2020-2021学年山东省临沂市重点中学高三(上)联考数学试卷(1月份)(附答案详解)

2020-2021学年山东省临沂市重点中学高三（上）联考数
学试卷（1月份）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1.已知集合A={x|x−4≤0}，B={x|y=log3(3−x)}，则()
A. A∩B={x|0<x<3}
B. A∩B={x|3<x≤4}
C. A∪B={x|x≤4}
D. A∪B={x|x<3}
2.已知双曲线C：x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)有一条渐近线与直线2x−3y+1=0垂直，
则该双曲线的离心率为()
A. √5
B. √13
3C. √5
2
D. √13
2
3.已知直线l：x−y+1=0，则“a2=1”是“直线l与圆x2+y2−2ay−1=0相
切”的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.若函数f(x)=ln(e x+1)+ax为偶函数，则a=()
A. 1
B. 1
2C. −1 D. −1
2
5.早期的毕达哥拉斯学派学者注意到用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则
的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等.已知正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，正二十面体的体积公式为V=(15+5√5)
12
a3(其中a为棱长)，已知一个正二十面体各棱长之和为30√3，则该正二十面体内切球的半径为()
A. 3+√5
2B. 3+√5
4
C. 3+√5
6
D. 3+√5
12
6.全球变暖已经是近在眼前的国际性问题，冰川融化、极端气候的出现、生物多样性
减少等等都会给人类的生存环境带来巨大灾难．某大学计划以对于全球变暖及其后果的看法为内容制作一份调查报告，并安排A，B，C，D，E五名同学到三个学院开展活动，每个学院至少安排一名同学，且A，B两名同学安排在同一学院，C，D 两名同学不安排在同一个学院，则不同的分配方法总数为()
A. 86种
B. 64种
C. 42种
D. 30种
7.已知a=lg2，3b=10，则log56=()
A. ab+1
b−ab B. ab+1
a−ab
C. ab+a
1−ab
D. ab+b
1−ab
8.如图，已知抛物线C1：y2=8x，圆C2：x2+y2−4x=0，
过圆心C2的直线l与抛物线和圆依次交于点P，M，N，Q，
则|PM|⋅|QN|=()
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9.2020年以来，网络直播行业迎来新的发展机遇，直播带货模式成为企业的“标配”.
由中国互联网络信息中心(CNNIC)第45次《中国互联网络发展状况统计报告》数据得到如图所示的统计图．2020年12月我国网络直播用户规模达5.60亿，占整体手机网民的62.0%．
根据以上信息，下列说法正确的是()
A. 2018～2020年我国网络直播用户一直保持增长态势
B. 2020年我国手机网民未超过9亿
C. 2020年底我国网络直播用户规模较2018年底增长1.63亿
D. 2016～2020年我国网络直播用户规模和使用率变化的趋势一致
10.已知m，n∈R，复数z=2+mi，z2+z=(5+ni)i3，则()
A. m=−1
B. n=1
C. |m+ni|=√26
D. m+ni在复平面内对应的点所在象限是第二象限
11.已知a>0，b>0，c>0，a+b+c=1，则()
A. a 2+b 2+c 2≥1
3 B. ab +bc +ac ≥1
3
C. (a −13)(b −1
3)(c −1
3)≤0
D. (1a −1)(1b −1)(1
c −1)≥8
12. 若关于x 的方程
elnx x
+x
elnx+x +m =0有三个不相等的实数解x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<
x 3，则
lnx 1
2x 1
+
lnx 2x 2
+
lnx 3
x 3
的值可能为( )
A. 1
B. 2
e 3
C. 1
e 2
D. 1
e
三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知非零向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π
6，|a ⃗ −b ⃗ |=|b ⃗ |=1，则|a
⃗ |= ______ ． 14. 各项均为正数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17=17，则1a 2
+1
a 16
的最小值为
______ ．
15. 已知函数f(x)=cos(ωx −π
6)(ω>0)，若函数f(x)在(π6,
7π
6
)上没有零点，则ω的取
值范围是______．
16. 如图，已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球的球心O
到平面ACB 1的距离为√3
3，点M 为棱CC 1上的一个动点，则
(MD 1+MA)2的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 在①S 3=36，数列{a n +1}是首项为3的等比数列，②S n =
3n+1−2n−3
2
，③数列{a n }
与{S n }均为等差数列，且a 1=2，p +q =2，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
问题：设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，a n+1=pa n +q ，_____，求p ，q 的值．
18.如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底
PB，点E是PB的中
面ABCD为正方形，PA=AB=√2
2
点．
(1)证明：AE⊥平面PBC．
(2)已知点F是边BC的靠近B点的三等分点，求平面PAC
与平面AEF所成锐二面角的余弦值．
19.“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已
形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点.现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组[25,35)，第2组[35,45)，第3组[45,55)，第4组[55,65]，如图所示，已知区间[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65]上的频率依次成等差数列．
(1)分别求出区间[25,35)，[35,45)，[45,55)上的频率；
(2)现从年龄在[45,55)及[55,65]的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为
生态文明建设知识宣讲员，用x表示抽到作为宣讲员的年龄在[45,55)的人数，y表示抽到作为宣讲员的年龄在[55,65]的人数，设随机变量X=|x−y|，求X的分布列与数字期望．
20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsinB+csinC=3csin2A+asinA，
且B>A．
(1)求sinB
；
sinA
(2)已知D为AB上一点，满足∠BCD=∠ACD=60°，CD=1，求△ABC的面积．21.已知椭圆M的焦点在坐标轴上，且经过P(√3
,1)，Q(0,2)两点．
2
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)已知过点(0,1)且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆M交于A，B两点，点C与点B
关于y轴对称，证明直线AC过定点，并求出该定点的坐标．
22.已知函数f(x)=e x ln(x+1)．
(1)求f(x)的单调性；
(2)若对任意的x∈[0,+∞)，f(x)≥x
恒成立，求a的取值范围．
a
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵集合A={x|x−4≤0}={x|x≤4}，
B={x|y=log3(3−x)}={x|x<3}，
∴A∩B={x|x<3}，故A，B均错误；
A∪B={x|x≤4}，故C正确，D错误．
故选：C．
先求出集合A，B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．
本题考查集合的运算，考查并集、交集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：由题可知双曲线的渐近线方程为y=±b
a x，则−b
a
×2
3
=−1，即b
a
=3
2
，
b2 a2=9
4
，又c2=a2+b2，可得e2=c2
a2
=13
4
，
所以e=√13
2
．
故选：D．
利用双曲线的渐近线方程，推出a，b关系，然后求解离心率即可．
本题考查双曲线的性质，考查推理论证和运算求解能力，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：x2+y2−2ay−1=0配方为：x2+(y−a)2=a2+1．
直线l与圆x2+y2−2ay−1=0相切⇔
√2
=√a2+1，化为：a=−1．
∴“a2=1”是“直线l与圆x2+y2−2ay−1=0相切”的必要不充分条件．
故选：B．
利用直线与圆相切的充要条件即可判断出结论．
本题考查了直线与圆相切的充要条件、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于
4.【答案】D
【解析】解：根据题意，函数f(x)=ln(e x+1)+ax为偶函数，
则f(x)=f(−x)，即ln(e x+1)+ax=ln(e−x+1)−ax，变形可得2ax=ln(e−x+1)−ln(e x+1)=ln(e−x)，
则有2ax=−x，必有a=−1
2
；
故选：D．
根据题意，由函数奇偶性的定义可得f(x)=f(−x)，即ln(e x+1)+ax=ln(e−x+1)−ax，变形分析可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及对数的运算，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由题可知，正二十面体的棱长a=√3，
设正二十面体内切球的半径为r，
20×1
3×√3
4
a2×r=(15+5√5)
12
⋅a2，
解得r=3+√5
4
，
故选：B．
由已知求得正二十面体的棱长，代入已知体积公式可得正二十面体的体积，正二十面体内切球的半径为r，再由等体积法列式求得r．
本题考查多面体的内切球，利用等体积法求解是关键，是基础题．
6.【答案】D
【解析】解：不同的分配方法分为两类：先安排AB，C，D分别到3个学院，再把E同学安排到某一个学院的方法有A33C31=18种；
把C，D中的一个安排到AB所在的学院，再把剩下的一个与E同学分别安排到3个学院的方法共有C21⋅A33=12种．
综上可得：不同的分配方法总数=18+12=30种．
不同的分配方法分为两类：先安排AB，C，D分别到3个学院，再把E同学安排到某一个学院；把C，D中的一个安排到AB所在的学院，再把剩下的一个与E同学分别安排到3个学院．再利用两个原理即可得出．
本题考查了排列与组合的计算公式、分类讨论方法、两个原理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查对数的运算，主要考查了对数式与指数式的互化，换底公式的运用，对数的运算法则的运用，考查了运算求解能力．
利用指数与对数的互换表示出lg3，然后利用换底公式以及对数的运算法则求解即可．【解答】
解：由题可得b=log310=1lg3，即lg3=1
b
，
故原式=log56=lg6
lg5=lg2+lg3
1−lg2
=a+
1
b
1−a
=ab+1
b−ab
．
故选：A．
8.【答案】B
【解析】解：由抛物线C1：y2=8x，得焦点为F(2,0)，
圆的标准方程为(x−2)2+y2=4，所以圆心为(2,0)，半径r=2，所以焦点F与圆的圆心重合，
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，设直线l：x=my+2，
将直线l代入抛物线方程可得y2−8my−16=0，
则y1y2=−16，x1x2=(y1y2)2
64
=4，
故|PM|⋅|QN|=(|PF|−r)(|QF|−r)=(x1+2−2)(x2+2−2)=x1x2=4，
故选：B．
由抛物线的方程求出F的坐标，由圆的方程求出圆的圆心与半径，圆心与F重合，设出直线的方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理求出P，Q的横坐标的乘积，由此即可求解．
本题考查了抛物线的方程与性质，考查了直线与抛物线的位置关系的应用，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：对于A，因为2018年12月我国网络直播用户规模为3.97亿，2019年12月为4.33亿，2020年12月为5.69亿，所以说2018～2020年我国网络直播用户一直保持增长态势，故选项A正确；
对于B，因为5.6÷0.62≈9.03>9，所以2020年我国手机网民超过了9亿，故选项B 错误；
对于C，因为5.6−3.97=1.63，所以2020年底我国网络直播用户规模较2018年底增长1.63亿，故选项C正确；
对于D，因为2016～2020年我国网络直播用户规模先增后减再增，2016～2020年我国网络直播用户规模使用率也是先增后先再增，所以2016～2020年我国网络直播用户规模和使用率变化的趋势一致，故选项D正确．
故选：ACD．
利用题中给出的统计数表中的信息，对各个选项进行逐一的分析判断即可．
本题考查了统计图表的理解和应用，考查数据分析能力，解题的关键是正确读取统计图表中的数据信息，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：∵z=2+mi，
∴z2+z=4+4mi−m2+2+mi=6−m2+5mi，
∵(5+ni)i3=n−5i，
又∵z2+z=(5+ni)i3，
∴{6−m2=n 5m=−5，解得{
m=−1
n=5，故A选项正确，B选项错误，
|m+ni|=|−1+5i|=√(−1)2+52=26，故C选项正确，
m+ni在复平面内对应的点(−1,5)所在象限是第二象限．
故选：ACD．
根据已知条件，结合复数相等性准则，可判断A，B选项，再结合复数模公式和复数的几何含义，即可求解C，D选项．
本题主要考查复数的几何含义，以及复数相等性准则和复数模公式，属于基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：对于A ，∵a >0，b >0，c >0，a +b +c =1，
∴1=(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ≤a 2+b 2+c 2+(a 2+b 2)+(a 2+c 2)+(b 2+c 2)=3(a 2+b 2+c 2)，
∴a 2+b 2+c 2≥1
3(当且仅当a =b =c =1
3时取“=”)，故A 正确；
对于B ，∵2=2(a +b +c)2=2a 2+2b 2+2c 2+4ab +4ac +4bc =(a 2+b 2)+(a 2+c 2)+(b 2+c 2)+4ab +4ac +4bc ≥6ab +6ac +6bc ，
∴ab +ac +bc ≤1
3(当且仅当a =b =c =1
3时取“=”)，故B 错误； 对于C ，取a =1
2，b =1
4，c =1
4时，(a −1
3)(b −1
3)(c −1
3)>0，故C 错误； 对于D ，∵a >0，b >0，c >0，a +b +c =1， ∴(1
a −1)(1
b −1)(1
c −1) =(a+b+c a −1)(
a+b+c b
−1)(
a+b+c c
−1)
=
(b+c)(a+c)(a+b)
abc
，
∵b +c ≥2√bc >0，当且仅当b =c 等号成立， a +c ≥2√ac >0当且仅当a =c 等号成立， a +b ≥2√ab >0，当且仅当a =b 等号成立，
∴(b +c)(a +c)(a +b)≥8√abc ，当且仅当a =b =c =1
3时等号成立， ∴
(b+c)(a+c)(a+b)
abc ≥8，
∴(1
a −1)(1
b −1)(1
c −1)≥8，故D 正确． 故选：AD ．
根据基本不等式的性质逐一判断即可求解结论．
本题主要考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：由方程
elnx x
+
x elnx+x
+m =0，可得
elnx x
+
1
elnx
x
+1+m =0．
令
elnx x
=t ，则有t +1
t+1+m =0，即t 2+(m +1)t +
m +1=0． 令函数g(x)=
elnx x
，则g′(x)=e ⋅
1−lnx x 2
，
所以g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减． 作出图象如图所示，要使关于x 的方程elnx x
+
x elnx+x
+m =0有三个不相等的实数解x 1，
x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，
结合图象可得关于t 的方程t 2+(m +1)t +m +1=0一定有两个实根t 1，t 2(t 1<0<t 2<1)， 且
elnx 1x 1
=t 1，
elnx 2x 2
=t 2，t 1+t 2=−(m +1)，t 1t 2=m +1．
所以m +1<0，1+m +1+m +1>0，解得−3
2<m <−1， 故
lnx 1
2x 1
+
lnx 2x 2
+
lnx 3x 3
=2e
(t 1+t 2)=
−2(m+1)
e
∈(0,1
e
). 故选：BC ． 化简方程，令elnx x
=t ，得到t 2+(m +1)t +m +1=0.构造函数g(x)=
elnx x
，则g′(x)=
e ⋅
1−lnx x 2
，利用函数的单调性，结合函数的图象，要使关于x 的方程三个不相等的实数
解x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，结合图象可得关于t 的方程t 2+(m +1)t +m +1=0一定有两个实根t 1，t 2(t 1<0<t 2<1)，结合韦达定理，推出所求表达式的关系式，然后求解即可．
本题考查导数与方程解的问题，考查化归与转化、函数与方程、以及运算求解能力和推理论证能力，是中档偏难题．
13.【答案】√3
【解析】解：∵非零向量a ⃗ ，b ⃗ 的夹角为π
6，
∴cos <a ⃗ ⋅b ⃗ >=cos π6=√3
2，
∵|a ⃗ −b ⃗ |=|b ⃗ |=1，
∴|a ⃗ −b ⃗ |2=a ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2
=a ⃗ 2−2|a ⃗ |⋅√32+1=1．
解得|a⃗|=√3．
故答案为：√3．
由已知结合向量数量积的定义及数量积的性质即可求解．
本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力．
14.【答案】2
【解析】解：因为数列{a n}是等差数列，S17=(a1+a17)×17
2
=17，所以a1+a17=2，即a2+a16=2．
故1
a2+1
a16
=1
2
(1
a2
+1
a16
)(a2+a16)=
2+a2
a16
+a16
a2
2
≥2，当且仅当a2=a16=1时，取得最小
值．
故答案为：2．
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接．本题考查等差数列，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】(0,4
7
]
【解析】解：∵函数f(x)=cos(ωx−π
6)(ω>0)，若函数f(x)在(π
6
,7π
6
)上没有零点，
ωx−π
6∈(ωπ−π
6
,7ωπ−π
6
)，∴ωπ−π
6
≥kπ−π
2
，7ωπ−π
6
≤kπ+π
2
，
∴6k−2≤ω≤6k+4
7
，k∈Z．
令k=0，可得−2≤ω≤4
7
．
再根据k>0，可得0<ω≤4
7
．
故答案为：(0,4
7
].
由题意利用余弦函数和性质，求得ω的范围．本题主要考查余弦函数和性质，属于中档题．16.【答案】16+8√2
【解析】解：球心到截面ACB1的距离即正方体中心到截面ACB1的距离，BD1为正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的直径，且BD1⊥平面ACB1．
设正方体的棱长为a，B到平面ACB1的距离为h，S△ACB
1=1
2
⋅√2a⋅√2a⋅√3
2
=√3
2
a2，
由V B−ACB
1=V B
1−ABC
，得1
3
⋅ℎ⋅S△ACB
1
=1
3
⋅1
2
⋅a⋅a⋅a，所以ℎ=√3a
3
，
因为球心到平面ACB1的距离为√3a
2−√3a
3
=√3
3
，解得a=2，
又点M在棱CC1上一个动点，要求MD1+MA的最小值，
只需把平面DD1C1C沿CC1旋转到平面AA1C1C在一个平面内，
如图所示，连接AD1，则AD1的长度即MD1+MA的最小值．
因此，(MD1+MA)min
2=a2+(a+√2a)2=16+8√2．
故答案为：16+8√2．
说明BD1为正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球的直径，设正方体的棱长为a，B到平面
ACB1的距离为h，利用V B−ACB
1=V B
1−ABC
，求解ℎ=√3a
3
，然后求解a，点M在棱CC1上
一个动点，要求MD1+MA的最小值，
只需把平面DD1C1C沿CC1旋转到平面AA1C1C在一个平面内，结合图形，连接AD1，则AD1的长度即MD1+MA的最小值．求解即可．
本题考查线与面的位置关系，考查空间想象能力和运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：选①S3=36，数列{a n+1}是首项为3的等比数列，
设数列{a n+1}的公比为m，则a n+1=3⋅m n−1，
S3=a1+a2+a3=(a1+1)+(a2+1)+(a3+1)−3=3+3m+3m²−3=36，
解得m=3或m=−4(舍去)，
又a n+1+1=3(a n+1)，
所以a n+1=3a n+2，
所以p=3，q=2．
选②S n=3n+1−2n−3
2
，
当n=1时，a1=9−2−3
2
=2，
当n≥2时，a n=S n−S n−1=3n+1−2n−3
2−3n−2(n−1)−3
2
=3n−1，
当n =1时，也满足上式，所以a n =3n −1，
因为a n+1=pa n +q ，所以3n+1−1=p(3n −1)+q ， 即3n −1=p3n +q −p ，所以{p =3
q −p =−1，即p =3，q =2．
选③数列{a n }与{S n }均为等差数列，且a 1=2，p +q =2， 设数列{a n }的公差为d ，则S n =na 1+n(n−1)d
2
=d 2
n 2+(a 1−d
2
)n ，
S n+1−S n =d
2(2n +1)+a 1−d
2，
因为数列{S n }为等差数列，故d =0， 即a n =a 1=2，
由a n+1=pa n +q ，可得2p +q =2，又p +q =2， 所以p =0，q =2．
【解析】选①设数列{a n +1}的公比为m ，由等比数列的通项公式及S 3=36可得关于m 的方程，从而可求得m 的值，从而可得a n+1=3a n +2，结合已知即可求得p ，q 的值； 选②利用递推式求出数列{a n }的通项公式，代入a n+1=pa n +q ，即可求得p ，q 的值； 选③设数列{a n }的公差为d ，利用等差数列的前n 项和公式求出S n ，由数列{S n }为等差数列，可求得d 的值，从而可求得a n ，结合已知即可求得p ，q 的值．
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查数列通项的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
18.
【答案】(1)证明：∵底面ABCD 是正方形，∴BC ⊥AB ． 又∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD =AB ，且BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥平面PAB ．
∵AE ⊂平面PAB ，∴BC ⊥AE ．
由已知PA =AB ，点E 是PB 的中点，∴AE ⊥PB ， 又∵PB ∩BC =B ，∴AE ⊥平面PBC ． (2)解：由(1)AD ，AB ，AP 两两垂直．
分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz ． 不妨设AB =2，则A(0,0，0)，B(0,2，0)，D(2,0，0)，P(0,0，2)，
E(0,1，1)，F(2
3,2,0)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23
,2,0)． 设平面AEF 的一个法向量为n
⃗ =(p,q,r)，
∵{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{q +r =0,23p +2q =0,取p =3，
则q =−1，r =1，∴n
⃗ =(3,−1,1)． 连接BD ，∵AP ⊥BD ，AC ⊥BD ，AP ∩AC =A ，
∴BD ⊥平面PAC ，即平面PAC 的一个法向量为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0)， 设平面PAC 与平面AEF 所成锐二面角为θ， ∴cosθ=
|n ⃗⃗ ⋅BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|BD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=
√9+1+1×2√2
=
2√22
11
， 故平面PAC 与平面AEF 所成锐二面角的余弦值为2√22
11
．
【解析】(1)根据直线与平面垂直的判定定理证明；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值．
本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．
19.【答案】解：(1)[25,35)，[35,45)，[45,55)上的频率之和为1−0.04×10=0.6，
且前三个频率成等差数列(设公差为d)，故[35,45)上的频率为0.6
3=0.2， 从而2d =0.4−0.2=0.2，解得d =0.1．
故区间[25,35)，[35,45)，[45,55)上的频率分别为0.1，0.2，0.3． (2)由题意知[45,55)组抽取3人，[55,65]组抽取4人，
当x =y =2时，X =0，当x =1，y =3或x =3，y =1时，X =2， 当x =0，y =4，X =4，所以X 的所有取值为0，2，4，P(X =0)=C 32C 42C 7
4=
1835
，P(X =
2)=
C 31C 43+C 33C 4
1C 7
4=16
35，P(X =4)=
C 30C 44
C 7
4=1
35，
所求分布列为
E(X)=0×18
35+2×16
35+4×1
35=36
35．
【解析】(1)利用前三个频率成等差数列(设公差为d)，求解[35,45)上的频率，求出d =0.1.然后求解区间[25,35)，[35,45)，[45,55)上的频率．
(2)说明X 的所有取值为0，2，4，求出概率得到分布列，然后求解期望即可． 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查分析问题、解决问题的能力，
是中档题．
20.【答案】解：(1)由bsinB +csinC =3csin2A +asinA ，得b 2+c 2=6accosA +a 2， 所以2bccosA =6accosA ，
又B >A ，所以cosA ≠0，则b =3a ，即sinB
sinA =3．
(2)在△ABC 中，1
2ab ⋅sinC =1
2b ⋅CD ⋅sin∠ACD +1
2a ⋅CD ⋅sin∠BCD ， 可得ab =a +b ，又b =3a ，可得a =4
3，b =4， 所以△ABC 的面积为1
2absinC =1
2×4
3
×4×sin120°=
4√3
3
．
【解析】(1)由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简，再由正弦定理即可求解； (2)由已知结合三角形的面积公式可得a ，b 的关系，进而可求a ，b ，再由三角形的面积公式可求．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)依题意，设椭圆的方程为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0)．
∵椭圆过点P(√3
2,1)，Q(0,2)两点，
∴{3
4
m +n =1,
4n =1,解得{m =1,n =14
, ∴椭圆的标准方程为
y 24
+x 2=1．
(2)由题意知直线l 的方程为y =kx +1(k ≠0)， 代入
y 24
+x 2=1，得(k 2+4)x 2+2kx −3=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，
则x 1+x 2=−2k
k 2+4，x 1x 2=−3
k 2+4． ∵点C 与B 关于y 轴对称，∴C(−x 2,y 2)，
∴直线AC 的方程为y −y 1=−y 2−y
1
x 2
+x 1
(x −x 1)．
令x =0，得y =
x 1(y 2−y 1)x 2+x 1
+y 1=
x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2
=
x 1(kx 2+1)+x 2(kx 1+1)
x 1+x 2
=
2kx 1x 2+(x 1+x 2)
x 1+x 2
=
2kx 1x 2x 1+x 2
+1=
−2k×
3k 2+4−2k k 2+4
+1=4，
∴直线AC 过定点(0,4)．
【解析】(1)依题意，设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0)，把点P(√3
2
,1)，Q(0,2)坐标代入，得m，n，进而可得答案．
(2)由题意知直线l的方程为y=kx+1(k≠0)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理，可得x1+x2，x1x2，由点C与B关于y轴对称，得C(−x2,y2)，写出直线AC的方程，令x=0，得y，即可得出答案．
本题考查椭圆的方程，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由题意，f′(x)=e x[ln(x+1)+1
x+1
]，x∈(−1,+∞)，
令g(x)=ln(x+1)+1
x+1，则g′(x)=1x+1−1
(x+1)2
=x
(x+1)2
，
所以g(x)在(−1,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，
则g(x)≥g(0)=1，从而f′(x)>0，
所以函数f(x)在(−1,+∞)上单调递增．
(2)由题意，e x ln(x+1)≥x
a
对x∈[0,+∞)恒成立，
当a<0时，∀x∈[0,+∞)，f(x)≥f(0)=0，x
a
≤0，符合题意，
当a>0时，e x ln(x+1)≥x
a
可化为aln(x+1)−xe−x≥0，
令ℎ(x)=aln(x+1)−xe−x，x∈[0,+∞)，
则ℎ′(x)=a
x+1−(e−x−xe−x)=ae x+x2−1
(x+1)e x
，其中(x+1)e x>0，
令p(x)=ae x+x2−1，x∈[0,+∞)，则p(x)在[0,+∞)上单调递增，
当a≥1时，p(x)≥p(0)=a−1≥0，
所以对∀x∈[0,+∞)，ℎ′(x)≥0，从而ℎ(x)在[0,+∞)上单调递增，
所以对任意x∈[0,+∞)，ℎ(x)≥ℎ(0)=0，
即不等式e x ln(x+1)≥x
a
在[0,+∞)上恒成立，
当0<a<1时，p(0)=a−1<0，p(1)=ae>0及p(x)在[0,+∞)上单调递增，所以存在唯一的x0∈(0,1)使得p(x0)=0，且当x∈(0,x0)时，p(x0)<0，
从而当x∈(0,x0)时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在(0,x0)上单调递减，
则当x∈(0,x0)时，ℎ(x)<ℎ(0)=0，即e x ln(x+1)<x
a
，不符合题意，
综上所述，a的取值范围为(−∞,0)∪[1，+∞)．
【解析】(1)求出函数的导数，根据导函数的单调性求出f(x)的单调性即可；
(2)当a<0时，符合题意，当a>0时，问题转化为aln(x+1)−xe−x≥0，令ℎ(x)= aln(x+1)−xe−x，x∈[0,+∞)，根据函数的单调性求出a的范围即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．。