高中数学一轮复习必备知识点大梳理

一、集合和命题
一、集合：
（1）集合的元素的性质：
确定性、互异性和无序性；（2）元素与集合的关系：
①a A ∈↔a 属于集合A ；②a A ∉↔a 不属于集合A ．
（3）常用的数集：N
↔自然数集；↔*N 正整数集；Z ↔整数集；
Q ↔有理数集；R ↔实数集；Φ↔空集；C ↔复数集；
⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-
+负整数集正整数集Z Z ；⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负有理数集正有理数集Q Q ；⎪⎩⎪⎨⎧↔↔-+负实数集
正实数集
R R ．（4）集合的表示方法：⎩⎨
⎧↔↔描述法
无限集列举法有限集；
例如：①列举法：{,,,,}z h a n g ；②描述法：{1}x x >．（5）集合之间的关系：
①B A ⊆↔集合A 是集合B 的子集；特别地，A A ⊆；A B A C B C
⊆⎧⇒⊆⎨⊆⎩．
②B A =或A B A B
⊆⎧⎨
⊇⎩↔集合A 与集合B 相等；
③A B ⊂≠↔集合A 是集合B 的真子集．例：N Z Q R ⊆⊆⊆C ⊆；N Z Q R C ⊂⊂⊂⊂≠≠≠≠．
④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（6）集合的运算：
①交集：}{B x A x x B A ∈∈=且 ↔集合A 与集合B 的交集；②并集：}{B x A x x B A ∈∈=或 ↔集合A 与集合B 的并集；
③补集：设U 为全集，集合A 是U 的子集，则由U 中所有不属于A 的元素组
成的集合，叫做集合A 在全集U 中的补集，记作A C U ．
④得摩根定律：()U U U C A B C A C B = ；()U U U C A B C A C B
= （7）集合的子集个数：
若集合A 有*()n n N ∈个元素，那么该集合有2n 个子集；21n -个真子集；21n -个
非空子集；22n -个非空真子集．
二、四种命题的形式：
（1）命题：能判断真假的语句．
（2）四种命题：如果用α和β分别表示原命题的条件和结论，用α和β分别表示α和β的否定，那么四种命题形式就是：
命题原命题逆命题否命题逆否命题
表示形式若α，则β若β，则α；若α，则β；若β，则α．逆命题关
系原命题↔逆命题
逆否命题↔否命题
否命题关
系原命题↔否命题逆否命题↔逆命题
逆否命题关系原命题↔逆否命题逆命题↔否命题
同真同假关系
（3）充分条件，必要条件，充要条件：
①若βα⇒，那么α叫做β的充分条件，β叫做α的必要条件；
②若βα⇒且αβ⇒，即βα⇔，那么α既是β的充分条件，又是β的必要条
件，也就是说，α是β的充分必要条件，简称充要条件．
③欲证明条件α是结论β的充分必要条件，可分两步来证：第一步：证明充分性：条件⇒α结论β；
第二步：证明必要性：结论⇒β条件α．
（4）子集与推出关系：
设A 、B 是非空集合，}{α具有性质x x A =，}{β具有性质y y B =，则B A ⊆与βα⇒等价．
结论：小范围⇒大范围；例如：小明是上海人⇒小明是中国人．
小范围是大范围的充分非必要条件；大范围是小范围的必要非充分条件．
二、不等式
一、不等式的性质：
不等式的性质
1、c a c b b a >⇒>>,；
2、c b c a b a +>+⇒>；
3、bc ac c b a >⇒>>0,；
4、d b c a d c b a +>+⇒>>,；
5、bd ac d c b a >⇒>>>>0,0；
6、b
a
b a 1100<<⇒>>；
7、)(0*N n b a b a n n ∈>⇒>>；
8、)1,(0*>∈>⇒>>n N n b a b a n n ．
二、一元一次不等式：一元一次不等式
b
ax >0>a 0<a 0
=a 0≥b 0<b 解集
a
b x >
a
b x <
Φ
R
三、一元二次不等式：
)
0(02>=++a c bx ax 的根的判别式
42>-=ac b △042=-=ac b △0
42<-=ac b △
四、含有绝对值不等式的性质：
（1）b a b a b a -≥±≥+；（2）n
n a a a a a a +++≥+++ 212
1．
五、分式不等式：
（1）0))((0>++⇔>++d cx b ax d
cx b ax ；
（2）0))((0<++⇔<++d cx b ax d
cx b ax ．
六、含绝对值的不等式：
a x <a x >a x ≤a
x ≥0>a 0
≤a 0
≥a 0
<a 0
>a 0
=a 0
<a 0
>a 0
=a 0
<a a
x a <<-Φ
a
x a x -<>或R
a
x a ≤≤-0
=x Φ
a
x a x -≤≥或R
七、指数不等式：
（1）)()()1()()(x x f a a a x x f ϕϕ>⇔>>；（2）)()()10()()(x x f a a a x x f ϕϕ<⇔<<>．
八、对数不等式：
（1）⎩⎨⎧>>⇔>>)
()(0
)()1)((log )(log x x f x a x x f a a
ϕϕϕ；
（2）⎩
⎨⎧<>⇔<<>)()(0
)()10)((log )(log x x f x f a x x f a a ϕϕ．
九、不等式的证明：
（1）常用的基本不等式：
①R b a ab b a ∈≥+、(222，当且仅当b a =时取“=”号)；②+∈≥
+R b a ab b a 、(2
，当且仅当b a =时取“=”号)；
211a b
+．
③+∈≥++R c b a abc c b a 、、(3333，当且仅当c b a ==时取“=”号)；④+∈≥++R c b a abc c b a 、、(3
3，当且仅当c b a ==时取“=”号)；
⑤n a a a n
a a a n n n 2121 ≥+++为大于
1的自然数，+∈R a a a n ,,,21 ，当且仅当
n a a a === 21时取“=”号)；
（2）证明不等式的常用方法：
①比较法；
②分析法；
③综合法．
三、函数的基本性质
一、函数的概念：
（1）若自变量−−−→−f
x 对应法则因变量y ，则y 就是x 的函数，记作D x x f y ∈=
),(；
x 的取值范围D ↔函数的定义域；y 的取值范围↔函数的值域．
求定义域一般需要注意：
11
()
y f x =
，()0f x ≠；
2y =，()0f x ≥；30(())y f x =，()0f x ≠；4log ()a y f x =，()0f x >；
⑤()log f x y N =，()0f x >且()1f x ≠．
（2）判断是否函数图像的方法：任取平行于y 轴的直线，与图像最多只有一个公共点；
（3）判断两个函数是否同一个函数的方法：①定义域是否相同；②对应法则是否相同．
二、函数的基本性质：
（1）奇偶性：函数
D
x x f y ∈=),(前提条件
“定义域D 关于0对称”成立
①“定义域D 关于0对称”；
②“
)
()(x f x f -=”；③
“()()f x f x =--”
①不成立或者⎧⎨
⎩①成立
②、③都不成立
)
()(x f x f -=成立
()()
f x f x =--成立奇偶性偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇偶函数图像性质
关于y 轴对称
关于)0,0(O 对
称
注意：定义域包括0的奇函数必过原点(0,0)O ．
（2）单调性和最值：
前提条件D x x f y ∈=),(，D I ⊆，任取12,x x I
∈区间单调增函数
⎩⎨⎧<<)()(2121x f x f x x 或⎩⎨
⎧>>)
()(212
1x f x f x x
注意：
①复合函数的单调性：
函数单调性
外函数()
y f x =
内函数()y g x = 复合函数[()]
y f g x =
②如果函数)(x f y =在某个区间I 上是增（减）函数，那么函数)(x f y =在区间I
上是单调函数，区间I 叫做函数)(x f y =的单调区间．
（3）零点：若D x x f y ∈=),(，D c ∈且0)(=c f ，则c x =叫做函数)(x f y =的零点．
零点定理：⎩⎨
⎧<⋅∈=0
)()(]
,[),(b f a f b a x x f y ⇒00(,)
()0
x a b f x ∈⎧⎨
=⎩存在；特别地，当(),[,]y f x x a b =∈是单调函数，
且()()0f a f b ⋅<，则该函数在区间[,]a b 上有且仅有一个零点，即存在唯一0(,)x a b ∈，使得0()0f x =．
（4）平移的规律：“左加右减，下加上减”．函数
向左平移k
向右平移k 向上平移h 向下平移
h 备注
)
(x f y =)
(k x f y +=)
(k x f y -=)
(x f h y =-)
(x f h y =+0
,>h k
（5）对称性：
①轴对称的两个函数：函数)
(x f y =对称轴x 轴y 轴x
y =x
y -=m
x =n
y =函数
)
(x f y =-)
(x f y -=)(y f x =)(y f x -=-)2(x m f y -=)
(2x f y n =-②中心对称的两个函数：函数
对称中心
函数
)
(x f y =)
,(n m )
2(2x m f y n -=-③轴对称的函数：函数)
(x f y =对称轴y 轴m
x =条件
()()
f x f x =-()(2)
f x f m x =-注意：()()f a x f b x +=
-⇒()f x 关于2
a b
x +=
对称；()()f a x f a x +=-⇒()f x 关于x a =对称；
()()f x f x =-⇒()f x 关于0x =对称，即()f x 是偶函数．
④中心对称的函数：函数)(x f y =对称中
(,)
m n
注意：()()f a x f b x c ++-=⇒
()f x 关于点(
,)22对称；()()0f a x f b x ++-=⇒()f x 关于点(,0)2
a b
+对称；
()()2f a x f a x b ++-=⇒()f x 关于点(,)a b 对称；
()()0f x f x +-=⇒()f x 关于点(0,0)对称，即()f x 是奇函数．
（6）凹凸性：设函数(),y f x x D =
∈，如果对任意12,x x D ∈，且12x x ≠，都有1212()()
22x x f x f x f ++⎛⎫<
⎪⎝⎭，
则称函数()y f x =
在D 上是凹函数；例如：2y x =．
进一步，如果对任意12,,n x x x D ∈ ，都有1212()()()
n n x x x f x f x f x f n
n
+++++⎛⎫
<
⎪⎝
⎭
，
则称函数()y f x =在D 上是凹函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式；
设函数(),y f x x D =
∈，如果对任意12,x x D ∈，且12x x ≠，都有1212()()
22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，
则称函数()y f x =
在D 上是凸函数．例如：lg y x =．
进一步，如果对任意12,,n x x x D ∈ ，都有1212()()()n n x x x f x f x f x f n
n
+++++⎛⎫
>
⎪⎝
⎭
，
则称函数()y f x =在D 上是凸函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式．
（7）翻折：函数
翻折后
翻折过程
()
y f x =()
y f x =将()y f x =
在y 轴右边的图像不变，并将其翻折到y 轴左
边，并覆盖．
()
y f x =将()y f x =在x 轴上边的图像不变，并将其翻折到x 轴下
边，并覆盖．
()
y f x =第一步：将()y f x =在y 轴右边的图像不变，并将其翻折
（8）周期性：若R x x f y ∈=
),(，0≠∃T ，x R ∈任取，恒有)()(x f T x f =+，则称T
为这个函数的
周期．
注意：若T 是)(x f y =
的周期，那么)0,(≠∈k Z k kT 也是这个函数的周期；
周期函数的周期有无穷多个，但不一定有最小正周期．①()()f x a f x b +=
+，a b ≠⇒()f x 是周期函数，且其中一个周期T a b
=-；
（阴影部分下略）
②()()f x f x p =-+，0p ≠⇒2T p =；③()()f x a f x b +=-+，a b ≠⇒2T a b =-；④1
()()f x f x p =
+或1
()()
f x f x p =-+，0p ≠⇒2T p =；
⑤1()()1()f x p f x f x p -+=++或()1
()()1
f x p f x f x p ++=
+-，0p ≠⇒2T p =；
⑥1()()1()
f x p f x f x p ++=-+或()1
()()1
f x p f x f x p +-=
++，0p ≠⇒4T p =；
⑦()f x 关于直线x a =，x b =，a b ≠都对称⇒2T a b =-；
⑧()f x 关于两点(,)a c ，(,)b c ，a b ≠都成中心对称⇒2T a b =-；
⑨()f x 关于点(,)a c ，0a ≠成中心对称，且关于直线x b =，
a b ≠对称⇒4T a b =-；⑩若()()(2)()f x f x a f x a f x na m +++++++= （m 为常数，*n N ∈），则()f x 是以
(1)n a +为周期的周期函数；
若()()(2)()f x f x a f x a f x na m -+++-++= （m 为常数，n 为正偶数），则()
f x 是以2(1)n a +为周期的周期函数．
三、V 函数：
定义形如(0)y a x m h a =++≠的函数，称作V 函数．
分类
,0
y a x m h a =++>,0
y a x m h a =++<
图像
定义域R
值域[,)
h +∞(,]
h -∞对称
x m
=-
四、分式函数：定义形如(0)a y x a x
=+≠的函数，称作分式函数．
分类
,0a
y x a x
=+>（耐克函数）
,0
a
y x a x
=+<
五、曼哈顿距离：
在平面上，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则称1212
d x x y y =
-+-为MN 的曼哈顿距离．
六、某类带有绝对值的函数：
1、对于函数y x m
=-，在x m =时取最小值；
2、对于函数y x m x n
=-+-，m n <，在[,]x m n ∈时取最小值；
3、对于函数y x m x n x p
=-+-+-，m n p <<，在x n =时取最小值；
4、对于函数y x m x n x p x q
=-+-+-+-，m n p q <<<，在[,]x n p ∈时取最小值；
5、推广到122n
y x x x x x x =
-+-++- ，122n x x x <<< ，在1[,]n n x x x +∈时取最小值；1221
n y x x x x x x +=-+-++- ，1221n x x x +<<< ，在n x x ∈时取最小值．
思考：对于函数1232
y x x x =
-+++，在x _________时取最小值．
四、幂函数、指数函数和对数函数（一）幂函数
（1）幂函数的定义：
形如)(R a x y a ∈=的函数称作幂函数，定义域因a 而异．
（2）当1,0≠a 时，幂函数)(R a x y a ∈=在区间),0[+∞上的图像分三类，如图所示．
（3）作幂函数)1,0(≠=a x y a 的草图，可分两步：
①根据a 的大小，作出该函数在区间),0[+∞上的图像；
②根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在]0,(-∞上的图像．（4）判断幂函数)(R a x y a ∈=的a 的大小比较：
方法一：)(R a x y a ∈=与直线(1)x m m =>的交点越靠上，a 越大；方法二：)(R a x y a ∈=与直线(01)x m m =<<的交点越靠下，a 越大（5）关于形如()ax b y c cx d
+=≠+0的变形幂函数的作图：
①作渐近线（用虚线）：d x c
=-、a y c
=；
②选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取(0,)b d
；
③画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右上左下、
左上右下）．
（二）指数&指数函数
1、指数运算法则：
①y
x y x
a
a a
+=⋅；②xy
y
x
a a =)(；③x
x
x
b a b a ⋅=⋅)(；④(x
x x
a a
b b
=，其中),0,(R y x b a ∈>、．
2、指数函数图像及其性质：
/
)
1(>=a a y x )
10(<<=a a y x
图像
定义域R
值域)
,0(+∞奇偶性非奇非偶函数
渐近线x 轴
单调性在(,)-∞+∞上单调递增；
在(,)-∞+∞上单调递减；
性质
①指数函数x a y =的函数值恒大于零；②指数函数x a y =的图像经过点)1,0(；
3、判断指数函数x y a =中参数a 的大小：
方法一：x y a =与直线(0)x m m =>的交点越靠上，a 越大；方法二：x y a =与直线(0)x m m =<的交点越靠下，a 越大．
（三）反函数的概念及其性质
1、反函数的概念：
对于函数()y f x =
，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对于A 中任意一个值y ，
在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，且满足()y f x =，这样得到的x 关于y 的函数叫
做()y f x =
的反函数，记作1()x f y -=．在习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，
所以把它改写为1()()y f x x A -=
∈．
2、求反函数的步骤：（“解”→“换”→“求”）
①将()y f x =
看作方程，解出()x f y =；
②将x 、y 互换，得到1()y f x -=
；
③标出反函数的定义域（原函数的值域）．3、反函数的条件：
定义域与值域中的元素一一对应．4、反函数的性质：
①原函数)(x f y =过点),(n m ，则反函数)(1
x f y -=过点),(m n ；
②原函数)(x f y =
与反函数)(1
x f
y -=关于x y =对称，且单调性相同；
③奇函数的反函数必为奇函数．
5、原函数与反函数的关系：
/函数)
(x f y =
)
(1
x f
y -=定义域D A 值域
A
D
（四）对数&对数函数
1、指数与对数的关系：
a
b
N
N a b =底数
指数幂b
N a =log 对数
真数
2、对数的运算法则：
①01log =a ，1log =a a ，N a N
a
=log
；②常用对数N N 10log lg =，自然对数N N e log ln =；
③N M MN a a a log log )(log +=，N
M N
M a a a log log log -=，M
n M a n
a log log =；
④b
N N a a b log log log =
，a
b b a log 1
log =
，b n m b a m a n log log =，b b a c a c log log =，log log N N b a a b =．
3、对数函数图像及其性质：
/
)
1(log >=a x y a )
10(log <<=a x y a
图像
定义
)
,0(+∞
4、判断对数函数log ,0a y x x =>中参数a 的大小：
方法一：log ,0a y x x =>与直线(0)y m m =>的交点越靠右，a 越大；方法二：log ,0a y x x =>与直线(0)y m m =<的交点越靠左，a 越大．
五、三角比
1、角的定义：（1）终边相同的角：
①α与2,k k Z πα+∈表示终边相同的角度；
②终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；③α与,k k Z πα+∈表示终边共线的角（同向或反向）．（2）特殊位置的角的集合的表示：
位置
角的集合
（3）弧度制与角度制互化：
①180rad π=︒；②1801rad π
=︒；
③1180
rad π
︒=
．（4）扇形有关公式：
①r
l =α
；②弧长公式：r l α=；
③扇形面积公式：2112
2
S lr r α==（想象三角形面积公式）．
（5）集合中常见角的合并：
22222222,244542424324424x k x k x k k x x k x k x k k x k Z x k x k x k k x x k x k x k π
π
ππππππππππππππππππππππππ
⎫⎫=⎫
⎫
=⎪⎪⎬⎪
=+⎭⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎫
=⎬⎬⎪=+⎪⎪⎪⎪⎪=+⎬⎪
⎪⎪⎪=-⎪⎪
⎪⎪⎭⎭⎭⎪
⎪⎫⎫⎫=∈⎬=+⎪⎪⎪⎪⎪⎪=+⎪
⎬⎪⎪⎪⎪
⎪=+⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪=+⎬⎬⎪
⎫⎪⎪⎪=+⎪
⎪⎪⎪
⎪=-⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-
⎪⎪⎪⎭⎪⎭⎭⎭
（6）三角比公式及其在各象限的正负情况：
以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴建立直角坐标系，在α的终
边上任取一个异
于原点的点(,)P x y ，点P 到原点的距离记为r
，则
（7）特殊角的三角比：
α
角度制︒0︒30︒45︒60︒90︒180︒270︒360弧度制
06
π4
π3
π2
ππ
23π
π
2α
sin 0
2
12
22
310
1
-0
（8）一些重要的结论：（注意，如果没有特别指明，k 的取值范围是k Z ∈）
①角α和角β的终边：
角α和角β的终边
关于x 轴对
称
关于y 轴对称
关于原点对
称
sin sin cos cos tan tan αβαβαβ=-⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
sin sin cos cos tan tan αβαβαβ=⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩sin sin cos cos tan tan αβαβαβ=-⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
②α的终边与2
α的终边的关系．
α的终边在第一象限⇔(2,22k k παππ∈+⇔(,)24k k απ
ππ∈+；
α的终边在第二象限⇔(2,2)2k k παπππ∈++⇔(,)242
k k αππ
ππ∈++；
α的终边在第三象限⇔3(2,2)2k k παπππ∈++⇔3(,)224
k k αππ
ππ∈++；
α的终边在第四象限⇔3(2,22)2k k παπππ∈++⇔3(,)24
k k απ
πππ∈++．
③sin θ与cos θ的大小关系：
sin cos θθ<⇔3(2,2)44k k ππ
θππ∈-
+⇔θ的终边在直线y x =右边（0x y ->）；sin cos θθ>⇔5(2,2)44k k ππ
θππ∈++⇔θ的终边在直线y x =左边（0x y -<）；
sin cos θθ=⇔5{2244k k ππθππ∈++⇔θ的终边在直线y x =上（0x y -=）．④sin θ与cos θ的大小关系：
sin cos θθ<⇔(,)44k k ππ
θππ∈-
+⇔θ的终边在00x y x y +>⎧⎨->⎩或00x y x y +<⎧⎨
-<⎩；sin cos θθ>⇔3(,)44k k ππ
θππ∈+
+⇔θ的终边在00x y x y +>⎧⎨-<⎩或00x y x y +>⎧⎨
-<⎩
；
sin cos θθ=⇔3{44
k k ππ
θππ∈+
+,，k Z ∈⇔θ的终边在y x =±．2、三角比公式：
（1）诱导公式：（诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限）
第一组诱导公式：第二组诱导公式：第三组诱导公式：（周期性）
（奇偶性）
（中心对称性）
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+=+=+=+α
απααπααπα
απcot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=--=-=--=-α
αααααα
αcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+=+-=+-=+α
απααπααπα
απcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(第四组诱导公式：第五组诱导公式：第六组诱导公式：
（轴对称）
（互余性）
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=--=--=-=-α
απααπααπα
απcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨
⎧
=-=-=-=-α
απ
ααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎪⎨
⎧
-=+-=+-=+=+α
απ
ααπααπααπtan )2cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(（2）同角三角比的关系：
倒数关系：
商数关系：
平方关系：
⎪⎩
⎪
⎨⎧=⋅=⋅=⋅1cot tan 1sec cos 1
csc sin αααααα⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≠=≠=)0(sin sin cos cot )0(cos cos sin tan αααααααα⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+=+αααααα222222csc cot 1sec tan 11
cos sin （3）两角和差的正弦公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；
两角和差的余弦公式：βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；两角和差的正切公式：β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan( ±=
±．
（4）二倍角的正弦公式：αααcos sin 22sin =；
二倍角的余弦公式：1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=ααααα；二倍角的正切公式：α
αα2tan 1tan 22tan -=
；
降次公式：
万能置换公
式：
2222222
1cos 2sin 21cos 2sin 21cos 2cos 21cos 2cos 21sin sin cos 221cos 2tan 1cos 21sin sin cos
22ααααααααααααααααα⎧-=⎪-⎧⎪
=⎪⎪+=⎪⎪+⎪⎪
=⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪-=- ⎪
-⎪⎪⎝
⎭=⎪⎪+⎩⎛⎫⎪+=+ ⎪⎪⎝⎭⎩
；
⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
-=+-=+=ααααααααα22
22tan 1tan 22tan tan 1tan 12cos tan 1tan 22sin 半角公式：α
ααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+=；
（5）辅助角公式：
①版本一：
)sin(cos sin 2
2ϕααα++=+b a b a ，其中⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧+=
+=<≤2222cos sin ,20b a a b a b ϕϕπϕ．
②版本二：
sin cos )
a b θθθϕ±=±，其中,0,0,tan 2
b a b a
πϕϕ><<=．
3、正余弦函数的五点法作图：
以sin()y x ωϕ=+为例，令x ωϕ+依次为30,,,,22
2
ππππ，求出对应的x 与y 值，描点(,)x y 作
图．
4、正弦定理和余弦定理：（1）正弦定理：
R R C
c
B b A a (2sin sin sin ===为外接圆半径)；其中常见的结论有：
①A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=；②R
a A 2sin =
，R
b B 2sin =，R
c C 2sin =
；③c b a C B A ::sin :sin :sin =；④22sin sin sin ABC S R A B C =△；sin sin sin sin sin sin ABC
aR B C
S bR A C cR A B
⎧⎪
=⎨⎪⎩
△；4ABC abc S R =△．
（2）余弦定理：版本一：⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 22
222
22222；版本二：⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎪⎨⎧-+=
-+=
-+=ab c a b C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2
22222222；
（3）任意三角形射影定理（第一余弦定理）：cos cos cos cos cos cos a b C c B
b c A a C c a B b A =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩
．
5、与三角形有关的三角比：（1）三角形的面积：
①12ABC S dh =△；②111
sin sin sin 222
ABC
S ab C A B ===△；
③ABC S =
△l 为ABC △的周长．（2）在ABC △中，
①sin sin cos cos cot cot a b A B A B A B A B >⇔>⇔>⇔<⇔<；②若ABC △是锐角三角形，则sin cos A B >；
③sin()sin sin()sin sin()sin A B C B C A A C B +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩；cos()cos cos()cos cos()cos A B C B C A A C B +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩；tan()tan tan()tan tan()tan A B C
B C A A C B +=-⎧⎪
+=-⎨⎪+=-⎩；④sin cos 22sin cos 22sin cos 22A B C B A C C A B +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩；tan cot 22tan cot
22tan cot 22A B C B A C
C
A B +⎧=⎪⎪
+⎪=⎨⎪
+⎪=⎪⎩；⑤sin cos 22sin cos 22
A B
A C ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩
；sin cos 22sin cos 22B A B C ⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩；sin cos 22sin cos 22
C
A C
B ⎧<⎪⎪⎨
⎪<⎪⎩；⇒sin sin cos cos 2222sin sin cos cos 2222sin sin cos cos 2222A B A B A C A C B
C B C ⎧
<⎪⎪
⎪
<⎨⎪
⎪<⎪⎩
⇒sin sin sin cos cos 222222A B C A B C <；
⑥sin sin sin 4cos cos 222cos cos cos 14sin sin sin
222sin sin sin 4sin cos 222A B C A B C A B C
A B C A B C A B C ⎧
++=⎪⎪
⎪++=+⎨⎪
⎪
+-=⎪⎩
；
sin 2sin 2sin 24sin sin sin cos 2cos 2cos 24cos cos cos 1A B C A B C
A B C A B C ++=⎧⎨
++=--⎩
；⑦sin sin sin (0,]23cos cos cos (1,]2
A B C A B C ⎧++∈⎪⎪⎨⎪++∈⎪⎩；sin sin sin (0,]8sin sin sin cos cos cos 1cos cos cos (1,]8A B C A B C A B C
A B C ⎧∈⎪⎪⎪>⎨⎪⎪∈-⎪⎩
．
其中，第一组可以利用琴生不等式来证明；第二组可以结合第一组及基
本不等式证明．
（3）在ABC △中，角A 、B 、C 成等差数列⇔3
B π=
．（4）ABC △的内切圆半径为2S
r a b c
=++．6、仰角、俯角、方位角：
略
7、和差化积与积化和差公式（理科）：
（1）积化和差公式：
1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]2
1cos cos )cos()]
21
sin sin )cos()]2
αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⎧
=++-⎪⎪
⎪=+--⎪⎨
⎪=-++⎪⎪⎪=--+⎩；（2）和差化积公式：sin sin 2sin cos 22sin sin 2cos sin 22
cos cos 2cos cos 22cos cos 2sin sin 22
αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-⎧
+=⎪⎪
+-⎪-=⎪⎨
-+⎪+=⎪⎪-+⎪-=-⎩．
六、三角函数
1、正弦函数、余弦函数和正切函数的性质、图像：
x
y sin =x
y cos =x
y tan =定义域R
R
},2
{Z k k x x ∈+
≠π
π值域]
1,1[-]
1,1[-R
奇偶性奇函数偶函数奇函数
周期性最小正周期π2=T 最小正周期π2=T 最小正周期π
=T 单调性
[2,2]22k k ππ
ππ-
+ ；3[2,2]22
k k ππ
ππ++ ．
（Z k ∈）
[2,2]k k πππ- ；[2,2]k k πππ+ ．
（Z k ∈）
(,)22
k k ππππ-
+ （Z k ∈）
最值
当22π
π-=k x 时，1min
-=y ；当2
2π
π+=k x 时，1max
=y ；
当ππ+=k x 2时，1min -=y ；
当πk x 2=时，1max
=y ；
无
例1：求函数5sin(2)3
y x π=+的周期、单调区间和最值．（当x 的系数为负数时，单调
性相反）解析：周期22
T π
π=
=，由函数x y sin =的递增区间[2,2]2
2
k k ππππ-+，可得
222232
k x k πππππ-
≤+≤+，即512
12
k x k π
π
ππ-≤≤+
，于是，函数5sin(2)73
y x π=++的递增区间为5[,]12
12
k k ππππ-+．
同理可得函数5sin(273y x π=++递减区间为7[,]1212
k k ππππ++．
当2232x k π
π
π+=+
，即12x k ππ=+时，函数5sin(2)3
y x π=+取最大值5；
当2232x k πππ+=-，即512x k ππ=-时，函数5sin(2)3
y x π=+取最大值5-．
例2：求函数5sin(27,[0,]3
2
y x x ππ=++∈的单调区间和最值．
解析：由[0,]2
x π∈，可得42[,]3
3
3
x πππ+∈．
然后画出23
x π+的终边图，然后就可以得出
当2[,]3
32x πππ+∈，即[0,]12x π∈时，函数5sin(2)73
y x π=++单调递增；
当42[,]323x πππ+∈，即[,]122x ππ∈时，函数5sin(2)73
y x π=++单调递减．
同时，当232
x π
π
+=，即12
x π=时，函数5sin(273
y x π=++取最大值12；
当423
3
x π
π+=
，即2
x π=时，函数5sin(2)73
y x π=++
取最小值72
-；
注意：当x 的系数为负数时，单调性的分析正好相反．
2、函数sin()y A x h ωϕ=++&cos()y A x h ωϕ=++&tan()y A x h ωϕ=++，其中0,0A ϕ>≠：（1）复合三角函数的基本性质：三角函数sin()y A x h
ωϕ=++其中0,0
A ϕ>≠cos()y A x h
ωϕ=++其中0,0A ϕ>≠tan()y A x h
ωϕ=++其中0,0
A ϕ>≠振幅A
无
基准线y h
=定义域(,)-∞+∞{,}2
x x k k Z π
ωϕπ+≠+
∈值域[,]
A h A h -+(,)
-∞+∞最小正周期2T π
ω
=
T πω
=
频率
12f T ωπ
==1f T ωπ
=
=
（2）函数sin()y A x h ωϕ=++与函数sin y x =的图像的关系如下：
①相位变换：
当0ϕ>时，sin sin()y x y x ϕϕ=−−−−−−
→=+向左平移个单位
；当0ϕ<时，sin sin()y x y x ϕϕ=−−−−−−
→=+向右平移个单位
；②周期变换：
当1ω>时，1
sin()sin()y x y x ω
ϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的横坐标缩短到原来的；当01ω<<时，1
sin()sin()y x y x ω
ϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−→=+所有各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）；
③振幅变换：
当1A >时，sin()sin()A y x y A x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−
→=+所有各点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变）
；当01A <<时，sin()sin()A y x y A x ωϕωϕ=+−−−−−−−−−−−−−−
→=+所有各点的纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变）
；④最值变换：
当0h >时，sin()sin()h y A x y A x h ωϕωϕ=+−−−−−−−−−
→=++所有各点向上平行移动个单位
；当0h <时，sin()sin()h y A x y A x h ωϕωϕ=+−−−−−−−−−
→=++所有各点向下平行移动个单位
；注意：函数cos()y A x h ωϕ=++和函数tan()y A x h ωϕ=++的变换情况同上．
3、三角函数的值域：（1）sin y a x b =+型：
设sin t x =，化为一次函数y at b =+在闭区间[1,1]-上求最值．（2）sin cos y a x b x c =±+，,0a b >型：
引入辅助角
,tan b a
ϕϕ=，化为)y x c ϕ=
±+．
（3）2sin sin y a x b x c =++型：
设sin [1,1]t x =∈-，化为二次函数2y at bt c =++求解．（4）sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+型：
设
sin cos [t x x =±∈，则2
12sin cos t x x =±，化为二次函数2(1)
2
a t y bt c -=±
++在
闭
区间
[t ∈上求最值．
（5）tan cot y a x b x =+型：
设tan t x =，化为b y at t
=+，用“Nike 函数”或“差函数”求解．（6）sin sin a x b y c x d +=+型：
方法一：常数分离、分层求解；方法二：利用有界性，化为1sin 1x -≤≤求解．（7）sin cos a x b y c x d
+=
+型：
化为sin cos a x yc x b dy -=-)x b dy
ϕ+=-，利用有界性，
sin()[1,1]x ϕ+=
-求解．
（8）22sin cos sin cos a x x b x c x ++，（0,,a b c ≠不全为0）型：
利用降次公式，可得22sin cos sin cos sin 222
2
2
a c
b b
c a x x b x c x x x -+++=++，然后利
用辅
助角公式即可．
4、三角函数的对称性：
对称中心
对称轴方程
x y sin =)0,(πk ，Z k ∈2
π
π+
=k x ，Z k ∈x y cos =)0,2(π
π+
k ，Z k ∈πk x =，Z
k ∈x y tan =)0,2(π
k Z k ∈/x
y cot =)0,2
(π
k Z k ∈/
备注：①x y sin =和x y cos =的对称中心在其函数图像上；
②x y tan =和x y cot =的对称中心不一定在其函数图像上．（有可能在渐近
线上）
例3：求函数5sin(2)73
y x π=++的对称轴方程和对称中心．解析：由函数sin y x =的对称轴方程2
ππ+=k x ，Z k ∈，可得232
x k π
π
π+=+
，Z k ∈解得122
k x π
π=+，Z k ∈．
所以，函数5sin(2)73
y x π=++的对称轴方程为122
k x π
π=+，Z k ∈．
由函数sin y x =的中心对称点)0,(πk ，Z k ∈，可得23
x k π
π+=，Z
k ∈解得6
2
k x ππ=-+，Z k ∈．
所以，函数5sin(2)73
y x π=++的对称中心为(,7)6
2
k ππ-+，Z k ∈．
5、反正弦、反余弦、反正切函数的性质和图像：
x
y arcsin =x y arccos =x y arctan =定义域
]
1,1[-]
1,1[-)
,(+∞-∞
重要结论：
（1）先反三角函数后三角函数：
①[1,1]sin(arcsin )cos(arccos )a a a a ∈-⇒==；②tan(arctan )a R a a ∈⇒=．（2）先三角函数后反三角函数：
①[,]22
ππθ∈-⇒arcsin(sin )θθ=；
②[0,]θπ∈⇒arccos(cos )θθ=；③(,)22
ππθ∈-⇒arctan(tan )θθ=．
（3）反三角函数对称中心特征方程式：
①[1,1]a ∈-⇒arcsin()arcsin a a -=-；②[1,1]a ∈-⇒arccos()arccos a a π-=-；③(,)a ∈-∞+∞⇒arctan()arctan a a -=-．
6、解三角方程公式：
sin ,1(1)arcsin ,cos ,12arccos ,tan ,arctan ,k x a a x k a k Z x a a x k a k Z x a a R x k a k Z πππ⎧=≤=+-∈⎪
=≤=±∈⎨⎪=∈=+∈⎩
．
七、数列与数学归纳法
1、等差数列、等比数列的常用公式：
2、等差数列的性质：
（1）若数列{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，则
①0d >时，{}n a 是递增数列；0d <时，{}n a 是递减数列；0d =时，{}n a 是常数
列．
②若*(,,,)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q a a a a +=+．③数列{}n
a m 是首项为1
a m ，公比为d m 的等比数列．
④下标成等差数列且公差为m 的项*2,,,,(,)k k m k m a a a k m N ++∈ 组成公差为md 的等
差数列．
⑥n S ，2n n S S -，32n n S S -是等差数列．⑦若,n m S S m n =≠，则0m n S +=．
⑧若,,n m a m a n m n ==≠，则0m n a +=；若,,n m S m S n m n ==≠，则()m n S m n +=-+．（2）若等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ；等差数列{}n b 的公差为d '，前n 项和为n T ，则
①*21
21
()n
n n
n a S n N b T --=
∈；②11
n
n n m
m m a S S b T T ---=
-；③lim
lim
n
n n n n
n
a S d
b T d →∞
→∞=='．（3）项数为偶数*()n n N ∈的等差数列{}n a 有：
①1112
2
2
2
()()(,)2
2
n n n n n n n n S a a a a a a ++=+==+ 为中间的两项；②2
n S S d -=奇偶；③
212
n n
a S S a =奇偶
．
（4）项数为奇数*()n n N ∈的等差数列{}n a 有：
①112
2
()n n n S na a ++=为中间项；②12
n S S a +-=奇偶；③
11
S n S n +=
-奇偶
．注意：S 奇、S 偶分别为数列中所有奇数项的和与所有偶数项的和．
3、等比数列的性质：
若数列{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列，则①若*(,,,)m n p q m n p q N +=+∈，则m n p q b b b b ⋅=⋅．
②数列{log }a n b 是首项为1log a b ，公差为log a q 的等差数列．
③下标成等差数列且公差为m 的项*2,,,,(,)k k m k m b b b k m N ++∈ 组成公比为m q 的等比数列．
④n S ，2n n S S -，32n n S S -是等比数列．
4、根据递推公式求通项公式：
①)(1n f a a n n +
=+（类等差数列），通过n a a a ,,,21 逐式相加（累加法），可求出通
项公式；
例：数列}{n a 中，21=a ，且n a a n n n -+=+21，求通项n a ．解析：由12n n n a a n +-=-，结合累加法，可得2
)
1(2--
=n n a n n
．②)(1n f a a n n ⋅=+（类等比数列），通过n a a a ,,,21 逐式相乘（累乘法），可求出通项公式；
例：数列}{n a 中，21=a ，且n n na a n =++1)1(，则其通项=n a ______．解析：由11n n
a n
a n +=
+，结合累乘法，可得2n a n
=．③)0()()(1≠=-+d d a f a f n n 或)()()()(112n n n n a f a f a f a f -=-+++（复合等差数列），通过求出
)(n a f 的通项公式，从而求出n a 的通项公式．其中，比较典型的就是取倒数法．
例：数列{}n a 中，11a =且122n
n n a a a +=
+，求n a ．解析：11112
n n a a +-=．④
)0()()(1≠=+q q a f a f n n 或)
()
()()(112n n n n a f a f a f a f +++=（复合等比数列），通过求出)(n a f 的通项公式，从而求出n a 的通项公式．
对于)1(1≠+=+s t sa a n n （线性数列），通过设)(1λλ+=++n n a s a ，可逐步求出通项公式．
例：已知数列{}n a 中，11a =，123n n a a +=+，求n a ．答案：123n n a +=-．对于1r n n a p a -=⋅型：
例：数列}{n a 中，)(,3*211N n a a a n n ∈==+，求数列的通项公式．答案：1
23
-=n n
a
⑤1n n a pa rn s -=++型：
例：设数列{}n a ：14a =，1321n n a a n -=+-，2n ≥，求n a ．答案：1631n n a n -=⋅--．
⑥1n n n a pa rq -=+型，其中(1)(1)0pq p q --≠．
例：已知数列{}n a 中，156
a =，1111(3
2
n n n a a ++=+，求n a ．答案：3223
n n
n a =
-．
⑦21n n n a pa qa ++=+型：
例：已知数列{}n a 中，11a =，22a =，21213
3
n n n a a a ++=+，求n a ．答案：1311[1()]4
3
n n a -=+--．
解析：方法一：令211()n n n n a a a a λμλ++++=+，然后就出λ，μ；
方法二：特征根法：
对于递推公式21n n n a pa qa ++=+，1a α=，2a β=给出的数列{}n a ，方
程
20x px q --=，叫做数列{}n a 的特征方程．
令1112n n n a Ax Bx --=+，其中1x 、2x 是特征方程的根，然后求出A 、B 即可．
⑧34112
n n n k a k a k a k ++=+型：
解析：于是34
112
n n n k a k a k a k ++=+⇒12
1
()
n n n a a k a k μλλ+++=
+．令n n b a λ=+，则12
1
n
n n b b k
b k μλ+=
-+，两边
取倒数，可得
2
11
111n n k k b b λμμ
+-+
=⋅-．．
⑨周期数列：和年份有关，代几项，看周期．
例：数列}{n a 满足11
,211+-==+n n a a a ，则2008a 等于（）
A．2
B．3
1
-C．2
3
-D．1
5、n S 与n a 的关系：⎩⎨⎧∈≥=-=-),2(*
11
1N n n a S S a S n n n
．例1：已知数列}{n a 的前n 项和为n n S n 22+=，求数列}{n a 的通项公式．
解析：由题可知，113a S ==，且21(1)2(1)n S n n -=-+-，于是121n n n a S S n -=-=+，2n ≥．
经验证，13a =也符合21
n a n =+←该步很重要，不可缺少
所以该数列的通项公式为121n n n a S S n -=-=+．
6、数列求和的常用方法：（1）倒序相加法：
已知数列{}n a 满足121n n a a a a -+=+= ，则121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎧⎪⎨=++++⎪⎩ ①②
，
由①+②得1()2
n n n a a S +=．
（2）错位相减法：
例2：求和：21123(10)n n S x x nx x x -=++++≠≠ 且．
解析：由题可得21
211232(1)n n n n
n S x x nx xS x x n x nx --⎧=++++⎪⎨=+++-+⎪⎩ ①
②
然后-①②，可得211(1)11n
n n n n x x S x x x nx nx x ---=+++-=-- ，即111n
n n x nx x
S x
---=-．
（3）裂项相消法：
①1111
()()n a n n k k n n k
==-++；
②1
n a k
=
=
；③
11
(1)!!(1)!
n n n n =-
++；④(1)()n a f n f n =
+-．
（4）常见数列的前n 项和公式：
①(1)1232
n n n +++++= ；
②2222(1)(21)1236
n n n n ++++++= ；
③33332(1)123[]2
n n n +++++= ．
7、数列中的最值：
①1()n n a a f n +-=，()0,,,()0,,,n n f n n D a n D f n n D a n D ≥∈∈⎧⎪⎨≤∈∈⎪⎩
当时单调递增
当时单调递减；
②()n a g n =的图像，或table 功能；
8、常用数列的极限：
①11
lim 011
11n n q q q q q →∞
=⎧⎪
=-<<⎨⎪≤->⎩
不存在或；②01
lim =∞
→n
n ．注意：lim n n q →∞
存在的充要条件是11q -<≤，且q 不一定代表公比，所有不需要0q ≠．例3：求出以下数列的极限：
（1）23251
lim 534
n n n n n →∞+-++；（2）22291
lim 54
n n n n →∞++-；（3）3221
lim 554
n n n n →∞+=+-_________．解析：若分子、分母都是多项式时，该分式数列的极限如下：
0=>⎧
⎪
⎪⎨
⎪⎪<⎩
分母的多项式次数分子的多项式次数分子的最高次项系数
分母的多项式次数分子的多项式次数分母的最高次项系数不存在分母的多项式次数分子的多项式次数．所以该题的答案：（1）0；（2）25
；（3）不存在．
例
4：计算：23
1
34lim
43n n n n n +++→∞-+．
解析：原式23
13444lim
4344
n n n n n n n n
n
+++→∞-=+39()644lim 313()4n n n →∞⋅-=+⋅9064130⨯-=+⨯64=-．
另外，该题还可以用lim n n
n n
n a
x y c a x b y a b
x y c x d y c d b
y x d →∞⎧>⎪⎪⋅+⋅+⎪==⎨⋅+⋅+⎪⎪>⎪⎩
来直接得出答案．
9、极限的运算法则：
①lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞±=±；注意：该式只用于有限个数列相加的情况；②lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅；③)0(lim lim lim ≠==∞
→∞
→∞→B B A b a b a n n n n n
n n ．特别地，如果C 是常数，那么由②可得
A C a C a C n n n n n ⋅=⋅=⋅∞
→∞
→∞
→lim lim )(lim ．
10、无穷等比数列各项的和：
1
lim 1n n a S S q
→∞
==
-，其中01q <<．11、数学归纳法：
证明与正整数n 有关的数学命题的步骤：
①证明当n 取第一个值0n （*0n N ∈，例如01n =或02n =）时命题成立；②假设当*0(,)n k k N k n =∈≥时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立．
在完成了上面两个步骤后，就可以断定这个命题对于从0n 开始的所有正整数n 都成立，这种证明方法叫做数学归纳法．
例5：用数学归纳法证明2222(1)(21)1236
n n n n ++++++= ．解析：①当1n =时，左边211==，右边12316
⨯⨯==，等式成立；
②假设当*(,1)n k k N k =∈≥时，等式成立，即
2222(1)(21)
1236
k k k k ++++++=
那么当1n k =+时，
左边22222123(1)k k =++++++ 2(1)(21)(1)6
k k k k ++=++(1)(2)(23)6
k k k +++=；
右边(1)(2)(23)6
k k k +++=；
于是证明，1n k =+时等式也成立．
根据①和②可以断定，2222(1)(21)1236
n n n n ++++++= 对任何*n N ∈都成立．
八、平面向量的坐标表示
1、平面向量的正交分解及坐标表示：
（1）已知11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--
；
（2）(,)AB xi y j x y =+= ，其中i
、j 分别是平行于x 轴、y 轴的单位向量；（3）向量AB
的模AB =
2、定比分点的坐标公式：
（1）若)1(21-≠=λλPP P P ，且),(111y x P 、),(222y x P 、),(y x P ，则
12
1P P P λλ+=+，即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧++=
++=λ
λλλ11212
1y y y x x x ．
（2）特别地，当1=λ时，P 为有向线段21P P 的中点，则
12
2P P P +=，即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+=222
121y y y x x x ．
平行四边形顶点关系式：
如图所示，平行四边形ABCD ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，则
A C
B D +=+，即1324
1324
x x x x y y y y +=+⎧⎨
+=+⎩
．
（3）已知ABC △，11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，重心(,)G x y ，则
3A B C G ++=，即123123
3
3x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨
++⎪=⎪⎩；
1133
AG AB AC =+
．
3、平面向量的的运算及关系：
若),(1111y x j y i x a =+=，),(2222y x j y i x b =+=，a 与b
的夹角为θ，则
（1）平面向量的运算：),(2121y y x x b a ±±=±；),(11y x a λλλ=．（2）向量的数量积及运算性质：
数量积：2121y y x x b a +==
⋅θ，其中],0[πθ∈
；特别地，2
a a a ==⋅；
对于R ∈λ
，有①0≥=⋅a a ，当且仅当0=⋅a a 时，0=a ；②a b b a ⋅=⋅；
③)()()(b a b a b a ⋅=⋅=⋅λλλ；④c a b a c b a ⋅+⋅=+⋅)(．
（3）向量的数量积与向量的夹角的关系：0[0,)2020(,]2a b a b a b πθπ
θπθπ⎧⋅>⇔∈⎪⎪⎪⋅=⇔=⎨
⎪
⎪⋅<⇔∈⎪⎩
．。