万有引力知识点

一、万有引力定律的内容和公式

宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间的引力大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，这一规律叫万有引力定律。其数学表达式为：

221r m m G

F =

式中G= 6.67×10-11Nm 2/kg 2 ,叫万有引力常量。这个定律适用的条件是：质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。 万有引力和重力的关系是：重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的。 物体的重力和地球对该物体的万有引力差别很小，一般可以认为二者大小相等，即

mg 0 =G 202

1R m m 式中g 0为地球表面附近的加速度，R 0为地球半径。

[例题析思]

[例析1] 两大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F 。若两个

半径2倍于小铁球的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为：（ ）

A 、2F

B 、4F

C 、8F

D 、16F

[思考1] 用m 表示地球同步卫星的质量，h 表示它距地面的高度，R 0表示地球半径，g 0表示地球表面的重力加速度，ω0表示地球自转的角速度，则同步卫星所受地球对它的万有引力的大小是：（ ）

A 、等于零

B 、等于02

02

)(g h R mR + C 、等于

4

0203

ωg R m

D 、以上均不对

二、应用万有引力定律分析天体的运动 1、 1、 基本方法：

把天体的运动近似看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。

①2R GmM =mg g=2

R GM (或GM=gR 2),要注意g 与R 的对应关系,如当R 是地球半

径时,对应的g 是地球表面的重力加速度.

②2

R GmM =R mv 2

=m ω2R=m(T π2)2R=m(2πf)2R,应用时根据实际情况选用适当的公式进

行分析.

卫星运行速度v 、角速度ω、周期T 与轨道半径R 的关系：

①由2

R GmM =R mv 2

有v=

'R GM 即v ∝R 1,故R 越大,运行速度v 越小; ②由2

R GmM

=m ω2R 有ω=3R GM ,即v ∝31R ,故R 越大,角速度ω越小; ③由2

R GmM

=m(T π2)2R 有T=

GM R 324π,即T ∝3R ,故R 越大,周期T 越大. [例析2] 两颗人造地球卫星，甲的质量是乙的质量的2倍，同样时间内，甲的转数

是乙的转数的4倍，则甲受向心力是乙受向心力的 。

解本题需注意的是：不能把卫星的半径看成不变，殊不知。半径是和卫星旋转速度、周期相联系的。V 和T 一变，R 必然要变，变化规律应满足万有引力提供的向心力。

[思考2] 设月球绕地球运动的周期为27天，则地球的同步卫星到地球中心的距离r 与月球中心到地球中心的距离R 之比r : R = 。

2、估算天体质量M ，密度ρ。只要测出卫星绕天体作匀速圆周运动的半径R 和周期T ，

再根据R T m R Mm

G 22

24π=得出：

M=2

3

24GT R π

2

023

30334R GT R R m V M ππρ===

当卫星沿天体表面绕天体运动时，R=R 0，则ρ=2

3GT π

。

[例析3] 某行星的卫星，在靠近行星的轨道上运转。若引力恒量G 为已知，则计算该行星的密度，唯一需要测出的物理量是：（ ）

A 、行星的半径

B 、卫星轨道的半径

C 、卫星运行的线速度

D 、卫星运行的周期。

[思考3] 一物体在某星球表面时受到的吸引力是在同地球表面所受吸引力的n 倍，该星球半径是地球半径的m 倍，若该星球和地球的质量分布都是均匀的，则该星球的密度是地球密度的 几倍。

[提示] 抓住万有引力定律可得出。

3、卫星的环绕速度、角速度、周期与半径R 的关系见下表：

表达形式 速度、角速度、周期与半径R 的关系

R V m R Mm G 22= R GM

V =

R 越大、v 越小

R m R Mm

G

22ω=

3R GM

=

ω R 越大，ω越小

R T m R Mm G 2224π= GM R T 3

24π=

R 越大，T 越大

[例析4] 两个球形行星A 和B 各有一卫星a 和b ，卫星的圆轨道接近各自行星的表面。

如果两行星质量之比M A /M B =P ，两行星半径之比R A /R B =q ，中T a /T b 为：（ ）

A 、

p q q

B 、p q

C 、q p

q

D 、

pq

[思考4] 人造地球卫星的轨道半径越大，则（ ）

A 、速度越小，周期越小

B 、速度越小，周期越大

C 、速度越大，周期越小

D 、速度越大，周期越大

[提示]由Ｆ万＝Ｆ向，即r V m r Mm G 22=知，r 越大，v 越小，又因为V r

T π2=，所以v 越小，

r 越大，Ｔ一定越大。确认选项Ｂ是正确的。

[例析5] (95年全国)两颗人造地球卫星Ａ、Ｂ绕地球作圆周运动，周期之比为ＴＡ：ＴＢ＝1:8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为：（ ）

A 、r A : r

B = 4: 1、v A : v B = 1: 2 B 、r A : r B = 4: 1、v A :v B =2:1

C 、r A : r B = 1: 4、v A : v B = 1: 2

D 、r A : r B = 1: 4、v A :v B = 2: 1

[思考5] 甲、乙两颗人造地球卫星，其线速度大小之比为1:2，则这两颗卫星的转动半径之比为 ，转动角速度之比 ，转动周期之比为 ，向心加速度的大小之比为 。

三、地球同步卫星、三种宇宙速度

地球同步卫星是相对于地面静止的和地球自转具有相同周期的卫星，T=24h,同步卫星轨道平面与地球的赤道平面重合,且必须位于赤道正上方距地面高度h ≈3.59×104km 处。

三种宇宙速度分别是：第一宇宙速度（环绕速度）v 1=7.9km/s ，是人造地球卫星的最小发射速度；第二宇宙速度（脱离速度）， v 2=11.2km/s 是使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度；第三宇宙速度（逃逸速度），v 3=16.7km/s ，是使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。

人造地球卫星的环绕速度是指卫星绕地球作圆周运动所具备的速度，由

2

R Mm

G mg =、r V m r Mm G 22=两式得出r g

R V 2=，可见，环绕速度与轨道半径平方根

成反比，离地越高，环绕速度越小。

人造地球卫星的发射速度是指把卫星从地球上发射出去的速度，速度越大，发射得越远，发射的最小速度，恰好是在地球表面附近的环绕速度，但人造地球卫星发射过程中要克服地球引力做功，增大势能，所以将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面上所需要的发射速度就越大。

[例析6](93年全国)同步卫星是指相对于地面不动的人造地球卫星：（ ） A 、它可以在地面上任一点的正上方，且离地心的距离可按需要选择不同的值；