华师大版初中数学九年级上册22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系

项系数定为 1，利用一元二次方程根与系数
的关系确定一元二次方程一次项系数和常
数项．
一、情境导入
【类型三】根据根与系数的关系确定
一般地，对于关于 x 的方程 x2＋px＋q 方程的解
＝0(p，q 为已知常数，p2－4q≥0)，试用
(2014·云南曲靖)已知 x＝4 是一
求根公式求出它的两个解 x1、x2，算一算 x1＋x2、x1·x2 的值，你能得出什么结果？
与两根和、积有关的形式，注意前提：方 实数根，所以舍去 a＝5.当 a＝－1 时，Δ
程有两个实数根时，判别式大于或等于 0. >0，此时方程有两实数根．所以取 a＝－1.
【类型二】根据方程的根确定一元二 故选 D.
次方程
方法总结：解答此类题的关键是将与
已知一元二次方程的两根分别是 方程两根有关的式子转化为用两根和、积
二、合作探究 探究点：一元二次方程根与系数的关 系
元二次方程 x2－3x＋c＝0 的一个根，则另 一个根为________．
解析：设另一根为 x1，则由根与系数 的关系得 x1＋4＝3，∴x1＝－1.故答案为 x ＝－1.
【类型一】利用一元二次方程根与系
方法总结：解决这类问题时，利用一
数的关系求关于方程根的代数式的值
1
程根与系数的关系解决．设方程两根为
1 1 n＋m 2 1 ，mn＝－1， ＋ ＝ ＝ ＝－ .故选
m n mn －1 2 C.
方法总结：解题时先把代数式变形成
x1，x2，由题意，得 x21＋x2＝5.∴(x1＋x2)2 － 2x1x2＝ 5.∵x1＋ x2＝ a， x1x2＝ 2a， ∴ a2 －2×2a＝5.解得 a1＝5，a2＝－1.又∵Δ ＝a2－8a，当 a＝5 时，Δ<0，此时方程无
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5.一元二次方程的根与系数的关系
C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0
解析：∵方程的两根分别是 4 和－5，
1．探索一元二次方程的根与系数的关 系．
4 和－5，则这个一元二次方程是( )
表示的形式，从而利用一元二次方程根与
A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0
系数的关系解决问题．注意不要忽略题目
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中的隐含条件Δ≥0，导致解答不全面．
【类型五】一元二次方程根与系数的
关系和根的情况的综合应用
已知 x1、x2 是一元二次方程(a－ 6)x2＋2ax＋a＝0 的两个实数根．
(1)是否存在实数 a，使－x1＋x1x2＝4 ＋x2 成立？若存在，求出 a 的值；若不存
在，请你说明理由；
(2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实 数 a 的整数值．
解 ： (1)根 据 题 (a－ 6)＝ 24a≥0.解 得 a≥0.又 ∵a－
6≠0，∴a≠6.由根与系数关系得：x1＋x2
解析：根据根与系数的关系，可以求 的值是( )
出 m＋ n 和 mn 的 值 ， 再 将 原 代 数 式 变 形
A．－1 或 5 B．1
后，整体代入计算即可．因为 m、n 是方程
C．5 D．－1
1 2x2－x－2＝0 的两实数根，所以 m＋n＝
2
解析：将两根平方和转化为用两根 和、积表示的形式，从而利用一元二次方
元二次方程的根与系数的关系列出方程即
已知 m、n 是方程 2x2－x－2＝0 可解决．
11 的两实数根，则 ＋ 的值为( )
mn
【类型四】利用一元二次方程根与系 数的关系确定字母系数
1
1
A．－1 B. C．－ D．1
2
2
(2014·山东烟台)关于 x 的方程 x2－ax＋2a＝0 的两根的平方和是 5，则 a
－＋ a－6
a
6
＋1＝ 为负整数，则 6－a 为－1 或
a－6 6－a
－2，－3，－6.解得 a＝7 或 8，9，12.
三、板书设计
相信自己，就能走向成功的 第一步
教师不光要传授知识，还要 告诉学生学会生活。数学思 维可以让他们更理性地看待
人生
教学过程中，强调一元二次方程的根与系 数的关系是通过求根公式得到的，在利用 此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ ≥0 这个前提条件.
设两根为 x1，x2，则 x1＋x2＝－1，x1·x2 ＝－20.如果令方程 ax2＋bx＋c＝0 中，a
2．会不解方程利用一元二次方程的根 ＝1，则－b＝－1，c＝－20.∴方程为 x2＋
与系数解决问题．
x－20＝0.故选 D.
方法总结：先把所构造的方程的二次
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2a
a
＝
－
， a－6
x1x2＝
.由 a－6
－
x1＋
x1x2＝
4＋
2a
a
x2 得 x1＋x2＋4＝x1x2，∴－a－6＋4＝a－6
2a ，解得 a＝24.经检验 a＝24 是方程－
a－6
a
＋4＝ 的解．即存在 a－6
a＝24，使－x1＋
x1x2＝4＋x2 成立．
2a
(2)原
式
＝x1＋
x2＋
x1x2＋1＝