重庆九年级上学期期中考试数学试卷有答案

重庆市万州区岩口复兴学校九年级上学期期中考试数学试卷
（本卷共四个大题 满分150分 考试时间120分钟）
参考公式：抛物线)0(2
≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --，对称轴公式为a
b x 2-= 一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）
1．下列各数中，比－1小的是（ ）。

A ． －2
B ．0
C ．2
D ．3 2．式子x -2有意义，则x 的取值范围（ ）。

A 、x ＞2
B 、x ＜2
C 、x ≤2
D 、x ≥2 3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）。

4．下列计算正确的是（ ）。

A ．223a a a +=
B ．235a a a ⋅=
C ．3
3a a ÷= D ．3
3
()a a -=
5．据报道，重庆市九龙坡区GDP 总量约为770亿元，用科学记数法表示这一数据应为 元。

（ ） A ．11
7.7010⨯ 元 B ．10
7.7010⨯元 C ．9
77.010⨯元 D ．11
0.77010⨯元 6．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C 到AB 的距离是（ ）。

A ．
B ．
C ．
D ．
7．在数-1，1，2中任取两个数作为点坐标，那么该点刚好在一次函数2y x =-图象上的概率是（ ）。

A ．
12 B ． 13 C ．14 D ．1
6
8．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的 AB 的长为半径画孤，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若△ADC 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为（ ）。

7 B 、14 C 、17 D 、20
9．如图，在⊙O 中，直径CD 垂直于弦AB ，若∠C=25°，则∠ABO 的度数是（ ）。

10． 4月20日08时02分在四川雅安芦山县发生7.0级地震，人民生命财产遭受重大损失．某部队接到上级命令，乘车前往灾区救援，前进一段路程后，由于道路受阻，车辆无法通行，通过短暂休整后决定步行前往．则能反映部队与灾区的距离s （千米）与时间t （小时）之间函数关系的大致图象是（ ）。

11．用边长相等的黑色正三角形与白色正六边形镶嵌图案，按图①②③所示的规律依次下去，则第n 个图案中，所包含的黑色正三角形和白色正六边形的个数总和是（ ）。

A 、2
n +4n+2 B 、6n+1 C 、2
n +3n+3
D 、2n+4
12．如图，抛物线y=ax 2
+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），顶点坐标为（1，n ），与y 轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：
①当x ＞3时，y ＜0；②3a+b ＞0；③﹣1≤a ≤﹣；④3≤n ≤4中， 正确的是（ ）。

13．已知△ABC 与△DEF 相似且面积比为4︰9，则△ABC 与△DEF 的相似比为 。

14．我校为帮扶学校的留守儿童举行了捐款活动，初三（1）班第一小组八名同学捐款数额（元）分别为：20，50，30，10，50，100，30，50．则这组数据的中位数是__________。

15．如果关于x 的不等式组：⎩⎨⎧≤-≥-0
20
3b x a x ，
的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a ，b 组成的有序数对[a ，b]共有
个。

圆弧交DC 于点E ，
16．如图，在矩形ABCD 中，AB=2DA ，以点A 为圆心，AB 为半径的
交AD 的延长线于点F ，设DA=2，图中阴影部分的面积为 。

17．王老师骑自行车在环城公路上匀速行驶，每隔6分钟有一辆环湖大巴从对面向后开过，每隔30分钟又有一辆环湖大巴从后面向前开过，若环湖大巴也是匀速行驶，且不计乘客上、下车的时间，那么起点站每隔 分钟开出一辆环湖大巴。

18．如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E 为AB 上任意一动点，以CE 为斜边作等腰Rt △CDE ，连接AD ，下列说法：
①∠BCE=∠ACD ；②AC ⊥ED ；③△AED ∽△ECB ；④AD ∥BC ；⑤四边形ABCD 的面积有最大值，且最大值为3
2
．其中，正确的结论是 。

三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）
19．计算： ︒+--+-⨯-+--60tan )3
1
(64)2()1(42302013
π
20．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB 的顶点均在格点上，点A ，B 的坐标分别是A （3，
3）、B （1，2），△AOB 绕点O 逆时针旋转90°后得到△11OB A . （1）画出△11OB A ，直接写出点1A ，1B 的坐标； （2）在旋转过程中，点B 经过的路径的长； （3）求在旋转过程中，线段AB 所扫过的面积.
四、解答题：（本大题4个小题，共40分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤。

21．先化简，再求值：
，其中x 满足方程：x 2
+x ﹣6=0。

22．“中国梦”关乎每个人的幸福生活，为进一步感知我们身边的幸福，展现万州人追梦的风采，我区某校开展了以“梦想中国，逐梦万州”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品．现将参赛的50件作品的成绩（单位：分）进行统计如下：
请根据上表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中的x 的值为 ，y 的值为 。

（2）将本次参赛作品获得A 等级的学生一次用A 1，A 2，A 3，…表示，现该校决定从本次参赛作品中获得A 等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生A 1和A 2的概率。

23. 某梁平特产专卖店销售“梁平柚”，已知“梁平柚”的进价为每个10元，现在的售价是每个16元，每天可卖出120个. 市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10个；每降价1元，每天可多卖出30个。

（1）如果专卖店每天要想获得770元的利润，且要尽可能的让利给顾客，那么售价应涨价多少元？ （2）请你帮专卖店老板算一算，如何定价才能使利润最大，并求出此时的最大利润？
24．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AB 上两点，且BE=BF ，过点B 作AE 的垂线交AC 于点G ，过点G 作CF 的垂线交BC 于点H 延长线段AE 、GH 交于点M ． （1
）求证：∠BFC=∠BEA ； （
2）求证：AM=BG+GM 。

五．解答题：（本大题2个小题，共24分）解答时每小题必
须给出必要的演算 过程或推理步骤。

25．如图, 已知抛物线c bx x y ++=
2
2
1与y 轴相交于C ，与x 轴相
交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）。

（1）求抛物线的解析式；
（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D
的坐标；
（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明
理由。

26．已知：把Rt△ABC 和Rt△DEF 按如图（1）摆放（点C 与点E 重合），点B 、C （E ）、F 在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = 8 cm ，BC = 6 cm ，EF = 9 cm 。

如图（2），△DEF 从图（1）的位置出发，以1 cm/s 的速度沿CB 向△ABC 匀速移动，在△DEF 移动的同时，点P 从△ABC 的顶点B 出发，以2 cm/s 的速度沿BA 向点A 匀速移动。

当△DEF 的顶点D 移动到AC 边上时，△DEF 停止移动，点P 也随之停止移。

DE 与AC 相交于点Q ，连接PQ ，设移动时间为t （s ）（0＜t ＜4.5）。

解答下列问题：
（1）当t 为何值时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上？ （2）连接PE ，设四边形APEC 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；是否存在某一时刻t ，使面积y 最小？若存在，求出y 的最小值；若不存在，说明理由。

（3）是否存在某一时刻t ，使P 、Q 、F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由。

（图（3）供同学们做题使用）
友情提示：祝贺你，终于将考题做完了，请仔细检查答题卷！
A
D
B
F E ）
图（1）
图（2）
A
C
图（3）
参考答案
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 13、__2:3 14、__ 40___ 15、 6
16、______ 17、__ 10 18、 ①④⑤
三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）
19、解：原式=4-1+4-9+3 =-2+3
20、（1）如图，)3,3(1-A ,)1,2(1-B …………………………………………2分
注：画图1分，两点坐标各1分.
（2）由)2,1(B 可得：5=
OB , ……………3分
弧1BB =
πππ2
5
5241241=⨯⨯=⋅r …5分 （3）由)3,3(A 可得：23=OA ,又5=OB ,
πππ29
18414121=⨯⨯=
⋅=OA S OAA 扇形,
πππ4
5
5414121=⨯⨯=⋅=OB S OBB 扇形, ……………………………6分
则线段AB 所扫过的面积为：πππ4
13
4529=- . ……………………7分
四、解答题：（本大题4个小题，共40分）
21、解：（x+1﹣
）÷
=÷
=•
=，
∵x 满足方程x 2
+x ﹣6=0， ∴（x ﹣2）（x+3）=0，
解得：x 1=2，x 2=﹣3，
当x=2时，原式的分母为0，故舍去； 当x=﹣3时，原式=
=．
22、解：解：（1）∵x+35+11=50，∴x=4，或x=50×0.08=4；
y=
=0.7，或y=1﹣0.08﹣0.22=0.7；
（2）依题得获得A 等级的学生有4人，用A 1，A 2，A 3，A 4表示，画树状图如下：
由上图可知共有12种结果，且每一种结果可能性都相同，其中抽到学生A 1和A 2的有两种结果，
所以从本次参赛作品中获得A 等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，恰好抽到学生A 1和A 2的概率为：P=
．
23、解：（1）设售价应涨价x 元，则：
770)10120)(1016(=--+x x ， …………………………………………2分
解得：11=x ，52=x . ……………………………………………………3分 又要尽可能的让利给顾客，则涨价应最少，所以52=x （舍去）.
∴ 1=x .
答：专卖店涨价1元时，每天可以获利770元. ……………………………4分 （2）设单价涨价x 元时，每天的利润为W 1元，则：
810)3(107206010)10120)(1016(2
2
1+--=++-=--+=x x x x x W （0≤x ≤12） 即定价为：16+3=19（元）时，专卖店可以获得最大利润810元. ……6分
设单价降价z 元时，每天的利润为W 2元，则：
750)1(307206030)30120)(1016(2
2
2+--=++-=+--=z z z z z W （0≤z ≤6）
即定价为：16-1=15（元）时，专卖店可以获得最大利润750元. ………8分 综上所述：专卖店将单价定为每个19元时，可以获得最大利润810元. …10分
24、证明：（1）在正方形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=90°， 在△ABE 和△CBF 中，
AB=BC ∠ABC=∠ABC BE=BF ， ∴△ABE ≌△CBF （SAS ）， ∴∠BFC=∠BEA ；
（2）连接DG ，在△ABG 和△ADG 中，
AB=AD ∠DAC=∠BAC=45° AG=AG ， ∴△ABG ≌△ADG （SAS ）， ∴BG=DG ，∠2=∠3， ∵BG ⊥AE ，
∴∠BAE+∠2=90°，
∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°， ∴∠2=∠3=∠4， ∵GM ⊥CF ，
∴∠BCF+∠1=90°， 又∠BCF+∠BFC=90°， ∴∠1=∠BFC=∠2， ∴∠1=∠3，
在△ADG 中，∠DGC=∠3+45°， ∴∠DGC 也是△CGH 的外角， ∴D 、G 、M 三点共线， ∵∠3=∠4（已证）， ∴AM=DM ，
∵DM=DG+GM=BG+GM ， ∴AM=BG+GM ．
五、解答题：（本大题2个小题，共24分）
25、1）∵二次函数c bx x y ++=
2
2
1的图像经过点A （2，0）C(0,－1) ∴⎩
⎨
⎧-==++10
22c c b
解得： b =－
2
1
c =－1-------------------2分 ∴二次函数的解析式为12
1
212--=x x y --------3分
（2）设点D 的坐标为（m ，0） （0＜m ＜2） ∴ OD=m ∴AD=2-m 由△ADE ∽△AOC 得，OC
DE AO AD = --------------4分 ∴
122DE
m =- ∴DE=2
2m ------------------------------------5分
∴△CDE 的面积=21×22m
-×m
=242m m +-=4
1
)1(412+--m
当m =1时，△CDE 的面积最大
∴点D 的坐标为（1，0）--------------------------8分 （3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为12
1
212--=
x x y 设y=0则12
1
2102--=
x x 解得：x 1=2 x 2=－1 ∴点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1） 设直线BC 的解析式为：y =kx ＋b
∴ ⎩⎨
⎧-==+-1
b b k 解得：k =-1 b =-1
∴直线BC 的解析式为: y =－x －1 在Rt △AOC 中，∠AOC=900
OA=2 OC=1 由勾股定理得：AC=5 ∵点B(－1,0) 点C （0，－1） ∴OB=OC ∠BCO=450
①当以点C 为顶点且PC=AC=5时， 设P(k, －k －1) 过点P 作PH⊥y 轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450
CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中 k 2
+k 2
=
()2
5 解得k 1
=
210， k 2=－2
10 ∴P 1（
210，－1210-） P 2（－210，
12
10-）---10分 ②以A 为顶点，即AC=AP=5 设P(k , －k －1) 过点P 作PG ⊥x 轴于G AG=∣2－k ∣ GP=∣－k －1∣ 在Rt △APG 中 AG 2
＋PG 2
=AP 2
（2－k )2
+(－k －1)2=5 解得：k 1=1,k 2=0(舍)
26、解：（1）
∵点A 在线段PQ 的垂直平分线上，
∴
AP = AQ .
∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF ＋∠ACB ＋∠EQC = 180°，
∴
∠EQC = 45°.
∴∠DEF =∠EQC .
∴CE = CQ .
由题意知：CE = t ，BP
=2 t ，
∴CQ = t . ∴AQ = 8－t .
在Rt△ABC 中，由勾股定理得：AB = 10 cm . 则AP = 10－2 t . ∴10－2 t = 8－t . 解得：t = 2.
答：当t = 2 s 时，点A 在线段PQ 的垂直平分线上. ····· 4分
（2）过P 作PM BE ⊥，交BE 于M ，
∴90BMP ∠=︒.
在Rt△ABC 和Rt△BPM 中，sin AC PM
B AB BP
==
， ∴8
210
PM t = . ∴PM = 85t .
∵BC = 6 cm ，CE = t ， ∴ BE = 6－t .
∴y = S △ABC －S △BPE =12BC AC ⋅－12BE PM ⋅= 1682⨯⨯－()18
6t t 25
⨯-⨯
=24242455t t -+ = ()2484355
t -+. ∴P 3(1, －2) ----------------------------------11分 ③以P 为顶点，PC=AP 设P(k , －k －1) 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q PL ⊥x 轴于点L ∴L(k ,0)
∴△QPC 为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA=2k
∴AL=∣k -2∣, PL=｜－k －1｜ 在Rt △PLA 中
(2k)2
=(k －2)2
＋(k ＋1)2
解得：k =
25∴P 4(25,－2
7
) ------------------------12分 综上所述： 存在四个点：P 1（
210，－
12
10
-） P 2（-210，
1210-） P 3(1, －2) P 4(25,－2
7
)
∵405
a =
>，∴抛物线开口向上. ∴当t = 3时，y 最小=845. 答：当t = 3s 时，四边形APEC 的面积最小，最小面积为
845
cm 2. ··· 8分 （3）假设存在某一时刻t ，使点P 、Q 、F 三点在同一条直线上.
过P 作PN AC ⊥，交AC 于N ，
∴90ANP ACB PNQ ∠=∠=∠=︒.
∵PAN BAC ∠=∠，∴△PAN ∽△BAC . ∴PN AP AN BC AB AC
==. ∴1026108
PN t AN -==. ∴665PN t =-，885AN t =-. ∵NQ = AQ －AN ，
∴NQ = 8－t －(885
t -) = 35t ． ∵∠ACB = 90°，B 、C （E ）、F 在同一条直线上，
∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ .
∵∠FQC = ∠PQN ，
∴△QCF ∽△QNP . ∴PN NQ FC CQ
= . ∴636559t t t t -=- . ∵0t <<4.5 ∴663595
t t -=- 解得：t = 1.
答：当t = 1s ，点P 、Q 、F 三点在同一条直线上. 12分
图（3）。