MATLAB计算方法迭代法牛顿法二分法实验报告

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说明：指导教师评分后，实验报告交院（系）办公室保存。

实验一 方程求根
一、 实验目的
用各种方法求任意实函数方程0)(=x f 在自变量区间[a ，b]上，或某一点附近的实根。

并比较方法的优劣。

二、 实验原理 (1)、二分法
对方程0)(=x f 在[a ，b]内求根。

将所给区间二分，在分点2a b x -=
判
断是否0)(=x f ；若是，则有根
2a b x -=。

否则，继续判断是否0)()(<∙x f a f ,
若是，则令x b =,否则令x a =。

否则令x a =。

重复此过程直至求出方程
0)(=x f 在[a,b]中的近似根为止。

（2）、迭代法
将方程0)(=x f 等价变换为x =ψ（x ）形式，并建立相应的迭代公式
=
+1k x ψ（x ）。

（3）、牛顿法
若已知方程 的一个近似根0x ，则函数在点0x 附近可用一阶泰勒多项式))((')()(0001x x x f x f x p -+=来近似，因此方程0)(=x f 可近似表示为
+)(0x f 0
))(('0=-x x x f 设0)('0≠x f ,则=x -0x )(')
(00x f x f 。

取x 作为原方程新的近
似根1x ，然后将1x 作为0x 代入上式。

迭代公式为：=+1k x -0x )
(')
(k k x f x f 。

三、 实验设备：MATLAB 7.0软件
四、 结果预测
（1）11x =0.09033 （2）5x =0.09052 （3）2x =0,09052 五、 实验内容
（1）、在区间[0,1]上用二分法求方程0210=-+x e x 的近似根，要求误差不
超过
3
105.0-⨯。

（2）、取初值00=x ，用迭代公式=+1k x -0x )
(')(k k x f x f ，求方程0210=-+x e x
的
近似根。

要求误差不超过3
105.0-⨯。

（3）、取初值0
0=x ，用牛顿迭代法求方程0210=-+x e x
的近似根。

要求误
差不超过
3
105.0-⨯。

六、 实验步骤与实验程序 （1） 二分法
第一步：在MATLAB 7.0软件，建立一个实现二分法的MATLAB 函数文件agui_bisect.m 如下：
function x=agui_bisect(fname,a,b,e) %fname 为函数名，a,b 为区间端点，e 为精度 fa=feval(fname,a); %把a 端点代入函数，求fa fb=feval(fname,b); %把b 端点代入函数，求fb if fa*fb>0 error('两端函数值为同号'); end
%如果fa*fb>0，则输出两端函数值为同号 k=0 x=(a+b)/2
while(b-a)>(2*e) %循环条件的限制
fx=feval(fname,x);%把x代入代入函数，求fx
if fa*fx<0%如果fa与fx同号，则把x赋给b，把fx赋给fb
b=x;
fb=fx;
else
%如果fa与fx异号，则把x赋给a，把fx赋给fa
a=x;
fa=fx;
end
k=k+1
%计算二分了多少次
x=(a+b)/2 %当满足了一定精度后，跳出循环，每次二分，都得新的区间断点a和b，则近似解为x=(a+b)/2
end
第二步：在MATLAB命令窗口求解方程f(x)=e^x+10x-2=0，即输入如下>>fun=inline('exp(x)+10*x-2')
>> x=agui_bisect(fun,0,1,0.5*10^-3)
第三步：得到计算结果，且计算结果为
（2） 迭代法
第一步：第一步：在MATLAB 7.0软件，建立一个实现迭代法的MATLAB 函数文件agui_main.m 如下： function x=agui_main(fname,x0,e)
%fname 为函数名dfname 的函数fname 的导数， x0为迭代初值 %e 为精度，N 为最大迭代次数(默认为100) N=100;
x=x0; %把x0赋给x ，再算x+2*e 赋给x0
x0=x+2*e;
k=0;
while abs(x0-x)>e&k<N %循环条件的控制：x0-x的绝对值大于某一精度，和迭代次数小于N
k=k+1 %显示迭代的第几次
x0=x;
x=(2-exp(x0))/10 %迭代公式
disp(x)%显示x
end
if k==N warning('已达到最大迭代次数');end %如果K=N则输出已达到最大迭代次数
第二步：在MATLAB命令窗口求解方程f(x)=e^x+10x-2=0，即输入如下>>fun=inline('exp(x)+10*x-2')
>> x=agui_main(fun,0,1,0.5*10^-3)
第三步：得出计算结果，且计算结果为
以下是结果的屏幕截图
（3） 牛顿迭代法
第一步：第一步：在MATLAB 7.0软件，建立一个实现牛顿迭代法的MATLAB 函数文件=agui_newton.m 如下： function x=agui_newton(fname,dfname,x0,e)
%fname为函数名dfname的函数fname的导数， x0为迭代初值
%e为精度，N为最大迭代次数(默认为100)
N=100;
x=x0; %把x0赋给x，再算x+2*e赋给x0
x0=x+2*e;
k=0;
while abs(x0-x)>e&k<N %循环条件的控制：x0-x的绝对值大于某一精度，和迭代次数小于N
k=k+1 %显示迭代的第几次
x0=x;
x=x0-feval(fname,x0)/feval(dfname,x0);%牛顿迭代公式
disp(x)%显示x
end
if k==N warning('已达到最大迭代次数');end %如果K=N则输出已达到最大迭代次数
第二步：在MATLAB命令窗口求解方程f(x)=e^x+10x-2=0，即输入如下>>fun=inline('exp(x)+10*x-2')
>> dfun=inline('exp(x)+10')
>> x=agui_newton(fun,dfun,0,0.5*10^-3)
第三步：得出结果，且结果为
以下是结果的屏幕截图
七、实验结果
（1）11x=0.09033 （2）5x=0.09052 （3）2x=0,09052
八、实验分析与结论
由上面的对二分法、迭代法、牛顿法三种方法的三次实验结果，我们可以得出这样的结论：二分法要循环k=11次，迭代法要迭代k=5次，牛
顿法要迭代k=2次才能达到精度为3105.0-⨯的要求，而且方程0
210=-+x e x 的精确解经计算，为0.0905250, 计算量从大到小依次是:二分法,迭代法,牛顿法。

由此可知，牛顿法和迭代法的精确度要优越于二分法。

而这三种方法中，牛顿法不仅计算量少，而且精确度高。

从而可知牛顿迭代法收敛速度明显加快。

可是迭代法是局部收敛的，其收敛性与初值x0有关。

二分法收敛虽然是速度最慢，但也有自己的优势，可常用于求精度不高的近似根。

迭代法是逐次逼近的方法,原理简单,但存在收敛性和收敛速度的问题。

对与不同的题目，可以从三种方法的优缺点考虑用哪一种方法比较好。