高等数学第五周讲义资料

v f (t) f (t0 ) t t0
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
2. 曲线在某点的切线
y y f (x)
N
M
T
o x0 x x
割线 M N 的斜率 tan
f (x) f (x0 ) x x0
切线的斜率k lim x x0
dy dx
x

x0
;
d f (x) dx x x0
若上述极限不存在 ,就说函数 在点 x0 不可导.
lim 若
也称 f (x) f (x0)
x x0 x x0
在 的导数为无穷大 .
函数在x0处可导的增量形式
y f (x) f (x0) x x x0
y xx0
本金为P，投资的年利率为 r。 若：以月为计 息周期，则此人 t年后本息和为
p(1

r 12
)12t
本金为P，投资的年利率为 r。
若：以天为计 息周期，则此人 t年后本息和为
p(1
) r 365t
365
本金为P，投资的年利率为 r。
若：以1/ n年为计息周期，则此人 t年后本息和为
p(1
r n
n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 分别记作
或
求幂函数 y x n 的各阶导数。
f(x0 )
例. 证明函数
在 x = 0 不可导.
证:
f (0 h) f (0) h
h h


1, 1,
lim f (0 h) f (0) 不存在 ,
h0
h
h0 h0
五、 函数的可导性与连续性的关系
定理.
证: 设
在点 x 处可导, 即
存在 , 因此必有
f(x)-f(x0 ) x x0
瞬时速度 切线斜率
上述属同类数学问题。
二、函数在一点处可导
定义 . 设函数
在点 的某邻域内有定义 ,
若
lim f (x) f (x0 )
xx0 x x0
存在, 则称函数
在点
处可导, 并称此极限为
在点 的导数. 记作:
y xx0 ;
f (x0 ) ;
1 x2
(arctan
x)

1
1 x2
(arc
cot
x)


1
1 x
2
五、高阶导数
定义. 若函数 y f (x) 的导数 y f (x) 可导,则称
的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 或
即
y ( y)
或
d2 y d x2
d (dy) d x dx
类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 依次类推 ,
故结论成立.
推论: 1) (C u ) C u ( C为常数 ) 2) (uvw) uvw uvw uvw
求下列函数的导数：
y x3 x2 2x 9 y cosx ln x
y (sinx 2cos x)ln x
(3)

u v


uv
u v2
x
sec2 x
(csc
x)


1 sin
x



(sin sin 2
x) x

cos x sin 2 x
csc x cot x
类似可证: (cot x) csc2 x , (sec x) sec x tan x .
二、反函数的求导法则
定理4. 设 y f (x)为 x f 1( y) 的反函数 , f 1( y) 在
y 的某邻域内严格单调可导, 且 [ f 1( y)] 0
f
( x)

[
f
1 1 (
y)]
证: 在 x 处给增量 x 0, 由反函数的单调性知
y f (x x) f (x) 0, y x
1
x y
且由反函数的连续性知 x 0 时必有y 0, 因此
h) h
v(x)


u(
x)
v(
x) u( v2 ( x)
x)
v(
x)
故结论成立.
推论:

C v


C v v2
( C为常数 )
例2. 求证
证:
(tan
x)


sin cos
x x

(sin
x)cos x sin cos 2 x
x
(cos
x)

cos 2 x sin2 cos 2 x
在点 x 可导,
在点
可导
复合函数
在点 x 可导, 且
d y f (u)g(x)
证:
y
dx
f (u) 在点 u 可导, 故
lim
y

f (u)
y f (u) （当
u0 u
时
)
u
y f (u)u u
故有
y f (u) u u
讨论函数
f
(
x)

lim
n
1 x2n 1 x2n
x
的连续性，若有间断点，判别其类型。
掌握初等函数的连续性、并会用闭区间上 连续函数的性质（最值定理、介值定理)进 行简单的证明。
如：P62（B（2））、P64(7)
第一章总复习题选讲
如：当
lim 2 ax3 bx2 1
x x2 1
f (x) lim y x0 x
lim y0
1
x y

[
f
1 1( y)]
证明的另外一种写法： y0
[ f 1( y0 )]
lim
y y0
f 1 ( y ) f 1 ( y0 ) y y0
x f 1 ( y )

lim x x0
x x0 f ( x) f ( x0 )
f (x0 )
lim y x0 x
导数就是一种特殊类型的极限。 引例问题的解：
在 t 0时刻的瞬时速度：位移关于时间的导数。
f (t0 )
曲线在 M 点处的切线斜率：曲线在M处的导数
f (x0 )
例1：求函数y=x2+1在x=2处的导数。
解： 函数的增量： y f ( x0 x) f ( x0 )
)
nt
e 连续复利公式：
lim
n
p(1
)r nt
n
rt
课后作业
• P48(A) 3 • P54(A) 3(1,2) • P59(A) 奇数题
第二章 导数与微分
第一节
导数的概念
引例
1. 变速直线运动的瞬时速度 设描述质点位移与时间的函数为
f (t0 )
o t0
f (t)
t
s
则 到 的平均速度为 而在 时刻的瞬时速度为
1 / lim f ( x) f ( x0 )
x x0
x x0
1/ f '( x0 )
例. 求反三角函数的导数.
解: 1) 设
则
cos y 0 , 则
(sin y)
1 cos y

y ( , ) ,
22
1 1 sin2 y
类似可求得
三、复合函数求导法则
定理5.
3、掌握无穷小的概念及性质，理解无穷 小阶的概念并能比较两个无穷小。 注意无穷小、无穷大、无界的关系
如判断：函数 y xcos x
是否无界，是否为无穷大量。
P33:B(1)
4、掌握函数连续性的定义及判断， 会判断间断点的类型
函数常见的间断点来源：函数无定义的 点、分段函数的分界点。
P54[3（4）]
证: 设 f (x) u(x)v(x) ,
f (x) lim f (x h) f (x) lim u(x h)v(x h) u(x)v(x)
h0
h
h0
h

lim
h 0
u(
x

h) h

u(
x)
v(
x

h)

u(
x)
v(x

h) h
v(
x)
u(x)v(x) u(x)v(x)
x
x x

d d
y x

lim y x0 x

lxim0
(x 0)


f
(u)g(x)
例：求下列函数的导数。
y sin5x y lncos x
y ln | x |, x 0
推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.
例如,
dy dy d u dv dx d u dv dx
v
证:
设
f
(x)

u(x) v(x)
,
则有
f (x) lim f (x h) f (x) lim
u(x h) u(x) v(x h) v(x)
h0
h
h 0
h

lim
h0

u(x

h) h
u(x) v(x) u(x) v(x
v(x h)v(x)

f (2 x) f (2)
[(2 x)2 1] (22 1)
(x)2 4x
lim y lim (x)2 4x
x0 x x0
x
lim(4 x) 4 x0
f '(2) 4
函数在区间上的导数（导函数）
f (u) (v) (x)
复合函数求导的链式法则
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
例. 设
求
例6. 设
基本初等函数的导数 (P78)
(C) 0
(x ) x1
(sin x) cos x
(cos x) sin x
(tan x) sec2 x
h0
h
lim [u(x h) v(x h) ] [u(x) v(x) ]
h0
h
lim u(x h) u(x) lim v(x h) v(x)
h0
h
h0
h
u(x) v(x)
故结论成立.
此法则可推广到任意有限项的情形. 例如,
(2) (uv) uv u v
四、 单侧导数
定义 . 设函数 有定义, 若极限
在点 的某个右 (左) 邻域内
( x 0 )
( x 0 )
存在, 则称此极限值为
f (x0 ) ( f(x0 ))
即 f (x0 )
在 处的右 (左) 导数, 记作
定理. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0)存在
(ln
x)'
1 x
例6. 求函数
的导数.
解:
则
lim f (x h) f (x) lim sin(x h) sin x
h0
h
h0
h
lim 2 cos(x h)
h0
2
lim cos(x h)
h0
2
cos x
即
(sin x) cos x
类似可证得 (cos x) sin x
(cot x) csc2 x
(sec x) sec x tan x (csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
(ex ) ex
(loga
x)

1 x ln a
(arcsin x) 1
1 x2(ln x) 1源自x(arccos x) 1
时， 求a,b
又如：
lim
x1
x2 axb x1
1,求a,b
f
(x
1)

lim (
n
nx n
)n
,
求f
(x)
lim (2)n 3n
n (2)n1 3n1
lim (1
n
1 n

1 n2
)n
lim ( ) ax bx cx
1 x
x0
3
lim (sin x)tanx
其中
故 所以函数
x 0
在点 x 连续 .
y
y x
注意: 函数在点 x 连续未必可导.
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
在闭区间 [a , b] 上可导
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导. 此时导数与自变量之间构成的函数称为导函数.
记作: y ; f (x) ; dy ; d f (x) .
dx dx
求基本初等函数的导数
f ' (x) (C)' 0
(xa )' a(xa1)
(a x )' a x ln a
与 f(b)
第二节
第二章
函数的求导法则
一、四则运算求导法则
定理1. 的和、差、积、商 (除分母
为 0的点外) 都在点 x 可导, 且
(v(x) 0)
(1) (u v) u v
证: 设 f (x) u(x) v(x) , 则
f (x) lim f (x h) f (x)
x( / 2)
P64(5)
例：求半径为R的圆的面积
圆内接正 n 边形面积为
2n
An

n

(
1 2
R2 sin
2
n
)
A圆

lim
n
An
lim
n
R2
sin
2 n

2
n
例9（连续复利问题）
本金为P，投资的年利率为 r。 若：以年为计 息周期，则此人 t年后本利和为
p(1 r)t