第三章近独立粒子的最概然分布

2）描述方式：
单个粒子的经典运动状态，由 r 个坐标和 r 个动量来描述，当组成系统的 N 个粒子在某
一时刻的运动状态都确定时，也就确定了整个 系统的在该时刻的运动状态。因此确定系统的 微观运动状态需要
qi1 , qi2 ,, qir , pi1, pi2 , , pir
这 2rN 个变量来确定。
1,2,,l ,
1
h0r
,
2
h0r
,,
l
h0r
,
a1, a2 ,, al ,
由于经典粒子可以分辨，处在一个相格内的粒
子个数不受限制，所以经典系统遵从玻耳兹曼系统的 统计规律，所以与分布 {al} 相应的经典系统的微观 状态数为：
cl.
N! al !
l
l
h0r
al
l
微观状态 玻耳兹曼系统 玻色系统 费米系统 经典系统
微观状态是粒子运动状态或称为量子态。它 反映的是粒子运动特征。例如：在某一能级上，假 设有3个粒子，这三个粒子是如何占据该能级的量 子态，也就是它的微观状态。
三种统计的微观状态数
同一个分布对于玻耳兹曼系统、玻色系统、费 米系统给出的微观状态数显然是不同的，下面分别 加以讨论.
1. 玻耳兹曼系统
粒子可以分辨，若对粒子加以编号，则 al 个 粒子占据能级 l 上的 l 个量子态时，是彼此独立、 互不关联的。分布相应的系统的微观状态数为：
玻色系统 费米系统
量子态1
A
B
A B
A
B
A
A
A
A A
A
量子态2
A
B
B A A B
A
A
A A
A A
量子态3
A
B
B A B A
A
A
A A
A A
经典统计物理学
在经典力学基础上建立的统计物理学称为经 典统计物理学。
量子经典统计物理学
在量子力学基础上建立的统计物理学称为经 典统计物理学。两者在原理上相同，区别在于微 观状态的描述。
成，受泡利不相容原理的约束，即处在同一个 个体量子态上的粒子数最多只能为1个粒子的 系统称作费米系统。
设系统由两个粒子组成，粒子的个体量子态有
3个， 如果这两个粒子分属玻耳兹曼系统、玻色 系统、费米系统时，试分别讨论系统各有那些可 能的微观状态？
对于玻耳兹曼系统可有9种不同的微观状态
量子态1 量子态2 量子态 3
经典统计中玻耳兹曼分布的表达式
al
l
h0r
e l
和分别由下面条件决定
N
l
l
h0r
e l
E
l
l
l
h0r
e l
§ 3.7 玻色分布和费米分布
§3.4 等概率原理
宏观状态和微观状态的区别 宏观状态：平衡状态下由一组参量表示，如 N、 E、V。 微观状态：由坐标和动量或一组量子数表示。
为了研究系统的宏观性质，没必要也不可 能追究 微观状态的复杂变化，只要知道各个微 观状态出现的概率，就可以用统计方法求微观 量的统计平均值。因此，确定各微观状态出现 的概率是统计物理的根本问题。
即，
ln N E
ln
al
l
l al
0
则有：
ln
al
l
l
0
al
e l l
上式给出了玻耳兹曼系统粒子的最概然分布， 称为玻耳兹曼分布。 和分别由下面条件决定
N
el l
l
E
el ll
l
玻耳兹曼分布也可表示为处在能量为 s 的量
子态上的平均粒子数
fs e s
若假设N>>1，al>>1 ， ωl>>1,可得到：
ln N ln N 1 al ln al 1 al ln l
l
l
N ln N al ln al al ln l
l
l
两边关于 al 求变分，
al
ln ln al al al al ln l
l
l
l
l
ln
l
l ! al ! l al !
l l 1 l al 1
l
al !
al
l
M .B.
l al ! N !
在玻色和费米系统中，al 个粒子占据能级 l
上的 l 个量子态时本来是存在关联的，但在满足 经典极限条件的情形下，由于每个量子态上的粒 子数远小于1，粒子间的关联可以忽略。这时，
al ~ 105 al
则
2
ln 1
2
l
al al
al
1 2
1010 N
对于 N 1023 的宏观系统，
e1013
这个估计说明，即使对最概然分布仅有极小 偏离的 分布，它的微观状态数与最概然分布给出 的微观状态数相比也接近于零。
（3）斯特令公式要求，实际情况往往不满足。 （4）以上理论可以推广到含有多个组元的情形。
这样一个分布 al ,它使系统的微观状态数最多。
根据等几率原理，对处于平衡态的孤立系统，
每一个可能的微观状态数的几率是相等的。因此，微 观状态数最多的分布，出现的几率最大，称为最可几 分布（最概然分布）。下面推导玻耳兹曼系统（定域
系统）粒子的最概然分布——玻耳兹曼分布。
三种分布的推导
斯特令（Stirling）公式：
al 1
l
（对所有能级）
称为满足经典极限条件，也称非简并性条件。经典 极 限条件表示，在所有的能级，粒子数都远小于 量子态数。
此时有：
B.E.
l
l al 1! al !l 1!
l al 1 l al 2 l
l
al !
al
l
M .B.
l al ! N !
F.D.
M .B.
N! al
!
l
al l
l
B.E.
l
(l al 1)! al!(l 1)!
F.D.
l
l! al!(l
al
)!
cl
N! al! l
(
l
h0
) al
l
§3.6 玻耳兹曼分布
在上一讲中，我们得到了与一个分布相对应的 系统的微观状态数, 而且举例说明了对于一个孤立系 统的约束条件不变的条件下，即E、N、V=const, 对 于不同的分布系统的微观状态数是不同的。可能存在
b)玻色子：自旋量子数为整数的基本粒子或
复合粒子。 如：光子、Л介子等。
d）泡利不相容原理：
对于含有多个全同近独立的费米子的系统中， 一个个体量子态最多能容纳一个费米子。
费米子遵从泡利不相容原理，即在含有多个 全同近独立费米子的系统中，占据一个个体量 子态的费米子不可能超过一个，而玻色子构成 的系统不受泡利不相容原理的约束。费米子和 玻色子遵从不同的统计。
等概率原理：
对于处在平衡态的孤立系统，系统的各个可能 的微观状态出现的概率是相等的。既然这些微观状
态都同样满足具有确定N、E、V 的宏观条件，没有
理由认为哪一个状态出现的概率更大一些。这些微 观状态应当是平权的。
等概率原理是统计物理学中的一个合理的基本 假设。该原理不能从更基本的原理推出，也不能直 接从实验上验证。它的正确性在于从它推出的各种 结论与客观实际相符而得到肯定。
al
l
al
但这些 al 不完全是独立的，必须满足约束条件：
N al ,
l
E all
l
al 则必须满足：
N al 0
l
E all 0
l
求在此约束条件下的最大值:
ln 0
考虑使用拉格朗日乘数法， 取未定因子为a和β 分别乘以前面约束条件两式，有
ln N E 0
量子态，相当于从l 个量子态中挑出 al 个来为粒 子所占据，有种可能的方式
l !/ al !l al !
将各能级的结果相乘，就得到费米系统与分 布相应的微观状态数为：
l !/ al !l al !
l
l !
a!l al !
F.D.
l
l !
a!l al !
经典极限条件
如果在玻色系统和费米系统中，任一能级上的 粒子数均远小于该能级的量子态数，即
说明：
（1） ln 取极大值的条件不仅要求 ln 0 同时要求 2 ln 0
证明：对
ln
l
ln
al
l
al
关于 al 再求变分，有
2 ln
l
ln
al
l
al
al 2 0
al
所以满足取极大值的条件。
（2）一个处在宏观平衡态的孤立系统可能给出的微 观状态数为各种分布对应的微观状态数的总和，其 中最概然分布给出的微观状态数比其他分布给出的 微观状态数大得多，因此可以用最概然分布给出的 微观状态数来近似系统总的微观状态数。
积，称为经典相格。这里 h0 由测量精度决定，最小 值为普朗克常量。
现将 空间划分为许多体积元 l，以 l 表示运
动状态处在 l 内的粒子所具有的能量，l 内粒子的
运动状态数为:
l h0r
这样，N 个粒子处在各 l 的分布可表示为 {al }
体 积 元: 能级： 简并度： 粒子数：
1, 2,, l ,
第三章
近独立粒子的最概然 分布
§3.3 系统微观运动状态的描述
一. 全同粒子与近独立粒子
1）全同粒子
2）近独立粒子（弱相互作用）
N
E i i 1
二. 经典物理中系统微观运动状态的描述
1）可分辨 （可跟踪的经典轨道运动）
全同粒子是可以分辨的（因为经典粒子的 运动是轨道运动，原则上是可以被跟踪的）。 如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒 子的运动状态加以交换，交换前后，系统的力 学运动状态是不同的。
4）玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统
玻耳兹曼系统: 由可分辨的全同近独立粒子组成，且处
在一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。
玻色系统: 把由不可分辨的全同近独立的玻色粒子组成，不
受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子 态上的粒子数不受限制的系统称作玻色系统。
费米系统:
把由不可分辨的全同近独立的费米粒子组
可能方式。将各种能级的结果相乘，就得到玻色系 统与分布相应的微观状态数为：
1
2
3
4
5
l al 1 l al 1!
l al 1! al !l 1!
l
l al 1! al !l 1!
B.E.
l
l al 1! a!l 1!
3. 费米系统：
粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能
容纳一个粒子。 al 个粒子占据能级 l 上的个 l
§3.5 分布与微观状态数
一. 分布
设一个系统，有大量全同近独立的粒子组成，
具有确定的粒子数 N 、能量 E 和体积 V .
能级： 简并度： 粒子数：
1,2,,l ,
1,2 ,,l ,
a1, a2 ,, al ,
分布 al 必须满足： al N
l
all E
l
给定了一个分布，只能确定处在每一个能级 上的粒子数，它与系统的微观状态是两个性质不同 的概念。
用 μ 空间中N个点描述
一个粒子在某时刻的力学运动状态可以在 μ空间中用一个点表示，由N个全同粒子组成的 系统在某时刻的微观运动状态可以在μ空间中用 N个点表示，那么如果交换两个代表点在μ空间 的位置，相应的系统的微观状态是不同的。
3）玻色子与费米子
a)费米子：自旋量子数为半整数的基本粒子或复
合粒子。如：电子、质子、中子等。
B.E.
F.D.
M .B. N!
全同性的影响只表现在因子 1 N! 上。
经典统计中的分布和微观状态数
对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在 一定的误差，假设 qp h0 ，这时经典系统的一个运 动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示， 该体积元的大小
q1 qrp1 pr h0r
表示经典系统的一个微观状态在 空间所占的体
现将玻耳兹曼分布的微观状态数 与对玻耳兹
曼分布有偏离
al , l 1, 2
的一个分布的微观状态数 加以比较。对 作泰勒展开，
ln ln ln 1 2 ln
2
ln 1 al 2
2 l al
ln 1 al 2
2 l al
假设对玻耳兹曼分布的相对偏离为
ln m! m ln m 1 1 ln 2 m
2
当足够大时,第二项与第一项相比可以忽略.这时
ln m! m ln m 1 1 ln 2 m
2
mln m 1
玻耳兹曼分布
对
M .B.
N! al !
l
al l
两边取对数得：
l
ln ln N ! ln al ! al lnl
l
l
分布相应的系统的微观状态数为：
al l
al l
得到：
N !
al l
N ! al !
al l
l
M .B.
Leabharlann Baidu
N! al !
l
al l
l
2. 玻色系统
粒子不可分辨，每个个体量子态能容纳的粒子
个数不受限制。首先 al 个粒子占据能级 l上的 l
个量子态有种
(l al 1)!/ al !(l 1)!
1
AB
2
AB
3
AB
4
A
B
5
B
A
6
A
B
7
B
A
8
A
B
9
B
A
对于玻色系统，可以有6种不同的微观状态。
量子态1 量子态2 量子态3
1
AA
2
AA
3
AA
4
A
A
5
A
A
6
A
A
对于费米系统，可以有3个不同的微观状态。
量子态1 量子态2 量子态3
1
A
A
2
A
A
3
A
A
玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统的的微观状态数
粒子类别 玻耳兹曼系统