函数应用问题-学会解题之高三数学多题一解【解析版】

函数应用问题
【高考地位】
应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题，在近几年全国各地高考中经常出现。

数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。

在高考中要处理好函数应用题，学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键.
方法 解函数应用题的一般步骤
万能模板 内 容
使用场景 函数的实际应用问题
解题模板
第一步 审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步 建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步 解模——求解数学模型，得到数学结论；
第四步 还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步 反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题
的合理性.
例1.已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件()025x <≤并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且
()21
108,(010)
3
{ 17557,(1025)
x x R x x x x
-<≤=-++<≤.
⑴ 写出年利润()f x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；
⑴ 当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入-年总成本）.
【答案】(1)详见解析;(2) 9千件.
【解析】第一步，审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
某公司的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件
()025x <≤并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且()21
108,(010)
3
{ 17557,(1025)
x x R x x x x
-<≤=-++<≤. 第二步，建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 当010x <≤时，
第三步，解模——求解数学模型，得到数学结论；
第四步，还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步，反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.
考点：1、函数的解析式及定义域；2、函数的单调性．
【点评】(1)由年利润＝年销售收入-年总成本，结合()R x ，即可得到所求()f x 的解析式；
(2)由()1的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果。

【变式演练1】（2023·全国·高三专题练习）人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d (x )(单位：dB)与声音强度x (单位:2W m )满足d (x )＝9lg
13
110x
-⨯.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB
，在有50
人
的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB ，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（ ） A ．1倍 B ．10倍 C ．100倍 D ．1 000倍
【答案】B
【分析】利用对数运算即可求解.
【详解】设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为21x W m ，2
2x W m
根据题意得1()d x ＝113
9lg
63110x -=⨯，解得6
110x -=，2213()9lg 54110x d x -==⨯，解得7210x -=，所以12
10x x = 因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍. 故选: B.
【变式演练2】（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（文））北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚､王亚平､叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆满成功.据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v （单位：m/s ）和燃料
的质量M （单位：kg ）､火箭的质量（除燃料外）m （单位：kg ）的关系是3000ln M m v m +⎛⎫
= ⎪⎝⎭.为使火箭的
最大速度达到8100m/s ，则燃料质量与火箭质量之比约为（参考数据 2.7e 149≈.）（ ）
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
【答案】B
【分析】将火箭的最大速度8100m/s 代入3000ln M m v m +⎛⎫= ⎪⎝⎭
中，结合对数、指数运算即可求得答案.
【详解】由题意可得，将火箭的最大速度8100m/s 代入3000ln M m v m +⎛⎫
= ⎪⎝⎭中，
得：81003000ln M m m +⎛⎫= ⎪⎝⎭，即81003000ln 1M m ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，
所以81
ln 1 2.730
M m ⎛⎫+=
= ⎪⎝⎭，故 2.7e 114.9113.914M m =-≈-=≈， 故选:B
【变式演练3】将51名学生分成,A B 两组参加城市绿化活动，其中A 组布置400盆盆景， B 组种植300棵树苗.根据历年统计，每名学生每小时能够布置6盆盆景或者种植3棵树苗.设布置盆景的学生有x 人，布置完盆景所需要的时间为
()
g x ，其余学生种植树苗所需要的时间为
()
h x （单位：小时，可不为整数）.
⑴写出()g x 、()h x 的解析式；
⑴比较()g x 、()h x 的大小，并写出这51名学生完成总任务的时间()f x 的解析式； ⑴应怎样分配学生，才能使得完成总任务的时间最少？ 【答案】（1）()2003g x x =
， ()10051h x x
=-， *(051,)x x N <<∈；（2）见解析；（3）布置盆景和种植树苗的学生分别有20,31人或21,30人.
【解析】试题分析：（1）设布置盆景的学生有x 人，则B 组人数为51-x ，可求出A 组所用时间
()40020063g x x x =
=
， ()()30010051351h x x x
==-⋅-， *
(051,)x x N <<∈，化简即可； （2）通过作差比较g （x ）、h （x ）的大小，确定A 组与B 组的所需时间，写出分段函数的解析式即可． （3）通过两组用时比较，计算x=20与x=21时，求出总用时最少者，即可得到结果． 试题解析：
⑴由题意布置盆景的学生有x 人，种植树苗的学生有51x -人，所以()400200
63g x x x
=
=
， *(051,)x x N <<∈.
()()30010051351h x x x
=
=-⋅-， *
(051,)x x N <<∈；
⑴()()()()
1001025200100351351x g x h x x x x x --=-=--，因为051x <<所以()3510x x -> 当020x <≤时， ()()()()10250,0,x g x h x g x h x ->->> 当2151x ≤<时， ()()()()10250,0,x g x h x g x h x -<-<<
所以()**
200
,020,3{ 100
,2151,51x x N x
f x x x N x
<≤∈=≤<∈-；
⑴完成总任务所用时间最少即求()f x 的最小值 当020x <≤时， ()f x 递减，则()()10
203
f x f ≥=. 故()f x 的最小值为()20f ，此时5131x -=人 当2151x ≤<时， ()f x 递增，则()()10213
f x f ≥= 故()f x 的最小值为()21f ，此时5130x -=人
所以布置盆景和种植树苗的学生分别有20,31人或21,30人.
【变式演练4】（2023·全国·高三专题练习）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则下列说法错误的是（ ）
A ．3a =
B ．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C ．注射该药物1
8小时后每毫升血液中的含药量为0.5微克
D ．注射一次治疗该病的有效时间长度为31
532
小时 【答案】B
【分析】根据图象求出函数的解析式，可判断A 选项；解不等式1
8
y ≥可判断
BD 选项；将18t =代入函数解
析式，可判断C 选项.
【详解】将点M 的坐标代入y kt =，可得4k =，
将点M 的坐标代入12t a
y -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
可得1142a
-⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，解得3a =，
所以，3
4,011,12t t t y t -<≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪
⎪⎝⎭⎩，A 对；
当01t <≤时，由148y t =≥
可得132t ≥，此时1132
t ≤≤；
当1t >时，由3
11
28
t y -⎛⎫
=≥
⎪
⎝⎭可得6t ≤，此时16t <≤. 故不等式18
y ≥
的解为1
632t ≤≤，
所以，注射一次治疗该病的有效时间长度为131
653232
-
=小时，B 错D 对； 注射该药物18小时后每毫升血液含药量为1
40.58⨯=（微克），故C 正确.
故选：B.
【变式演练5】（2022·安徽省定远县第三中学高三阶段练习）折纸是我国民间的一种传统手工艺术，明德小学在课后延时服务中聘请了民间艺术传人给同学们教授折纸.课堂上，老师给每位同学发了一张长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片，要求大家将纸片沿一条直线折叠.若折痕（线段）将纸片分为面积比为1:3的两部分，则折痕长度的取值范围是___________cm. 【答案】8,229⎡⎤⎣⎦
【分析】由已知可确定1S ，分别在三种折叠方式下利用面积建立关于折痕的函数关系式，根据二次函数和对勾函数的单调性可求得最值，由此可得结果．
【详解】由题意得：长方形纸片的面积为()2
10880cm ⨯=，又12:1:3S S =，
∴221220cm ,60cm S S == ，
当折痕如下图MN 所示时，
设,AM x AN y ==，则1
20201008
xy x y ⎧=⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪⎩，解得：40
510xy x =⎧⎨≤≤⎩，
∴22222
1600
80MN x y x x =+=+
≥ ，即45MN ≥，当且仅当210x =时取等号； 令2,[25,100]t x t =∈ ，则1600
()f t t t
=+
， ()f t 在[25,40]上单调递减，在[40,100]上单调递增，
又(25)89,(40)80,(100)116f f f === ，故()[80,116]f t ∈ ，故[45,229]MN ∈ ； 当折痕如下图所示时，
设,AM x DN y ==，则1
()8202010010
x y x y ⎧+⨯=⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪⎩，解得：5
05x y x +=⎧⎨≤≤⎩，
222()64(25)64,05MN x y x x =-+=-+≤≤，
当5
2
x =
时，22(25)64MN x =-+取得最小值64， 当0x =或5时，22(25)64MN x =-+取得最大值89，则[8,89]MN ∈； 当折痕如下图所示时，
设,AM x BN y ==，则1
()102020808
x y x y ⎧+⨯=⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪⎩
，解得：4
04x y x +=⎧⎨≤≤⎩，
则222()100(24)100MN x y x =-+=-+，
令2()(24)100,(04)h x x x =-+≤≤，则()h x 在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递增， 又(2)100,(0)(4)116h h h ===，故()[100,116]h x ∈， ∴[10,229]MN ∈；
综上所述：折痕长的取值范围为[8,229]， 故答案为：8,229⎡⎤⎣⎦
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的应用问题，涉及到求函数最值以及对勾函数二次函数的性质问题，综合性强，计算量大，要注意分类讨论的思想方法.
【高考再现】
1.（2022·北京卷T7） 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（ ）
A. 当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态
B. 当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态
C. 当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态
D. 当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态 【答案】D 【解析】
【分析】根据T 与lg P 的关系图可得正确的选项.
【详解】当220T =，1026P =时，lg 3P >，此时二氧化碳处于固态，故A 错误. 当270T =，128P =时，2lg 3P <<，此时二氧化碳处于液态，故B 错误. 当300T =，9987P =时，lg P 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态， 另一方面，300T =时对应的是非超临界状态，故C 错误.
当360T =，729P =时，因2lg 3P <<, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确. 故选：D
2.【2020年高考全国Ⅲ卷文理数4】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logisic 模型：
()()
0.23531e
t K
I t --=
+，其中K 为最大确诊病例数．当()
0.95I t K *=时，标志着已初步遏制疫情，则t *
约为（ln193≈）
（ ）
A ．60
B ．63
C ．66
D ．69 【答案】C 【思路导引】将t t *=代入函数()()0.23531t K
I t e --=
+结合
()0.95I t K *
=求得t
*
即可得解．
【解析】()()
0.23531t K I t e
--=
+，∴()(
)
0.2353
0.951t K
I t K e
*
*
--=
=+，则
(
)0.2353
19t e
*-=，∴
()0.2353ln193t *-=≈，解得3
53660.23
t *≈
+≈，故选C ． 【专家解读】本题的特点是注重函数模型的应用，本题考查了对数的运算，考查指数与对数的互化，考查转化与化归思想，考查数学运算学科素养．解题关键是正确进行指数与对数的互化．
3.【2020年高考北京卷15】为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()
f b f a b a
--
- 的大小
评价在[]
,a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱． 已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．
给出下列四个结论：
①在[]
12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；
④甲企业在[
]10,t ，[]12,t t ，[]23,t t 这三段时间中，在[]
10,t 的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【解析】∵()w f t =用
()()f b f a b a --来评价治污能力，而()()
f b f a b a
--是图像上两点连线的斜率，在12[,]
t t 上，甲的治污能力比乙强，故①对，2t 时刻甲比乙强，3t 时刻都低于达标排放量，∴都达标，甲企业在1[0,]t 时刻治污能力不是最强．
【专家解读】本题的特点是注重知识的灵活运用，本题考查了函数图象及其性质的综合应用，考查数形结合思想，考查数学运算、数学直观、逻辑推理等学科素养．解题关键是正确接函数的图像及其性质解决问题．
4.【2020年高考山东卷6】基本再生数0R 与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()e rt I t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+．
有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为（ln20.69≈） （ ）
A ．1.2天
B ．1.8天
C ．2.5天
D ．3.5天
【答案】B
【思路导引】根据题意可得()0.38rt
t I t e
e ==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要
的时间为1t 天，根据10.38()0.382t t t e e +=，解得1t 即可得结果． 【解析】因为0 3.28R =，6T =，01R rT =+，所以 3.281
0.386
r -=
=，所以()0.38rt t I t e e ==， 设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为1t 天，则10.38()0.382t t t e e +=，所以
1
0.382t e
=，所以10.38ln 2t =，所以1ln 20.69
1.80.380.38
t =
≈≈天，故选：B ． 【专家解读】本题的特点是注重知识的应用，本题考查了指数型函数模型的应用，考查指数式与对数式互化，考查函数与方程思想，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是正确进行指数式与对数式的互化．
5.【2015高考新课标2，理10】如图，长方形ABCD 的边2AB =，1BC =，O 是AB 的中点，点P 沿着
边BC ，CD 与DA 运动，记BOP x ∠=．将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ，则
()y f x =的图像大致为（ ）
【答案】B
(D)
(C)
(B)(A)
x
y
π4
π2
3π4
π
π
3π4
π2
π4
y
x
x
y
π4
π2
3π4
π
π
3π4
π2
π4
y
D
P
C
x
【考点定位】函数的图象和性质．
【名师点睛】本题考查函数的图像与性质，表面看觉得很难，但是如果认真审题，读懂题意，通过点P 的运动轨迹来判断图像的对称性以及特殊点函数值的比较，也可较容易找到答案，属于中档题．
【反馈练习】
1．（2022·广东汕头·高三阶段练习）核酸检测分析是用荧光定量PCR 法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标DNA 实时监测，在PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA 的数量X 与扩增次数n 满足0lg lg(1)lg n X n p X =++，其中0X 为DNA 的初始数量，p 为扩增效率.已知某被测标本DNA 扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p 约为（ ）（参考数据：0.250.2510 1.778,100.562-≈≈）
A ．22.2%
B ．43.8%
C ．56.2%
D ．77.8%
【答案】D
【分析】由题意01000n X X =，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得． 【详解】解：由题意知，00lg(1000)12lg(1)lg X p X =++， 即300lg10lg 12lg(1)lg X p X +=++， 即003lg 12lg(1)lg X p X +=++，
所以0.25110 1.778p +=≈，解得0.77877.8%p ≈=． 故选：D ．
2．（2022·广西·模拟预测（理））已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系e kx b y +=（y 为保鲜时间，x 为储存温度），若该食品在冰箱中0C ︒的保鲜时间是144小时，在常温20C ︒的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40C ︒的保鲜时间是（ ） A ．16小时 B ．18小时
C ．20小时
D ．24小时
【答案】A
【分析】根据已知条件列出方程组，整体求得20144e 1e 3b k
⎧=⎪
⎨=⎪⎩，然后整体代入计算即可. 【详解】由题意，得20144e 48e b
k b +⎧=⎨=⎩，即20144e 1e 3
b
k
⎧=⎪
⎨=⎪
⎩， 于是当40(C)x =︒时，()2
2
40201e e e 144163k b k b y +⎛⎫
==⋅=⨯= ⎪⎝⎭
（小时）.
故选：A
3．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（文））某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2022年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）(参考数据：lg1.120.05lg1.30.11lg20.30)≈≈≈，， A ．2025年 B ．2026年 C ．2027年 D ．2028年
【答案】B
【分析】设x 年后研发资金开始超过200万元，根据条件列出关于x 的不等式，利用指对互化、对数的运算法则以及换底公式并结合提供的数据求解出x 的值，从而确定出对应的年份. 【详解】设x 年后研发资金开始超过200万元，所以()130112%200x
+>，
所以21.12 1.3x >
，所以 1.122
log 1.3
x >，所以lg 2lg1.3lg1.12x ->，所以 3.8x >，
所以2026年研发资金开始超过200万元， 故选：B.
4．（2022·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习（文））药物半衰期指的是血液中的药物浓度（简称血药浓度）从最高血药浓度减低到最高值的二分之一所花费的时间.例如一种药物的半衰期为6小时，那么当血药浓度达到最高值后，过6个小时血药浓度为最高值的一半；再过6小时又减为一半，此时血药浓度为最高值的四分之一；…某人服用一种药物2小时后，血药浓度达到最高值，然后开始减低.若该药物的半衰期为4小时，则该药物血药浓度开始低于最高值的3%时的服药时间至少为（ ）（保留整数）（参考数据
ln 20.69,ln3 1.10,ln10 2.30≈≈≈） A ．12小时 B ．21小时
C ．23小时
D ．30小时
【答案】C
【分析】根据题意可列式24
13%2t -⎛⎫< ⎪
⎝⎭
，再两边取对数，结合对数的运算与所给数据求解即可.
【详解】设服药t 小时后血药浓度开始低于最高值的3%，则24
13%2t -⎛⎫< ⎪⎝⎭
，即
21ln0.03ln32ln10 3.5
log 0.03 5.0742ln2ln20.69
t --+>==≈≈-，得22.28t >. 所以服药时间至少为23小时. 故选：C
5．（2019·全国·高三专题练习）下面对函数12
()log f x x
=，1()2⎛⎫
= ⎪⎝⎭
x
g x 与12()h x x -=在区间()0,∞+上的衰减
情况的叙述正确的是（ ）
A ．()f x 的衰减速度逐渐变慢，()g x 的衰减速度逐渐变快，()h x 的衰减速度逐渐变慢
B ．()f x 的衰减速度逐渐变快，()g x 的衰减速度逐渐变慢，()h x 的衰减速度逐渐变快
C ．()f x 的衰减速度逐渐变慢，()g x 的衰减速度逐渐变慢，()h x 的衰减速度逐渐变慢
D ．()f x 的衰减速度逐渐变快，()g x 的衰减速度逐渐变快，()h x 的衰减速度逐渐变快 【答案】C
【分析】根据幂指对函数的图象以及性质即可求解. 【详解】由函数
12
()log f x x
=，1()2⎛⎫= ⎪⎝⎭
x
g x 与12()h x x -
=在区间()0,∞+上的图象以及性质知函数()f x ，
()g x ，()h x 的衰减速度均逐渐变慢，
故选:C ．
6．（2022·北京市第十三中学高三开学考试）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：m/s ）可以表示为31log 2100
Q v =，其中Q 表示鲑鱼的耗氧量.则鲑鱼以1.5m/s 的速度游动时的耗
氧量与静止时的耗氧量的比值为（ ） A ．2600 B ．2700
C ．26
D ．27
【答案】D
【分析】根据题中函数关系式，令0v =和1.5，分别求出对应的Q ，即可得出结果.
【详解】因为鲑鱼的游速(单位：m/s )可以表示为31Q
log 2100v =，其中Q 表示鲑鱼的耗氧量的单位数，
当一条鲑鱼静止时，0v =，此时13Q 10log 2100=，则1Q
1100
=，耗氧量为1100Q =；
当一条鲑鱼以1.5m/s 的速度游动时， 1.5v =，此时31Q
1.5log 2100
=，
所以3
Q
log 3100
=，则Q 27100=，即耗氧量为2700Q =， 因此鲑鱼以1.5m/s 的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为2700
=27100
. 故选：D.
7．（2022·湖北·宜都二中高三开学考试）某工厂产生的废气需经过过滤后排放，排放时污染物的含量不超过
1%，已知在过滤过程中废气中的污染物数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数
关系为0e
kt
P P -=（0,k P 均为整数的常数），如果前5小时的过滤过程中污染物被过滤掉了90%，那么排放前
至少还需要过滤的时间是（ ）小时. A ．1
2 B ．5
9
C ．10
D ．5
【答案】D
【分析】根据5t =时，()0190%P P =-，代入0e kt
P P
-=可解得50.1e k -=，然后再根据题意代入01%P P =，整
理化简得到0.01e kt -=，通过观察，整体代换解得10t =，进而得答案. 【详解】由题意知，前5小时消除了90%的污染物，又因为0e
kt
P P -=，
所以()500190%e
k
P P --=，所以50.1e k -=， 设废气中污染物含量为1%所需过滤时间为t ，
由001%e kt
P P -=，即0.01e kt -=，
得()()2
2
5100.010.1e e e kt k k ---====，所以10t =，
排放前至少还需过滤55t -=（小时）． 故选：Ｄ．
8．（2023·全国·高三专题练习）2004年中国探月工程正式立项，从嫦娥一号升空，到嫦娥五号携月壤返回，中国人一步一步将“上九天揽月”的神话变为现实.月球距离地球约38万千米有人说，在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n 次，其厚度就可以超过月球距离地球的距离.那么至少对折的次数n 是（参考数据：lg 20.3≈，lg3.80.6≈）（ ） A ．40 B ．41
C ．42
D ．43
【答案】C
【分析】设对折n 次时，纸的厚度为y （单位：毫米），则由题意可得0.12n y =⨯，然后解不等式
460.12381010n y =⨯≥⨯⨯可求得结果.
【详解】设对折n 次时，纸的厚度为y （单位：毫米），
由题意可知若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n 次，则0.12n y =⨯. 令460.12381010n y =⨯≥⨯⨯，即122 3.810n ≥⨯， 所以lg 2lg 3.812n ≥+，即12.6
420.3
n ≥
=， 所以至少对折的次数n 是42. 故选：C.
9．（2022·北京八中高三开学考试）每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越千山万水来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数301log lg 2100
x
v x =-（单位：km/min ），其中x 表示候鸟每分钟
耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．若雄鸟的飞行速度为1.3km/min ，雌鸟的飞行速度为0.8km/min ，则此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的（ ） A ．2倍 B ．3倍 C ．4倍 D ．5倍
【答案】B
【分析】根据题意列式，结合对数的运算求解即可.
【详解】设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟的耗氧量为2x ，由题意可得130230
11.3log lg 2100
10.8log lg 2100x x x x ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两
式相减可得13211
log 22x x =，所以132
log 1x x =，即123x x =，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．
故选：B ．
10．（2022·福建省龙岩第一中学高三阶段练习）经研究表明，大部分注射药物的血药浓度()C t （单位：
g/mL μ）随时间t （单位：h ）的变化规律可近似表示为()0e kt
C t C -=⋅，其中0C 表示第一次静脉注射后人体内的初始
血药浓度，k 表示该药物在人体内的消除速率常数.已知某麻醉药的消除速率常数0.5k =（单位：1h -），某患者第一次静脉注射该麻醉药后即进入麻醉状态，测得其血药浓度为4.5g/mL μ，当患者清醒时测得其血药浓度为0.9g/mL μ，则该患者的麻醉时间约为（ln5 1.609≈）（ ） A ．3.2h B ．3.5h C ．2.2h D ．0.8h
【答案】A
【分析】依据题意列出关于t 的方程即可求得该患者的麻醉时间．
【详解】解：由题意得，0.50.9 4.5e t -=，即0.515
e t -=，则0.5ln5t =，解得2ln5 3.2t =≈. 故选：A.
11．（2022·广东·广州市番禺区象贤中学高三阶段练习）反射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，但其子体的原子数目将不断增加，假设在某放射性同位素的衰变对程中，其含量N （单位：贝克）与时间t （单位：天）满足函数关系() 240e t
N t N -=（e 为自然对数的底数），其中0N 为0=t 时该同位素的含量，己知当48t =时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为1-，则()48N =（ ） A ．12贝克 B ．12e 贝克 C ．24贝克 D ．24e 贝克
【答案】C
【分析】求出N 关于t 的导函数()N t '，由(48)1N '=-求得0N ，再计算(48)N 即得．
【详解】由题意 24
01()e 24
t
N t N -'=-，201(48)e 124N N -'=-=-，2024e N =，
482
24
(48)24e e 24N -
=⋅=．
故选：C ．
12．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量C 会按确定的比率衰减（称为衰减率），C 与死亡年数t 之间的函数关系式为0.5t
k C =（k 为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于（ ）
参考数据：2log 0.850.23≈-；参考时间轴：
A ．战国
B ．汉
C ．唐
D ．宋
【答案】C
【分析】根据“半衰期”求得k ，进而解方程2log 0.855730
t
=-，求得t ，从而可推断出该文物所属朝代. 【详解】解：当5730t =时，1
2
C =
，故57300.50.5k =，解得5730k =，所以57300.5t C =， 由题意得57300.50.85t =，
2log 0.850.235730
t
=-≈，解得1318t ≈， 而20221318704-=，可推断该文物属于唐. 故选：C ．
13．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）（多选）牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是0θ（单位：o C ），环境温度是1θ（单位：o C ），其中01θθ>则经过t 分钟后物体的温度θ将
满足()()101e (R kt
f t k θθθθ-==+-⋅∈且0k >）.现有一杯80C 的热红茶置于20C 的房间里，根据这一模型
研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（ ）（参考数值ln20.7)≈ A ．若()350C f =，则()635C f = B ．若1
10
k =
，则红茶下降到50C 所需时间大约为7分钟 C ．若()35f '=-，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5C 的速率下降 D ．红茶温度从80C 下降到60C 所需的时间比从60C 下降到40C 所需的时间多 【答案】ABC
【分析】由题知()2060e kt
f t θ-==+，根据指对数运算、以及导数的几何意义，依次讨论各选项求解．
【详解】由题知()2060e kt
f t θ-==+，
A ：若()350C f =，即3502060e k -=+，所以31
e 2
k
-=
，则()(
)
2
2
63162060e
2060e
206035C 2k
k
f --⎛⎫
=+=+=+⨯= ⎪⎝⎭
，A 正确；
B ：若110k =，则1102060e 50t -+⋅=，则1101e 2
t -=，
两边同时取对数得11
ln ln2102
t -
==-，所以10ln27t =≈， 所以红茶下降到50C 所需时间大约为7分钟，B 正确；
C ：()3f '表示3t =处的函数值的变化情况，若()350f '=-<，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5C 的速率下降，故C 正确；
()D:f t 为指数型函数，如图，可得红茶温度从80C 下降到60C 所需的时间()21t t -比从60C 下降到40C 所需的时间()32t t -少，故D 错误. 故选：ABC ．
14．（2023·全国·高三专题练习）（多选）如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系为t y a =，关于下列说法正确的是（ ）
A ．浮萍每月的增长率为2
B ．浮萍每月增加的面积都相等
C ．第4个月时，浮萍面积超过280m
D ．若浮萍蔓延到2224m 2m 8m 、、所经过的时间分别是123t t t 、、，则2132t t t =+ 【答案】ACD
【分析】先根据图象求出函数解析式，然后逐个分析判断 【详解】由图可知，过(1,3)，所以3a =，3t y =，
对A ，由3t y =为指数函数，为爆炸式增长， 每月增长率为13323t t
t
+-=， 故每月增长率为2，故A 正确；
对B ，第一个月为32m ，第二个月为92m ，第三个月为272m ， 浮萍每月增加的面积不相等，所以B 错误， 对C ，4t =，43=81y =2m ，故C 正确； 对D ，132333log 2,log 4,log 8t t t ===，
所以2322log 4t =，133333log 2log 8log 162log 4t t +=+==， 所以2132t t t =+，故D 正确， 故选：ACD
15．（2022·全国·高三专题练习）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m 与参考声强0m （0m 约为1210-，单位：2W /m ）之比的常用对数称作声强的声强级，记作L （单位：贝尔），即0
lg
m
L m =，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度y （单位：分贝）与喷出的泉水高度dm x 满足关系式2y x =，现知A 同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50dm ，若A 同学大喝一声的声强大约相当于10个B 同学同时大喝一声的声强，则B 同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为______dm ． 【答案】45
【分析】根据对数的运算可求B 同学大喝一声激起的涌泉最高高度. 【详解】设B 同学的声强为2W /m m ，喷出泉水高度为dm x ， 则A 同学的声强为210W /m m ，喷出泉水高度为50 dm ， 由0
10lg 2m
x m =，得0lg lg 0.2m m x -= ①， ∵0
1010lg
250m
m =⨯，∵01lg lg 10m m +-= ②，①－②得10.210x -=-， 解得45x =，∵B 同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为45 dm ． 故答案为：45.
16．（2023·全国·高三专题练习）水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：。