高考数学复习 知识讲解_定积分的概念

高考数学复习 定积分的概念 编稿：赵雷 审稿：李霞
【学习目标】
1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；
2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；
3.理解掌握定积分的几何意义．
【要点梳理】
要点一、定积分的定义 定积分的概念
一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点
0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L
将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b a
x n
-D =
），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,
,i i n x =L ，作和式： 1
1
()()n
n
n i i i i b a
S f x f n x x ==-=
D =
邋 如果x D 无限接近于0（亦即n ?
?）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常
数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。

记为：()b
a
S f x dx
=
ò，
定积分的相关名称：
——叫做积分号，
()f x ——叫做被积函数， ()d f x x ——叫做被积表达式，
x ——叫做积分变量，
a ——叫做积分下限，
b ——叫做积分上限，
[a ，b]——叫做积分区间。

要点诠释： （1）定积分
()b
a
f x dx ò是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n ?
?时）
记为
()b
a
f x dx
ò，而不是n S ．
(2) 定积分是一个数值（极限值）
，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积
分变量用什么字母表示无关，即()()()b
b b
a
a
a
f x dx f u du f t dt ===
⎰
⎰⎰（称为积分形式
的不变性），另外定积分
()()b
a
f x d x ⎰
与积分区间[a ，b]息息相关，不同的积分区间，定积
分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如1
20
(1)x dx +⎰
与3
20
(1)x dx +⎰的值就不同。

（3）用定义求定积分的一般方法是：
①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x x -Î
；
③求和：
1
()n
i i b a
f n x =-å； ④取极限：
()
1
()l i m
n
b
i n
a
i
b a
f x dx f n
x =-=åò （4）按定积分的定义，
① 由连续曲线()[()0]y f x f x =≥、直线x=a 、x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积为
()d b
a
f x x ⎰
；
② 设物体运动的速度v=v （t ），则此物体在时间区间[a ，b]内运动的距离s 为()d b
a
v t t ⎰。

要点二、定积分的几何意义 定积分
()b
a f x dx ò的几何意义：
从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有
()0f x ³，那么定积分()b
a f x dx
ò表示由直线
,(),0x a x b a b y
==?和曲线()y f x =所围成的曲边梯
形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()b
a f x dx ò的几
何意义。

一般情况下，定积分
()b
a
f x dx ò的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线
,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取
负号。

要点诠释：
（1）当()0f x ≥时，积分
()d b
a
f x x ⎰
在几何上表示由()y f x =、x=a 、x=b 与x
轴所
围成的曲边梯形的面积；特别地：当a=b 时，有
()d 0b
a
f x x =⎰
，如图（a ）。

（2）当()0f x ≤时，由()y f x =、x=a 、x=b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，积分
()d b
a
f x x ⎰
在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数。

所以[()]d ()b b
a
a
S f x x f x S =
-=-=-⎰⎰
，即()d b
a
f x x S =-⎰，如图（b ）。

（3）当()f x 在区间[a ，b]上有正有负时，积分
()d b
a
f x x ⎰
在几何
上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x 轴上方面积取正号，x 轴下方
面积取负号）。

在如右图所示的图象中，定积分
132()d b
a
f x x S S S =+-⎰。

要点三、定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1：()d ()b
b
a a
k f x x k f x kS ==⎰
⎰；
性质2：
[()()]d ()()d b
b b
a a
a
f x
g x x f x g x x ±=±⎰⎰
⎰；
性质3：定积分关于积分区间具有可加性。

如右图：
()d ()d ()d b
c
b
a
a
c
f x x f x x f x x =+⎰
⎰⎰（其中b c a <<）。

要点诠释：
性质1： 被积函数常数因子可以提到积分号前。

性质2：函数代数和（或差）的定积分等于它们的定积分的代数和（或差）。

同时，这个
性质可推广到有限多个函数代数和（或差）的情形。

性质3： 不论a ，b ，c 三点的相互位置如何，恒有
()d ()d ()d b
c b
a
a
c
f x x f x x f x x =+⎰
⎰⎰。

这表明定积分对于积分区间具有可
加性。

可以用右图直观地表示出来，即S 曲边梯形AMNB =S 曲边梯形AMPC +S 曲边梯形CPNB 。

【典型例题】
类型一、利用定积分求曲边梯形面积
例1 利用定积分的定义求由直线x=1，x=2和y=0及曲线y=x 3围成的图形的面积。

【思路点拨】根据求积分的定义对曲边梯形：①分割；②近似代替；③求和；④取极限。

【解析】 如图所示。

（1）分割。

把要求面积的曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，
用分点
1n n +， 2
n n
+，…，(1)n n n +-把区间[1，2]等分成n 个小区间， 11,n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n n n ++⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,n i n i n n +-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，(1),2n n n +-⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， 每个小区间的长度为11
n i n i x n n n
++-∆=
-=，
过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形ABCD 分割成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n 。

（2）近似代替。

取各小区间的左端点i ξ，用以点i ξ的纵坐标3
()i ξ为一边，以小区间长1
x n
∆=
为其邻边的小矩形面积近似代替第i 个小曲边梯形的面积，可以近似地表示为：
3
3
11
()i i n i S x n n
ξ+-⎛⎫∆≈⋅∆=⋅ ⎪⎝⎭（i=1，2，3，…，n ）。

因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩
形面积的和就是曲边梯形ABCD 面积S 的近似值，即3
1111
n n
n i i i n i S S n n ==+-⎛⎫=∆≈⋅ ⎪⎝
⎭∑∑ ①。

（3）求和。

当分点数目愈多，即Δx 愈小时，和式①的值就愈接近曲边梯形ABCD 的面积S 。

因此，n →+∞即Δx →0时，和式①的极限就是所求的曲边梯形ABCD 的面积。

因为：
3
33223
441111111(1)[(1)3(1)3(1)]
n
n n n i i i n i S n i n n i n i i n n n n ===+-⎛⎫=⋅=+-=-+-+-+ ⎪⎝
⎭∑∑∑ 224
1(1)1(1)33(1)3(1)(1)(21)(1)264n n n n n n n n n n n n +⎡⎤=
-+-⋅+-⋅⋅+⋅+++⎢⎥⎣⎦。

（4）取极限。

322
1111111111lim lim 131********n n n n S S n n n n n n →∞→∞⎡⎤+⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫==-+⋅-⋅+-⋅⋅+⋅+++⎢⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
3115
11244
=+++=。

【总结升华】
（1）根据定义求曲边梯形面积的步骤：
①分割；②近似代替；③求和；④取极限。

（2）求和时首先可提取公因式
1
n
，再将和式进行处理。

（3）从图形上看，当n 越来越大时，划分越来越细，阴影部分的面积与曲边梯形的面积相
差越来越小；当n →+∞时，小矩形组成部分近似于曲边梯形，因此可以将15
4
视为直线x=1、x=2、y=0和曲线y=x 3围成的图形的面积。

举一反三：
【变式】求由y=3x 、x=0、x=1、y=0围成的图形的面积S 。

【答案】（1）分割
把区间[0，1]等分成n 个小区间：1,i i n n -⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
（i=1，
2，…，n ）。

每个小区间长度为1x n ∆=，把梯形分成n 个小梯形，其面积记为ΔS i （i=1，2，…，n ）。

（2）近似代替
用小矩形面积近似代替小梯形面积。

211133(1)i i i S f x i n n n n --⎛⎫
∆≈∆=⋅⋅=- ⎪
⎝⎭
（i=1，2，…，n ）。

（3）求和
221
1
33
3131(1)[012(1)]122n n
n i i i n S S i n n n
n n ==-⎛⎫
=∆≈-=++++-=
⋅=- ⎪⎝⎭
∑∑。

（4）取极限 当n 趋向于+∞时，
3112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭趋近于32，∴所求图形的面积S 为3
2。

类型二、利用定积分定义求运动物体的路程
【高清课堂：定积分的概念385551 问题二】
例2 汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程为s=vt 。

如果汽车做
变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t)=－t 2+2（单元：km / h ），那么它在0≤t ≤1（单位：h ）这段时间内行驶的路程s （单位：km ）是多少？
【思路点拨】首先准确理解题意：所求路程就是速度在0≤t ≤1上的积分。

【解析】 （1）分割
在时间区间[0，1]上等间隔地插入n －1外小分点，将它等分成n 个小区间：
10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记第i 个区间为1,i i n n -⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
（i=1，2，…，n ），其长度为11i i t n n n -∆=
-=，把汽车在时间段10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上行驶的路程分别记作：Δs 1，Δs 2，…，Δs n ，则显然有1
n
i
i s s
==
∆∑。

（2）近似代替：
当n 很大，即Δt 很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上，函数v （t ）=－t 2+2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点1i n -处的函数2
112i i v n n --⎛⎫⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

从物理意义上看，就是汽车在时间段1,i i n n -⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
（i=1，2，…，n ）上速度的变化很小，不妨认为它近似地以时刻1i n -处的速度2
112i i v n n --⎛⎫⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
做匀速行驶，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是
22
111112
'2i i i i i s s v t n n n n n n ⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=⋅∆=-+⋅=-⋅+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
（i=1，
2，…，n ） ①。

（3）求和：由①得
2
2
11111111
02n n
n i i i i n s s v t n n n n n n ==--⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=∆=∆=-⋅-⋅--⋅+ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭∑∑ 22
21111[12(
1)]21123
32n n n n ⎛
⎫⎛⎫
=-
+++-+=-
--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭。

（4）取极限：
11115
lim lim 11223233n n n s s n n →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫==---+=-+= ⎪⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
所以这段时间内行驶的路程s 是
5
3
km 。

【总结升华】 用分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤可以求曲边多边形的面积，它体现了一种化整（分割）为零，积零为整（逼近）的思想方法。

举一反三：
【变式】 已知某运动物体做变速直线运动，它的速度v 是时间t 的函数v （t ），写出物体
在t=0到t=t 0这段时间内所经过的路程s 的求法。

【答案】 （1）分割
将时间区间[0，t 0]分成n 等份：
001,i i t t n
n -⎡⎤
⎢⎥⎣⎦（i=1，2，…，n ）， 每个小区间所表示的时间为0
t t n
∆=
，
各小区间物体运动的路程记作Δs i （i=1，2，…，n ）。

（2）近似代替
在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程：
在小区间001,i i t t n n -⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上任取一时刻i ξ（i=1，2，…，n ）。

用时刻i ξ的速度()i v ξ近似代替第i 个小区间上的速度。

由匀速直线运动的路程公式，每个小区间物体运动所经过的路
程可以近似地表示为
()i i s v t ξ∆≈∆（i=1，2，…，n ）。

（3）求和
因为每个小区间上物体运动的路程可以用这一区间上做匀速直线运动的路程近似代替，所以在时间[0，t 0]范围物体运动的路程s ，就可以用这一物体分别在n 个小区间上做n 个匀速直线运动的路程和近似代替。

即1
1
()n n
i
i
i i s s v t ξ===
∆≈∆∑∑。

①
（4）取极限
当所分时间区间愈短，即0
t t n
∆=愈小时，和式①的值就愈接近s 。

因此，当n 趋向于+∞，即0
t t n
∆=
趋向于0时，和式①无限趋近于s ，所以s 就是所求的物体在时间区间[0，t 0]上所经过的路程。

类型三、定积分的几何意义 例3． 用定积分的几何意义求：
（1）
1
(32)d x x +⎰；
（2）
32
2sin d x x ππ⎰；
（3）
⎰。

【思路点拨】画出简图，结合图形确定积分区间。

【解析】（1）如下图：
阴影部分面积为
(25)17
22
+⨯=， 从而107(32)d 2
x x +=⎰。

（2）如右上图：
由于A 的面积等于B 的面积， 从而
32
2
sin d 0x x ππ
=⎰。

（3）设y =
224x y +=(0,02)y x ≥≤≤，表示半径为2的4
1
个圆，
由定积分的概念可知，0
⎰
表示如图所示的以2为半径的
4
1
圆的面积,
所以
1
44
ππ=⨯=⎰
【总结升华】
（1）利用定积分的几何意义正确画出图形求定积分。

（2）
()d [()0]b
a
f x x f x >⎰
表示曲边梯形的面积，而上半圆可看做特殊曲边梯形（有两
边缩为点），这里面积易求，从而得出定积分的值。

举一反三：
【变式1】（2015 怀化二模）定积分
x ⎰
的值为（ ）
A ．
4π B ．2
π
C ．π
D ．2π
【答案】∵y =
∴(x －1)2+y 2=1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，
∴定积分0
x ⎰
所围成的面积就是该圆的面积的四分之一，
∴定积分
4
x π
=
⎰
，
故选：A 。

【变式2】利用定积分的几何定义求定积分：
（1）⎰
-a
dx x a 0
22； （2）0
⎰
【答案】
（1）设22x a y -=
，则222a y x =+)0,0(a x y ≤≤≥表示4
1
个圆，
由定积分的概念可知，所求积分就是4
1
圆的面积,
所以
⎰
-a
dx x a 0
2
24
2
a π=
（2
）设y 22
16x y +=(0,02)y x ≥≤≤表示如图的曲边形，
其面积2
3
S S S π∆=+=+扇形,
故
2
3
π=+⎰
【变式3】
【高清课堂：定积分的概念385551 例题】
已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线） 行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙（如图所示）．那么对 于图中给定的0t 和1t ，下列判断中一定正确的是（ ） A. 在1t 时刻，甲车在乙车前面 B. 1t 时刻后，甲车在乙车后面 C. 在0t 时刻，两车的位置相同 D. 0t 时刻后，乙车在甲车前面 【答案】A
在0t 时刻，显然甲的曲边图形的面积大于乙，所以甲车在前面，排除C 、D ； 在1t 时刻，甲的曲边图形的面积明显大于乙，故选A. 类型四、定积分定义和性质的灵活运用
例4. 将和式111lim 122n n n n →∞⎛⎫
++
+
⎪++⎝⎭表示为定积分。

【解析】 ∵1
11lim 122n n n n →∞⎛⎫++
+
⎪++⎝
⎭
1111lim
()12
111n n
n n n
n
→∞=+++
+++
101101
1lim d 11n n
i i
x n x ξ→∞=-=⋅=++∑⎰。

【总结升华】 将和式转化为积分形式的关键在于构造出定积分的定义结构，
即
()d lim
()b
i a
n b a
f x x f n
ξ→∞-=⎰。

举一反三：
【变式】试将和式222222lim 12n n n n n n n n →∞⎛⎫
+++
⎪+++⎝
⎭
表示成定积分。

【答案】∵222222lim 12n n n n n n n n →∞⎛⎫
+++
⎪+++⎝⎭
2
2
2111
1
lim ()1211()1()
n n n n n
n
→∞=+++
+++ 122011011
lim d 11n n i i
x n x ξ→∞=-==++∑⎰。

例5．利用定积分的性质，用定积分表示曲线y=x ―2，x=y
2所围成的平面区域的面积。

【解析】如图所示，曲线所围成的平面区域的面积S=S A1+S A2，
A 1
：由y =y =x=1
围成； A 2
：由y =
y=x ―2，x=1和x=4围成；
∴1
10(d A x ⎤=⎦⎰
；4
21
(2)d A x x ⎤=-⎦⎰。

∴1
4
1
2)d S x x x =
++⎰
⎰。

【总结升华】 利用定积分求平面图形面积时，可按以下步骤进行：
①画图；②确定积分变量；③求交点，确定积分上、下限；④求定积分，得面积。

举一反三： 【变式1】
直线x=0，y=0，x=2与曲线x
y =所围所的图形的面积用定积分表示为________。

【答案】2
d x S x =
⎰。

【变式2】 （2015 会宁县校级模拟）曲线2
y x
=与直线y=x ―1及x=4所围成的封闭图形的面积用定积分表示为
【答案】令x=4，代入直线y=x －1得A （4，3），同理得1(4,)2
C
由
21x x =-，解得x=2
，所以曲线
2
y x
=与直线y=x －1交于点B （2，1）
∴S ABC =S 梯形ABEF －S BCEF
而
4
2
2 BCEF
S dx
x
=⎰
∵
1
(13)24
2
ABEF
S=+⨯=梯形
∴封闭图形ABC的面积S ABC=S梯形ABEF－S BCEF=4－
4
2
2
dx
x ⎰。

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