专题13 空间中的平行与垂直(命题猜想)-2018年高考数学(理)命题猜想与仿真押题(解析版)

【考向解读】
1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.
2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等. 【命题热点突破一】 空间线面位置关系的判定
(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；
(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．
例1、(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是( )
B C 【答案】A
【变式探究】【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，
1111AC A B ⊥.
求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC A C 在三角形ABC 中，因为D,E 分别为AB,BC 的中点. 所以//DE AC ，于是11//DE A C
又因为DE ⊄平面1111,A C F A C ⊂平面11A C F 所以直线DE//平面11A C F
【变式探究】(1)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A ．l 与l 1，l 2都不相交 B ．l 与l 1，l 2都相交
C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交
D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交
(2)平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥β
C ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α
D ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α
【答案】(1)D(2)D
【特别提醒】解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．
【变式探究】
已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不重合的平面，给出下列命题：
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；
③若α⊥β，m∥α，则m⊥β；
④若m⊥α，m∥β，则α⊥β.
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
【解析】对于①，垂直于同一个平面的两条直线平行，①正确；
对于②，直线n可能在平面α内，所以推不出n∥α，②错误；
对于③，举一反例，m⊂β且m与α，β的交线平行时，也有m∥α，③错误；
对于④，可以证明其正确性，④正确．
故选C.
【命题热点突破二】空间平行、垂直关系的证明
空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．
例2、【2017江苏，15】如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD ⊥AC .
【答案】（1）见解析（
2）见解析 【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ， EF AD ⊥，所以EF AB .
又因为EF ⊄平面ABC ， AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .
【变式探究】【2016高考江苏卷】(本小题满分14分)
如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，
1111AC A B ⊥.
求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .
(第15题)
A
D
B
C E F
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C
又因为111111*********,,A C A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=，平面平面
所以11A C ⊥平面11ABB A
因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111A C B D ⊥
又因为1111111111111C F,C F,B D A A C A A F A A C A F A ⊥⊂⊂=F ，平面平面
所以111C F B D A ⊥平面
因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.A C F ⊥平面
【变式探究】如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝ 3.
(1)证明：BC ∥平面PDA ；
(2)证明：BC ⊥PD ；
(3)求点C 到平面PDA 的距离． 【解析】
(2)证明 因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ⊥CD ，因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面PDC ，
因为PD ⊂平面PDC ，所以BC ⊥PD .
(3)解 如图，取CD 的中点E ，连接AE 和PE
.
因为PD ＝PC ，所以PE ⊥CD ，
在Rt △PED 中，PE ＝PD 2－DE 2＝42－32＝7.
因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PDC ， 所以PE ⊥平面ABCD ， 由(2)知：BC ⊥平面PDC ， 由(1)知：BC ∥AD ， 所以AD ⊥平面PDC ， 因为PD ⊂平面PDC ，
所以AD ⊥PD .设点C 到平面PDA 的距离为h ， 因为V 三棱锥CPDA ＝V 三棱锥P ACD ， 所以13S △PDA ·h ＝13S △ACD ·PE ，
即h ＝S △ACD ·PE S △PDA ＝1
2×3×6×7
12
×3×4＝372
，
所以点C 到平面PDA 的距离是37
2
.
【特别提醒】 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：
(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．
(2)证明线线垂直常用的方法：①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l ⊥α，a ⊂α⇒l ⊥a . 【变式探究】
如图所示，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．
求证：(1)AF ∥平面BCE ； (2)平面BCE ⊥平面CDE . 【解析】
证明 (1)如图，取CE 的中点G ，连接FG ，BG .
∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE .
∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB . 又AB ＝1
2DE ，∴GF ＝AB .
∴四边形GF AB 为平行四边形， 则AF ∥BG .
∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE .
【命题热点突破三】 平面图形的折叠问题
平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键．一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法．
例3、【2016高考新课标2理数】如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F
分别在,AD CD 上，5
4
AE CF ==
，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，OD '= （Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．
【答案】（Ⅰ）详见解析；【解析】
（Ⅰ）由已知得AC BD ⊥，AD CD =，又由AE CF =得
AE CF
AD CD
=
，故AC EF ∥.
因此EF HD ⊥，从而EF D H '⊥.由5AB =,6AC =得04DO B ===.
由EF AC ∥得
1
4
OH AE DO AD ==.所以1OH =，==3D H DH '. 于是222223110D H OH D O ''+=+==，
故D H OH '⊥. 又D H EF '⊥，而OH
EF H =，
所以D H ABCD '⊥平面.
【变式探究】如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ， E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图(2)．
(1)求证：DE ∥平面A 1CB ； (2)求证：A 1F ⊥BE ；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？请说明理由．
【解析】
(2)证明由题图(1)得AC⊥BC且DE∥BC，
所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.
所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，
所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，
所以A1F⊥平面BCDE，
又BE⊂平面BCDE，
所以A1F⊥BE.
(3)解线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.
理由如下：
如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.
又因为DE∥BC，
所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEP.
由(2)知，DE⊥平面A1DC，
所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，
所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.
从而A1C⊥平面DEQ.
故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.
【特别提醒】(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口；(2)存在探索性问题可先假设存在，然
后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论．
【变式探究】如图(1)，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，作如图(2)折叠，折痕EF ∥DC .其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 叠在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF .
(1)证明：CF ⊥平面MDF ； (2)求三棱锥M －CDE 的体积． 【解析】
(2)解 因为PD ⊥DC ，BC ＝2，CD ＝1，∠PCD ＝60°， 所以PD ＝3，由(1)知FD ⊥CF ， 在直角三角形DCF 中，CF ＝12CD ＝12
.
过点F 作FG ⊥CD 交CD 于点G ，得FG ＝FC sin60°＝12×32＝3
4
，
【高考真题解读】
1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()
B C
【解析】B选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；C选项中，AB∥MQ，且AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ；D选项中，AB∥NQ，且AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，则AB∥平面MNQ.故选A.
【答案】A
2．(2017·山东卷)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD 为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.
(1)证明：A1O∥平面B1CD1；
(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.
【解析】
证明：(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，
由于ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，
所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，
因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C.
又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，
所以A 1O ∥平面B 1CD 1.
3.【2017江苏，15】 如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ， BC ⊥BD ， 平面ABD ⊥平面BCD ， 点E ，F (E 与A ，D 不重合)分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD . 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC .
【答案】（1）见解析（
2）见解析 【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ， EF AD ⊥，所以EF AB .
又因为EF ⊄平面ABC ， AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC .
(第15题)
A
D
B
C E F
1.【2016高考新课标2理数】
,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥. （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.
（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④
2.【2016高考浙江理数】如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .
【答案】
1
2
【解析】ABC △中，因为2,120AB BC ABC ==∠=，所以30BAD BCA ∠=∠=.
由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅2222222cos12012=+-⨯⨯=
，所以AC =设AD x =，
则0x <<
，DC x =-.在ABD ∆中，由余弦定理可得
2222cos BD AD AB AD AB A =+-⋅22222cos30x x =+-
⋅24x =-+.
故BD =.
在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.
由余弦定理可得222cos 2PD PB BD BPD PD PB +-∠===
⋅30BPD ∠=. 由此可得，将△ABD 沿BD 翻折后可与△PBD 重合，无论点D 在任何位置，只要点D 的位置确定，当平面PBD ⊥平面BDC 时，四面体PBCD 的体积最大（欲求最大值可不考虑不垂直的情况）.
E
D
C
B
A
P
过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d =，则11
sin 22
PBD S BD d PD PB BPD =⨯=⋅∠△，
1
2sin 302
d x =⋅
，解得d =
3.【2016高考新课标1卷】平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为
(B
(D)13
【答案】A
【解析】如图，设平面11
CB D 平面ABCD ='m ，平面11
CB D 平面11ABB A ='n ，因为α∥平面11CB D ，
所以','m m n n ∥∥，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.过1D 作11D E B C ∥，交AD 的延长线于点E,连接
CE ，则CE 为'm .连接1A B ，过B 1作111B F A B ∥，交1AA 的延长线于点1F ，则11B F 为'n .连接BD ，则
111,BD CE B F A B ∥∥，则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，为60︒，故,m n ，选A.
12.【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，
6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）
（A ）4π （B ）92
π
（C ）6π （D ）
323
π
【答案】B
【解析】要使球的体积V 最大，必须球的半径R 最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值
3
2
，此时球的体积为334439()3322R πππ==，故选B ．
1．(2015·安徽，5)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行 C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D
2．(2015·浙江，8)如图，已知△ABC ，D 是AB 的中点，沿直线CD 将△ACD 翻折成△A ′CD ，所成二面角A ′－CD －B 的平面角为α，则( )
A ．∠A ′D
B ≤α B ．∠A ′DB ≥α
C ．∠A ′CB ≤α
D ．∠A ′CB ≥α 【答案】B
【解析】极限思想：若α＝π，则∠A ′CB ＜π，排除D ；若α＝0，如图，则∠A ′DB ，∠A ′CB 都可以大于0，排除A ，C.故选B.
3．(2015·浙江，13)如图，三棱锥A －BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．
【答案】78
4．(2015·江苏，16)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.
求证：(1)DE∥平面AA1C1C；
(2)BC1⊥AB1.
【解析】
(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，
所以CC1⊥平面ABC.
因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.
又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，
所以AC⊥平面BCC1B1.
又因为BC1⊂平面BCC1B1，
所以BC1⊥AC.
因为BC＝CC1，
所以矩形BCC1B1是正方形，
因此BC1⊥B1C.
因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，
所以BC1⊥平面B1AC.
又因为AB1⊂平面B1AC，
所以BC1⊥AB1.
5．(2015·新课标全国Ⅱ，19)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；
(2)求直线AF与平面α所成角的正弦值．
【解析】
(1)交线围成的正方形EHGF如图：
6．(2015·新课标全国Ⅰ，18)如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.
(1)证明：平面AEC⊥平面AFC，
(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．
【解析】
(1)证明连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.
在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1.由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝ 3.
由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ，可知AE ＝EC .又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC . 在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝2
2
. 在Rt △FDG 中，可得FG ＝
6
2
. 在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22，可得EF ＝322
， 从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG . 又AC ∩FG ＝G ，可得EG ⊥平面AFC .
因为EG ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC .
7．(2014·江苏，16)如图，在三棱锥P －ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知P A ⊥AC ，P A ＝6，BC ＝8，DF ＝5.
求证：(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC . 【解析】
(1)因为D ，E 分别为棱PC ，AC 的中点，所以DE ∥P A .
又因为P A ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，
所以直线P A ∥平面DEF .
(2)因为D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，P A ＝6，BC ＝8，
所以DE ∥P A ，DE ＝12
P A ＝3， EF ＝12
BC ＝4. 又因为DF ＝5，
故DF 2＝DE 2＋EF 2，
所以∠DEF ＝90°，即DE ⊥EF .
又P A ⊥AC ，DE ∥P A ，所以DE ⊥AC .
因为AC ∩EF ＝E ，AC ⊂平面ABC ，EF ⊂平面ABC ，
所以DE ⊥平面ABC .
又DE ⊂平面BDE ，
所以平面BDE ⊥平面ABC .
8．(2014·新课标全国Ⅱ，18)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．
(1)证明：PB ∥平面AEC ；
(2)设二面角D －AE －C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E －ACD 的体积．
(2)解 因为P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．
如图，
以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系A －xyz ，则D (0，3，
0)，E ⎝⎛⎭⎫0，32，12，AE →＝⎝
⎛⎭⎫0，32，12. 设B (m ，0，0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)．
设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，
则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0， 可取n 1＝⎝⎛⎭
⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量，由题设知|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即33＋4m 2＝12，解得m ＝3
2.因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E －ACD 的高为12，三棱锥E －ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38
.。