七年级升八年级数学暑期辅导材料

与三角形有关的线段
知识点1三角形的边
三角形的概念：不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

（三角形的表示、边、顶点、内角）
三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边
.推论：三角形两边的差小于第三边。

三角形分类有两种方法：（1）按角分类；（2 ）按边分类
（1） 按角分类
严锐角三角形
三角形 Y 直角三角形 匚钝角三角形
（2） 按边分类
｛
不等边三角形
底边和腰不相等的等腰三角形 等腰三角形
等边三角形
考点1：认识三角形
顶点A 、B 、C 所对的边分别是 _____________ ，用小写字母分别表示为
2. 三角形按边分类可分为 ____________ 三角形， ____________ 三角 为底与腰 __________ 的三角形和底与腰 ____________ 的三角形.
3. AB 为一边的三角形有（
）
A.3个
B.4个
『
F c
C.5个
D.6个
考点2:三角形三边关系
4.
已知四组线段的长分别如下，以各组线段
为边，能组成三角形的是（ ）
A.1，2，3
B.2，5，8
C.3，4，5
D.4，5，10
5. （ 2008 •福州）已知三角形的两边长分别为 4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）
A.13cm
B.6cm
C.5cm
D.4cm 6.
如果线段a 、b 、c 能组成三角形，那么，它们的长度比可能是（
）
A.1 : 2 : 4
B.1 : 3 : 4
C.3 : 4 : 7
D.2 : 3 : 4
7.
已知等腰三角形的两边长分别为
4cm 和7cm ，则此三角形的周长为（ ）
A.15cm B .18cm C.15cm 或 18cm D.不能确定
8.
下列各组给岀的三条线段中不能组成三角形的是（ ）
A.3， 4， 5
B.3a ， 4a ， 5a
C.3+a , 4+a ，5+a
D.三条线段之比为 3 : 5 : 8
9. _____________________________________________________________ 三角形三边的比是 3 : 4 : 5,周长是96cm ，
那么三边分别是 _____________________________________________________ cm. 10.
已知等腰三角形的周长是 ____________________________ 25cm ，其中一边长为 10cm ，求
另两边长
.
11. 某木材市场上木棒规格和价格如下表： 形；等腰三角形分
3m 和5m 的木棒，还需要到某木材市场上购买
底角
一根.问：（1）有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择？ （
2）选择哪一种规格的木棒最省钱？
1
12、
如图所示，已知P 是厶ABC 内一点，试说明PA+PB+PC> （AB+BC+AC ）.
2
13、 如图，从A 经B 到C 是一条柏油马路， AC 是一条小路，人们从 A 到C ,为什么不走柏油路，而喜欢走小路？ 请你用学过的知识解释一下原因。

14、 已知a 、b 、c 是厶ABC 的三边长，化简 a_b —c +|b_c_a + c_a_b
知识点2:三角形的高、中线与角平分线
1. 三角形的高（如图1）
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。

表示法：（1） AD 是厶 ABC 的 BC 上的高。

（2） AD 丄 BC 于 D °（ 3）Z ADB=Z ADC= 90 °。

注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形的三条高都在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三 角形有两条高在形外；③三 角形三条高所在直线交于一点。

图1
图2
图3
2. 三角形的中线（如图 2）
三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段。

一 1
表示法：（1） AD 是厶ABC 的BC 上的中线；（2） BD= DC= BC
2
注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形内部；③三角形三条中线交于三角形内部一 点；④中线把三角形分成面积相等的两个三角形。

3、三角形的角平分线（如图
3）
三角形一个内角的平分线与它的对边相交这个角顶点与交点之间的线段。

表示法：（1） AD 是厶ABC 的/ BAC 的平分线。

1 （2）
2 1 =/ 2=
/ BAC
2
注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于 三角形内部一点；④可以用量角器画三角形的角平分线。

考点1:三角形的高
1. _________________________________________ 如图1,在厶ABC 中，BC 边上的高是 _____ ;在厶AFC 中，CF 边上的高是 _________________________________________ ;在厶ABE 中，AB 边
小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度为
上的高是__________ .
图1 图2 图3
△ ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则△ ABH的三条高是_____________ ，这三条高交于 ________ .BD是厶________ 、△ ________ 、△_________ 的高.
3.如图3,在厶ABC中EF II AC，BD丄AC于D，交EF于G ,则下面说话中错误的是（）
A. BD是厶ABC的高
B.CD是厶BCD的高
C.EG是厶ABD的高
D. BG是厶BEF的高
4. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
5. 三角形的三条高的交点一定在（）
A.三角形内部
B.三角形的外部
C.三角形的内部或外部
D.以上答案都不对
6. 如图4所示，△ ABC中，边BC上的高画得对吗？为什么？
图4
7. 如图，在△ ABC中，D是BC边上的任意一点，AF U BC于H。

图中以AH为高的三角形个数为（）
考点2:三角形的中线与角平分线
8如图5所示：（1）AD丄BC,垂足为D，贝U AD是 / =9 0° .
（2）AE 平分/ BAC ,交BC 于E 点，贝U AE 叫做△ ABC 的
的高，/
，/
AF = FC ,则厶ABC 的中线是 _________ , & A BF =_ BG = GH=HF ，贝U AG 是 _______
的中线，AH 是 图5
DE II BC , CD 是/ ACB 的平分线， 1
(3) 若 (4) 若 的中线.
9.如图6, 图6
/ ACB=60 °，那么/ EDC= _________ 度. 10.如图 7, BD=DC ，/ ABN= / ABC ，则
2
,ND >△ BNC 的 _______
ABC 的 AD 是厶ABC 的
线, 11. 如图8，若上/ 1= / 2、/ 3= / 4,下列结论中错误的是（
A.AD 是厶ABC 的角平分线
B.CE 是厶ACD 的角平分线
1
C. / 3=
/ ACB
2
12. 下列判断中，正确的个数为（
（1）
（2）
D.CE 是厶ABC 的角平分线
(3) (4) ） D 是厶ABC 中BC 边上的一个点，且 D 是厶ABC 中BC 边上的一个点，且/ D 是厶ABC 中BC 边上的一个点，且/ BD=CD ，贝U AD 是厶ABC 的中线 ADC=90 °，贝U AD 是厶ABC 的高
1
BAD= / BAC ,贝U AD 是厶ABC 的角平分线
2
三角形的中线、 高、角平分线都是线段 B.2 C.3
A.1
12 .如图，在△ ABC
⑴BE=
D.4
中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高，则根据图形填空:
1 1 ⑵/ BAD=
2
⑶/ AFB= _________ =90°;
△ ABC 中，D 、E 分别是 BC 、AD 的中点，S^c=4cm 2，求 S ^ABE . 15.△ ABC 中，高 AD 与CE 的长分别为 2 cm, 4 cm
求AB 与BC 的比是多少?
)
8
BN 是厶
第（12 ）题
16、在△ ABC 中，AB= AC, AC 上的中线BD 把三角形的周长分为 24cm 和30cm 的两个部分，求三角形的三边长。

16.根据你画图的实践，用序号字母填写下表（有几种可能情况填写几个字母）： A.在三角形的内部
B.在三角形的边上
C.在三角形的外部
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
角平分线
中线
高
17 •填表：用长度相等的火柴棒拼成如图所示的图形 △ ABC 中，/ A= a ,△ ABC 的内角平 线
交于点 P,且/ P= B ,试探求下列 关系,并选择一个加以说明.
知识3:三角形的稳定性
考点1：三角形的稳定性
1. ____________________ 三角形是具有 _________________ 的图形，而四边形没有 .
2. 自行车用脚架撑放比较稳定的原因是 ___________ .
AB 、CD 两个木条），这样做根据数学道理是 _________________ .
考点2:四边形的不稳定性
5下列把四边形的不稳定性合理地应用到生产实际中的例子有（
）
（1 ）活动挂架 （2）放缩尺 （3）屋顶钢架 （4）能够推拢和拉开的铁拉门 （5）自行车的车架 （6）大桥钢架
A.1
B.2
C.3
D.4 钢架桥
起重机
屋顶钢架
活动滑门
你来试一试：
3、如图3，^ ABC 的高AD BE 、CF 相交于点I ,△ BIC 的BI 边上的高是 ______________
4、 三角形的三边之比是 3 : 4 : 5,周长是36cm,求这个三角形各边长分别为 _________________ 。

5、 已知三角形两边长分别是 2cm 和5cm,第三边长数值为奇数，则这个三角形周长为 ______________ cm .
三角形的个数 1 2 3 4 5
n
所用的火柴的根数
3 5 7 9
18.如图所示,在 分线或外角平分 各图中a 与B 的
时，AD 是厶ABC 的角平分线.
2、图2中有 个三角形，它们分别是
夯实基础 5分，共30分） AD 是厶ABC 的中线；当/
6、观察下表中三角形个数变化规律，填表并回答下面问题.
问题：如果图中三角形的个数是102个，则图中应有_____________ 条横截线.
二、耐心选一选，你会开心（每题5分，共30分）
7、在下列长度的四组线段中，能组成三角形的是（）.
A、4，5，6 B 、6，8，15 C 、7，5，12 D 、3，7，13
8、在图中，正确画岀AC边上高的是（）.
A B C D
9、已知三角形的周长为15cm,且其中两边都等于第三边的2倍，那么最短边的长是（）.
A 、1cm
B 、2cm
C 、3cm
D 、4cm
10、在下列长度的四根木棒中，能与4cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（）.
A、4cm B 、5cm C 、9cm D 、13cm
11、如图，线段AD把△ ABC分为面积相等的两部分，则线段AD是（）.
A、三角形的角平分线
B、三角形的中线C三角形的高D、以上都不对
12、在三条边都不相等的三角形中，同一条边上的中线、高和这边所对角的角平分线，最短的是（）.
A、高
B、中线
C、角平分线
D、不能确定
综合创新
三、细心做一做，你会成功（共40分）
14、如图，△ ABC正好可以放在长方形内，要测岀厶ABC的面积，现有一把刻度尺，你能做到吗？说岀你是怎样做的.
15、如图，AD CE是厶ABC的两条高，AB= 3cm，BC= 6cm, CE= 8cm,求AD 的长.
三角形的内角和
猜想：三角形的三个内角和是多少？你有什么办法可以验证呢？把三个角拼在一起试试看？
知识点
定理：三角形的内角和等于1800.
试用已经学过的方法证明定理。

如图在△ ABC中，证明/ A+Z B+ / C=180°o
注：在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。

在平面几何里，辅助线通常画成虚线。

思路总结：为了证明三个角的和为1800转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法.
一、（1 ）在厶ABC中，Z A=35°，Z B=43 °则/ C= .
（2）在厶ABC中，Z A : Z B: Z C=2:3:4 ，则Z A = ______ Z B= ______ Z C= _
二、 (1) 一个三角形中最多有 __________ 个直角？为什么？
(2) ___________________________ 一个三角形中最多有 个钝角？为什么？ (3) ___________________________ 一个三角形中至少有
个锐角？为什么？
(4) _____________________________________________________ 任意 一个三角形中，最大的一个角的度数至少为 _______________________________________________________ .
三、 (1)如图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向，B 岛在A 岛的北偏东80 °方向，C 岛在B 岛的北偏西40 方向。

从C
岛看A 、B 两岛的视角/ ACB 是多少度？
璃,那么最省事的办法是
( )
(5)已知：在AAEC 中， ZC = ZABC=2ZA,BD 是AC 边上的高。

求/DEC 的度数。

综合检测
】、△ ABC 中，若/ A +Z B =/ C,则厶 ABC >( )
A 、锐角△
B 直角△
C 钝角△
D 等腰△ 2、 一个三角形至少有(
)
A 、一个锐角
B 两个锐角
C 一个钝角
D 、一个直角
3、 如图△ ABC 中,CD 平分Z ACB DE// BC, / A =70°Z B =50° ,求Z BDC 的度数。

1如图△ ABC 中，Z ABC 、Z ACB 的平分线交于点 O ,
⑴若Z A =70°
，求Z BOC 。

⑵若Z A = X °，求Z BOC 。

(2)如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片 样的玻
(A)带①去 (B)带②去 (C)带③去 (D)带①和②去
(3)在厶 ABC 中，/ A=80°
/ B=Z C ,求/ C 的度数。

(4)已知三角形三个内角的度数之比为 1:3:5，求这三个内角的度数。

,现在他要到玻璃店去配一块形状完全一
D
B
C
A
三角形的外角
CD
如左图，把△ ABC的一边BC延长，得到/ ACD,像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角
上图中/ A=70° , / B =60 ° / ACD>^ ABC的一个外角，你能求出/ ACD是多少度？
由上边的计算结果，你发现了什么
你能得到什么结论
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
习题
1. 已知：如图所示,在厶ABC中,外角/ DCA=100 , / A=45° .
求:/ B和/ ACB的大小.
2. 一题多解
已知：如右图，在厶ABC中,AD平分外角/ EAC,/ B= / C. 求证:AD // BC.
分析：要证明AD// BC,只需要证明“同位角相等”，“内错角相等”或“同旁内角互补” 典型例题
3. 如图，D 是厶ABC 的BC 边上一点，/ B=/ BAD, / ADC= 80°，/ BAC=70 . 求：（1）/ B的度数；（2）/ C
的度数.
多边形
复习旧知
三角形的外角与内角的关系：
1、三角形的一个外角与它相邻的内角_______________ ;
2、三角形的一个外角____________ 与它不相邻的两个内角的和；
3、三角形的一个外角_________ 任何一个与它不相邻的内角。

求下列图中各标出角的度数。

O
1.多边形的概念
三角形的定义：
在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接而成的图形。

多边形的定义
在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

五边形六边形七边形
多边形按组成它的线段条数分成三角形、四边形、五边形……其中三角形是最简单的多边形。

如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形就叫做n边形。

门一 3 图一可表示为：五边形ABCDE或五边形AEDCB
2.多边形的内角、顶点、外角、边、对角线
n边形有 ____ 个顶点，_______ 条边，______ 个内角，______ 个外角。

连结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

请说出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：AOOOO ..
三角形四边形五边形六边形八边形
从同一顶点引出的对角线的条数：n_ 3
分割出的三角形的个数：n-2
n边形从一个顶点出发的对角线条数为：(n—3)条(n》3)(n —3)
n(n -3)
n边形共有对角线2条(n>3)
3.多边形的分类
如图，画出四边形ABCD的任何一条边所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形。

A
四边形ABCD是凹四边形，因为画出边8(或BC)所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧。

4. 正多边形
正方形的各个角都相等，各条边都相等。

像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.
例如：
正三角形正五边形正六边形正方形。