第九章多元函数微分法及其应用

第九章多元函数微分法及其应用
教学目的：
1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。

2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。

3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。

5、掌握多元复合函数偏导数的求法。

6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。

8、了解二元函数的二阶泰勒公式。

9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

教学重点：
1、二元函数的极限与连续性；
2、函数的偏导数和全微分；
3、方向导数与梯度的概念及其计算；
4、多元复合函数偏导数；
5、隐函数的偏导数
6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线；
7、多元函数极值和条件极值的求法。

教学难点：
1、二元函数的极限与连续性的概念；
2、全微分形式的不变性；
3、复合函数偏导数的求法；
4、二元函数的二阶泰勒公式；
5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；
6、拉格郎日乘数法；
7、多元函数的最大值和最小值。

§8. 1 多元函数的基本概念
一、平面点集n维空间
1．平面点集
由平面解析几何知道,当在平面上引入了一个直角坐标系后,平面上的点P与有序二元实数组(x,y)之间就建立了一一对应.于是,我们常把有序实数组(x,y)与平面上的点P视作是等同的.这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.
二元的序实数组(x,y)的全体,即R2=R⨯R={(x,y)|x,y∈R}就表示坐标平面.
坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作
E={(x,y)| (x,y)具有性质P}.
例如,平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是
C={(x,y)| x2+y2<r2}.
如果我们以点P表示(x,y),以|OP|表示点P到原点O的距离,那么集合C可表成C={P| |OP|<r}.
邻域:
设P 0(x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点, δ是某一正数. 与点P 0(x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体, 称为点P 0的δ邻域, 记为U (P 0, δ), 即
}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或
} )()( |) ,{(),(2
0200δδ<-+-=y y x x y x P U . 邻域的几何意义: U (P 0, δ)表示xOy 平面上以点P 0(x 0, y 0)为中心、δ >0为半径的圆的内
部的点P (x , y )的全体.
点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP
U
, 即 }||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P
U
. 注: 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域
记作)(0P
U
. 点与点集之间的关系:
任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种: (1)内点: 如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )⊂E , 则称P 为E 的内点; (2)外点: 如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )⋂E =∅, 则称P 为E 的外点;
(3)边界点: 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点.
E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作∂E .
E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E . 聚点:
如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U
内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点.
由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E . 例如, 设平面点集
E ={(x , y )|1<x 2+y 2≤2}.
满足1<x 2+y 2<2的一切点(x , y )都是E 的内点; 满足x 2+y 2=1的一切点(x , y )都是E 的边界点, 它们都不属于E ; 满足x 2+y 2=2的一切点(x , y )也是E 的边界点, 它们都属于E ; 点集E 以及它的界边∂E 上的一切点都是E 的聚点.
开集: 如果点集E 的点都是内点, 则称E 为开集. 闭集: 如果点集的余集E c 为开集, 则称E 为闭集. 开集的例子: E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}. 闭集的例子: E ={(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}.
集合{(x , y )|1<x 2+y 2≤2}既非开集, 也非闭集.
连通性: 如果点集E 内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E , 则称E 为连通集.
区域(或开区域): 连通的开集称为区域或开区域. 例如E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}.
闭区域: 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域. 例如E = {(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}.
有界集: 对于平面点集E , 如果存在某一正数r , 使得 E ⊂U (O , r ),
其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集.
无界集: 一个集合如果不是有界集, 就称这集合为无界集.
例如, 集合{(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是有界闭区域; 集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域; 集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域. 2. n 维空间
设n 为取定的一个自然数, 我们用R n 表示n 元有序数组(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )的全体所构成的集合, 即
R n =R ⨯R ⨯⋅ ⋅ ⋅⨯R ={(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )| x i ∈R , i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n }.
R n 中的元素(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )有时也用单个字母x 来表示, 即x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ). 当所有的x i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n )都为零时, 称这样的元素为R n 中的零元, 记为0或O . 在解析几何中, 通过直角坐标, R 2(或R 3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应, 因而R n 中的元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )也称为R n 中的一个点或一个n 维向量, x i 称为点x 的第i 个坐标或n 维向量x 的第i 个分量. 特别地, R n 中的零元0称为R n 中的坐标原点或n 维零向量. 为了在集合R n 中的元素之间建立联系, 在R n 中定义线性运算如下: 设x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )为R n 中任意两个元素, λ∈R , 规定 x +y =(x 1+ y 1, x 2+ y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n + y n ), λx =(λx 1, λx 2, ⋅ ⋅ ⋅ , λx n ). 这样定义了线性运算的集合R n 称为n 维空间.
R n 中点x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )和点 y =(y 1, y 2, ⋅ ⋅ ⋅ , y n )间的距离, 记作ρ(x , y ), 规定
2
2
222
11)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ.
显然, n =1, 2, 3时, 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至. R n 中元素x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )与零元0之间的距离ρ(x , 0)记作||x ||(在R 1、R 2、R 3中, 通常将||x ||记作|x |), 即
2
2
22
1 ||||n x x x ⋅⋅⋅++=x .
采用这一记号, 结合向量的线性运算, 便得
),()( )()(||||2
222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x . 在n 维空间R n 中定义了距离以后, 就可以定义R n 中变元的极限:
设x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), a =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n )∈R n . 如果
||x -a ||→0,
则称变元x 在R n 中趋于固定元a , 记作x →a . 显然,
x →a ⇔ x 1→a 1, x 2→a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n →a n .
在R n 中线性运算和距离的引入, 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念, 可以方便地引入到n (n ≥3)维空间中来, 例如,
设a =(a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n )∈R n , δ是某一正数, 则n 维空间内的点集 U (a , δ)={x | x ∈ R n , ρ(x , a )<δ}
就定义为R n 中点a 的δ邻域. 以邻域为基础, 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点, 以及开集、闭集、区域等一系列概念. 二. 多元函数概念
例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系 V =πr 2h .
这里, 当r 、h 在集合{(r , h ) | r >0, h >0}内取定一对值(r , h )时, V 对应的值就随之确定. 例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系
V RT
p =, 其中R 为常数. 这里, 当V 、T 在集合{(V ,T ) | V >0, T >0}内取定一对值(V , T )时, p 的对应值就
随之确定.
例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻, 由电学知道, 它们之间具有关系
2121R R R R R +=
.
这里, 当R 1、R 2在集合{( R 1, R 2) | R 1>0, R 2>0}内取定一对值( R 1 , R 2)时, R 的对应值就随之确定.
定义1 设D 是R 2的一个非空子集, 称映射f : D →R 为定义在D 上的二元函数, 通常记
为
z =f (x , y ), (x , y )∈D (或z =f (P ), P ∈D )
其中点集D 称为该函数的定义域, x , y 称为自变量, z 称为因变量.
上述定义中, 与自变量x 、y 的一对值(x , y )相对应的因变量z 的值, 也称为f 在点(x , y )处的函数值, 记作f (x , y ), 即z =f (x , y ). 值域: f (D )={z | z =f (x , y ), (x , y )∈D }.
函数的其它符号: z =z (x , y ), z =g (x , y )等.
类似地可定义三元函数u =f (x , y , z ), (x , y , z )∈D 以及三元以上的函数.
一般地, 把定义1中的平面点集D 换成n 维空间R n 内的点集D , 映射f : D →R 就称为定义在D 上的n 元函数, 通常记为
u =f (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n ), (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D , 或简记为
u =f (x ), x =(x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D , 也可记为
u =f (P ), P (x 1, x 2, ⋅ ⋅ ⋅ , x n )∈D .
关于函数定义域的约定: 在一般地讨论用算式表达的多元函数u =f (x )时, 就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域. 因而, 对这类函数, 它的定义域不再特别标出. 例如,
函数z =ln(x +y )的定义域为{(x , y )|x +y >0}(无界开区域);
函数z =arcsin(x 2+y 2)的定义域为{(x , y )|x 2+y 2≤1}(有界闭区域).
二元函数的图形: 点集{(x , y , z )|z =f (x , y ), (x , y )∈D }称为二元函数z =f (x , y )的图形, 二元函数的图形是一张曲面.
例如 z =ax +by +c 是一张平面, 而函数z =x 2+y 2的图形是旋转抛物面.
三. 多元函数的极限
与一元函数的极限概念类似, 如果在P (x , y )→P 0(x 0, y 0)的过程中, 对应的函数值f (x , y )无限接近于一个确定的常数A , 则称A 是函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限. 定义2
设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果存在常数A , 对于任意
给定的正数ε总存在正数δ, 使得当),(),(0δP
U D y x P
⋂∈时, 都有 |f (P )-A |=|f (x , y )-A |<ε
成立, 则称常数A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限, 记为
A
y x f y x y x =→),(lim )
,(),(00, 或f (x , y )→A ((x , y )→(x 0, y 0)),
也记作
A
P f P P =→)(lim 0
或f (P )→A (P →P 0). 上述定义的极限也称为二重极限.
例4. 设22
221
sin
)(),(y x y x y x f ++=, 求证0
),(lim )
0,0(),(=→y x f y x .
证 因为
222
2222222 |1sin ||| |01sin
)(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-,
可见∀ε >0, 取εδ=
, 则当
δ<-+-<2
2)0()0(0y x ,
即),(),(δO U D y x P
⋂∈时, 总有
|f (x , y )-0|<ε,
因此0
),(lim )
0,0(),(=→y x f y x .
必须注意:
(1)二重极限存在, 是指P 以任何方式趋于P 0时, 函数都无限接近于A .
(2)如果当P 以两种不同方式趋于P 0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在. 讨论:
函数
⎪⎩⎪
⎨⎧=+≠++=0 00 ),(2222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)有无极限？ 提示: 当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时,
0lim )0 ,(lim ),(lim 0
0)
0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ;
当点P (x , y )沿y 轴趋于点(0, 0)时,
0lim ) ,0(lim ),(lim 0
)
0,0(),(===→→→y y y x y f y x f .
当点P (x , y )沿直线y =kx 有
22222022 )0,0(),(1lim
lim
k k x k x kx y x xy x kx y y x +=+=+→=→. 因此, 函数f (x , y )在(0, 0)处无极限.
极限概念的推广: 多元函数的极限.
多元函数的极限运算法则: 与一元函数的情况类似.
例5 求x xy y x )
sin(lim
)
2,0(),(→. 解:
y xy xy x xy y x y x ⋅=→→)
sin(lim )sin(lim
)2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim
→→⋅==1⨯2=2. 四. 多元函数的连续性
定义3 设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)为D 的聚点, 且P 0∈D . 如果 )
,(),(lim
00)
,(),(00y x f y x f y x y x =→,
则称函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)连续.
如果函数f (x , y )在D 的每一点都连续, 那么就称函数f (x , y )在D 上连续, 或者称f (x , y )是D 上的连续函数.
二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去. 例6设f (x ,y )=sin x , 证明f (x , y )是R 2上的连续函数.
证 设P 0(x 0, y 0)∈ R 2. ∀ε>0, 由于sin x 在x 0处连续, 故∃δ>0, 当|x -x 0|<δ时, 有 |sin x -sin x 0|<ε.
以上述δ作P 0的δ邻域U (P 0, δ), 则当P (x , y )∈U (P 0, δ)时, 显然 |f (x , y )-f (x 0, y 0)|=|sin x -sin x 0|<ε,
即f (x , y )=sin x 在点P 0(x 0, y 0) 连续. 由P 0的任意性知, sin x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续. 证 对于任意的P 0(x 0, y 0)∈R 2. 因为
)
,(sin sin lim
),(lim 000)
,(),()
,(),(0000y x f x x y x f y x y x y x y x ===
→→,
所以函数f (x ,y )=sin x 在点P 0(x 0, y 0)连续. 由P 0的任意性知, sin x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续.
类似的讨论可知, 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时, 它们在各
自的定义域内都是连续的.
定义4设函数f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)不连续, 则称P 0(x 0, y 0)为函数f (x , y )的间断点. 例如
函数
⎪⎩⎪
⎨⎧=+≠++=0 00 ),(2222y x y x y x xy y x f , 其定义域D =R 2, O (0, 0)是D 的聚点. f (x , y )当(x , y )→(0, 0)时的极限不存在, 所以点O (0, 0)是
该函数的一个间断点.
又如, 函数
11
sin
22-+=y x z , 其定义域为D ={(x , y )|x 2+y 2≠1}, 圆周C ={(x , y )|x 2+y 2=1}上
的点都是D 的聚点, 而f (x , y )在C 上没有定义, 当然f (x , y )在C 上各点都不连续, 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点.
注: 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.
可以证明, 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数; 连续函数的商在分母不为零处仍连续; 多元连续函数的复合函数也是连续函数.
多元初等函数: 与一元初等函数类似, 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数, 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.
例如22
21y y x x +-+, sin(x +y ), 2
22z y x e ++都是多元初等函数.
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.
由多元连续函数的连续性, 如果要求多元连续函数f (P )在点P 0处的极限, 而该点又在此函数的定义区域内, 则
)
()(lim 00
P f P f p p =→.
例7 求xy y
x y x +→)2,1(),(lim
.
解: 函数
xy y
x y x f +=
),(是初等函数, 它的定义域为 D ={(x , y )|x ≠0, y ≠0}.
P 0(1, 2)为D 的内点, 故存在P 0的某一邻域U (P 0)⊂D , 而任何邻域都是区域, 所以U (P 0)是f (x , y )的一个定义区域, 因此
23
)2,1(),(lim
)
2,1(),(==→f y x f y x . 一般地, 求)
(lim 0P f P P →时, 如果f (P )是初等函数, 且P 0是f (P )的定义域的内点, 则f (P )在
点P 0处连续, 于是
)
()(lim 00
P f P f P P =→.
例8 求xy xy y x 1
1lim
)
0 ,0(),(-+→.
解:
)11()11)(11(lim
11lim
)0 ,0(),()
0 ,0(),(++++-+=-+→→xy xy xy xy xy xy y x y x 21111lim )0 ,0(),(=++=→xy y x .
多元连续函数的性质:
性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数, 必定在D 上有界, 且能取得它的最大值和最小值.
性质1就是说, 若f (P )在有界闭区域D 上连续, 则必定存在常数M >0, 使得对一切P ∈D , 有|f (P )|≤M ; 且存在P 1、P 2∈D , 使得
f (P 1)=max{f (P )|P ∈D }, f (P 2)=min{f (P )|P ∈D },
性质2 (介值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.
§8. 2 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法
对于二元函数z =f (x , y ), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y 固定, 这时它就是x 的一元函数, 这函数对x 的导数, 就称为二元函数z =f (x , y )对于x 的偏导数.
定义 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量∆x 时, 相应地函数有增量
f (x 0+∆x , y 0)-f (x 0, y 0).
如果极限
x y x f y x x f x ∆-∆+→∆)
,(),(lim
00000
存在, 则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作
0y y x x x z
==∂∂,
0y y x x x
f ==∂∂,
0y y x x x
z ==, 或),(00y x f x .
例如
x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆)
,(),(lim
),(00000
00.
类似地, 函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数定义为
y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim
00000
,
记作
y y x x y z
==∂∂,
y y x x y f
==∂∂,
y y x x y
z ==, 或f y (x 0, y 0).
偏导函数: 如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作
x z ∂∂, x f
∂∂, x z , 或),(y x f x .
偏导函数的定义式:
x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆)
,(),(lim
),(0
.
类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为
y z ∂∂, y f
∂∂, z y , 或),(y x f y .
偏导函数的定义式: y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆)
,(),(lim
),(0
.
求x f
∂∂时, 只要把y 暂时看作常量而对x 求导数; 求y f ∂∂时, 只要把x 暂时看作常量而对
y 求导数.
讨论: 下列求偏导数的方法是否正确？
),(),(00y y x x x x y x f y x f ===,
00
),(),(00y y x x y y y x f y x f ===.
0]),([),(000x x x y x f dx d y x f ==, 0
]),([),(000y y y y x f dy d
y x f ==.
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u =f (x , y , z )在点(x , y , z )处对x 的偏导数定义为
x z y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆)
,,(),,(lim
),,(0,
其中(x , y , z )是函数u =f (x , y , z )的定义域的内点. 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题.
例1 求z =x 2+3xy +y 2在点(1, 2)处的偏导数.
解 y x x z 32+=∂∂, y
x y z 23+=∂∂.
8
23122
1=⋅+⋅=∂∂==y x x
z
,
722132
1=⋅+⋅=∂∂==y x y
z .
例2 求z =x 2sin 2y 的偏导数.
解 y x x z 2sin 2=∂∂, y
x y z 2cos 22=∂∂.
例3 设)1,0(≠>=x x x z y
, 求证: z y z x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.
证 1-=∂∂y yx x z , x x y z y ln =∂∂.
z
x x x x x yx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=∂∂+∂∂-.
例4 求2
22z y x r ++=的偏导数.
解
r x z y x x x r =++=∂∂222; r y z y x y y r =++=∂∂222. 例5 已知理想气体的状态方程为pV =RT (R 为常数),
求证: 1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂p T T V V p .
证 因为
V RT
p =, 2V RT V p
-=∂∂;
p RT V =, p R
T V =∂∂;
R pV T =
, R V
p T =∂∂;
所以12-=-=⋅⋅
-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pV RT R V p R V RT p T T V V p .
例5 说明的问题: 偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商. 二元函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的偏导数的几何意义:
f x (x 0, y 0)=[f (x , y 0)]x '是截线z =f (x , y 0)在点M 0处切线T x 对x 轴的斜率.
f y (x 0, y 0) =[f (x 0, y )]y '是截线z =f (x 0, y )在点M 0处切线T y 对y 轴的斜率.
偏导数与连续性: 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如
⎪⎩⎪
⎨⎧=+≠++=0 00 ),(22222
2y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)有, f x (0, 0)=0, f y (0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续. 提示:
0)0 ,(=x f , 0) ,0(=y f ;
0)]0 ,([)0 ,0(==x f dx d f x , 0
)] ,0([)0 ,0(==y f dy d
f y .
当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时, 有
0lim )0 ,(lim ),(lim 00)
0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ;
当点P (x , y )沿直线y =kx 趋于点(0, 0)时, 有
2
2222022 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kx
y y x +=+=+→=→.
因此, )
,(lim )
0,0(),(y x f y x →不存在, 故函数f (x , y )在(0, 0)处不连续.
类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为
y z ∂∂, y f
∂∂, z y , 或),(y x f y .
偏导函数的定义式:
y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆)
,(),(lim
),(0
.
二. 高阶偏导数
设函数z =f (x , y )在区域D 内具有偏导数
),(y x f x z x =∂∂, )
,(y x f y z y
=∂∂,
那么在D 内f x (x , y )、f y (x , y )都是x , y 的函数. 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z =f (x , y )的二偏导数. 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 如果函数z =f (x , y )在区域D 内的偏导数f x (x , y )、f y (x , y )也具有偏导数,
则它们的偏导数称为函数z =f (x , y )的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数
),()(22y x f x z x z x xx
=∂∂=∂∂∂∂, )
,()(2
y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂,
),()(2y x f x y z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂∂, )
,()(2
2y x f y z y z y yy =∂∂=∂∂∂∂.
其中),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂, )
,()(2y x f x y z y z x yx
=∂∂∂=∂∂∂∂称为混合偏导数.
22)(x z x z x ∂∂=∂∂∂∂, y x z
x z y ∂∂∂=∂∂∂∂2)(, x y z y z x ∂∂∂=∂∂∂∂2)(, 2
2)(y z y z y ∂∂=∂∂∂∂.
同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.
例6 设z =x 3y 2-3xy 3-xy +1, 求22x z ∂∂、33x z
∂∂、x y z ∂∂∂2和y x z ∂∂∂2.
解 y y y x x z --=∂∂32233, x
xy y x y z --=∂∂2392;
22
26xy x z =∂∂, 2
336y x z =∂∂;
196222--=∂∂∂y y x y x z , 196222--=∂∂∂y y x x y z .
由例6观察到的问题: y x z x y z ∂∂∂=∂∂∂22
定理 如果函数z =f (x , y )的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及y x z
∂∂∂2在区域D 内连续, 那么在
该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.
类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数.
例7 验证函数22ln y x z +=满足方程0
2
222=∂∂+∂∂y z x z .
证 因为)
ln(21ln 2222y x y x z +=+=, 所以 22y x x
x z +=∂∂, 22y x y y z +=∂∂,
2222
2222222
2)()(2)(y x x y y x x x y x x
z +-=+⋅-+=∂∂,
22222)()(2)(y x y x y x y y y x y
z +-=+⋅-+=∂∂. 因此 0)()(22222222222
222=+-++-=∂∂+∂∂y x x y y x y x y z x z .
例8．证明函数r u 1=满足方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u ,
其中2
22z y x r ++=.
证: 32211r x
r x r x r r x
u -=⋅-=∂∂⋅-=∂∂, 523432
23131r x r x r r x r x u +-=∂∂⋅+-=∂∂. 同理 5232
231r y r y
u +-=∂∂, 5232231r z r z u +-=∂∂. 因此)
31()31()31(52352352322222
2r z r r y r r x r z u y u x
u +-++-++-=∂∂+∂∂+∂∂ 0
33)(3352352223=+-=+++-=r r r r z y x r .
提示: 623633322
3)()(r x r
r x r r r x x r r x x x u ∂∂⋅--
=∂∂⋅--=-∂∂=∂∂.
§8. 3全微分及其应用 一、全微分的定义
根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有 偏增量与偏微分:
f (x +∆x , y )-f (x , y )≈f x (x , y )∆x ,
f (x +∆x , y )-f (x , y )为函数对x 的偏增量, f x (x , y )∆x 为函数对x 的偏微分; f (x , y +∆y )-f (x , y )≈f y (x , y )∆y ,
f (x , y +∆y )-f (x , y )为函数)对y 的偏增量, f y (x , y )∆y 为函数对y 的偏微分. 全增量: ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ).
计算全增量比较复杂, 我们希望用∆x 、∆y 的线性函数来近似代替之. 定义 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量 ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ) 可表示为
) )()(( )(2
2y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ, 其中A 、B 不依赖于∆x 、∆y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ∆x +B ∆y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即
dz =A ∆x +B ∆y .
如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续. 这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则 ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )=A ∆x +B ∆y +o (ρ), 于是 0
lim 0
=∆→z ρ,
从而 )
,(]),([lim ),(lim 0
)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ.
因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续. 可微条件:
定理1(必要条件)
如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数x z ∂∂、y z
∂∂必定存在, 且函数
z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为
y
y z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 证 设函数z =f (x , y )在点P (x , y )可微分. 于是, 对于点P 的某个邻域内的任意一点P '(x +∆x , y +∆y ), 有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有 f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).
上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限, 就得 A
x y x f y x x f x =∆-∆+→∆)
,(),(lim
,
从而偏导数x z ∂∂存在, 且A
x z =∂∂. 同理可证偏导数y z ∂∂存在, 且B y z =∂∂. 所以
y
y z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 简要证明: 设函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分. 于是有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有
f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).
上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限, 就得
A
x x o A x y x f y x x f x x =∆∆+=∆-∆+→∆→∆]|)
(|[lim ),(),(lim
00,
从而x z ∂∂存在, 且A x z =∂∂. 同理y z ∂∂存在, 且B y z =∂∂. 所以
y
y z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 偏导数x z ∂∂、y z
∂∂存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件.
例如,
函数
⎪⎩⎪
⎨⎧=+≠++=0 00 ),(22222
2y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处虽然有f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0, 但函
数在(0, 0)不可微分, 即∆z -[f x (0, 0)∆x +f y (0, 0)∆y ]不是较ρ高阶的无穷小. 这是因为当(∆x , ∆y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时,
ρ]
)0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(222
2≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=
x x x x y x y
x .
定理2(充分条件)
如果函数z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂、y z
∂∂在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分.
定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数.
按着习惯, ∆x 、∆y 分别记作dx 、dy , 并分别称为自变量的微分, 则函数z =f (x , y )的全微分可写作
dy
y z dx x z dz ∂∂+∂∂=. 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理. 叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如函数u =f (x , y , z ) 的全微分为
dz z u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=. 例1 计算函数z =x 2y +y 2的全微分.
解 因为xy x z 2=∂∂, y
x y z 22+=∂∂,
所以dz =2xydx +(x 2+2y )dy .
例2 计算函数z =e xy 在点(2, 1)处的全微分.
解 因为xy ye x z =∂∂, xy xe y z =∂∂, 2
12e x z y x =∂∂==, 2122e
y z y x =∂∂==,
所以 dz =e 2dx +2e 2dy .
例3 计算函数yz
e y
x u ++=2sin 的全微分.
解 因为1=∂∂x u , yz ze y y u +=∂∂2cos 21, yz
ye z u =∂∂, 所以 dz
ye dy ze y
dx du yz yz +++=)2cos 21(.
*二、全微分在近似计算中的应用
当二元函数z =f (x , y )在点P (x , y )的两个偏导数f x (x , y ) , f y (x , y )连续, 并且|∆x |, |∆y |都较小时, 有近似等式
∆z ≈dz = f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y ,
即 f (x +∆x , y +∆y ) ≈ f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y . 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.
例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm 增大到20. 05cm , 高度由100cu
减少到99cm . 求此圆柱体体积变化的近似值.
解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r 、h 和V , 则有 V =π r 2h .
已知r =20, h =100, ∆r =0. 05, ∆h =-1. 根据近似公式, 有 ∆V ≈dV =V r ∆r +V h ∆h =2πrh ∆r +πr 2∆h
=2π⨯20⨯100⨯0. 05+π⨯202⨯(-1)=-200π (cm 3). 即此圆柱体在受压后体积约减少了200π cm 3. 例5 计算(1. 04)2. 02的近似值.
解 设函数f (x , y )=x y . 显然, 要计算的值就是函数在x =1.04, y =2.02时的函数值f (1.04, 2.02).
取x =1, y =2, ∆x =0.04, ∆y =0.02. 由于
f (x +∆x , y +∆y )≈ f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y
=x y +yx y -1∆x +x y ln x ∆y ,
所以
(1.04)2. 02≈12+2⨯12-1⨯0.04+12⨯ln1⨯0.02=1.08.
例6 利用单摆摆动测定重力加速度g 的公式是
224T l g π=. 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为l =100±0.1cm 、T =2±0.004s. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少？
解 如果把测量l 与T 所产生的误差当作|Δl |与|ΔT |, 则利用上述计算公式所产生的误差
就是二元函数
22
4T l
g π=的全增量的绝对值|Δg |. 由于|Δl |, |ΔT |都很小, 因此我们可以用dg 来近似地代替Δg . 这样就得到g 的误差为
||
||||T T g
l l g dg g ∆∂∂+∆∂∂=≈∆ T
l T g l g δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||
)
21(4322T l T l T δδπ+=, 其中δl 与δT 为l 与T 的绝对误差. 把l =100, T =2, δl =0.1, δT =0.004代入上式, 得g 的绝对误差约为
)004.0210022
1.0(43
22⨯⨯+=πδg
)/(93
.45.022
s cm ==π. 00
2225.02100
45.0=⨯=ππδg g
.
从上面的例子可以看到, 对于一般的二元函数z =f (x, y ), 如果自变量x 、y 的绝对误差分别为δx 、δy , 即
|Δx |≤δx , |Δy |≤δy ,
则z 的误差
|
|||||y y z x x z dz z ∆∂∂+∆∂∂=≈∆ |
|||||||y y z x x z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤ y x y z x z δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||;
从而得到z 的绝对误差约为
y
x z y
z x
z δδδ⋅∂∂+⋅∂∂=||||;
z 的相对误差约为
y x z z
y z z x z
z δδδ∂∂+∂∂=||.
§8. 4 多元复合函数的求导法则
设z =f (u , v ), 而u =ϕ(t ), v =ψ(t ), 如何求dt dz
？
设z =f (u , v ), 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), 如何求x z ∂∂和y z
∂∂？
1. 复合函数的中间变量均为一元函数的情形
定理1 如果函数u =ϕ(t )及v =ψ(t )都在点t 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(t ), ψ(t )]在点t 可导, 且有
dt dv
v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.
简要证明1: 因为z =f (u , v )具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有
dv
v z du u z dz ∂∂+∂∂=. 又因为u =ϕ(t )及v =ψ(t )都可导, 因而可微, 即有
dt dt du du =, dt dt dv dv =, 代入上式得
dt dt dv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dt dt dv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂=, 从而 dt dv
v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.
简要证明2: 当t 取得增量∆t 时, u 、v 及z 相应地也取得增量∆u 、∆v 及∆z . 由z =f (u , v )、u =ϕ(t )及v =ψ(t )的可微性, 有
)(ρo v v z u u z z +∆∂∂+∆∂∂=∆)
()]([)]([ρo t o t dt dv v z t o t dt du u z +∆+∆∂∂+∆+∆∂∂=
)()()()(ρo t o v z u z t dt dv v z dt du u z +∆∂∂+∂∂+∆⋅∂∂+⋅∂∂=, t o t t o v z u z dt
dv v z dt du u z t z ∆+∆∆∂∂+∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=∆∆)
()()(ρ, 令∆t →0, 上式两边取极限, 即得
dt dv
v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=.
注:0
)()(0)()()(lim )(lim 222200=+⋅=∆∆+∆⋅=∆→∆→∆dt dv dt du t v u o t o t t ρρρ.
推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(t), v =ψ(t ), w =ω(t ), 则z =f [ϕ(t), ψ(t ), ω(t )]对t 的导数为:
dt dw
w z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂=.
上述dt dz
称为全导数.
2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形
定理2 如果函数u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(x , y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有
x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, y v
v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.
推广: 设z =f (u , v , w ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y ), w =ω(x , y ), 则
x w w z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂, y w
w z y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.
讨论:
(1)设z =f (u , v ), u =ϕ(x , y ), v =ψ(y ), 则=∂∂x z ？=
∂∂y z ？ 提示: x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dy dv
v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.
(2)设z =f (u , x , y ), 且u =ϕ(x , y ), 则=∂∂x z ？=
∂∂y z ？
提示: x f x u u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂, y f
y u u f y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂.
这里x z ∂∂与x f ∂∂是不同的, x z
∂∂是把复合函数z =f [ϕ(x , y ), x , y ]中的y 看作不变而对x 的偏导数,
x f
∂∂是把f (u , x , y )中的u 及y 看作不变而 对x 的偏导数. y z ∂∂与y f ∂∂也朋类似的区别.
3．复合函数的中间变量既有一元函数, 又有多元函数的情形
定理3 如果函数u =ϕ(x , y )在点(x , y )具有对x 及对y 的偏导数, 函数v =ψ(y )在点y 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [ϕ(x , y ), ψ(y )]在点(x , y )的两个偏导
数存在, 且有
x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂, dy dv
v z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.
例1 设z =e u sin v , u =xy , v =x +y , 求x z ∂∂和y z
∂∂. 解 x v
v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂
=e u sin v ⋅y +e u cos v ⋅1
=e x y [y sin(x +y )+cos(x +y )],
y v
v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂
=e u sin v ⋅x +e u cos v ⋅1
=e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )].
例2 设2
22
),,(z
y x
e
z y x f u ++==, 而y x z sin 2
=. 求x u ∂∂和y u
∂∂.
解 x z
z f x f x u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂
y x ze xe
z y x
z y x
sin 2222
22
2
22
⋅+=++++
y
x y x
e
y x x 2422
sin 22)sin 21(2++++=.
y z
z f y f y u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂
y x ze ye z y x z
y x cos 2222
2
2
2
2
2
⋅+=++++ y
x y x e y y x y 2422sin 4)cos sin (2+++=.
例3 设z =uv +sin t , 而u =e t
, v =cos t . 求全导数dt dz
.
解 t z
dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=
=v ⋅e t +u ⋅(-sin t )+cos t =e t cos t -e t sin t +cos t =e t (cos t -sin t )+cos t .
例4 设w =f (x +y +z , xyz ), f 具有二阶连续偏导数, 求x w ∂∂及z x w
∂∂∂2.
解 令u =x +y +z , v =xyz , 则w =f (u , v ). 引入记号:
u v u f f ∂∂=
')
,(1, v u v u f f ∂∂∂='),(12
; 同理有2f ',11
f '',22f ''等. 2
1f yz f x v v f x u u f x w '
+'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂,
z f yz f y z f f yz f z
z x w ∂'
∂+'+∂'∂='+'∂∂=∂∂∂22
1212)(
2222121211
f z xy f yz f y f xy f ''+''+'+''+''= 22221211
)(f z xy f y f z x y f ''+'+''++''=. 注: 1211111f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂, 2221
222f xy f z v
v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂.
例5 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式:
(1)2
2)
()(y u x
u ∂∂+∂∂; (2)2222y u x u ∂∂+∂∂. 解 由直角坐标与极坐标间的关系式得 u =f (x , y )=f (ρcos θ, ρsin θ)=F (ρ, θ), 其中x =ρcos θ, y =ρsin θ,
2
2y x +=ρ,
x y
arctan
=θ.
应用复合函数求导法则, 得
x
u x u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρy u x u ∂∂-∂∂=ρθ
θθρsin cos y u u ∂∂-∂∂=, y
u y u y u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρx u y u ∂∂+∂∂=ρθ
θθρcos sin ∂∂+∂∂=u u . 两式平方后相加, 得
2
2222)(1)()()(θρρ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u y u x
u . 再求二阶偏导数, 得
x x u x x u x
u ∂∂⋅∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂θθρρ)()(22 θ
ρθθθρρcos )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂=u u
ρθ
ρθθθρ
θsin )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂-u u 222222
22
sin cos sin 2cos ρθθρθθθρθρ
∂∂+∂∂∂-∂∂=u u u ρθρρθθθ
2
2sin cos sin 2∂∂+∂∂+u u . 同理可得
22
22222222cos cos sin 2sin ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u y
u ρθρρθθθ
22
cos cos sin 2∂∂+∂∂-u u . 两式相加, 得
222222
22211θρρρρ∂∂++∂∂=∂∂+∂∂u
u y
u x u
])([122
2θρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=u u .
全微分形式不变性: 设z =f (u , v )具有连续偏导数, 则有全微分
dv
v z du u z dz ∂∂+∂∂=. 如果z =f (u , v )具有连续偏导数, 而u =ϕ(x , y ), v =ψ(x , y )也具有连续偏导数, 则
dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂= dy y v v z y u u z dx x v v z x u u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=
)()(dy y v dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂=
dv
v z du u
z ∂∂+∂∂=. 由此可见, 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性.
例6 设z =e u sin v , u =x y , v =x +y , 利用全微分形式不变性求全微分.
解
dv v z du u z dz ∂∂+∂∂== e u
sin vdu + e u cos v dv = e u sin v (y dx +x dy )+ e u cos v (dx +dy )
=( ye u sin v + e u cos v )dx +(xe u sin v + e u cos v )dy
=e xy [y sin(x +y )+cos(x +y )]dx + e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]dy .
§8. 5 隐函数的求导法则
一、一个方程的情形 隐函数存在定理1
设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有
y x
F F dx
dy
-=. 求导公式证明: 将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式 F (x , f (x ))≡0,
等式两边对x 求导得
=⋅∂∂+∂∂dx dy y F x F ,
由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得
y x
F F dx
dy
-=. 例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值.
解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).
y x
F F dx dy
y x -=-=, 00==x dx dy ;
33222222
1)(y y x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=,
10
22-==x dx y
d .
隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2
设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有
z x F F x
z -=∂∂, z y
F F y z -=∂∂. 公式的证明: 将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F (x , y , f (x , y ))≡0, 将上式两端分别对x 和y 求导, 得
0=∂∂⋅+x z F F z x , 0
=∂∂⋅+y z
F F z y .
因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得
z x F F x
z -=∂∂, z y F F y z -=∂∂. 例2. 设x 2+y 2+z 2-4z =0, 求2x z
∂∂.
解 设F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-4z , 则F x =2x , F y =2z -4,
z x z x F F x z z x -=--=-=∂∂2422,
3222222
)2()2()2()2()2()2()2(z x x z z x x x z x z x x x z -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂.
二、方程组的情形
在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x ,
y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数
22y x y u +=
,
22y x x v +=
. 事实上, xu -yv =0 ⇒u y x v =⇒1=⋅+u y x x yu ⇒2
2y x y
u +=, 2
222y x x y x y
y x v +=+⋅=.
如何根据原方程组求u , v 的偏导数？ 隐函数存在定理3 隐函数存在定理3
设F (x , y , u , v )、G (x , y , u , v )在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数, 又F (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, G (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, 且偏导数所组成的函数行列式:
v G u G
v F
u F
v u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=
∂∂=),(),(
在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)不等于零, 则方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 它们满足条件u 0=u (x 0, y 0), v 0=v (x 0, y 0), 并有
v u
v u
v x v x
G G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1,
v u
v
u
x u x u
G G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1,
v u v
u v
y v y G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1,
v u v
u y
u y u G G F F G G F F y u G F J y v -
=∂∂-=∂∂),(),(1.
隐函数的偏导数:
设方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0确定一对具有连续偏导数的 二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 则
偏导数x u ∂∂, x v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.
0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定;
偏导数y u ∂∂, y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.
0,
0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定.
例3 设xu -yv =0, yu +xv =1, 求x u ∂∂, x v ∂∂, y u ∂∂和y v
∂∂. 解 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于x u ∂∂和x v
∂∂的方程组
⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+0
0x v x v x u y x v y x u x u ,
当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yv xu x
u ++-=∂∂, 22y x xv
yu x v +-=∂∂. 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于y u ∂∂和y v
∂∂的方程组
⎪⎩
⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂0
0y v x y u y u y v y v y u x , 当x 2+y 2 ≠0时, 解之得2
2y x yu xv y u +-=∂∂, 22y x yv
xu y
v ++-=∂∂. 另解 将两个方程的两边微分得
⎩⎨⎧=+++=--+00xdv vdx ydu udy ydv vdy xdu udx , 即⎩⎨⎧--=+-=-vdx
udy xdv ydu udx
vdy ydv xdu .
解之得
dy y x yu
xv dx y x yv xu du 2222+-+++-
=,
dy y x yv
xu dx y x xv yu dv 2222++-+-=
.
于是 22y x yv xu x
u ++-=∂∂, 22y x yu xv y u +-=∂∂, y x xv yu x v +-=∂∂, 22y x yv xu y
v
++-=∂∂. 例4 设函数x =x (u , v ), y =y (u , v )在点(u , v )的某一领域内连续且有连续偏导数, 又
0),()
,(≠∂∂v u y x .。