空间几何体的表面积和体积课件-ppt
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空间几何体的表面积 与体积
柱体、锥体、台体 的表面积与体积
什么是面积？
面积:平面图形所占平面的大小
b
S=ab
a A
ch
S 1 ah 1 ac sin B 22
Ba C
b Aa
S a ha b hb
absin A
a
S 1 (a b)h
3
作业
已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体 的棱长为a，求球O的表面积和体积.
解答：正方体的一条对
角线是球的一条直径，
所以球的半径为 R
3a
2
C′
o
A
感谢阅读
根据台体的特征，如何求台体的体积？ 圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的
V 1 (S' S'S S)h 3 A
P
A
D
S
C
B
h
D
S C
B
V 1 h[Sh (S S' )
S' ]
3
S S'
思考6:在台体的体积公式中，若S′=S， S′=0，则公式分别变形为什么？
S′=S
S′=0
例3.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重 5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底 面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm， 高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？
RS2
1 3
RS3
V球
4
3
R3
1 3
RS球面
球的体积和表面积
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直 径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ；
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积. 3
解:设球的半径为R，则圆柱的底面
半径为R，高为2R.
V球
4
3
R3 ,V柱
R2
2R
2 R3
S球 4 R2 , S 圆柱侧 =2 R 2R 4 R2
0.1100100=1000(毫升）.
空间几何体的体积
体积:几何体所占空间的大小
正方体的体积=棱长3 长方体的体积=长×宽×高
棱柱和圆柱的体积
高h
底面积S
柱体的体积 V=Sh
棱锥和圆锥的体积
S 高h
D
E
O
底面积S
C
A
B 体积V 1 Sh
3
棱台和圆台的体积
高h
V 1 (S SS S)h 3
侧面展开
h'
正棱台的侧面展开图
h'
S表面积 S侧 S上底 S下底
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算 它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面 面积之和．
多面体的表面积
一般地，由于多面体是由多个平面围成的空间 几何体，其表面积就是各个平面多边形的面积之和.
旋转体的表面积
例2.一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直 径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长 15cm，为了美化花盆的外观，需要涂油漆. 已知每 平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多 少油漆（精确到1毫升）？
解：由圆台的表面积公式得一个花
盆外壁的表面积
20
15
所以涂100个花盆需油漆：
设长方体的长宽高分别为a、b、h，则 其表面积为 S=2（ab+ah+bh)
特别地，正方体的表面积为S=6a2
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
正棱柱的侧面展开图
h
S表面积 S侧 2S底
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
S表面积 S侧 S底
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
圆柱侧
球面距离
球面距离 即球面上两点间的最短距离， 是指经过这两点和球心的大圆的劣 弧的长度.
球心O
O
B
A
B
大圆劣弧的圆心角为α弧
度，半径为R，则弧长为
A
大圆圆弧 L=αR
球面距离
例4. 已知地球的半径为R,在地球的赤道上经 度差为1200的两点间距离.
o A
答案：1200 2
3
B
球面距离为d 2 R
棱柱的表面积=2 底面积+侧面积 侧面积是各个侧面面积之和
棱锥的表面积=底面积+侧面积
棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积
例1．已知棱长为 ，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
解：过点S作 ，
交BCபைடு நூலகம்点D．
∵ S
A
因此，四面体S-ABC的表面积为
解答： V≈2956（mm3）=2.956
（cm3）
5.8×1000÷7.8×2.956
≈252（个）
1.3.2
球的体积和表面积
球
球的表面积
球的体积
球面距离
球的体积和表面积
设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式
V 4 R3
A
3
R
O
S 4R2
B
H h
S1
R
4 3
R3
V球
1 3
RS1
1 3
B
D
C
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S表面积 S侧 2S底 S圆 柱 侧 S长 方 形＝2rl
圆锥的侧面展开图是扇形
O
旋转体的表面积
圆台
底面是圆形
侧面展开图是 一个扇状环形
旋转体的表面积
圆台
底面是圆形
侧面展开图是 一个扇状环形
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
O
O’ O O
bh
2
r S r2
l
S 1lr 2
r
n r2 1 r2
360
2
圆心角为n0
特殊平面图形的面积
正三角形的面积
a
s 1 3 aa 22
正方形的面积
s a2
a
正六边形的面积
a
S 6 1 3 aa 3 3 a2
22
2
多面体的表面积
正方体和长方体的表面积
h b a
长方体的表面展开图是六个矩形组成的 平面图形，其表面是这六个矩形面积的和.
空间几何体的表面积 与体积
柱体、锥体、台体 的表面积与体积
什么是面积？
面积:平面图形所占平面的大小
b
S=ab
a A
ch
S 1 ah 1 ac sin B 22
Ba C
b Aa
S a ha b hb
absin A
a
S 1 (a b)h
3
作业
已知正方体的八个顶点都在球O的球面上，且正方体 的棱长为a，求球O的表面积和体积.
解答：正方体的一条对
角线是球的一条直径，
所以球的半径为 R
3a
2
C′
o
A
感谢阅读
根据台体的特征，如何求台体的体积？ 圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的
V 1 (S' S'S S)h 3 A
P
A
D
S
C
B
h
D
S C
B
V 1 h[Sh (S S' )
S' ]
3
S S'
思考6:在台体的体积公式中，若S′=S， S′=0，则公式分别变形为什么？
S′=S
S′=0
例3.有一堆规格相同的铁制六角螺帽共重 5.8kg（铁的密度是7.8g/cm3），已知螺帽的底 面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm， 高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个？
RS2
1 3
RS3
V球
4
3
R3
1 3
RS球面
球的体积和表面积
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直 径，求证：（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ；
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积. 3
解:设球的半径为R，则圆柱的底面
半径为R，高为2R.
V球
4
3
R3 ,V柱
R2
2R
2 R3
S球 4 R2 , S 圆柱侧 =2 R 2R 4 R2
0.1100100=1000(毫升）.
空间几何体的体积
体积:几何体所占空间的大小
正方体的体积=棱长3 长方体的体积=长×宽×高
棱柱和圆柱的体积
高h
底面积S
柱体的体积 V=Sh
棱锥和圆锥的体积
S 高h
D
E
O
底面积S
C
A
B 体积V 1 Sh
3
棱台和圆台的体积
高h
V 1 (S SS S)h 3
侧面展开
h'
正棱台的侧面展开图
h'
S表面积 S侧 S上底 S下底
h'
h'
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算 它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面 面积之和．
多面体的表面积
一般地，由于多面体是由多个平面围成的空间 几何体，其表面积就是各个平面多边形的面积之和.
旋转体的表面积
例2.一个圆台形花盆盆口直径为20cm，盆底直 径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5cm，盆壁长 15cm，为了美化花盆的外观，需要涂油漆. 已知每 平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多 少油漆（精确到1毫升）？
解：由圆台的表面积公式得一个花
盆外壁的表面积
20
15
所以涂100个花盆需油漆：
设长方体的长宽高分别为a、b、h，则 其表面积为 S=2（ab+ah+bh)
特别地，正方体的表面积为S=6a2
棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
正棱柱的侧面展开图
h
S表面积 S侧 2S底
侧面展开
h'
正棱锥的侧面展开图
h'
S表面积 S侧 S底
棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
圆柱侧
球面距离
球面距离 即球面上两点间的最短距离， 是指经过这两点和球心的大圆的劣 弧的长度.
球心O
O
B
A
B
大圆劣弧的圆心角为α弧
度，半径为R，则弧长为
A
大圆圆弧 L=αR
球面距离
例4. 已知地球的半径为R,在地球的赤道上经 度差为1200的两点间距离.
o A
答案：1200 2
3
B
球面距离为d 2 R
棱柱的表面积=2 底面积+侧面积 侧面积是各个侧面面积之和
棱锥的表面积=底面积+侧面积
棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积
例1．已知棱长为 ，各面均为等边三角形的四面体 S-ABC，求它的表面积 ．
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．
解：过点S作 ，
交BCபைடு நூலகம்点D．
∵ S
A
因此，四面体S-ABC的表面积为
解答： V≈2956（mm3）=2.956
（cm3）
5.8×1000÷7.8×2.956
≈252（个）
1.3.2
球的体积和表面积
球
球的表面积
球的体积
球面距离
球的体积和表面积
设球的半径为R，则有体积公式和表面积公式
V 4 R3
A
3
R
O
S 4R2
B
H h
S1
R
4 3
R3
V球
1 3
RS1
1 3
B
D
C
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S表面积 S侧 2S底 S圆 柱 侧 S长 方 形＝2rl
圆锥的侧面展开图是扇形
O
旋转体的表面积
圆台
底面是圆形
侧面展开图是 一个扇状环形
旋转体的表面积
圆台
底面是圆形
侧面展开图是 一个扇状环形
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？
O
O’ O O
bh
2
r S r2
l
S 1lr 2
r
n r2 1 r2
360
2
圆心角为n0
特殊平面图形的面积
正三角形的面积
a
s 1 3 aa 22
正方形的面积
s a2
a
正六边形的面积
a
S 6 1 3 aa 3 3 a2
22
2
多面体的表面积
正方体和长方体的表面积
h b a
长方体的表面展开图是六个矩形组成的 平面图形，其表面是这六个矩形面积的和.