线性代数 第四章 向量.ppt

向量组的极大线性无关组—秩
可知向量组中的极大线性无关组所含向量个 数相等。所含向量个数称为向量组的秩（r）。
向 (可见向量组的秩的求法依赖于矩阵秩的求法)
由此，向量组的极大线性无关组可由向量组中 任意r个线性无关的向量组成。
量
向量组的极大线性无关组—秩
a11 a12
向
A
a21
a22
am1
am 2
线性方程组解的结构
Amn X b
向
A的秩为r，若1 , 2 为方程的解，则 1 2 为齐次方程的解；若 0 为非齐次方程的解，
是齐次方程的解，则 0 为非齐次方程的 量 解。
定理：设 0 是齐次方程的特解， 是非齐次方
程的通解，则 Amn X b 的通解是 0 。
量
向量组的极大线性无关组（例）
1 1, 0, 2,1T , 2 1, 2, 0,1T ,
向 3 2,1, 3, 2T , 4 2, 5, 1, 4T
求其极大线性无关组？当选定后，
k1
量
将其余向量用该极大线性无关组表示？
1 2
s
k2
O
1 1 2 2 1 1 2 2
ks
0
2
1 0 0
0
1
0
向
0
0
0
0 0 0
0 0 0
量
0 c1,r1 0 c2,r1Βιβλιοθήκη c1n x1 c2
n
x2
1 cr ,r1
crn
xr
=O
00
0
xr
1
00
0 xn
x1 c1,r1t1
c1ntnr
x2
c2 ,r 1t1
c2ntnr
xr
cr ,r1t1
xr 1
向量
定义 向
向量的线性相关性
量 向量的极大线性无光组与向量组的秩
线性方程组解的结构
复习
1 克拉默法则(与矩阵联系) 向 2 线性方程组解的判断（矩阵联系）
3 矩阵的秩、方程组的求解 量
4 根据初等矩阵求逆矩阵以及方程 组的解
向量的定义(表示、运算)
数域P上n个数 a1, a2 , , an 组成的有序数组
a1n xn 0 a2n xn 0
amn xn 0
量 （1）若系数是满秩矩阵，只有零解。
（2）若是非满秩矩阵，则有非零解。
Amn X O 其解可看作一个n元列向量：解向量
线性方程组解的结构
Amn X O 解向量
（1）若 1, 2 是方程的两个解，则
向
k11 k22 也是方程的解.（k1 , k2 任意常数）
a22 k2
an1k1 an2k2
a1sks b1 a2sks b2
ansks bn
向量的线性相关性
k11 k22 kss
向
a11 a12
a21
a22
a1s k1 b1
a2s
k2
b2
量
an1
an2
ans
ks
bn
1 2
k1
s
所得的r+1个向量 1,2 , ,r ,k 均线性
相关。则称 1 ,2 , ,r 是向量组的一个极
量 大线性无关组。
注： 一个向量组的极大线性无关组能代表这
个向量。
向量组的极大线性无关组
向量组1 ,2 , ,s 给定后，如何找出它的
极大线性无关组？
向 一般：可以一个个的找，试！
特殊：可借助于矩阵找到更简洁的办法
k11 k22 kss O k1
向
1 2
s
k2
O
ks
量 1,2, ,s 线性相关 秩 A s
1,2 , ,s 线性无关 秩 A s
对于s阶方阵 线性相关 秩 A s | A| 0
(n=s)
线性无关 秩 A s | A| 0
向量的线性相关性（几何意义）
两个向量 , 线性相关
加法：
量
a1 b1,a2 b2, ,an bn T
数乘：
k ka1,ka2, ,kan T
向量的定义（拟乘法）
a11 x1 a12 x2
向
a21
x1
a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn b1 a2n xn b2
amn xn bm
量 利用矩阵理论表示为： AX B
基础解系：设 1, 2 , ,t 均为方程的解。如果
量 （1）1, 2 , ,t 线性无关。 （2）方程的任意一个解向量都能经1, 2 , ,t
线性表示，
则称 1, 2 , ,t 为方程的一个基础解系。
（如何找？）
线性方程组解的结构 Amn X O
a11 x1 a12 x2
a21
x1
a22 x2
量 A2 1 2
a1n
1
a2n
A1
2
amn
m
n
n元向量组 1, 2 , , m 的秩称为A的行秩；
m元向量组 1 ,2 , ,n 的秩称为A的列秩。
A的行秩 秩 A A的列秩 可逆
线性方程组解的结构
a11 x1 a12 x2
向
a21
x1
a22 x2
am1 x1 am2 x2
1,2, ,n
向 i 0, 0, ,1, , 0T
为即零向也量就是i 的说第由向i 个量分组量构为成1的外矩，阵其为余n均阶
量 单位阵。 k11 k2 2 kn n O
1 0
0
1
0
0
0 k1 k1
0
k2
k2
O
1 kn kn
向量组的极大线性无关组 n元向量组：1,2, ,n,
量
性表示）
2. 若向量组 1 ,2 , ,s 线性无关，而向量组
1,2, ,s , 线性相关，则 必可经
1 ,2 , ,s 线性表示，且线性表示唯一。
P116 2，6
向量的线性相关性（从方程解来理解定理）
向
1 2
k1
s
k2
量
ks
向量组的极大线性无关组
看一组特殊的n元向量：
A
2
1
3
0
1
1
1 1 1 0 0 0
5
1
11
0
0
0
k11 k22 kss 21 2
向量的线性相关性（相关与无关）
线性相关（线性无关）：
向
1,2 , ,s 为s个n元向量，若在数域P中
存在一组不全为零的数 k1, k2 , , ks ，使得
k11 k22 kss O
向
k11 k2 2 kn n O
1 0
0
1
量
0 k1 k1 b1
0
k2
k2
b2
0
0
1 kn kn bn
向量组的极大线性无关组
向量组的一部分1 ,2 , ,r 若满足
（1） 1 ,2 , ,r 线性无关；
向
（2）从原向量组中任取一个 k 添加进去，
1
5
0
2
1
5
2 0 3 1 0 0 0 2
1 1 2 4 0 0 0 0
向量组的极大线性无关组（例）
k1
1
3
4
k3
2
向
k4
1 2 2 1 1 0 0 3
量
0
0
1 0
5 2
2 0
0 0
1 0
0 1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
故我们可用此方法判断向量组中哪些向量是线性 无关的，并找到极大线性无关组。 并且可知向量组中的极大线性无关组所含向量个 数相等。
k2
ks
向量的线性相关性
?
k11 k22 ks s
向
1 2
量
k1
s
k2
是否有解？
ks
?
秩(A )= 秩(A )
向量的线性相关性（例）
例 4.2.2
1 1, 2, 1, 5T 2 2, 1,1,1T 向 1 4, 3,1,11T 能否由向量1,2 线性表示
量
1 2 4 1 0 2
t1
crntnr
xn
tnr
线性方程组解的结构 Amn X O
1
2
x1
向
x2
c1,r1
c2,r
1
c1,r2
c2,r 2
量
xr xr 1 xr2
t1
cr ,r1 1 0
t2
cr ,r2 0 1
xn
0
0
nr
Amn X O
（1）A的秩为r，则其解可由n-r个最大线性无关组
向 表示。这n-r个线性无关组就是基础解系。
定理：A的秩为r，则方程的通解可用一个基础解
系 1, 2 , ,nr 来表达， 量 t11 t22 tnr nr
基础解系可以不唯一，但每个基础解系所含向量
个数（n-r）是唯一确定的，且任意n-r个线性无关 的解向量都可作为一个基础解系。
称为数域P上的n元向量(或n维向量)。其元素
称为分量。
向
a1,a2 , ,an or
a1
量
a2
an
一般用列向量 a1,a2, ,an T 来表示。
向量的定义(运算)
两个n元向量
a1,a2, ,an T , b1,b2, ,bn T
向 ai bi , i 1,2, ,n
A aij mn X x1 x2
xn T
b b1 b2
bm T
可将解矩阵表示为向量 x1, x2, , xn T
向量的线性相关性
线性组合：
向
1,2 , ,s 为s个n元向量，k1, k2 , , ks
是数域P中的任意s个数，则
k11 k22 kss 为向量组 1,2 , ,s
量 的线性组合。
线性表示： k11 k22 kss
向量的线性相关性
k11 k22 kss
向
b1 a11 a12
b2
k1
a21
k2
a22
a1s
k
s
a2
s
量 bn
an1
an2
ans
a11k1 a12k2
a21k1
向
am1 x1 am2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
amn xn 0
1 0 0
量
0
1
0
0
0
0
0 0 0
0 0 0
0 c1,r1 0 c2,r1
1 cr ,r1 00
00
c1n x1
c2
n
x2
crn
xr
0
xr
1
0 xn
线性方程组解的结构 Amn X O
向
k1
k2
O
k2 k1
量
x1 y1
k2 k1
x2 y2
y1 y2 x1 x2
tan( ) y1
x1
·
向量的线性相关性
线性组合和相关性之间的内在联系
向 1. 向量组 1,2 , ,s 线性相关（无关）
1,2 , ,s 中至少有一个是其余s-1个
的线性组合（每一个都不能由其余s-1个线
量 则称 1,2 , ,s 线性相关，否则就线性无关。
向量的线性相关性（相关、无关的性质）
1.一个向量组中有部分向量线性相关，则向量 组线性相关。
向 2. 一个向量组线性无关，则其任何一部分向量
组必线性无关
量 3. 任何一个包含零向量的向量组必线性相关。 4. 一个向量 线性相关 0
向量的线性相关性（相关、无关的性质）
c1n
c2
n
tnr
crn 0
0
1
t11 t22 tnr nr
线性方程组解的结构 Amn X O
1 2
n r
向
c1,r1
c2,r
1
c1,r 2 c2,r 2
c1n
c2n
量
cr ,r 1
1
cr ,r 2 0
crn
0
0
1
0
0
0
1
线性方程组解的结构