通用版2018学高考数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测十八数列理201802062107

课时跟踪检测（十八） 数 列
1．(2017· 长沙模拟)已知数列{a n }满足a 1＝32
，a n ＋1＝3a n －1(n ∈N *)． (1)若数列{b n }满足b n ＝a n －12
，求证：{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .
解：(1)证明：由已知得a n ＋1－12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12(n ∈N *)，从而有b n ＋1＝3b n .又b 1＝a 1－12
＝1， 所以{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列．
(2)由(1)得b n ＝3n －1，从而a n ＝3n －1
＋12，
所以S n ＝1＋12＋3＋12＋…＋3n －1＋12＝1＋3＋…＋3n －1＋n 2＝1－3n 1－3＋n 2＝3n ＋n －
12.
2．(2017·云南模拟)已知数列{a n }中，a 2n ＋2a n －n 2
＋2n ＝0.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n .
解：(1)由a 2n ＋2a n －n 2
＋2n ＝0，
得(a n －n ＋2)(a n ＋n )＝0.
∴a n ＝n －2或a n ＝－n .
∴{a n }的通项公式为a n ＝n －2或a n ＝－n .
(2)①当a n ＝n －2时，易知{a n }为等差数列，且a 1＝－1， ∴S n ＝n a 1＋a n 2＝n －1
＋n －2＝n n －2.
②当a n ＝－n 时，易知{a n }也为等差数列，且a 1＝－1， ∴S n ＝n a 1
＋a n 2＝n
－1－n 2＝－n
n ＋2.
故S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n n －2
a n ＝n －，
－n n ＋2a n ＝－n
3．(2017·南京模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＋S 4＝S 5.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令b n ＝(－1)n －1a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，
由S 3＋S 4＝S 5，可得a 1＋a 2＋a 3＝a 5，即3a 2＝a 5， 所以3(1＋d )＝1＋4d ，解得d ＝2.
∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.
(2)由(1)，可得b n ＝(－1)n －1·(2n －1)． ∴T 2n ＝1－3＋5－7＋…＋(4n －3)－(4n －1) ＝(1－3)＋(5－7)＋…＋(4n －3－4n ＋1) ＝(－2)×n ＝－2n .
4．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，前n 项和为S n .数列{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝6，b 2＋S 3＝8.
(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；
(2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n
. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，d >0，等比数列{b n }的公比为q ， 则a n ＝1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.
依题意有⎩
⎪⎨⎪⎧ q ＋d ＝6，q ＋3＋3d ＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝－43，q ＝9
(舍去)． 故a n ＝n ，b n ＝2n －1
. (2)由(1)知S n ＝1＋2＋…＋n ＝12
n (n ＋1)， 即1S n ＝2n n ＋＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋1， 故1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝2⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋
⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 5．(2018届高三·惠州调研)已知数列{a n }中，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上，且首项
a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值．
解：(1)根据已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2， 即a n ＋1－a n ＝2＝d ，
所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.
(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2. 等比数列{b n }中，b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， 所以q ＝3，b n ＝3n －1.
数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12
. T n ≤S n 即3n －12
≤n 2，又n ∈N *， 所以n ＝1或2.
6．(2017·石家庄模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)．
(1)求m 的值；
(2)若数列{b n }满足a n 2
＝log 2b n (n ∈N *)，求数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和． 解：(1)由已知得，a m ＝S m －S m －1＝4， 且a m ＋1＋a m ＋2＝S m ＋2－S m ＝14， 设数列{a n }的公差为d ，则有2a m ＋3d ＝14， ∴d ＝2.
由S m ＝0，得ma 1＋m m －2×2＝0， 即a 1＝1－m ，
∴a m ＝a 1＋(m －1)×2＝m －1＝4， ∴m ＝5.
(2)由(1)知a 1＝－4，d ＝2，∴a n ＝2n －6， ∴n －3＝log 2b n ，得b n ＝2
n －3， ∴(a n ＋6)·b n ＝2n ×2n －3＝n ×2n －2. 设数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和为T n ， 则T n ＝1×2－1＋2×20＋…＋(n －1)×2n －3＋n ×2n －2，① 2T n ＝1×20＋2×21＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1，② ①－②，得－T n ＝2－1＋20＋…＋2n －2－n ×2n －1 ＝2－1－2n 1－2－n ×2n －1
＝2n －1－12
－n ×2n －1， ∴T n ＝(n －1)×2n －1＋12
(n ∈N *)．。