数学中的一些普遍原理

数学中的一些普遍原理
我们知道：数学是研究现实世界中数量关系及空间形式的一门学科，现在数学的分支繁多，大体上是研究广泛意义下代数结构和几何结构及其相互联系上的某种量上的表现形式。

举一个简单例子，如概率论与投资和博弈关系联系十分紧密，而概率论的研究方法就是把一个随机事件放在概率空间去研究，概率空间是由样本空间、随机事件及概率度量所构成的。

我们经常要考虑某个随机事件发生可能性大小，在数学上就给予它一个量化，而度量它发生可能性数字表示，实质上就是我们要定义的概率，所以“概率”就是度量某个概率空间中某个随机事件发生可能性大小的指标，在投资与博弈中，我们会经常遇到此类问题，如在常见的轮盘赌博中，我们就经常根据历史数据或当时的情况，考虑某些点数出现可能性大小进行估计。

在投资中，我们要估计投资项目或股票能否有多大回报，这些都要用概率思想去思考，尽管数学分支庞大，但思想是相近的，就如常人讲的“隔行如隔山，但隔行不不隔理”，经典的自然法则，在一定条件下，是永恒不变的法则。

数学为我们提供了一些思考这些法则的思想与方法。

历史上，牛顿发明了万有引力定理。

但要一般地证明：“任意”两个物体之间一定存在引力，就需要用数学的方法才能实现，著名经济学家凯恩斯，在一生中大部分时间都在研究概率论，并一直寻找战胜未来经济波动的概率方法。

投资家巴菲特在其著作时，也用概率的思想来制定投资策略。

下面我们将介绍数学中一些普遍的原理，来帮助我们进行投资和博弈思考。

数学中的一些原理是从自然界和人类的实践中总结出来的，它的一些经典结果是千锤百炼的，当然，也是有条件的，我们大部分人学习的数学都是“线性数学”，从广泛背景看，这些古典原理都是“理想化”模型，因此，从数学上思考投资与博弈时，一定要在掌握基本原理时，抛弃“理想”假设条件，综合运用数学方法“全面”思考面对问题。

数学思考是一条主线，但要求我们抛弃一些传统，教条思想缚束，“灵活”应对现实中问题，就如凯恩斯所说：“关键不在于接受新思想，而在于摆脱传统旧思想”，“宁要模糊的正确，不要精确的错误”，很多人只会用数学计算，而不会用数学进行“思考”。

归纳法在数学中，是最常见的方法，其原理是：
1、先验证最简单情况
2、再假设现在条件下的正确性
3、再验证将来任何情况下的正确性
从而得到命题的证明，它的思想就是：从简单到复杂，从特殊到一般的思考方法，就像几何中，我们特别强调的“几何直观”重要性，要认识复杂的自然与社会中复杂的事件，从归纳法原理，就要求我们从最“简单”事件入手，透过复杂现象去抓住事件本质。

例如分析数学中“以直代曲”，用“线性”去逼近“非线性”，用“有限”去代替“无限”，“细分”思想，都是把复杂事件化简成一些较简单或标准形态的东西来处理。

从而可用“线性”手段去得到问题答案。

从此可知，我们在投资和博弈时，就应该充分应用“归纳法”原理。

从一些简单的，单一的现象去思考问题。

比如，某个项目投资，是否简单，是否容易理解，是否有广泛的市场前景，能否满足一般广大人的需求。

从简单需求出发，去考察此投资项目的可行性。

股票投资也是如此，一个公司盈利模式是否“简单”，它的模式越简单，就容易从“时间”和“空间”上进行扩张和复制，从而导致产生业绩
爆发式增长，因此，所投资股票就容易上涨。

在博弈进程中，为了克服你本人弱点和技术上或准备不充分，你应该采取“最简单”的策略来达到制胜最佳状态。

历史告诉我们，在竞技场上，真正的赢家是少犯或不犯错误的人，那我们怎么做呢？从上面的归纳原理，要求我们做“最简单，最容易”的事，才能少犯或不犯错误，因此，归纳法思想导致“简单”策略，是一种平凡数学思想的体现。

正如伟大投资家巴菲特所言：“人的行为总是有些荒谬，喜欢把简单的事情搞复杂”，“我和查理芒格不能解决公司固有的顽症，但我们可以避开它”，“我们没有跨越7到8尺栏杆，只须选择3尺栏杆跨过去就行了”。

著名的经济学家凯恩斯在其《概率论》中，专门用《归纳法和统推理》章节阐述到：一个彻底的经验主义者不可能在没有矛盾的情况下使用归纳法，因为归纳法要求对它的有效性有一个预先指定概率，而且凯恩斯对归纳法作为一个逻辑原理的看法对罗素有极大影响，罗素在他的《哲学问题》（1922）年一书中承认了凯恩斯在这方面的影响。

归纳法在《概率统计》中的一个缩影，或者直观解释就是某种形式的“频率”，而概率可以成是某种意义下频率的一种近似，从概率的统计定义可看到此点，即概率的感性认识。

数学中的普遍原理之二——分类原理
在数学中，分类原理是最普遍存在的，而且非常广泛，从中小学的数学中，我们就知道，同类才能进行代数运算，“分类”的目的就是把最复杂的自然和社会现象，用一个最简单和最具代表元素来量化这一类的共同普遍特征，。

只须对这个代表元素研究清楚了，我们就可以把“同一类”最本质特征搞清楚。

例如：在股票投资中，我们首先就各个行业进行“分类”，对各个行业中的龙头股进行研究，就能把握住这个行业的发展前景及盈状况。

“分类”中的代表元素，泛盖了这类事物或自然现象最基本的特征，数学中的“分类”太多了，如抽象代数中的群，环，域分类。

微分方程中的椭圆，抛物，双曲型方程的分类等等，而且，只有进行仔细“分类”，我们一些常用的估值方法才能有效利用，你不能把一个桔子与一个苹果用同一个标准进行比较。

对不同类型的公司应区别对待，不能用同一种标准进行度量。

在分类中，还涉及到排序分类，即什么在先，什么在后的问题。

“顺序”在分类中有重要位置，就像代数系统中我们经常引入“序”概念一样。

如在商品期货和股票投资中，不但要考虑“分类”问题，还要考虑“序”的问题，即考
分类的代表元素中，那些最可能高速增长（即那个行业近来最先增长），那种商品最先打破“供求”关系，即什么东西的趋势在先，什么在后。

这对我们充分利用“时机”提高资金利用效率。

在投资上就可以踏对节奏，因此，分类思想是指导我们进战略思考选择。

而“序”指导我们具体战术，在现代经济学中，有门课程《时间序列分析》就是对“序”进行综合分析的，“序”在数学中，也是一个非常重要的概念。

从最简方法思考，就是“顺序”的一个延伸。

“时间”从某种意义上讲就是“序”的一个缩影，日常生活中无论做什么，都讲过“顺序”。

投机实质就是投资的一个时机选择，也是对“序”一个反映。

巴菲特曾说过“投机”是一件十分困难的事情。

历史上，帕斯卡和费马一直用“分类”的方法来计算未来事件的概率。

美国投资大师彼得.林奇就曾将公司分为六种类型进行研究，在所有类型中，林奇对“周期”型公司投资效果较差，只有你对这些“周期”型
公司工作比较熟悉，否则你就不容易把握他的投资节奏，不知道什么时候它的周期结束，导致不好投资结果。

由于分类方法不同，你可能不容易确定你投资的公司属于哪一类，或者说属于哪一个板块。

同样，分类最好越简单越好，主要看公司主营业务那一块大，太复杂或太多元化的公司最好就放弃。

你研究半天，都不知道它属于哪一类，就们就最好回避，找一些简单和单一的东西投资就行了。

林奇就曾说过：“帆布皮鞋“行业”现在发展如何了，这才是真正的经济学”。

可见，某一个行业，即特定类别现在如何了？对投资思考是非常重要的。

数学中的普遍原理之三——对称性原理
我们在前面的文章中，已初步介绍了“对称”的概念，大量自然现象和社会现象中，存在着广泛“对称”现象，举一个简单例子，很久以前，人们通常认为：重的物体比轻的物体下落得要快，而且这个观念在当时欧洲成为一个信条，直到伽利略时代，从实验中，他从比萨斜塔丢下两个不同重的炮弹，发现它们“同时”落地，实际上伽得略发现物体自由运动的规律：它们的加速度不变，即两个重量差异较大物体在重力作用下的“加速度”是相等的，可以看成是“对称”的。

因此，“对称性”不是我们一眼就能看出的，它有时是隐藏在事物背后规律性的东西。

博弈论的创始人纳什用代数拓朴学中一个著名“不动点”理论应用于数理经济学中，导致了“纳什均衡性”。

“不动点”就是某一个点经某种变换之后，仍然回到自身，即所谓“不动”。

从前面的文章中，我们已这种在交换“不动”性质——就是“对称”性体现，而在许多微分方程的解的存在性与唯一性问题。

某种一般形式的解不好求时，我们往往可以关于某种形式的对称解（如轴对称解，旋转对称解），再找一般形式的解等等。

历史上纳什使用“不动点”原理（Brouwer）在有限博弈中，存在至少一个战略“均衡”，或者一个战略集合。

按照这个战略集合行事的每一个参与者。

若改变战略，都不可能增加自己的收益。

而达尔文的“自然选择”过程通过推动有机体的最优化而达到均衡。

“对称”在经济学上的反映就是“均衡性”。

在经济学中，群体行为的理论提供了“适者生存”的数学基础，即在完全的市场经济条件下，只有利润最大化的公司才能生存的论断，冯.诺依曼用同样方法在一般条件证明优等策略的存在性，并且他还指出在经济中，与增长率直接相关的是利率而不是资本数量，指出了平衡，增长和资本之间的关系。

在前面文章中，（即《对称性浅说》）。

我们叙述了“对称性”是与群相联系的，在数学家诺特关于连续性对称和守衡量的思想为爱因斯坦的相对论建立了数学基础。

诺特在有限和无限对称群中，在一定条件下，一个群作用的对称性可对应为一个物理系统的守恒量。

由于能量守恒和动量守恒是这些普遍定理的特例。

数学中的普遍原理之四——均值原理
我们大家知道“平均”是数学中最常见的概念之一。

在社会学和社会现象中，可以说“民主、公平”是“平均”概念的一个推广或表现形式。

人类社会的发展就是不断追求，完善民主和公平的。

一个社会只有民主和公平，才能持续保持繁荣和富强，才能充分调动广大群众创造的积极性。

在概率论中，数学期望（有时也称为预期）就是“平均”概念的推广。

“平均原理”也称“均值回归原理”，是人类从长期实践中总结出的一条自然法则。

我们在投资或博弈中一定要认真思考均值原理的重要性，用它来指导我们的行动。

用它可以对我们的投资行动有一个“大致”评判，以至于我们不会犯一些“初级”错误。

正如巴菲特在其著作中所指出的“牛市能使数学定律暗淡无光，但却不能废除它们”。

当然“平均”是对什么而言，我们对判断的事件和自然现象所依据的“样本”要足够大才行。

常人说的“平均”，“一般而言”，“通常”都是
对一般样本而言的。

在数学的历史上，大家知道抽样调查平均值及何为常规构成了统计学的核心。

用它们得到信息服务于决策，也决定了我们对未来事件出现可能性的决策机制。

我们只须“大致”的正确，不需要“精确”的错误。

金砖之国近几年来为什么经济高速增长，一个最简单大致评判标准就是，这些国家人的年龄结构“平均”只有30多岁，如中国家庭人员“平均”年龄是30岁左右，印度是27岁左右。

经济是由人决定的，而27——30岁左右都是人的活力和消费旺盛时期。

再加上中国人“平均”工资较低，劳动力成本也较低，自然生产的产品和服务“平均”价格也较低，在国际上有相当竞争力，从而导致中国及印度金砖之国经济强劲增长。

历史上，达尔文，高尔顿，高斯，拉普拉斯都在不同领域内提出了“均值回归”原理，并用此原理解释许多不同自然和社会现象。

学过一点概率论都知道：“均值原理”在概率论中的一个表现形式就是“中心极限”定理。

然而，“中心极限”定理与“大数定理”是互相依赖的，而“大数定理”与“中心极限定理”在理想状态下的一个表现形式就是我们熟知的“正态分布”或叫“钟形曲线”。

“均值回归”在金融学中有人把它称为“金融引力法则”。

数学中的普遍原理之五——不变性原理
伟大的科学家爱因斯坦在其相对论著作中，对经典物理中的物理法则进行了系统的论述，指出了牛顿定律适用的环境，推广了牛顿定理在及广阔空间的形式，而经典的的物理理论在实践中是可以给我们某种程度的确定性的。

它的确定性在于在低速运动的世界里，我们可以从已知某个点的物理状态，经过时间演化确定任何另一时刻的物理状态。

而非常准确的描述我们看到的一切，而且这种准备性是相当高的。

这实质上在于从某点到任何另一个时刻，描述物理状态的量是不变的。

而经典物理认为，，事物的存在和时间、空间是相互独立的，没有任何关系，而且时间的测量独立于运动之外，是和运动无关的一个不变量。

这就是人们常说的论对时空观。

而在数学中，“不变量”概念是极其广泛的，它也有一个极其重要的特性，在其线性变换下是不变的。

最简单的例子是：初等变换（即线性变换）不改变矩阵的秩，也即秩在线性变换下是“不变”的。

把这些原理应用在投资和博弈中，就要求我们从现在已知情况，预测未来某一时刻情况，要把“确定性”放在首先位置。

因此，就要关注投资项目中的相关因素，关注能提升公司盈利因素中那些“一成不变”的因素。

而这些不变因素（可以看成不变量）在任何不利环境下（如通币膨胀，政府政策管制等）不会发生变化，这就能确定公司在未来的时期盈利的确定性。

巴菲特在2007年报中也透露出这种“不变性”的思想，即扣除行业中经常快速变化的公司，关注“持久（即不变性）”定义，使我们扣除了行业中经常快速变化的公司。

尽管资本主义的“创造性破坏”对社会非常有用，但它破坏了投资的确定性。

同时，“持久”（即不变性）的定义也排除了那些完全依靠一名伟大的管理人而成功的公司。

大投资家彼得.林奇在其著作中也明确指出：“我喜欢的公司，是一个傻子也能经营的公司”。

从数理哲学观点看，就是要考虑自然法则的对称性。

或者更明确的说，要寻找使自然法则经过变换之后仍然保持形式不变的方法。

而数学物理学中，我们已经注意到，在矢量代数中，当我们平移旋转坐标系时，基本运动定理不改变。

而现在又认识到，当以一种由络伦兹变换提供的特别的方式改变空间和时间变量时，基本运动定律也不改变。

于是，这个“不变性”观念。

即研究是一种非常有用的观念。

数学中“不变量”情况就很多，反映了自然界一些规律性的东西。

例如，证明两个空间同构，两个空间同胚，方法之一就是看它们的一些基本代数和几何性质在一个同构或同胚下的不变性。

当然，那些是“基本性质”的东西至关重要。

如上市公司“本性”盈利的东西，而且也要高度关注它在不同情况下的变化情况。

例如欧洲大投资家安东尼.波顿举了一个投资失败的例子，“我们曾经有过一次经历，一空英国的化学产品公司，我们投资后发现这家公司在汇率稳定的情况下，非常有竞争力。

但是，当汇率发生变化时，它的竞争优势变变得不那么强了。

“我们可以得出结论，这家公司是一个受外部影响比
较大的公司，这样的公司其实是比较危险的，不适合投资，那么这种“本性”基本性质，从价值投资角度来说，就是公司的“内在价值”，对“内在价值”的估计，是一次十分繁复的工作。

历史上许多大投资家，采取了尽可能多的方法。

“内存价值”定义就是未来自由现金流拆价的现值。

常见的情况是，大家使用了许多常规（即常见）的称法，如P/E，P/B。

股价与现金流比率，甚至一些大型基金投资机构会用更加复杂的估值模型，如多变量模型，DCF模型，DDM，LBD等模型。

但是实际“估值”就如数学中的概率一样，要度量一个随机事件A的概率大小，可以有若干种定义方式。

要会计P（A）大小，必须在一个适当概率空间（）内，以上的各种估值模型。

就像数学中的先验估计一样，如此繁多与复杂。

因此，对于“内在价值”一些因素的估计，一般中小投资者是无法得到“精确”结果。

为了降低风险，因此，我们可选择“内在价值”简单东西来估计，就像前述我们所言，越简单越好，越复杂的东西你无法搞清楚，更不说“精确”估值了，越复杂就越有较大的风险，中小投资者最好避开，交给大机构去弄好了。

正如巴菲特所说：“我只选一米栏杆，而不选三米栏杆”。

简单的东西，即使所在环境变化，你也容易看清楚是否对这些“不变性”东西的影响，也才能掌握“不变性”所导致的盈利性的确定性。

发达的资本主义国家几百年股市的历史，造就一大批大的投资家，如约翰.邓普顿、安德列等，他们都说“以不变应万变”为至上投资策略，《投资者未来》作者也倡导“买入并持有”战略。

都说了“不变性”的重要性。

伟大的投资家凯恩斯在投机市场上的第二次失败结束了他在金融市场上的投机活动。

此后，他采取了他称之为“忠诚”的政策——即在几个最喜爱的股票上投资，不写风云变幻，一直持有，他试图战胜市场的十几年经历使他确信，这个“忠诚”（等于长期持有）战略是回应不确定性的唯一理性方法。

这种“忠诚”也是“不变”的一种体现。

对“不变性”应用，要依据灵活的原则，大多数价值型投资者，都喜欢各种各样的历史度量，过重于定量历史资料，因而是得到的价值往往误差太大，而该“内在价值”全部取决于对未来的估计。

只有在未来与过去相似或者未来与历史“不变”的时候，历史数据对于评估“内在价值”才有用。

因此，历史不一定能告诉未来。

国内著名投资人林园先生，其著作中谈到把公司定义为“赚钱”机器，我们认为是“不变性”的一种通俗易懂的说法。

是完全正确的。

这种“赚钱机器”的本质就“赚钱”的本性不受任何因素的影响。

当然，对于“机器”是否生锈或维护，应该高度警惕，一但“赚钱”本质受影响，即“不变性”本质受到致命影响，我们也必须采取行动，尽快终止投资，时间会改变一切，也会改变风险，从牛顿的“绝对空观”到爱因斯坦的“相对时空间”，自然规律的不变性是有条件的，不同情况下，有不同的自然法则。

要紧紧把握着“不变性”赚钱机器，就要求我们随时关注投资公司或投资项目的经营情况，要求我们做大量仔细的分析和调研工作，对影响投资公司盈利相关因素都必须作出评估。

正如孙子兵法说的“知已知彼，百战百胜”。

还有这个“不变性”指导我们以不变应以万变的策略，提醒我们不要去预测市场的走势。

正如巴菲特在其著作中指出的“投资界偶尔会爆发恐惧和贪婪这两种传染性极强的灾难。

这些传染病的发生时间难以预料，而且它引起的市场错乱，无论是持续时间还是传染程度都难以预测。

因些我们永远预料不到灾难的降临或离去，我们的目标很简单：在别人贪婪的时候恐惧，在别人恐惧的时候贪婪”。

我们近十年国家出现灾难，也说明我们无法预测会出现什么样的灾难，导致对经济打击，第一次我们碰到的是水灾。

第二次是“非典”，第三次是凝冻，第四次是地震，但每次我们都战胜了。

正如马克吐温说的，历史不会简单重复，总是前后呼应，几千年来我们做着同样的事情。

总是想从过去已发生的情况中寻找将要出现的危险征兆，但是只有当我们能够确定未来将出现的灾难是什么时，这样做才艰改变目前的策略。

但是，事情从前不会十分明朗，一旦明朗早已为时已晚，总之未来总有一段时期经济会衰退，会打击股票市场，如同通货膨胀和通货紧缩一样，给投资市场严重打击，可是，我们事先无法预测“花儿在春天开放，却和春天没有任何关系”。

我们只有采用“不变性”策略去应对。

正如大投资家彼得.林奇在其著作中指出的那样：“我根本不相信能够预测市场，我只相信购买卓越公司的股票，特别是那些被低估而且没有得到市场正确认
识是唯一投资成功之道，市场是无关的，如果我能够使你你相信这一点，我写本书的目的就达到了”。

巴菲特也曾经写到：“股票市场根本不在我关心的范围之内，股票市场的存在只不过是提供一个参考，看看是不是有人报出错误的买卖价格做傻事”。

投资要做的事，应用“不变性”原理，选择一只正确价格和正确股票，买入并持有，至于宏观经济和股市本身会按它们的规律运行，根本不要去预测，不要采取东跳西窜的策略。

在股票市场上，强大的神经系统比聪明的头脑更重要。

就像莎士比亚可以无意间总结了普通股投资成功的过程：“只有经历了巨浪狂风才有财富”。

“不经风雨，那来的彩虹”。

这种“不变性”策略，实际告诉我们，如果投资项目完成了正确的工作，那么卖出的时间几乎永远不会到来。

抱牢正确投资公司，渡过所有市场波动，取得更大收益。

“历史给我们留下了非常多的有关市场行为的教训，尽管如此以延伸可重复的过去的长期因素适用范围方式来预计长期期望收益是非常危险的。

尽管没有人会怀疑老摩根的推测即资本市场永远是波动的，但是并没有事先确定的市场必定会恢复到均值。

在20年或30年中收益率即使只有1——2个百分点的差异，也会造成最终财富的巨大差别”。

“投资不像许多其它的领域，因为不确定性是根深蒂固的，大多数胜利都有会属于乌龟，而不属于兔子”。

以“不变”应对“外面市场的万变”是我们制胜策略的一种思考。

即使你相信所谓投资这种游戏就是比别人更好地对未来作出预测，那么你臬才能够别人作出更好的预测呢？一种方法是把你的种种尝试限制在自己能力许可的那个领域当中。

如果你花费力气想预测未来的每一件事情，那你尝试去做的事情太多了，你将会因为缺乏限制而走向失败。

正如巴菲特所说：“应对风险的最好办法，是深入思考，而不是投资组合”。

数学中普遍原理六——大数原理
我们知道在概率实践，要准确度量某一个随机事件的概率，首先要确定样本空间大小，
要做到准确的估计，就要求足够大的样本，这个“足够大”说明对概率实际意义非常关键。

最简单的例子就是与人有关的两个大行业保险与银行。

这个产业就是立足“广大”人民群主
的样本空间，即存款与保费收入，而且个体之间是“相互独立”的，利用“大数原理”与
个体之间“相互独立”，就可以在空间与时间上进行自己的盈利活动，正由于“样本”太大，
导致无限循环，这就可以长期经营下去，从牛顿的绝对时空观到爱因斯坦的相对时空观。

我们一直寻找在更加“广阔和最抽象”形式下的自然法则。

因此“大数原理”是知道我们行动最
常见法则，按次法则，在投资与博弈中，要求我们对投资项目和公司，要考察过去“更长时间与空间”
内各种度量指标，站在“全球”和战略高度思考一个公司的竞争力优势。

总之，你考察的项目和投资
一顶要有“广阔”市场，无论在“任何”条件下，它都应有竞争优势，如“规模”“品牌”是否是
“世界性”品牌，它是否有“最强大全球网络营销系统”等等。

民族品牌的是传统品牌的也是世界的品牌，。