复化梯形公式和复化Simson公式

数值计算方法上机题目3
一、计算定积分的近似值：
要求：
（1）若用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算，要求误差限7102
1-⨯=ε，分别利用他们的余项估计对每种算法做出步长的事前估计； （2）分别利用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算定积分；
（3）将计算结果与精确解比较，并比较两种算法的计算量。

1.复化梯形公式
程序：
程序1（求f （x ）的n 阶导数：
syms x
f=x*exp(x) %定义函数f （x ）
n=input('输入所求导数阶数:')
f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n 阶导数
结果1
输入n=2
f2 =
2*exp(x) + x*exp(x)
程序2：
clc
clear
syms x%定义自变量x
f=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可
f2=inline('(2*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的二阶导数,输入程序1里求出的f2即可。

f3='-(2*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，以便求最大值
e=5*10^(-8) %精度要求值
a=1 %积分下限
b=2 %积分上限
x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的二阶导数的最小值点，也就是求二阶导数的最大值点对应的x值
for n=2:1000000 %求等分数n
Rn=-(b-a)/12*((b-a)/n)^2*f2(x1) %计算余项
if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束end
end
h=(b-a)/n %求h
Tn1=0 for k=1:n-1 %求连加和
xk=a+k*h
Tn1=Tn1+f(xk)
end
Tn=h/2*((f(a)+2*Tn1+f(b)))
z=exp(2)
R=Tn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用复化梯形算法计算的结果 Tn=')
disp(Tn)
fprintf('等分数 n=')
disp(n) %输出等分数fprintf('已知值与计算值的误差 R=')
disp(R)
输出结果显示：
用复化梯形算法计算的结果 Tn= 7.3891
等分数 n=7019
已知值与计算值的误差 R= 2.8300e-008
2. Simpson公式
程序：
程序1：（求f（x）的n阶导数）：
syms x
f=x*exp(x) %定义函数f（x）
n=input('输入所求导数阶数:')
f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n阶导数
结果1
输入n=4
f2 =
4*exp(x) + x*exp(x)
程序2：
clc
clear
syms x%定义自变量x
f=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可
f2=inline('(4*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的四阶导数，输入程序1里求出的f2即可
f3='-(4*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，一边求最大值
e=5*10^(-8) %精度要求值
a=1 %积分下限
b=2 %积分上限
x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的四阶导数的最小值点，也就是求四阶导数的最大值点对应的x值
for n=2:1000000 %求等分数n
Rn=-(b-a)/180*((b-a)/(2*n))^4*f2(x1) %计算余项
if abs(Rn)<e %用余项进行判断
break% 符合要求时结束
end
end
h=(b-a)/n %求h
Sn1=0
Sn2=0
for k=0:n-1 %求两组连加和
xk=a+k*h
xk1=xk+h/2
Sn1=Sn1+f(xk1)
Sn2=Sn2+f(xk)
end
Sn=h/6*(f(a)+4*Sn1+2*(Sn2-f(a))+f(b)) %因Sn2多加了k=0时的值，故减去f(a)
z=exp(2)
R=Sn-z %求已知值与计算值的差
fprintf('用Simpson公式计算的结果 Sn=')
disp(Sn)
fprintf('等分数 n=')
disp(n)
fprintf('已知值与计算值的误差 R=')
disp(R)
输出结果显示：
用Simpson公式计算的结果 Sn= 7.3891
等分数 n=24
已知值与计算值的误差 R= 2.7284e-008
用复化梯形公式计算的结果为：7.3891，与精确解的误差为：2.8300e-008。

等分数n=7019用复化Simpson公式计算的结果为：7.3891，与精确解的误差为：2.7284e-008。

等分数n=24
3、柯斯特公式求积分：
程序代码：
（1）function [y,Ck,Ak]=NewtonCotes(fun,a,b,n)
if nargin==1
[mm,nn]=size(fun);
if mm>=8
error('为了保证NewtonCotes积分的稳定性，最多只能有9个等距节点！')
elseif nn~=2
error('fun构成应为：第一列为x，第二列为y，并且个数为小于10的等距节点！')
end
xk=fun(1,:);
fk=fun(2,:);
a=min(xk);
b=max(xk);
n=mm-1;
elseif nargin==4
xk=linspace(a,b,n+1);
if isa(fun,'function_handle')
fx=fun(xk);
else
error('fun积分函数的句柄，且必须能够接受矢量输入！')
end
else
error('输入参数错误，请参考函数帮助！')
end
Ck=cotescoeff(n);
Ak=(b-a)*Ck;
y=Ak*fx';
（2）function Ck=cotescoeff(n)
for i=1:n+1
k=i-1;
Ck(i)=(-1)^(n-k)/factorial(k)/factorial(n-k)/n*quadl(@(t)intfun(t,n,k),0,n); end
（3）function f=intfun(t,n,k)
f=1;
for i=[0:k-1,k+1:n]
f=f.*(t-i);
end
代码解释：
function [y,Ck,Ak]=NewtonCotes(fun,a,b,n)
% y=NewtonCotes(fun,a,b,n)
% 牛顿-科特斯数值积分公式
% 参数说明：
% fun，积分表达式，这里有两种选择
%(1)积分函数句柄，必须能够接受矢量输入，比如fun=@(x)sin(x).*cos(x)
% (2)x,y坐标的离散点，第一列为x，第二列为y，必须等距，且节点的个数小于9，比如： fun=[1:8;sin(1:8)]'
% 如果fun的表采用第二种方式，那么只需要输入第一个参数即可，否则还要输入a,b,n 三个参数
% a，积分下限
% b，积分上限
% n，牛顿-科特斯数公式的阶数，必须满足1<n<7，因为n>=8时不能保证公式的稳定性% (1)n=1，即梯形公式
% (2)n=2，即辛普森公式
% (3)n=4，即科特斯公式
% y，数值积分结果
% Ck，科特斯系数
% Ak，求积系数
%
% Example
% fun1=@(x)sin(x);%必须可以接受矢量输入
% fun2=[0:0.1:0.5;sin(0:0.1:0.5)];%最多8个点，必须等距
% y1=NewtonCotes(fun1,0,0.5,6)
% y2==NewtonCotes(fun2)
if nargin==1
[mm,nn]=size(fun);
if mm>=8
error('为了保证NewtonCotes积分的稳定性，最多只能有9个等距节点！')
elseif nn~=2
error('fun构成应为：第一列为x，第二列为y，并且个数为小于10的等距节点！')
end
xk=fun(1,:);
fk=fun(2,:);
a=min(xk);
b=max(xk);
n=mm-1;
elseif nargin==4
% 计算积分节点xk和节点函数值fx
xk=linspace(a,b,n+1);
if isa(fun,'function_handle')
fx=fun(xk);
else
error('fun积分函数的句柄，且必须能够接受矢量输入！')
end
else
error('输入参数错误，请参考函数帮助！')
end
% 计算科特斯系数
Ck=cotescoeff(n);
% 计算求积系数
Ak=(b-a)*Ck;
% 求和算积分
y=Ak*fx';
function Ck=cotescoeff(n)
% 由于科特斯系数最多7阶，为了方便我们可以直接使用，省得每次都计算% A1=[1,1]/2
% A2=[1,4,1]/6
% A3=[1,3,3,1]/8
% A4=[7,32,12,32,1]/90
% A5=[19,75,50,50,75,19]/288
% A6=[41,216,27,272,27,216,41]/840
% A7=[751,3577,1323,2989,2989,1323,3577,751]/17280
% 当时为了体现公式，我们使用程序计算n阶科特斯系数
for i=1:n+1
k=i-1;
Ck(i)=(-1)^(n-k)/factorial(k)/factorial(n-k)/n*quadl(@(t)intfun(t,n,k),0,n);
end
function f=intfun(t,n,k)
% 科特斯系数中的积分表达式
f=1;
for i=[0:k-1,k+1:n]
f=f.*(t-i);
end
输出结果：
fun=@(x)exp(x);
a=-1;
b=1;
n=4;
NewtonCotes(fun,a,b,n) ans =2.3505
二、三点数值微分。