“割”“补”法求二次函数图象中面积最大值

“割”“补”法求二次函数图象中面积最大值
袁苏春
【专题名称】中学数学教与学（初中读本）
【专题号】G351
【复印期号】2009年04期
【原文出处】《数理化学习：初中版》(哈尔滨)2008年12期第18～21页
【作者简介】袁苏春，江苏射阳县实验初中(224300)。

中考试卷与二次函数相关的压轴题经常要求面积的最大值，其求解的基本方法是“割”“补”法。

下面举例说明：
一、“割”
(1)求这条抛物线的解析式。

(2)设此抛物线与直线y=x相交于点A、B（点B在点A的右侧），平行于y轴的直线x=m(0＜m＜)与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）
(3)在条件(2)的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使△BO材的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由。

(3)分析：因为△OMB的三边中没有边在坐标轴上（或与坐标轴平行），所以可以考虑把△OMB“割”成△OMN和△BMN （MN∥y轴），因为△OMN和△BMN的边MN上的高之和是一定的，所以MN为底，△OMB的面积可求。

例2 如图2，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为(2，0)。

图2
(1)求点B的坐标；
(2)若二次函数的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；
(3)在(2)中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由。

分析：因为四边形OABC的边OA在x轴上，所以可以考虑把四边形OABC“割”成△OCD、梯形CDGB、△GAB，只要分别求出△OCD、梯形CDGB、△GAB的面积，即可求出四边形OABC的面积。

评注：当所求面积的图形有边在坐标轴上时，通常用“割”的方法，如例2中的四边形OABC有边OA在x轴上，四边形OABC被CD、BG（CD、BG都与y轴平行）“割”成△OCD、梯形CDGB、△GAB；当所求面积的图形没有边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，也可以用“割”的方法，使“割”后图形有边在坐标轴上（或与坐标轴平行），如例1中△OMB被MN（MN与y轴平行）“割”成△OMN和△BMN。

二、“补”
例3 如右上图3，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2，0)，连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB。

(1)求点B的坐标；
(2)求经过点A、O、B三点的抛物线的解析式；
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由。

图3
(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由（注意：本题中的结果均保留根号）
(3)在(2)中的抛物线CP段（不包括C、P点）上是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。

(3)分析：直接求四边形MCAP的面积，显然不好求。

通过“割”的方法也比较繁。

倒不如把四边形MCAP与△OCA“补”成五边形MCOAP，然后再把五边形MCOA P“割”成易求面积的梯形COEM、梯形MEDP、△PDA，即可简捷地求解四边形MCAP的面积。

评注：当所求面积的图形没有边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，除用“割”的方法外，还可以用“补”的方法，使“补”后的图形有边在坐标轴上（或与坐标轴平行），然后再用“割”的方法分别求“割”后的图形的面积，如例3中把△APB 先“补”成四边形APFB后再“割”为梯形APFG、△AGB；例4中把四边形MCAP先“补”成五边形MCOAP，然后再把五边形MCOAP“割”成易求面积的梯形COEM、梯形MEDP、△PDA。

^NU1DA20091028。