 EF > GH ，所以直线 EG 与FH 相交， …………………………………………（3 分）
设交点为 P ，
因为 FH ⊂ 平面ABC ，P ∈ FH ，
∴ P ∈ 平面ABC ， 同理 P ∈ 平面ADC ，
理科数学参考答案·第 4 页（共 8 页）
⎛ 4 3
4 3
7 65
又因为平面ABC 平面ADC = AC ， 所以 P ∈ AC .
…………………………………………（6 分）
（2）解：由题意知， AD = 2，BD = 2 3，CD = 6 ， 当四面体 A - BCD 的体积最大时， AD ⊥ 平面BCD ， 又 BD ⊥ CD ，则以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系 D - xyz ，如图 3 所示，
则 A (0，0，2)，B (2 3，0，0)，C (0，6，0)，D (0，0，0)，E (0，2，0)，F
⎫ 3 ，2，0 ⎪， ⎝ ⎭
G (0，0，1)
= ⎛ ⎫ ，AC (0，6，- 2)，BC = (-2 3，6，0)，FE = - 3 ，0，0 ⎪，GE = (0，2， - 1) ，
⎝ ⎭
设 n = (x ，y ，z ) 为平面 ABC 的一个法向量，
⎧⎪ = 0， ⎧⎪6 y - 2z = 0，
AC n 则⎨ ⇒ ⎨-2 3x + 6 y = 0， 取 n = ( 3，1，3) ， ⎪⎩BC n = 0
⎪⎩
同理可得平面 EFHG 的一个法向量为 m = (0，1，2) ， m n 则cos < m ，n >= = ，
| m || n | 65
所以平面 ABC 与平面 EFHG 所成角的余弦值为 7 65 .
65
………………………（12 分）
20．（本小题满分 12 分）
（1）证明： P (m ，m - 3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2 ) ， 因为 y = 1
x 2 ，
2 所以 y ' = x ，
所以 k = x =
y 1 - m + 3 ，化简得 mx - y
- m + 3 = 0 ，
AP
1
x - m 1
同理 mx 2 - y 2 - m + 3 = 0 ，
故直线 AB 的方程为 mx - y - m + 3 = 0 ，即 y = m (x - 1) + 3 ， 所以过定点(1，3) .
…………………………………………………………（6 分）
理科数学参考答案·第 5 页（共 8 页）
图 3
1 1
10 ⎨x 2 = 2 y a ⎪ （2）解：由（1）得直线 AB 的方程为 y = m (x - 1) + 3 ，
联立⎧ y = m (x - 1) + 3， ⇒ x 2 - 2mx + 2m - 6 = 0 ，
⎩
所以 x x = 2m - 6，y y = 1 (x x )2 = (m - 3)2
，
1 2 1 2
4 1 2
因为若以线段 AB 为直径的圆过坐标原点O ，
所以OA OB = 0，即 x 1x 2
+ y 1 y 2
= 2m - 6 + (m - 3) = 0 ，
2
解得 m = 1或m = 3 ，
当 m = 1时， AB 的中点坐标为 M (1，3) ，
所以 r = | OM | = ，则圆的方程为(x - 1)2 + ( y - 3)2 = 10，P (1，- 2) ；
当 m = 3 时， AB 的中点坐标为 M (3，9) ， 所以 r = | OM | = 3 10 ，
则圆的方程为(x - 3)2 + ( y - 9)2 = 90，P (3，0) . …………………………………（12 分）
21．（本小题满分 12 分）
（1）解：由题意知 f (x ) = ax - ln x - a ， f '(x ) = a - 1 = ax -1 (x > 0)，
x x
当 a ≤ 0 时， f '(x ) < 0 ，所以 f (x ) 在(0，+ ∞) 上递减，又 f (1) = 0 ，所以不符合题意；
当 a > 0 时，令 f '(x ) > 0 ⇒ x > 1 ，所以 f (x ) 在⎛ 0 1 ⎫ 上递减， ⎛ 1 ，+ ∞⎫
上递增，
a
， ⎪ ⎪ ⎝ a ⎭ ⎝ a ⎭
所以 f (x ) ≥ f ⎛ 1 ⎫
= 1 - a + ln a ，令 g (a ) = 1 - a + ln a ，
⎝ ⎭ 则 g '(a ) = -1 + 1 = 1 - a
(a > 0)，
a a
当 a ∈(0，1) 时， g '(a ) > 0 ，所以 g (a ) 递增; 当 a ∈ (1，+ ∞) 时， g '(a ) < 0 ，所以 g (a ) 递减， 所以 g (a ) ≤ g (1) = 0 ，而1 - a + ln a ≥ 0 ， 所以 a = 1.
…………………………………………（6 分）
理科数学参考答案·第 6 页（共 8 页）
⎝ ⎭
⎝ ⎭ n * ⎩ 2
2 （2）证明：方法一：由（1）知，当 a = 1时， f (x ) = x - ln x - 1≥ 0 ， 所以 x - 1≥ ln x ，
令 x = 1 (n + 1)2 ，则 1 (n + 1)2
- 1 > ln 1
(n + 1)2 = -2 ln(n + 1) ，
所以2 ln(n + 1) > 1 -
1
> 1 -
1
= 1 - ⎛ 1 - 1 ⎫
，
(n + 1)2
n (n + 1)
n n + 1 ⎪
所以2 ln 2 > 1 - ⎛1 - 1 ⎫，2 ln 3 > 1 - ⎛ 1 - 1 ⎫， ，2 ln(n + 1) > 1 - ⎛ 1 - 1 ⎫
，
2 ⎪ 2
3 ⎪ n n + 1 ⎪
⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭
⎛
1 ⎫ n n
2 累加得2[ln 2 + ln
3 + + ln(n + 1)] > n - 1 - n + 1 ⎪ = n -
n + 1 = n 2
*
， n + 1 所以ln 2 + ln 3 + + ln(n + 1) >
2(n + 1)
，n ∈ N .
…………………………………（12 分）
方法二：由（1）知，当 a = 1时， f (x ) = x - ln x - 1≥ 0 ， 所以 x - 1≥ ln x ， 令 x =
1 n + 1 ， 则 1 n + 1 - 1 > ln 1
n + 1
= -ln(n + 1) ，即ln(n + 1) > 1 -
1 = n + 1 n ， n + 1
所以ln 2 > 1 ，ln 3 > 2， ，ln(n + 1) > 2 3
n ，
n + 1 累加得ln 2 + ln 3 + + ln(n + 1) > 1 + 2 + + 2 3
n ≥ n + 1 1 + n + 1
2 n + 1
+
+
n n + 1 = 1 + 2 + + n n + 1 n (n + 1)
= 2 = n ，又 n - n
= n 1
> 0 ，所以 n > n ， n + 1 2 2 2(n + 1) 2 n + 1
2 2(n + 1)
所以ln 2 + ln 3 + + ln(n + 1) >
2
，n ∈ N . …………………………………（12 分）
2(n + 1)
22．（本小题满分 10 分）【选修 4−4：坐标系与参数方程】 ⎧x ' = x = cos α，
（1）解：由已知得⎨
y ' = 2 y = 2sin α (α为参数) ， ，
从而C 的普通方程为 x 2 + y 4
2 2
= 1 ，
ρ 2 sin 2 θ
所以极坐标方程为 ρ cos θ +
= 1 ，
4
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2 2
ρ ⎨ ⎩ 4 4 4 = =
即 ρ
2
=
4 .
4 cos 2 θ + sin 2 θ
…………………………………………（5 分）
（2）证明：设 A (ρ ，θ )，B ⎛
ρ ，θ ± π ⎫，
A B
2 ⎪
⎝ ⎭
4 cos 2 ⎛θ ± π ⎫ + sin 2 ⎛θ ± π ⎫
1 4 cos
2 θ + sin 2 θ 1 2 ⎪ 2 ⎪ 4sin 2 θ + cos 2 θ
， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ， 2
2 A B
1 1 1 1
5cos 2 θ + 5sin 2 θ
5 则 + = + =
= ， | OA |2 | OB |2 ρ 2 ρ 2
4
4
所以 1 | OA |2 + 1 | OB |2 A B
为定值，此定值为 5
.
………………………………………（10 分）
4
23．（本小题满分 10 分）【选修 4−5：不等式选讲】
⎧-3x - 1，x ≤
-1， 解：（1） f (x ) = 2 | x + 1| + | x -1|= ⎪
x + 3，-1 < x < 1，
⎪3x + 1，x ≥1，
所以 f (x ) 的图象如图 4，
图 4
所以 f (x ) 在(-∞，- 1) 上递减，在(-1，+ ∞) 上递增， 所以当 x = -1 时， f (x ) 取到最小值为 f (-1) = 2 . …………………………………（5 分）
（2）由图可知，当 a ≤ 0 显然成立；
当 a > 0 时，由函数 g (x ) = a | x | 的对称性，只需 g (-1) ≤ f (-1) 即可，所以0 < a ≤ 2 ， 综上可得 a ∈(-∞，2] .
…………………………………………（10 分）
理科数学参考答案·第 8 页（共 8 页）
ρ =。