(全国通用)2020版高考数学二轮复习 专题三 数列 第1讲 等差数列与等比数列练习 理

第1讲 等差数列与等比数列
「考情研析」 1.从具体内容上，主要考查等差数列、等比数列的基本计算和基本性质及等差、等比数列中项的性质、判定与证明． 2.从高考特点上，难度以中、低档题为主，近几年高考题一般设置一道选择题和一道解答题，分值分别为5分和12分.
核心知识回顾
1.等差数列
(1)通项公式：□
01a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . (2)等差中项公式：□
022a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)． (3)前n 项和公式：□
03S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2. 2．等比数列
(1)等比数列的通项公式：□
01a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m . (2)等比中项公式：□02a 2
n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)．
(3)等比数列的前n 项和公式：
□03S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
na 1(q ＝1)，a 1－a n q 1－q
＝a 1(1－q n )
1－q (q ≠1).
3．等差数列的性质(n ，m ，l ，k ，p 均为正整数)
(1)若m ＋n ＝l ＋k ，则□01a m ＋a n ＝a l ＋a k (反之不一定成立)；特别地，当m ＋n ＝2p 时，有□
02a m ＋a n ＝2a p .
(2)若{a n }，{b n }是等差数列，则{ka n ＋tb n }(k ，t 是非零常数)是□
03等差数列． (3)等差数列“依次每m 项的和”即S m ，□
04S 2m －S m ，□05S 3m －S 2m ，…仍是等差数列． (4)等差数列{a n }，当项数为2n 时，S 偶－S 奇＝□
06nd ，S 奇S 偶＝□07a n a n ＋1
，项数为2n －1时，S 奇
－S 偶＝□
08a 中＝□09a n ，S 2n －1＝(2n －1)a n 且S 奇S 偶＝□10n n －1.(其中S 偶表示所有的偶数项之和，S 奇表示所有的奇数项之和)
4．等比数列的性质(n ，m ，l ，k ，p 均为正整数)
(1)若m ＋n ＝l ＋k ，则□01a m ·a n ＝a l ·a k (反之不一定成立)；特别地，当m ＋n ＝2p 时，有□
02a m ·a n ＝a 2p .
(2)当n 为偶数时，S 偶S 奇
＝□03
q (公比)．(其中S 偶表示所有的偶数项之和，S 奇表示所有的奇数项之和)
(3)等比数列“依次m 项的和”，即S m ，□
04S 2m －S m ，□05S 3m －S 2m ，…(S m ≠0)成等比数列．
热点考向探究
考向1 等差数列、等比数列的运算
例1 (1)(2019·陕西榆林高考第三次模拟)在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，且满足若a 3＋S 5＝12，a 4＋S 7＝24，则a 5＋S 9＝( )
A ．24
B ．32
C ．40
D ．72
答案 C
解析 ∵a 3＋S 5＝6a 3＝12，a 4＋S 7＝8a 4＝24，∴a 3＝2，a 4＝3，∴a 5＝4，∴a 5＋S 9＝10a 5
＝40.故选C.
(2)在等差数列{a n }中，已知a 4＝5，a 3是a 2和a 6的等比中项，则数列{a n }的前5项的和为( )
A ．15
B ．20
C ．25
D ．15或25
答案 D
解析 设公差为d ，∵a 3为a 2，a 6的等比中项，∴a 2
3＝a 2·a 6，即(a 4－d )2
＝(a 4－2d )(a 4＋2d )，∴5d (d －2)＝0，∴d ＝0或d ＝2.∴5－d ＝5或3，即a 3＝5或3，∴S 5＝5a 3＝25或15.故选D.
(3)已知正项数列{a n }满足a 2
n ＋1－6a 2
n ＝a n ＋1a n ，若a 1＝2，则数列{a n }的前n 项和为________． 答案 3n
－1
解析 ∵a 2
n ＋1－6a 2
n ＝a n ＋1a n ，∴(a n ＋1－3a n )(a n ＋1＋2a n )＝0，∵a n >0，∴a n ＋1＝3a n ，∴{a n }为等比数列，且首项为2，公比为3，∴S n ＝3n
－1.
利用等差数列、等比数列的通项公式、前n 项和公式，能够在已知三个元素的前提下求解另外两个元素，其中等差数列的首项和公差、等比数列的首项和公比为最基本的量，解题中首先要注意求解最基本的量．
1．在各项为正数的等比数列{a n }中，S 2＝9，S 3＝21，则a 5＋a 6＝( ) A ．144 B ．121 C ．169 D ．148
答案 A
解析 由题意可知，⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋a 2＝9，a 1＋a 2＋a 3＝21，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1(1＋q )＝9，a 1(1＋q ＋q 2
)＝21，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
q ＝2，
a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧
q ＝－23，
a 1＝27
(舍去)．∴a 5＋a 6＝a 1q 4
(1＋q )
＝144.故选A.
2．(2019·辽宁沈阳郊联体高三一模)我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，五等人与六等人所得黄金数之和为( )
A.1
3 B.7
6
C.73
D.67
答案 C
解析 设a n 为第n 等人的得金数，则{a n }为等差数列，由题设可知a 1＋a 2＋a 3＝4，a 8＋a 9
＋a 10＝3，故a 2＝43，a 9＝1，而a 5＋a 6＝a 2＋a 9＝7
3
.故选C.
3．(2019·安徽太和第一中学高一调研)定义：在数列{a n }中，若满足
a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n
＝d (n ∈N *
，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则
a 2022
a 2020
＝( )
A ．4×20202
－1 B ．4×20192
－1 C ．4×20222－1
D ．4×20192
答案 A
解析 ∵a 1＝a 2＝1，a 3＝3，∴a 3a 2－a 2a 1
＝2，∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n ＋1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴
a n ＋1
a n
＝2n －1， ∴
a 2022a 2020＝a 2022a 2021·a 2021a 2020
＝(2×2021－1)×(2×2020－1)＝4×20202
－1.故选A. 考向2 等差数列、等比数列的判定与证明
例2 已知数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项的和为S n ，且满足a n ＝2S 2
n 2S n －1
(n≥2，n∈N *
)．
(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 是等差数列；
(2)证明：13S 1＋15S 2＋17S 3＋…＋12n ＋1S n <1
2
.
证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2
n 2S n －1，S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，1S n －1
S n －1＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬
⎫1S n 是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)可知，1S n ＝1
S 1
＋(n －1)·2＝2n －1，
所以S n ＝1
2n －1
.
13S 1＋15S 2＋17S 3＋…＋12n ＋1S n ＝
11×3＋13×5＋15×7＋…＋1
(2n －1)(2n ＋1)
＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－1
7＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12×⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12n ＋1<12
.
(1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明，其他方法最后都会回到定义，如证明等差数列可以证明通项公式是n 的一次函数，但最后还得使用定义才能说明其为等差数列．
(2)证明数列{a n }为等比数列时，不能仅仅证明a n ＋1＝qa n ，还要说明a 1≠0，才能递推得出数列中的各项均不为零，最后断定数列{a n }为等比数列．
(3)证明等差、等比数列，还可利用等差、等比数列的中项公式．
(2019·江西八所重点中学4月联考)设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝44－a n (n ∈N *
)．
(1)求证：数列⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫
1a n －2是等差数列； (2)设b n ＝
a 2n
a 2n －1
，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)证明：∵a n ＋1＝44－a n ，∴1a n ＋1－2－1a n －2＝144－a n
－2－1a n －2＝4－a n 2a n －4－1a n －2＝
2－a n
2a n －4
＝－1
2
为常数，又a 1＝1，
∴
1a 1－2＝－1，∴数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫1a n －2是以－1为首项，－1
2为公差的等差数列．
(2)由(1)知，1a n －2＝－1＋(n －1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－n ＋12， ∴a n ＝2－
2n ＋1＝2n n ＋1
， ∴b n ＝a 2n a 2n －1＝4n
2n ＋12(2n －1)2n ＝4n
2
(2n －1)(2n ＋1)
＝1＋1(2n －1)(2n ＋1)＝1＋12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1，
∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝n ＋1
2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12n ＋1＝n ＋n 2n ＋1，
所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n ＋n
2n ＋1
.
考向3 数列中a n 与S n 的关系问题
例3 设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝3，a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *
)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋3，得a n ＝2S n －1＋3， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ， ∴a n ＋1＝3a n ，∴
a n ＋1
a n
＝3. 当n ＝1时，a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，则a 2a 1
＝3. ∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列． ∴a n ＝3×3
n －1
＝3n
.
(2)由(1)，得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)×3n
. ∴T n ＝1×3＋3×32
＋5×33
＋…＋(2n －1)×3n
，① 3T n ＝1×32
＋3×33
＋5×34
＋…＋(2n －1)×3n ＋1
，②
①－②，得
－2T n ＝1×3＋2×32
＋2×33
＋…＋2×3n －(2n －1)×3n ＋1
＝3＋2×(32
＋33
＋…＋3n )－(2n －1)×3n ＋1
＝3＋2×32(1－3n －1
)1－3
－(2n －1)×3n ＋1
＝－6－(2n －2)×3n ＋1
.
∴T n ＝(n －1)×3
n ＋1
＋3.
由a n 与S n 的关系求通项公式的注意点
(1)应重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论，特别注意a n ＝S n －S n －1
成立的前提是n ≥2.
(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合，则需统一表示(“合写”)． (3)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).
(2019·福建泉州5月质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2. (1)证明：{a n }为等比数列；
(2)记b n ＝log 2a n ，数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
λb n b n ＋1的前n 项和为T n ，若T n ≥10恒成立，求λ的取值范围． 解 (1)证明：由已知，得a 1＝S 1＝2，a 2＝S 1＋2＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －1＋2，
所以a n ＋1－a n ＝(S n ＋2)－(S n －1＋2)＝a n ，所以a n ＋1＝2a n (n ≥2)． 又a 2＝2a 1，所以
a n ＋1a n
＝2(n ∈N *
)， 所以{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． (2)由(1)可得a n ＝2n
，所以b n ＝n . 则
λb n b n ＋1＝λn (n ＋1)＝λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1， T n ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－1
3＋…＋1
n －1
n ＋1＝λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1
n ＋1， 因为T n ≥10，所以
λn n ＋1≥10，从而λ≥10(n ＋1)
n
， 因为10(n ＋1)n
＝10⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1n ≤20，所以λ的取值范围为[20，＋∞)．
真题
押题
『真题模拟』
1．(2019·湖南六校高三联考)已知公差d ≠0的等差数列{a n }满足a 1＝1，且a 2，a 4－2，
a 6成等比数列，若正整数m ，n 满足m －n ＝10，则a m －a n ＝( )
A ．10
B ．20
C ．30
D ．5或40
答案 C
解析 由题意，知(a 4－2)2
＝a 2a 6，因为{a n }为等差数列，所以(3d －1)2
＝(1＋d )(1＋5d )，因为d ≠0，解得d ＝3，从而a m －a n ＝(m －n )d ＝30.故选C.
2．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2
答案 C
解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
a 1>0，q >0，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3
＝15，
a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，q ＝2，
∴a 3＝a 1q 2
＝4.故选C.
3．(2019·安徽宣城高三第二次调研)我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得________白米( )
A ．96石
B ．78石
C ．60石
D ．42石
答案 C
解析 今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石．设此等差数列为{a n }，公差为d ，其前n 项和为S n ，∴d ＝a 3－a 1
3－1
＝
－362＝－18，S 3＝3a 1＋3×2
2
×(－18)＝180，解得a 1＝78.∴a 2＝a 1＋d ＝78－18＝60.∴乙应
该分得60石．故选C.
4．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2
－8n D ．S n ＝12
n 2
－2n
答案 A
解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＋4d ＝5，
4a 1＋6d ＝0，解得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝－3，
d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋
n (n －1)
2
×2＝n 2
－4n .故选A.
5．(2019·新疆高三第一次诊断)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝3，a 1＋a 2＋…＋a 6＝21，
数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，若对一切n ∈N *
，恒有S 2n －S n >m 16，则m 能取到的最大正整数是
________．
答案 7
解析 设数列{a n }的公差为d ，由题意得，
⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＋2d ＝3，6a 1＋15d ＝21，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，d ＝1，
∴a n ＝n ，且1a n ＝1n ，∴S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ，
令T n ＝S 2n －S n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
2n
， 则T n ＋1＝
1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2
， 即T n ＋1－T n ＝12n ＋2＋12n ＋1－1n ＋1>12n ＋2＋12n ＋2－1
n ＋1＝0，
∴T n ＋1>T n ，则T n 随着n 的增大而增大， 即T n 在n ＝1处取最小值，∴T 1＝S 2－S 1＝1
2，
∵对一切n ∈N *
，恒有S 2n －S n >m
16成立，
∴12>m
16即可，解得m <8， 故m 能取到的最大正整数是7.
『金版押题』
6．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝1
2
S n ＋1S n ，则数列{S n }的通项公式为
________．
答案 －
2n ＋1
解析 由已知得a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝1
2S n ＋1S n ，
所以
1
S n ＋1－1S n ＝－12，所以⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1S n 是以－1为首项，－12为公差的等差数列．所以1S n ＝－1－1
2(n －1)＝－12n －12.故S n ＝－2
n ＋1
.
7．给出一个直角三角形数阵(如下)，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i 行第j 列的数为a ij (i ≥j ，i ，j ∈N *
)，则a n 4＝________.
14 12，14 34，38，316 … 答案
n
32
解析 因为每一列的数成等差数列，且第一列公差为12－14＝14，所以a i 1＝14＋(i －1)14＝i
4，
因为从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等为3
834
＝12，所以a ij ＝a i 1⎝ ⎛⎭⎪
⎫12j －1
＝i 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12j －1(i ≥3)，因此a n 4＝n 4⎝ ⎛⎭⎪⎫124－1＝n 32
. 8．已知正项等比数列{a n }满足：a 2a 8＝16a 5，a 3＋a 5＝20，若存在两项a m ，a n 使得 a m a n ＝32，则1m ＋4
n
的最小值为________．
答案 34
解析 因为数列{a n }是正项等比数列，a 2a 8＝16a 5，a 3＋a 5＝20，
所以a 2a 8＝a 2
5＝16a 5，a 5＝16，a 3＝4.由a 5＝a 3q 2
，得q ＝2(q ＝－2舍去)，由a 5＝a 1q 4
，得
a 1＝1，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，
因为a m a n ＝32，所以2
m －12
n －1
＝210
，m ＋n ＝12，1m ＋4n ＝112(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝112⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥
112
⎝ ⎛
⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝3
4
(m >0，n >0)，当且仅当n ＝2m 时“＝”成立， 所以1m ＋4n 的最小值为34
.
配套作业
一、选择题
1．(2019·山东德州高三下学期联考)在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＋a 7
a 2＋a 4
＝8，则a 6的值为( )
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
答案 D
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝1，a 5＋a 7a 2＋a 4＝8，∴a 1(q 4＋q 6)
a 1(q ＋q 3)＝8，解得q ＝2，则
a 6＝25＝32.故选D.
2．已知等比数列{a n }满足a 1a 2＝1，a 5a 6＝4，则a 3a 4＝( ) A ．2 B ．±2 C. 2 D ．± 2
答案 A
解析 ∵a 1a 2，a 3a 4，a 5a 6成等比数列，即(a 3a 4)2
＝(a 1a 2)(a 5a 6)，∴(a 3a 4)2
＝4，a 3a 4与a 1a 2
符号相同，故a 3a 4＝2，故选A.
3．(2019·安徽蚌埠高三下学期第二次检测)等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋1，a 2＋1，
a 4＋1成以d 为公比的等比数列，则d ＝( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
答案 A
解析 将a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1转化为a 1，d 的形式为a 1＋1，a 1＋1＋d ，a 1＋1＋3d ，由于这三个数成以d 为公比的等比数列，故a 1＋1＋d a 1＋1＝a 1＋1＋3d a 1＋1＋d ＝d ，化简得a 1＋1＝d ，代入a 1＋1＋d
a 1＋1
＝d ，得2d
d
＝2＝d ，故选A.
4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A ．63 B ．45 C ．36
D ．27
答案 B
解析 解法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 3＝9，S 6
＝36，得⎩⎪⎨⎪⎧
3a 1
＋3×22
d ＝9，6a 1
＋6×5
2
d ＝36，即⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋d ＝3，
2a 1＋5d ＝12，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，
d ＝2，
所以a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＝3(a 1＋7d )＝3×(1＋7×2)＝45.
解法二：由等差数列的性质，知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，即9,27，S 9－S 6成等差数列，所以S 9－S 6＝45，即a 7＋a 8＋a 9＝45.
5．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若S 3，S 9，S 6成等差数列，则( ) A ．S 6＝－2S 3 B ．S 6＝－1
2S 3
C ．S 6＝1
2S 3
D ．S 6＝2S 3
答案 C
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则S 6＝(1＋q 3
)S 3，S 9＝(1＋q 3
＋q 6
)S 3，因为S 3，S 9，S 6
成等差数列，所以2(1＋q 3＋q 6)S 3＝S 3＋(1＋q 3)S 3，解得q 3
＝－12，故S 6＝12
S 3.
6．(2019·陕西西安高三第一次质检)已知函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，且函数
f (x )在(1，＋∞)上单调，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，则{a n }的
前21项之和为( )
A ．0 B.25
2
C ．21
D ．42
答案 C
解析 函数y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称，平移可得y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且函数f (x )在(1，＋∞)上单调，由数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 4)＝f (a 18)，可得a 4＋a 18＝2，所以a 1＋a 21＝a 4＋a 18＝2，可得数列{a n }的前21项和S 21＝21(a 1＋a 21)
2＝21.故选
C.
二、填空题
7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1,2S n ＝a n ＋1，则S n ＝________. 答案 3
n －1
解析 由2S n ＝a n ＋1得2S n ＝a n ＋1＝S n ＋1－S n ，所以3S n ＝S n ＋1，即
S n ＋1
S n
＝3，所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，q ＝3为公比的等比数列，所以S n ＝3n －1.
8．设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. 答案 －8
解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3， ∴a 1(1＋q )＝－1， ①
a 1(1－q 2)＝－3. ②
∵a 1＋a 2＝－1≠0，∴q ≠－1，即1＋q ≠0.②÷①，得1－q ＝3，∴q ＝－2.∴a 1＝1，∴
a 4＝a 1q 3＝1×(－2)3＝－8.
9．(2019·山西太原第五中学高三阶段检测)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，
a n ＋1成等差数列，
b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________．
答案 a n ＝
n (n ＋1)
2
解析 由题设可得a n ＋1＝b n b n ＋1，a n ＝b n b n －1，得2b n ＝a n ＋a n ＋1⇒2b n ＝b n b n －1＋b n b n ＋1，即2b n ＝b n －1＋b n ＋1，又a 1＝1，a 2＝3⇒2b 1＝4⇒b 1＝2，则{b n }是首项为2的等差数列．由
已知得b 2＝a 22
b 1＝92，则数列{b n }的公差d ＝b 2－b 1＝322－2＝22
，所以b n ＝2＋(n －
1)22＝2(n ＋1)2，即b n ＝n ＋12.当n ＝1时，b 1＝2，当n ≥2时，b n －1＝n 2
，则a n ＝b n b n －1＝
n (n ＋1)
2
，a 1＝1符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝
n (n ＋1)
2
.
10．已知数列{a n }满足13a 1＋132a 2＋…＋1
3n a n ＝3n ＋1，则a n ＝________，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n
＝________.
答案 ⎩
⎪⎨⎪⎧
12，n ＝1，
3n ＋1
，n ≥2 ⎩⎪⎨⎪⎧
12，n ＝1，3n ＋2
－3
2
，n ≥2
解析 由题意可得，当n ＝1时，13a 1＝4，解得a 1＝12.当n ≥2时，13a 1＋132a 2＋…＋1
3
n －1a n
－1
＝3n －2，所以13
n a n ＝3，n ≥2，即a n ＝3n ＋1，n ≥2，又当n ＝1时，a n ＝3n ＋1
不成立，所以a n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
12，n ＝1，3n ＋1
，n ≥2.
当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n ＝12＋33－3n ＋21－3＝3n ＋2
－3
2
.
三、解答题
11．(2019·广东茂名五大联盟学校高三3月联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足
a n －1
2
S n －1＝0(n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)是否存在实数λ，使得数列{S n ＋(n ＋2n
)λ}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)由a n －12
S n －1＝0(n ∈N *
)，可知当n ＝1时，
a 1－12a 1－1＝0，即a 1＝2.又由a n －12
S n －1＝0(n ∈N *)．
可得a n ＋1－1
2
S n ＋1－1＝0，
两式相减，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12S n ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12S n －1＝0， 即1
2
a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝2a n . 所以数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列， 故a n ＝2n
(n ∈N *
)．
(2)由(1)知，S n ＝a 1(1－q n )1－q
＝2(2n
－1)，
所以S n ＋(n ＋2n )λ＝2(2n －1)＋(n ＋2n
)λ 若数列{S n ＋(n ＋2n
)λ}为等差数列，
则S 1＋(1＋2)λ，S 2＋(2＋22
)λ，S 3＋(3＋23
)λ成等差数列， 即有2[S 2＋(2＋22
)λ]＝[S 1＋(1＋2)λ]＋[S 3＋(3＋23
)λ]， 即2(6＋6λ)＝(2＋3λ)＋(14＋11λ)，解得λ＝－2.
经检验λ＝－2时，{S n ＋(n ＋2n
)λ}成等差数列，故λ的值为－2.
12．(2019·江西上饶市高三二模)已知首项为1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，等差数列{b n }满足b 1＝a 2，b 4＝a 3，数列{b n }的前n 项和为S n .
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)若数列{c n }满足c 1a 1＋c 2a 2＋c 3a 3＋…＋c n a n
＝S n ，求{c n }的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的通项公式为a n ＝a 1q
n －1
，
∴a 1q ＋a 1q 3
＝3(a 1＋a 1q 2
)，∴q ＝3.∵a 1＝1，∴a n ＝3n －1
，
∴a 2＝3，a 3＝9，∴b 1＝3，b 4＝9. 设{b n }的公差为d ，∴d ＝b 4－b 1
3＝2，∴b n ＝2n ＋1.
(2)∵b n ＝2n ＋1，∴S n ＝
n (3＋2n ＋1)
2
＝n 2
＋2n ，
当n ＝1，c 1a 1
＝3，c 1＝3，
当n ≥2，c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c n a n
＝n 2
＋2n ，
c 1a 1＋c 2a 2＋…＋c n －1a n －1
＝(n －1)2＋2(n －1)， 两式相减，得c n
a n
＝2n ＋1，∴c n ＝(2n ＋1)·3n －1
，经检验，n ＝1时上式也成立．
综上，c n ＝(2n ＋1)·3
n －1
，n ∈N *
.
T n ＝3×30＋5×31＋…＋(2n ＋1)·3n －1，
∴3T n ＝3×31
＋5×32
＋…＋(2n ＋1)·3n
，
两式相减－2T n ＝3－(2n ＋1)·3n ＋2×31＋2×32＋…＋2×3n －1
＝3－(2n ＋1)·3n
＋
6(1－3n －1
)1－3
＝－2n ·3n
.
∴T n ＝n ·3n
.
13．已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a 2
n }的前n 项和为
T n ，且3T n ＝S 2n ＋2S n ，n ∈N *
.
(1)求a 1的值；
(2)求数列{a n }的通项公式．
解 (1)由3T 1＝S 2
1＋2S 1，得3a 2
1＝a 2
1＋2a 1，即a 2
1－a 1＝0. 因为a 1>0，所以a 1＝1. (2)因为3T n ＝S 2
n ＋2S n ， ① 所以3T n ＋1＝S 2n ＋1＋2S n ＋1, ②
②－①，得3a 2
n ＋1＝S 2
n ＋1－S 2
n ＋2a n ＋1，即3a 2
n ＋1＝(S n ＋a n ＋1)2
－S 2
n ＋2a n ＋1.因为a n ＋1>0， 所以a n ＋1＝S n ＋1, ③ 所以a n ＋2＝S n ＋1＋1, ④
④－③，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1，所以当n ≥2时，a n ＋1
a n
＝2. 又由3T 2＝S 2
2＋2S 2，得3(1＋a 2
2)＝(1＋a 2)2
＋2(1＋a 2)， 即a 2
2－2a 2＝0.
因为a 2>0，所以a 2＝2，所以a 2a 1
＝2，所以对任意的n ∈N *
，都有a n ＋1
a n
＝2成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2
n －1
，n ∈N *
.
14．(2019·河北省中原名校联盟高三联考)已知正项等比数列{a n }中，a 1＝1
2
，且a 2，a 3，
a 4－1成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝2log 2a n ＋4，求数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
1b n b n ＋1的前n 项和T n .
解 (1)设等比数列{a n }的公比为q .因为a 2，a 3，a 4－1成等差数列．所以2a 3＝a 2＋a 4－1，得2a 1q 2
＝a 1q ＋a 1q 3
－1.
又a 1＝12，则2×12q 2＝12q ＋12q 3－1，即q 2
＝12q ＋12q 3－1.
所以2q 2
＝q ＋q 3
－2，所以2q 2
＋2＝q ＋q 3
， 所以2(q 2
＋1)＝q (q 2
＋1)．所以(q 2
＋1)(2－q )＝0. 显然q 2
＋1≠0，所以2－q ＝0，解得q ＝2. 故数列{a n }的通项公式a n ＝a 1·q n －1
＝12
·2n －1＝2n －2
. (2)由(1)知，b n ＝2log 22n －2
＋4＝2(n －2)＋4＝2n .
所以
1
b n b n ＋1
＝
12n ·2(n ＋1)＝14⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1.
则T n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 4(n ＋1)
.。