人教A版高中数学必修1第三章3.1.1 方程的根与函数的零点课件
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的图象
⊿>0 x1 x2
方程
ax2+bx+c=0
（a>0） 的根
两个不 等实根
⊿=0
⊿<0
x1(x2)
两个相 无实根 等实根
函数
y=ax2+bx+c(a>0) 两个零点
的零点
一个 无零点 零点
2.方程的根与函数的零点的关系
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
观察下面的函数f(x)=0 的图象，并回答
(1) 区间[a,b]上_有__(有/无)零点，f(a)· f(b)__<_0
(2) 区间[b,c]上__有_(有/无)零点，f(b)· f(c)_<__0
(3) 区间[c,d]上__有_(有/无)零点，f(c)· f(d)_<__0
思考：1) f(a)· f(b)>0 则没有零点吗？
人 教 A 版 高中 数学必 修1第 三章3. 1.1 方 程 的根 与函数 的零点 课件【 精品】
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判断函数零点个数的主要方法 (1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点． (2)画出函数 y＝f(x)的图象，判定它与 x 轴的交点个数，从 而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用 f(a)·f(b)<0，可判定 y＝f(x)在(a，b)上 零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题．
方程的根 与函数的
零点
三种题型： 求函数的零点； 判断零点个数； 求零点所在区间.
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图4
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(2)函数零点的判定定理是一个存在性定理，也就 是说，当函数y＝f(x)在区间[a，b]上是一条连续不 断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x) 在区间(a，b)内至少有一个零点，而不是只有一 个，即方程f(x)＝0在(a，b)上至少有一个根．例如， 如图4(1)所示，f(x)＝x3－3x2＋2x，有f(－1)＝－ 6<0，f(3)＝6>0，但f(x)＝0在(－1,3)内有三个根： x1＝0，x2＝1，x3＝2.
【规范解答】 法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0， f(2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3>0， ∴f(x)在(0,2)上必定存在零点． 又显然 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 在(－1，＋∞)上为增函数，故 f(x)有且只有一个零点．
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y
6
y= lnx
O 1234
x
y=－2x +6
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求函数 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 的零点个数．
即f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间(2,3)内有零点。 y
14
.
12
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是 10
. .
增函数，所以它仅有一个零点，这个
8 6
零点所在的大致区间是（2，3）
4
2
. . ..
. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
－2
－4 .
－6
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o
a
b x y=f(x) 在 区 间 (a,b) 内 有
零点,即存在c∈(a,b),使
得 f(c)=0, 这 个 c 也 就 是
方程f(x)=0的根.
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对函数零点的判定定理的理解
(1)判定定理中“函数 y＝f(x)在区间[a， b]上是一条连续不断的曲线”这一条件是不 可缺少的．例如，如图 4(2)所示，y＝1x在区 间[－1,1]上有 f(－1)·f(1)＝－1<0，但 f(x)＝1x 在区间[－1,1]上没有零点．
【思路点拨】 思路一 借助零点存在性定理求解时，需 说明 f(x)的单调性．
思路二 借助图象求解．分别作出 y＝2－2x 及 y＝lg(x＋1) 的图象观察即可．
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你还有其它办法来确定函数f(x)=lnx+2x－6 零点所在的大致区间？
解法二:通过数形结合，把 原函数的零点个数问题， 转化为讨论方程的根个数 问题，再转化为两个简单 函数的图象交点个数问题.
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例2 判断函数f(x)=lnx+2x－6是否有零点，
若有，求零点个数及零点所在的大致区间。
解：
由题可计算得f(2)<0,f(3)>0，
课题导入
下列一元二次方程的根与二次函数的图象有 什么关系?
(1)x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3
(2)x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1
(3)x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3
3.1.1方程的根与函数的零点
目标导航
1.了解函数图象与x轴交点与方程根的关系，
简单的了解即可． 2．对函数零点的概念要理解，函数零点的求
y
2) f(a)· f(b)<0 则零点是否只有一个？
3) f(a)· f(b)<0时，什么条件下零点只有一个？
a ob
cd
x 当f(x)在[a,b]上单调时
3.函数零点的存在性的判定方法
如果函数y=f(x)在区间
y
[a,b]上的图象是连续不
断的一条曲线,并且有
f(a)·.f(b)<0, 那 么 , 函 数
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判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代：将区间端点代入函数求出函数的值． (2)判：把函数值相乘，并进行符号判断． (3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则 在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该 区间内至少有一个零点．
(2)令y=0 即(x2-2)(x2 -3x+2) =0
解得：x1= 2 ，x2=- 2 ， x3=1， x4=2
所求函数的零律小结
• 函数零点的求法：
• (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
• (2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将
它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的 性质找出零点．
法一定要掌握． 3．零点存在性及函数零点个数的判定是本节
重点，在高考中经常出现，应引起高度重视 .
引导探究
1.函数的零点:对于函数y=f(x), 我们把使f(x)=0
的实数x叫做函数y=f(x)的零点 注意:并不是所有的函数都有零点. 例如函数y=2,y=x2+1不存在零点.
零点是不是点？零点与方程的根 有什么关系？
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法二 在同一平面直角坐标系下作出 h(x) ＝2－2x 和 g(x)＝lg(x＋1)的图象．
由图知 g(x)＝lg(x＋1)和 h(x)＝2－2x 有且只 有一个交点，
即 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 有且只有一个零点．
即 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根, 也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
例1 求下列函数的零点
(1) y= -x2-x+20
(2) y=(x2-2)(x2 -3x+2)
解: (1)令y=0 即-x2-x+20=0
解得：x1=-5，x2=4
所求函数的零点为-5,4.
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课堂小结
一个关系：函数零点与方程根的关系. 一个定理：函数零点存在性定理.
两种思想： 函数方程思想； 数形结合思想.
• 思悟升华
• 对于函数零点的概念，应注意以下几点问
题：
• (1)函数的零点不是一个点，而是一个实数，
当函数的自变量取这个实数时，其函数值 等于零．
• (2)函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x
轴的交点的横坐标．
二次函数的零点个数与相应二次方程的实根个数的关系
b2 4ac
二次函数
y=ax2+bx+c(a>0)
⊿>0 x1 x2
方程
ax2+bx+c=0
（a>0） 的根
两个不 等实根
⊿=0
⊿<0
x1(x2)
两个相 无实根 等实根
函数
y=ax2+bx+c(a>0) 两个零点
的零点
一个 无零点 零点
2.方程的根与函数的零点的关系
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
观察下面的函数f(x)=0 的图象，并回答
(1) 区间[a,b]上_有__(有/无)零点，f(a)· f(b)__<_0
(2) 区间[b,c]上__有_(有/无)零点，f(b)· f(c)_<__0
(3) 区间[c,d]上__有_(有/无)零点，f(c)· f(d)_<__0
思考：1) f(a)· f(b)>0 则没有零点吗？
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判断函数零点个数的主要方法 (1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点． (2)画出函数 y＝f(x)的图象，判定它与 x 轴的交点个数，从 而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用 f(a)·f(b)<0，可判定 y＝f(x)在(a，b)上 零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题．
方程的根 与函数的
零点
三种题型： 求函数的零点； 判断零点个数； 求零点所在区间.
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图4
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(2)函数零点的判定定理是一个存在性定理，也就 是说，当函数y＝f(x)在区间[a，b]上是一条连续不 断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x) 在区间(a，b)内至少有一个零点，而不是只有一 个，即方程f(x)＝0在(a，b)上至少有一个根．例如， 如图4(1)所示，f(x)＝x3－3x2＋2x，有f(－1)＝－ 6<0，f(3)＝6>0，但f(x)＝0在(－1,3)内有三个根： x1＝0，x2＝1，x3＝2.
【规范解答】 法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0， f(2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3>0， ∴f(x)在(0,2)上必定存在零点． 又显然 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 在(－1，＋∞)上为增函数，故 f(x)有且只有一个零点．
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y
6
y= lnx
O 1234
x
y=－2x +6
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求函数 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 的零点个数．
即f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间(2,3)内有零点。 y
14
.
12
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是 10
. .
增函数，所以它仅有一个零点，这个
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零点所在的大致区间是（2，3）
4
2
. . ..
. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
－2
－4 .
－6
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o
a
b x y=f(x) 在 区 间 (a,b) 内 有
零点,即存在c∈(a,b),使
得 f(c)=0, 这 个 c 也 就 是
方程f(x)=0的根.
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对函数零点的判定定理的理解
(1)判定定理中“函数 y＝f(x)在区间[a， b]上是一条连续不断的曲线”这一条件是不 可缺少的．例如，如图 4(2)所示，y＝1x在区 间[－1,1]上有 f(－1)·f(1)＝－1<0，但 f(x)＝1x 在区间[－1,1]上没有零点．
【思路点拨】 思路一 借助零点存在性定理求解时，需 说明 f(x)的单调性．
思路二 借助图象求解．分别作出 y＝2－2x 及 y＝lg(x＋1) 的图象观察即可．
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你还有其它办法来确定函数f(x)=lnx+2x－6 零点所在的大致区间？
解法二:通过数形结合，把 原函数的零点个数问题， 转化为讨论方程的根个数 问题，再转化为两个简单 函数的图象交点个数问题.
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例2 判断函数f(x)=lnx+2x－6是否有零点，
若有，求零点个数及零点所在的大致区间。
解：
由题可计算得f(2)<0,f(3)>0，
课题导入
下列一元二次方程的根与二次函数的图象有 什么关系?
(1)x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3
(2)x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1
(3)x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3
3.1.1方程的根与函数的零点
目标导航
1.了解函数图象与x轴交点与方程根的关系，
简单的了解即可． 2．对函数零点的概念要理解，函数零点的求
y
2) f(a)· f(b)<0 则零点是否只有一个？
3) f(a)· f(b)<0时，什么条件下零点只有一个？
a ob
cd
x 当f(x)在[a,b]上单调时
3.函数零点的存在性的判定方法
如果函数y=f(x)在区间
y
[a,b]上的图象是连续不
断的一条曲线,并且有
f(a)·.f(b)<0, 那 么 , 函 数
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判断函数零点所在区间的三个步骤 (1)代：将区间端点代入函数求出函数的值． (2)判：把函数值相乘，并进行符号判断． (3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则 在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该 区间内至少有一个零点．
(2)令y=0 即(x2-2)(x2 -3x+2) =0
解得：x1= 2 ，x2=- 2 ， x3=1， x4=2
所求函数的零律小结
• 函数零点的求法：
• (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
• (2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将
它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的 性质找出零点．
法一定要掌握． 3．零点存在性及函数零点个数的判定是本节
重点，在高考中经常出现，应引起高度重视 .
引导探究
1.函数的零点:对于函数y=f(x), 我们把使f(x)=0
的实数x叫做函数y=f(x)的零点 注意:并不是所有的函数都有零点. 例如函数y=2,y=x2+1不存在零点.
零点是不是点？零点与方程的根 有什么关系？
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法二 在同一平面直角坐标系下作出 h(x) ＝2－2x 和 g(x)＝lg(x＋1)的图象．
由图知 g(x)＝lg(x＋1)和 h(x)＝2－2x 有且只 有一个交点，
即 f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2 有且只有一个零点．
即 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根, 也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
例1 求下列函数的零点
(1) y= -x2-x+20
(2) y=(x2-2)(x2 -3x+2)
解: (1)令y=0 即-x2-x+20=0
解得：x1=-5，x2=4
所求函数的零点为-5,4.
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人 教 A 版 高中 数学必 修1第 三章3. 1.1 方 程 的根 与函数 的零点 课件【 精品】
课堂小结
一个关系：函数零点与方程根的关系. 一个定理：函数零点存在性定理.
两种思想： 函数方程思想； 数形结合思想.
• 思悟升华
• 对于函数零点的概念，应注意以下几点问
题：
• (1)函数的零点不是一个点，而是一个实数，
当函数的自变量取这个实数时，其函数值 等于零．
• (2)函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x
轴的交点的横坐标．
二次函数的零点个数与相应二次方程的实根个数的关系
b2 4ac
二次函数
y=ax2+bx+c(a>0)