数理金融第四讲

上述两式相减（2）－（1）：
1 i P P A A1 i n
1 1 i P A i
n
1 (1 i) P A i i A P n 1 (1 i)
i • 其中， n 1 (1 i)
记为（A/P，i，n）。
称为资金还原系数，
3/4 I ( t ) 140 t 例2-10 给定净投资 ，且当t=0时初 始资本存量是150，求资本存量函数K（t）
例2-11边际储蓄倾向 ，当收入是 25时，储蓄减少3.5，即当Y=25时，s=-3.5， 求储蓄函数。
1 ds 0.5 0.2Y 2 dY
• 定积分的应用
一、定积分问题的提出
由此可得 y x 2 在 (， ) 上为严格的凸函数，
y x为 0， 上的严格凹函数.
很明显，若 f (x)为(严格)的凸函数, 那么– f (x)就
为(严格) 凹函数，反之亦然. 弦在上方就是凸函数，弦在下方就是凹函数。 y y x y 2
yx
A
B
B
A
O
x
O
0
1
2
3
4
5
A
A
A
A
A
P A1 i A1 i A1 i ...... A1 i
1 2 3
• 由于：
n
等式两边同乘（1+i）：
1 i P A1 i 0 A1 i 1 A1 i 2 ...... A1 i (n1)
(五）利用指数、对数函数计算时间最优问题 • 例2-6 为投资买入的土地以下面的公式增值：
V 1000e (F )
t
3
在连续计算复利下贴现率为0.09，为使土地的 现值最大，应该持有该土地多久？
二、数理金融中微分方法的运用
（一）边际效用函数的分析 边际成本：它度量的是因产量的变动而 引起的成本的变动，指每一单位新增生 产的产品带来到总成本的增量。它是产 量的函数，比如，仅生产一辆汽车的成 本是极其巨大的，而生产第101辆汽车的 成本就低得多，而生产第10000汽车的成 本就更低了 。
函数的凸性与拐点
仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性
状，还须要考虑弯曲方向。
如右图所示L1 ，L2 ，L3
y
B L1
虽然都是从A点单调上升到
B点，但它们的弯曲方向却
A
L3
L2
不一样。
o
x
L1 是“凹(上凸)”弧，L2是“凸(下凸)”弧 ，L3既有
凸弧，也有凹弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼
称 f ( x ) 在区间[a , b] 上可积.
（二）消费者剩余和生产者剩余的测度 • 消费者剩余是指消费者为获得一定数量 的某种商品（或劳务）所愿意支付的最 高款额与其实际支出的款额之间的差额。
消费者剩余=
Q0
0
f1 (Q)dQ Q0 P0
• 我们把需求曲线上方的面积称作消费者 剩余。类似地，供给曲线上方的面积称 作生产者剩余。 • 生产者出售Q0单位商品实际得到的货币 量和他愿意换取的最小货币量之间的差 额记为生产者生产者剩余。
投资总是对一段时间而言的，因此，投资是时 段的函数，是流量。 资本存量指在一定时点上机器、设备、厂房等 投资品的数量，是时间t的函数，是存量。 经过一定时间的投资（净投资），资本存量增 加了。若KT0表示前一时期资本存量，KT1表示 本期资本存量，令T=T1-T0, △KT表示本期资本 存量变化量，IT表示本期投资，则：IT= △KT= KT1- KT0
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ), (1)
则称 f 为 I上的一个凸函数. 反之如果总有
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 ), (2)
则称 f 为 I 上的一个凹函数. 如(1)和(2)式中的不等号改为严格不等号,则相应 的函数称为严格凸函数和严格凹函数.
被 积 函 数
被 积 表 达 式
b
n
积分和
积分下限
积 分 变 量
[a , b] 积分区间
注意：
（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关， ( x )dx a f (t )dt a f (u)du
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
b
b
b
[a , b] 上的定积分存在时， （3）当函数 f ( x ) 在区间
实例1 （求曲边梯形的面积）
曲边梯形由连续曲线 y f ( x ) ( f ( x ) 0) 、
x 轴与两条直线 x a 、
y
y f ( x)
A?
o
a b
x b 所围成.
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
最大值与最小值
由连续函数的性质, 若 f (x) 在 [a, b] 上连续, 那
么一定有最大、最小值, 这对求函数的最大(小)
值提供了强有力的保证. 因为极大(小)值是局部的最大(小)值, 故若函数在 区间内部(不是端点)取得最大(小)值, 那么这个值 一定是极大(小)值. 这也就告诉我们: 最大(小)值 只可能在极值点、区间端点和不可导点之中取得.
i 1
怎样的分法， 也不论在小区间[ x i 1 , x i ] 上
点 i 怎样的取法，只要当 0 时，和 S 总趋于
I ， 我们称这个极限 确定的极限 I 为函数 f ( x ) 在区间[a , b] 上的定积分， 记为
积分上限
f ( i )x i a f ( x )dx I lim 0 i 1
（四）分期付款
• 例2-4 汽车每辆售价100000元，成交时付款34000 元，其余66000元分11个月付款，即每月 6000元，月息0.0042, 试求其现值。
(五）利用指数、对数函数计算时间最优问题 • 例2-6 为投资买入的土地以下面的公式增值：
V 1000e (F )
t
3
在连续计算复利下贴现率为0.09，为使土地的 现值最大，应该持有该土地多久？
三、数理金融中积分方法的应用
• 不定积分的应用
流量和存量
凡是在任何一个时点上可观测的量，就是存量，换句 话说，存量可以看作是时间变量t的函数，S=S（t）。 时间变量是可以连续取值的，这意味着对存量的观测 是随时的。流量是时段的函数，F＝F（T），T是时段， 第一时段、第二时段……，是按照序数取值的，只能 是自然序数，是不连续的整数。 一件事物的存在状态是可以被观测的。存量就是描述 存在状态的，这个定义决定了存量可以在一个时点上 被观测到，观测结果可以用来表述事物当时的存在状 态即模样。但是流量不行。流量必须通过指定时段内 的累加才能得到，是一个过程量，描述的是一个过程。
(三）银行按揭贷款
• 银行按揭贷款是以客户的信誉作担保，或以一 定资产做抵押，先在银行贷款，然后再分期等 额偿还。银行按揭可归结为数学问题：贷款P 元，年利率为r，分n期等额偿还，每期应偿还 多少？ • 一般以一个月为一期，月末偿还，年息为r，月 息为i=r/12，设每期偿还A元，则n期还款折现 为现值的总和应等于贷款总和P。
y
在每个小区间[ xi 1 , xi ] 上任取一点 i，
o a
x1
x i 1 i xi
xn1 b
x
以 [ xi 1 , xi ]为底， f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f ( i )xi
曲边梯形面积的近似值为
A f ( i )xi
i 1
n
当分割无限加细 ,即小区间的最大长度
（二）经济函数最优化
• 例2-8 已知一个企业的总收益水平是
R 4000Q 33Q2
• 总成本函数是
C 2Q3 3Q2 400Q 500
• 设Q大于0，求其最大利润。
（三）划拨价格的决定机制
• 例2-9 某生产赛车的跨国公司由两个部 门组成，上游部门生产引擎，下游部门 组装赛车。 下游的需求曲线为P=20000-Q，成本为 Cd=8000Q 求引擎的划拨价格P1，赛车的产量Q，引 擎的产量Q1，赛车的销售价格P。
定理 (极值的第二充分条件) 设 f (x) 在点 x0
的某邻域 U ( x0 ; ) 内可导，f ( x0 ) 存在.若
f ( x0 ) 0, f ( x0 ) 0 ,
那么 x x0 是 f ( x ) 的一个极值点 , 并且
(i) f ( x0 ) 0, 则 f ( x ) 在 x x0 处取极小值. (ii) f ( x0 ) 0, 则 f ( x ) 在 x x0 处取极大值 .
x
定理 设 f (x) 在区间 I 上二阶可导，则 f (x)
在区间I上是凸(凹)函数的充要条件为：
f ( x ) 0 ( f ( x ) 0).
例2-7
• 已知总成本函数 TC Q 18Q 750Q ，利 用微分知识做出总成本、平均成本和边际成 本三者关系的图形
3 2
定理 (极值的第一充分条件) 设函数 f (x) 在
x0 连续，在某邻域 U ( x0 ; ) 上可导 . (i) 若当 x ( x0 , x0 ) 时,f ( x0 ) 0,当 x ( x0 , x0 )

时，f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在点 x0 取得极小值 . (ii) 若当 x ( x0 , x0 )时, f ( x0 ) 0, 当x ( x0 , x0 ) 时，f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在点 x0 取得极大值 .