2021-2022学年-有答案-河北省唐山市路南区九年级(上)期中数学试卷

2021-2022学年河北省唐山市路南区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共15个小题，每小题2分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 如果2是一元二次方程x2=c的一个根，那么常数c是（）
A.2
B.−2
C.4
D.−4
2. 如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影部
分的面积是（）
A.4π
B.3π
C.2π
D.π
3. 用配方法解方程x2−6x−3=0，此方程可变形为（）
A.(x−3)2=3
B.(x−3)2=6
C.(x+3)2=12
D.(x−3)2=12
4. 在图形的旋转中，下列说法不正确的是（）
A.旋转前和旋转后的图形全等
B.图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等
C.图形上的每一个点旋转的角度都相同
D.图形上可能存在不动的点
5. 一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（）
A.6
B.8
C.12
D.10
6. 点P(2, −1)关于原点对称的点P′的坐标是( )
A.(−2, 1)
B.(−2, −1)
C.(−1, 2)
D.(1, −2)
7. 如图，四边形ABCD的四个顶点均在半圆O上，若∠A＝50∘，则∠C＝（）
A.130∘
B.120∘
C.125∘
D.110∘
8. 已知(m−1)x2−2x+1＝0是关于x的一元二次方程，则实数m的取值范围是（）
A.m≤2
B.m≥2
C.m≠1
D.m≠2
9. 将△AOB绕点O旋转180∘得到△DOE，则下列作图正确的是()
A. B.
C. D.
10. 下列各图象中有可能是函数y=ax2+a(a≠0)的图象的是（）
A. B. C. D.
11. 某中学准备建一个面积为5000平方米的矩形操场，操场的长比宽长50米，设操场的长为x米，根据题意，下面所列方程正确的是（）
A.x(x−50)＝5000
B.x(x+50)＝5000
C.2x(x−25)＝5000
D.2x(25+x)＝5000
12. 当一个三角形的内心与外心重合时，这个三角形一定是（）
A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
13. 对于二次函数y＝5(x−3)2+2的图象，下列说法中不正确的是（）
A.顶点是(3, 2)
B.开口向上
C.与x轴有两个交点
D.对称轴是x＝3
14. 在Rt△ABC中，∠C＝90∘，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕边BC所在直线旋转一周得到一个圆锥，该圆锥的侧面积是（）
A.12π
B.15π
C.20π
D.30π
(x+3)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其15. 如图，将函数y=1
2
中点A(−4, m)，B(−1, n)，平移后的对应点分别为点A′、B′．若曲线段AB扫过的面积
为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）
A.y=1
2(x+3)2−2 B.y=1
2
(x+3)2+7
C.y=1
2(x+3)2−5 D.y=1
2
(x+3)2+4
二、填空题（本大题共4个小题：每小题3分，共12分.把答案写在题中横线上）
在⊙O中，弧AB的度数为60∘，则弧AB所对的圆心角的度数为________．
关于x的一元二次方程有两个根0和3，写出这个一元二次方程的一个一般式为
________．
如图，抛物线y＝−x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则bc的值为
________（填正或负）．
如图，已知⊙O是以数轴上原点O为圆心，半径为2的圆，∠AOB＝45∘，点P在x正半轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P点对应的数为x，则x的取
值范围是________≤2．
三、解答题（本大题共7个小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
解方程：
（1）2x2−8＝0；
（2）x2+2x−4＝0．
如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长
55cm，求梯子的长．
已知二次函数y＝ax2与y＝−2x2+c．
（1）随着系数a和c的变化，分别说出这两个二次函数图象的变与不变；
（2）若这两个函数图象的形状相同，则a＝________；若抛物线y＝ax2沿y轴向下平移2个单位就能与y＝−2x2+c的图象完全重合，则c＝________；
（3）二次函数y＝−2x2+c中x、y的几组对应值如下表：
表中m、n、p的大小关系为________（用“<”连接）．
如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，OD交⊙O于点D，点E在⊙O上，
（1）若∠AOD＝50∘，求∠DEB的度数；
（2）若OC＝3，OA＝5，
①求弦AB的长；
②求劣弧AB的长．
某宾馆有客房200间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房恰好全部住满；如果每间客房每天的定价每增加10元，就会减少4间客房出租．
（1）当某天客房全部住满时，这天客房收入为________元；
（2）设每间客房每天的定价增加m元，则宾馆出租的客房为________间；
（3）如果某天宾馆客房收入38400元，那么这天每间客房的价格是多少元？
已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM 上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60∘得到△BCE，连接DE．
（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．
（2）设OD＝t，
①如图2，当6<t<10时，△CDE的周长存在最小值，请求出此最小值；
②如图1，若0<t<6，直接写出以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形时t的值．
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2−2mx+m−3与x轴交于点A、B．
（1）①求m的取值范围；
②当抛物线经过原点时，求抛物线的解析式；
③求抛物线的顶点坐标；
（2）若线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，求m的取值范围；
（3）若抛物线在−3<x<0这一段位于x轴下方，在5<x<6这一段位于x轴上方，求m的值．
参考答案与试题解析
2021-2022学年河北省唐山市路南区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共15个小题，每小题2分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.
【答案】
C
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【解答】
解：把x=2代入方程x2=c可得c=4.
故选C．
2.
【答案】
C
【考点】
生活中的旋转现象
【解析】
根据图形可得阴影部分面积为大圆一半面积，利用圆的面积公式进行计算即可．
【解答】
π×22=2π，
解：阴影部分面积：1
2
故选：C．
3.
【答案】
D
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
在本题中，把常数项−3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数−6的一半的平方．【解答】
解：由原方程移项，得
x2−6x=3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2−6x+9=12，
配方，得
(x−3)2=12．
故选D．
4.
【答案】
B
【考点】
全等图形
旋转的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
B
【考点】
相似多边形的性质
【解析】
根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解答】
解：设这个多边形的最短边长为x，
∵两个多边形相似，
∴24
6=x
2
，
解得，x=8.
故选B．
6.
【答案】
A
【考点】
关于原点对称的点的坐标
【解析】
根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接写出答案．
【解答】
解：点P(2, −1)关于原点对称的点P′的坐标是(−2, 1).
故选A.
7.
【答案】
A
【考点】
多边形内角与外角
圆周角定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
C
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
C
【考点】
旋转对称图形
【解析】
根据旋转的性质，△AOB绕点O旋转180∘得到△DOE，点A与点D、B与E关于点O成中心对称解答．
【解答】
解：∵△AOB绕点O旋转180∘得到△DOE，
∴对应点关于O成中心对称，
∴作图正确是C选项图形．
故选C.
10.
【答案】
B
【考点】
二次函数的图象
【解析】
从a>0和a<0两种情况进行分析图象的开口方向和顶点坐标，选出正确的答案．【解答】
解：当a>0时，开口向上，顶点在y轴的正半轴；
当a<0时，开口向下，顶点在y轴的负半轴，
故选：B．
11.
【答案】
A
【考点】
由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
12.
【答案】
D
三角形的外接圆与外心
等边三角形的判定
三角形的内切圆与内心
等腰直角三角形
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
13.
【答案】
C
【考点】
抛物线与x轴的交点
二次函数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
14.
【答案】
C
【考点】
圆锥的计算
点、线、面、体
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
15.
【答案】
D
【考点】
二次函数图象与几何变换
【解析】
先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC // x轴，交B′B于点C，则C(−1, 11
)，AC=4−1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面
2
积为9（图中的阴影部分），得出AA′=3，然后根据平移规律即可求解．
【解答】
∵函数y=1
2
(x+3)2+1的图象过点A(−4, m)，B(−1, n)，
∴m=1
2(−4+3)2+1=11
2
，n=1
2
(−1+3)2+1=3，
∴A(−4, 11
2
)，B(−1, 3)，
过A作AC // x轴，交B′B于点C，则C(−1, 11
2
)，
∴BC=4−1=3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴AC⋅AA′=3AA′=9，
∴AA′=3，
即将函数y=1
2
(x+3)2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是y=1
2
(x+3)2+4．
二、填空题（本大题共4个小题：每小题3分，共12分.把答案写在题中横线上）
【答案】
60∘
【考点】
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
x2−3x＝0（答案不唯一）
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
正
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
抛物线与x轴的交点
二次函数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
0<x
【考点】
直线与圆的位置关系
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题（本大题共7个小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
【答案】
∵2x2−6＝0，
∴2x2＝8，
∴x2＝8，
则x1＝2，x5＝−2；
∵x2+3x−4＝0，
∴x6+2x＝4，
∴x4+2x+1＝3+1，即(x+1)6＝5，
∴x+1＝±，
∴x1＝−1+，x2＝−1−．
【考点】
解一元二次方程-配方法
解一元二次方程-直接开平方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE // BC．
∴△ADE∽△ABC．
∴AD:AB=DE:BC．
∴(AB−55)：AB=70:80．
∴AB=440cm．
∴梯子长为440cm．
【考点】
相似三角形的应用
【解析】
此题属于实际应用题，解此题的关键是将实际问题转化为相似三角形的问题解答，要注意相似三角形的对应边成比例．
【解答】
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE // BC．
∴△ADE∽△ABC．
∴AD:AB=DE:BC．
∴(AB−55)：AB=70:80．
∴AB=440cm．
∴梯子长为440cm．
【答案】
二次函数y＝ax2的图象随着a的变化，开口大小和开口方向都会变化、顶点坐标不会改变2+c的图象随着c的变化，开囗大小和开口方向都没有改变，但是；（只要学生答对变与不变各一个点就给满分）；
±2,−2
p<m<n
【考点】
二次函数图象上点的坐标特征
二次函数图象与几何变换
二次函数的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠DEB＝∠BOD＝×50∘＝25∘．
①∵OC＝3，OA＝5，
∴AC＝7，
∵OD⊥AB，
∴＝＝，
∴AC＝BC＝AB＝4，
∴AB＝5；
②∵∠AOD的正弦值是＝＝4.8，
∴∠AOD＝53∘，
∴∠AOB＝106∘，
∵OA＝5，
∴的长＝＝＝．
【考点】
弧长的计算
垂径定理
圆周角定理
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
36000
(200−m)
这天每间客房的价格是200元或480元
【考点】
一元二次方程的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60∘得到△BCE，
∴∠DCE＝60∘，DC＝EC，
∴△CDE是等边三角形；
①存在，
当6<t<10时，∵△CDE的周长＝3CD，
∴当CD的长度取最小值时，△CDE的周长最小，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，
此时，CD＝5，
∴△CDE的周长＝3CD＝4；
②存在，当0<t<4时，∠ABE＝60∘，
∴∠BED＝90∘，
由（1）可知，△CDE是等边三角形，
∴∠DEB＝60∘，
∴∠CEB＝30∘，
∵∠CEB＝∠CDA，
∴∠CDA＝30∘，
∵∠CAB＝60∘，
∴∠ACD＝∠ADC＝30∘，
∴DA＝CA＝4，
∴OD＝OA−DA＝6−3＝2，
∴t＝2．
【考点】
几何变换综合题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
①∵抛物线y＝mx2−2mx+m−6与x轴交于点A、B，
∴△＝(−2m)2−8m(m−3)>0，
∴m>2；
②将(0, 0)代入抛物线y＝mx4−2mx+m−3中，得2＝m−3，
∴m＝3，
∴抛物线的解析式为y＝3x2−6x；
③∵y＝mx4−2mx+m−3＝m(x2−2x+1)−6＝m(m−1)2−7，∴抛物线的顶点坐标为(1, −3)；
由（1）知，抛物线的对称轴为直线为x＝3，
∵线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，
∴这些整数为−1，5，1，2，7，
∵m>0，
∴当x＝3时，y＝2m−6m+m−3≤2，
∴m≤，
当x＝2时，y＝16m−8m+m−3>2，
∴m>，
∴<m≤；
由（1）知，抛物线的对称轴为直线为x＝1，
∵抛物线在5<x<8这一段位于x轴上方，
根据抛物线的对称性得，抛物线在−4<x<−3这一段位于x轴上方，∵抛物线在−2<x<0这一段位于x轴下方，
∴当x＝−3时，y＝3m+6m+m−3＝5，
∴m＝．
【考点】
二次函数综合题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答。