2019学年高中数学 第一章 不等关系与基本不等式学案 北师大版选修4-5

第一章 不等关系与基本不等式
§1 不等式的性质 1.1 实数大小的比较 1.2 不等式的性质
学习目标
1.了解不等关系与不等式.
2.掌握不等式的性质.
3.会用不等式的性质解决一些简单问题.
预习自测
1.对于任何两个实数a ，b ，
a >
b ⇔a －b >0； a <b ⇔a －b <0； a ＝b ⇔a －b ＝0.
2.不等式有如下一些基本性质： 性质1：a >b ⇔b <a ； 性质2：a >b ，b >c ⇒a >c ； 性质3：a >b ⇒a ＋c >b ＋c ； 推论：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；
性质4：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b ，c <0⇒ac <bc ； 推论1：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ； 推论2：a >b >0⇒a 2
>b 2
推论3：a >b >0⇒a n >b n
，n ∈N ＋；
推论4：a >b >0⇒a 1
n >b 1n ，n ∈N ＋.
自主探究
1.利用不等式的性质，证明下列不等式： (1)a >b ，c <d ⇒a －c >b －d ； (2)a >b >0，d >c >0⇒a c >b d
； (3)a >b ，ab >0⇒1a <1
b
.
提示 (1)
⎭
⎪⎬⎪
⎫a >b c <d ⇒a －c >b －d 的推导过程是：c <d ⇒－c >－d ，对a >b 和－c >－d 应用不等
式的同向不等式的可加性质得：a －c >b －d . (2) ⎭
⎪⎬⎪⎫a >b >0d >c >0⇒a c >b
d 的推导过程是：d >c >0两边同乘 1
cd
(cd >0)，则1c >1d
>0，应用不等式可乘性质得a c >b
d
.
(3)
⎭
⎪⎬⎪⎫a >b ab >0⇒1a <1b 的推导过程是，因ab >0⇒1ab >0，不等式a >b 两边同乘1
ab ，根据不等式的
乘法性质得：1b >1a
，即1a <1
b
.
2.怎样比较两个实数的大小？在比较时通常作怎样的数学变形？ 提示 比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的差a －b 的符号.
作差法中常用的变形手段是分解因式和配方等恒等变形，前者将“差”化为“积”，后者将“差”化为一个完全平方式或几个完全平方式的“和”，也可二者并用.
典例剖析
知识点1 不等式的性质及应用
【例1】 判断下列各题的对错 (1)c a <c b
，且c >0⇒a >b ( ) (2)a >b ，且c >d ⇒ac >bd ( ) (3)a >b >0，且c >d >0⇒ a d >b
c
( ) (4)a c 2>b c
2⇒a >b ( )
解析 (1)
⎭
⎪⎬⎪
⎫c a <c b c >0⇒1a <1b ，当a <0，b >0时，此式成立，推不出a >b ，∴(1)错.
(2)当a ＝3，b ＝1，c ＝－2，d ＝－3时，命题显然不成立. ∴(2)错. (3)
⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0c >d >0⇒a d >b
c
>0⇒ a
d > b
c
成立. ∴(3)对.
(4)显然c 2
>0，∴两边同乘以c 2
，得a >b .∴(4)对. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
【反思感悟】 解决这类问题，主要是根据不等式的性质判定，其实质是看是否满足性质所需的条件，若要判断一个命题是假命题，可以从条件入手，
推出与结论相反的结论或举出一个反例予以否定.
1.若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a d >b c B.a d <b c C.a c >b d
D.a c <b d
解析 思路一：根据给出的字母的取值要求，取特殊值验证. 思路二：根据不等式的性质直接推导. 方法一：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2， 则a c ＝－1，b d
＝－1，排除选项C ，D ；
又a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d <b
c
，所以选项A 错误，选项B 正确.故选B. 方法二：因为c <d <0，所以－c >－d >0，所以1－d >1
－c >0.
又a >b >0，所以a －d >b －c ，所以a d <b
c
，故选B. 答案 B
知识点2 实数大小的比较
【例2】 实数x ，y ，z 满足x 2
－2x ＋y ＝z －1且x ＋y 2
＋1＝0，试比较x ，y ，z 的大小. 解 x 2
－2x ＋y ＝z －1⇒z －y ＝(x －1)2
≥0⇒z ≥y ；
x ＋y 2
＋1＝0⇒y －x ＝y 2
＋y ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122
＋3
4
>0⇒y >x ，故z ≥y >x .
【反思感悟】 两个实数比较大小，通常用作差法来进行.其一般步骤是：
(1)作差；(2)变形，常采用配方、因式分解、分母有理化等方法；(3)定号，即确定差的符号；(4)下结论.
2.比较x 2
＋3与3x 的大小，其中x ∈R .
解 ∵(x 2
＋3)－3x ＝x 2
－3x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322
＋34≥34
>0，∴x 2
＋3>3x .
知识点3 不等式的证明
【例3】 如果a >b >0，c <d <0，f <0，证明：f
a －c >
f
b －d
.
证明 ∵c <d <0，∴－c >－d >0， 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.
不等式的两边同乘1（a －c ）（b －d ）>0，得：1b －d >1
a －c >0，
又∵f <0，∴
f
b －d <
f
a －c
，即
f
a －c >
f
b －d
.
【反思感悟】 利用不等式性质证明不等式的实质就是依据性质把不等式进行变形.在此过程中，一要严格符合性质条件；二要注意向特征不等式的形式化归.
3.已知a <b <c ，x <y <z ，则ax ＋by ＋cz ，ax ＋cy ＋bz ，bx ＋ay ＋cz ，cx ＋by ＋az 中哪一个最大？请予以证明.
解 最大的一个是ax ＋by ＋cz .
∵ax ＋by ＋cz －(ax ＋cy ＋bz )＝(b －c )(y －z )>0 ⇒ax ＋by ＋cz >ax ＋cy ＋bz . 同理ax ＋by ＋cz >bx ＋ay ＋cz ，
ax ＋by ＋cz >cx ＋by ＋az .
故结论成立.
课堂小结
1.不等关系强调的是量与量之间的不等关系，可以用符号“>”、“<”、“≠”、“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不等关系的，可用“a >b ”、“a <b ”、“a ≠b ”、“a ≥b ”或“a ≤b ”等式子表示，不等关系是通过不等式来体现的.
2.不等式的性质是不等式变形的依据.每一步变形，都应有根有据.记准适用条件是关键.
3.关于传递性要正确处理带等号的情况：由a >b ，b ≥c 或a ≥b ，b >c 均可推得a >c ；而a ≥b ，
b ≥
c 不一定可以推得a >c ，可能是a >c ，也可能是a ＝c .
随堂演练
1.已知下列四个条件：①b >0>a ，②0>a >b ，③a >0>b ，④a >b >0，能推出1a <1
b
成立的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析 运用倒数性质，由a >b ，ab >0可得1a <1
b
，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错
误，故选C. 答案 C
2.设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 由不等式性质知当x ≥1且y ≥2时，x ＋y ≥3；而当x ＝2，y ＝3
2时满足x ＋y ≥3，但
不满足x ≥1，且y ≥2，故“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的充分而不必要条件. 答案 A
3.实数a ，b ，c ，d 满足下列三个条件：①d >c ；②a ＋b ＝c ＋d ；③a ＋d <b ＋c ，则将a ，b ，
c ，
d 按照从小到大的次序排列为________.
解析 ∵d >c ，a ＋d <b ＋c ， ∴a <b ，
∵a ＋d <b ＋c ，∴a －c <b －d ， ∵a ＋b ＝c ＋d ，∴a －c ＝d －b ， 即d <b ，a <c ， ∴a <c <d <b . 答案 a <c <d <b
一、选择题
1.若a ＜b ＜0，则下列不等式不能成立的是( ) A.
1a －b ＞1a
B.1a ＞1b
C.|a |＞|b |
D.a 2
＞b 2
解析 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b ＞1
a
不成立，选A. 答案 A
2.已知a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A.a 2
－b 2
≥0 B.ac ＞bc C.|a |＞|b |
D.2a
＞2b
解析 A 中，若a ＝－1，b ＝－2，则a 2
－b 2
≥0不成立；当c ＝0时，B 不成立；当0＞a ＞b 时，C 不成立；由a ＞b 知2a ＞2b
成立，故选D. 答案 D
3.设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A.若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B.若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C.若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D.若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0
解析 利用所给条件结合等差数列的相关知识直接判断.
设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2＞0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3＜0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0＜a 1＜a 2，可知a 1＞0，
d ＞0，a 2＞0，a 3＞0，∴a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2
＞0，∴a 2＞
a 1a 3，故选项C 正确；若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2
≤0，故选项D 错. 答案 C
4.已知实数x ，y 满足a x <a y
(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.
1x 2＋1>1
y 2＋1
B.ln(x 2
＋1)>ln(y 2
＋1) C.sin x >sin y
D.x 3
>y 3
解析 先依据指数函数的性质确定出x ，y 的大小，再逐一对选项进行判断.因为0<a <1，a x
<a y
，所以x >y .采用赋值法判断，A 中，当x ＝1，y ＝0时，1
2<1，A 不成立.B 中，当x ＝0，y ＝－
1时，ln 1<ln 2，B 不成立.C 中，当x ＝0，y ＝－π时，sin x ＝sin y ＝0，C 不成立.D 中，因为函数y 3
＝x 3
在R 上是增函数，故选D. 答案 D
5.设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A.b －a >0 B.a 3＋b 3
<0 C.a 2
－b 2
<0
D.b ＋a >0
解析 ∵a －|b |>0，∴a >|b |>0. ∴不论b 正或b 负均有a ＋b >0. 答案 D
二、填空题
6.已知60<x <84，28<y <33，则x －y 的取值范围为________，x y
的取值范围为________. 解析 x －y ＝x ＋(－y )，所以需先求出－y 的范围；
x y ＝x ×1y ，所以需先求出1
y
的范围. ∵28<y <33，
∴－33<－y <－28，133<1y <128
.
又60<x <84，∴27<x －y <56，6033<x y <84
28，
即2011<x y
<3. 答案 (27，56) ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2011，3 7.已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2
＋b 2
＋c 2
＝1，则a 的最大值是________. 解析 利用不等式求解.
因为a ＋b ＋c ＝0，所以b ＋c ＝－a . 因为a 2
＋b 2
＋c 2
＝1，
所以－a 2
＋1＝b 2
＋c 2
＝(b ＋c )2
－2bc ＝a 2
－2bc ， 所以2a 2
－1＝2bc ≤b 2
＋c 2
＝1－a 2
， 所以3a 2≤2，所以a 2
≤23，
所以－
63≤a ≤63，所以a max ＝63. 答案
63
三、解答题
8.已知a ，b ∈(0，＋∞)且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2
a 与a ＋
b 的大小.
解 ∵⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2
b ＋b 2
a －(a ＋
b )＝a 2
b －b ＋b 2
a －a ＝a 2－
b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
b －1a
＝（a 2
－b 2
）（a －b ）ab ＝（a －b ）2
（a ＋b ）ab
，
∵a ，b ∈(0，＋∞)且a ≠b ，
∴(a －b )2
>0，a ＋b >0，ab >0，
∴（a －b ）2
（a ＋b ）ab >0，∴a 2
b ＋b 2
a
>a ＋b .
9.已知a ，b ∈R ，求证：a 2＋b 2
≥ab ＋a ＋b －1. 证明 (a 2
＋b 2
)－(ab ＋a ＋b －1) ＝12
(2a 2＋2b 2
－2ab －2a －2b ＋2) ＝12[(a 2－2ab ＋b 2)＋(a 2－2a ＋1)＋(b 2
－2b ＋1)] ＝12[(a －b )2＋(a －1)2＋(b －1)2
]≥0， ∴a 2
＋b 2≥ab ＋a ＋b －1.
10.已知α，β满足⎩
⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1， ①
1≤α＋2β≤3 ②
试求α＋3β的取值范围.
解 设α＋3β＝λ(α＋β)＋v (α＋2β) ＝(λ＋v )α＋(λ＋2v )β.
比较α、β的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋v ＝1，
λ＋2v ＝3，
从而解出λ＝－1，v ＝2.
分别由①、②得－1≤－α－β≤1，2≤2α＋4β≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7.
§2 含有绝对值的不等式 2.1 绝对值不等式
学习目标
1.理解绝对值的几何意义，理解绝对值不等式定理及其几何意义.
2.会用绝对值不等式定理解决比较简单的问题.
预习自测
1.a ，b ∈R ，|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立.
2.|a －b |表示点a －b 与原点间的距离，也表示a 与b 之间的距离.
3.a ，b ，c ∈R ，|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0，即b 落在a ，c 之间时等号成立.
自主探究
1.你能证明：若a ，b 为实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |吗？
提示|a＋b|≤|a|＋|b|⇔|a＋b|2≤(|a|＋|b|)2
⇔(a＋b)2≤|a|2＋2|a||b|＋|b|2
⇔a2＋2ab＋b2≤a2＋2|a||b|＋b2
⇔ab≤|ab|.
∴|ab|≥ab显然成立，
∴原不等式成立.
2.你能证明：||a|－|b||≤|a＋b|吗？
提示因为|a|＝|(a＋b)－b|≤|a＋b|＋|－b|
＝|a＋b|＋|b|.
所以|a|－|b|≤|a＋b|，同理可证|b|－|a|≤|a＋b|.
所以||a|－|b||≤|a＋b|.
典例剖析
知识点1 利用绝对值不等式证明变量不等式
【例1】已知|x|<1，|y|<1，求证：（1－x2）（1－y2）
|1－xy|
≤1.
分析本题可考虑两边平方去掉绝对值转化为普通不等式(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2.
证明|x|<1⇔x2<1⇔1－x2>0，|y|<1⇔1－y2>0，
x2＋y2≥2xy⇔－x2－y2≤－2xy
⇔1－x2－y2＋x2y2≤1－2xy＋x2y2
⇔(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2
⇔（1－x2）（1－y2）≤|1－xy|
所以（1－x2）（1－y2）
|1－xy|
≤1.
由于|x|<1，|y|<1，则|xy|<1，即1－xy≠0.
【反思感悟】通过添一项、减一项的恒等变形，然后再进行组合，构造成能利用绝对值不等式的形式是证明的关键.
1.证明：|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.
证明∵|x－a|＋|x－b|＝|x－a|＋|b－x|
≥|x－a＋b－x|＝|b－a|＝|a－b|.
∴|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.
知识点2 利用绝对值不等式证明函数不等式
【例2】 函数f (x )的定义域为[0，1]，f (0)＝f (1)，且对任意不同的x 1，x 2∈[0，1]都有|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|，求证：|f (x 2)－f (x 1)|<1
2.
证明 设0≤x 1<x 2≤1，
①若x 2－x 1≤12，则|f (x 2)－f (x 1)|<|x 2－x 1|≤1
2.
即|f (x 2)－f (x 1)|<1
2.
②若1
2
<x 2－x 1≤1，则
|f (x 2)－f (x 1)|＝|f (x 2)＋f (0)－f (1)－f (x 1)| ＝|f (x 2)－f (1)＋f (0)－f (x 1)| ≤|f (x 2)－f (1)|＋|f (0)－f (x 1)| <|x 2－1|＋|x 1－0|.
而|x 2－1|＋|x 1|＝1－x 2＋x 1＝1－(x 2－x 1)<1－12＝1
2.
综上所述，对任意不同的x 1，x 2∈[0，1]都有 |f (x 2)－f (x 1)|<1
2
.
【反思感悟】 对于绝对值符号内的式子，采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法.
2.设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c ，当|x |≤1时，总有|f (x )|≤1， 求证：|f (2)|≤7.
证明 ∵|f (1)|≤1，|f (－1)|≤1，|f (0)|≤1， ∴|f (2)|＝|4a ＋2b ＋c |＝|3f (1)＋f (－1)－3f (0)| ≤3|f (1)|＋|f (－1)|＋3|f (0)|≤7.
知识点3 绝对值不等式的应用
【例3】 若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|<a 的解集为∅，求实数a 的取值范围. 解 法一 ∵|x ＋2|＋|x －1|≥|(x ＋2)－(x －1)|＝3， ∴当a ≤3时，原不等式解集为∅.
法二 式子|x ＋2|＋|x －1|可看作数轴上一点到－2、1对应的两点间距离之和，而数轴上任一点与这两点距离之和不小于3，故使原不等式解集为∅的a 的范围是a ≤3.
3.若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，则实数a ＝________. 解析 根据去绝对值符号后函数的图像求解.
由于f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |，
当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧－3x ＋2a －1 （x <－1），－x ＋2a ＋1（－1≤x ≤a ），3x －2a ＋1（x >a ）.
作出f (x )的大致图像如图所示，由函数f (x )的图像可知f (a )＝5，即a ＋1＝5，∴a ＝4.同理，当a ≤－1时，－a －1＝5，∴a ＝－6.
答案 －6或4
课堂小结
证明含有绝对值的不等式，要运用实数的性质，不等式的性质，以及不等式证明的有关方法，另外主要运用绝对值不等式即 |a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |； |a 1＋a 2＋a 3|≤|a 1|＋|a 2|＋|a 3|； |a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.
随堂演练
1.若a ，b 都是非零实数，则下列不等式不恒成立的是( ) A.|a ＋b |≥a －b B.a 2
＋b 2
≥2|a ·b |
C.|a ＋b |≤|a |＋|b |
D.⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a b ＋b
a ≥2
解析 当a >0，b <0时，|a ＋b |<a －b . 故A 不恒成立. 答案 A
2.已知|x 1－a |<ε，|x 2－a |<ε，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（x 1＋x 2）－a <ε. 证明 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（x 1＋x 2）－a ＝1
2
|x 1＋x 2－2a |
＝12|(x 1－a )＋(x 2－a )|≤1
2(|x 1－a |＋|x 2－a |) <1
2
(ε＋ε)＝ε.
3.设|x －a |<ε2，|y －b |<ε
2，求证：|(x ＋y )－(a ＋b )|<ε.
证明 |(x ＋y )－(a ＋b )| ＝|(x －a )＋(y －b )|
≤|x －a |＋|y －b |<ε2＋ε
2
＝ε
.
一、选择题
1.对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A.1 B.2 C.3
D.4
解析 利用三角不等式直接求解.
∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1， |y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.
∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3. 答案 C
2.若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A.5或8 B.－1或5 C.－1或－4
D.－4或8 解析 利用绝对值的几何意义分类讨论，根据解析式特征确定函数最小值点进而求a . (1)当－1≤－a
2
，即a ≤2时，
f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧－3x －a －1，x ≤－1，
－x －a ＋1，－1<x <－a 2，
3x ＋a ＋1，x ≥－a
2
. 易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即1－a
2＝3.
所以a ＝－4.
(2)当－1>－a
2
，即a >2时，
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －a －1，x ≤－a
2
，
x ＋a －1，－a 2
<x <－1，
3x ＋a ＋1，x ≥－1.
易知函数f (x )在x ＝－a 2处取最小值，即a
2－1＝3，故a ＝8.综上a ＝－4或8.
答案 D
3.如果存在实数x ，使cos α＝x 2＋1
2x
成立，那么实数x 的集合是( )
A.{－1，1}
B.{x |x <0，或x ＝1}
C.{x |x >0，或x ＝－1}
D.{x |x ≤－1，或x ≥1}
解析 由|cos α|≤1，所以⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x 2＋12x ≤1. 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋12x ＝|x |
2＋12|x |
≥1. ∴|x |2＋12|x |＝1，当且仅当|x |＝1时成立，即x ＝±1. 答案 A
4.正数a 、b 、c 、d 满足a ＋d ＝b ＋c ，|a －d |＜|b －c |，则( ) A.ad ＝bc B.ad <bc
C.ad >bc
D.ad 与bc 大小不定
解析 ∴a ＋d ＝b ＋c ， ∴a 2
＋2ad ＋d 2
＝b 2
＋2bc ＋c 2
，
a 2＋d 2－
b 2－
c 2＝2bc －2a
d ，
∵|a －d |<|b －c |，
∴a 2
－2ad ＋d 2
<b 2
－2bc ＋c 2
，
a 2＋d 2－
b 2－
c 2<2a
d －2bc ，
∴3bc －2ad <2ad －2bc ， 即ad >bc . 答案 C
5.已知定义在[0，1]上的函数f (x )满足： ①f (0)＝f (1)＝0；
②对所有x ，y ∈[0，1]，且x ≠y ，有|f (x )－f (y )|<1
2
|x －y |.
若对所有x ，y ∈[0，1]，|f (x )－f (y )|<k 恒成立，则k 的最小值为( )
A.12
B.14
C.12π
D.18
解析 先利用特值法确定范围，再结合函数的取值特性求解. 取y ＝0，则|f (x )－f (0)|<12|x －0|，即|f (x )|<1
2x ，
取y ＝1则|f (x )－f (1)|<1
2
|x －1|，
即|f (x )|<12(1－x ).∴|f (x )|＋|f (x )|<12x ＋12－12x ＝12，∴|f (x )|<1
4.不妨取f (x )≥0，则
0≤f (x )<14，0≤f (y )<14，∴|f (x )－f (y )|<14－0＝1
4，
要使|f (x )－f (y )|<k 恒成立，只需k ≥1
4.
∴k 的最小值为1
4.
答案 B 二、填空题
6.已知－2≤a ≤3，－3<b <4，则a －|b |的取值范围为_____________________. 解析 ∵－3<b <4，∴0≤|b |<4，－4<－|b |≤0， 又－2≤a ≤3，∴－6<a －|b |≤3. 答案 (－6，3]
7.x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为________.
解析 利用绝对值的几何意义求解，注意等号成立的条件.由绝对值的几何意义知，|x |＋|x －1|是数轴上的点x 到原点和点1的距离之和，所以|x |＋|x －1|≥1，当且仅当x ∈[0，1]时取“＝”.
同理|y |＋|y －1|≥1，当且仅当y ∈[0，1]时取“＝”. ∴|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≥2. 而|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2， ∴|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|＝2，
此时x ∈[0，1]，y ∈[0，1]，∴(x ＋y )∈[0，2]. 答案 [0，2] 三、解答题
8.已知|x ＋1|<ε4，|y －2|<ε4，|z ＋3|<ε
4，
求证：|x ＋2y ＋z |<ε.
证明 |x ＋2y ＋z |＝|x ＋1＋2(y －2)＋z ＋3| ≤|x ＋1|＋|2(y －2)|＋|z ＋3|
＝|x ＋1|＋2|y －2|＋|z ＋3|<ε4＋ε2＋ε
4＝ε.
∴|x ＋2y ＋z |<ε.
9.若a ，b ∈R ，且|a |＋|b |<1，证明方程x 2
＋ax ＋b ＝0的两个根的绝对值均小于1. 证明 法一 设方程x 2
＋ax ＋b ＝0的两根为x 1，x 2，根据根与系数的关系，有a ＝－(x 1＋x 2)，
b ＝x 1x 2，
代入|a |＋|b |<1得|x 1＋x 2|＋|x 1x 2|<1，① 若用|x 1|－|x 2|≤|x 1＋x 2|对①式作放缩代换，有 |x 1|－|x 2|＋|x 1|·|x 2|<1， 即(|x 1|－1)(|x 2|＋1)<0.
∵|x 2|＋1>0，得|x 1|－1<0，∴|x 1|<1.
若用|x 2|－|x 1|≤|x 1＋x 2|对①式作放缩代换，有 |x 2|－|x 1|＋|x 1|·|x 2|<1.
同理，由(|x 2|－1)(|x 1|＋1)<0，得|x 2|<1.
因此，方程x 2
＋ax ＋b ＝0的两个根的绝对值均小于1.
法二 假设方程x 2
＋ax ＋b ＝0至少有一根的绝对值不小于1.不失一般性，令|x 1|≥1，则根据一元二次方程根与系数的关系，有
|a |＝|－(x 1＋x 2)|＝|x 1＋x 2|≥|x 1|－|x 2|≥1－|x 2|， |b |＝|x 1x 2|＝|x 1|·|x 2|≥|x 2|.
将以上两个不等式相加，得|a |＋|b |≥1.这与已知|a |＋|b |<1矛盾.究其原因是假设错误所致.
因此方程x 2
＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值均小于1. 10.已知f (x )＝ax 2
＋bx ＋c ，且当|x |≤1时，|f (x )|≤1， 求证： (1)|c |≤1； (2)|b |≤1.
证明 (1)由|f (0)|≤1，得|c |≤1. (2)由|f (1)|≤1，得|a ＋b ＋c |≤1， 由|f (－1)|≤1，得|a －b ＋c |≤1， ∴|b |＝|（a ＋b ＋c ）＋（－a ＋b －c ）|2
≤1
2
(|a ＋b ＋c |＋|a －b ＋c |)≤1.
2.2 绝对值不等式的解法
学习目标
1.理解绝对值的几何意义，会用数轴上的点表示绝对值不等式的范围.
2.会解含一个绝对值符号和含两个绝对值符号共四种类型的绝对值不等式.
预习自测
1.设x，a为实数，|x－a|表示数轴上的点x与点a之间的距离；|x|表示数轴上的点x与原点之间的距离.当x≥0时，|x|＝x；当x<0时，|x|＝－x.
2.|x|>a (a>0)⇔x>a或x<－a.
3.|x|<a (a>0)⇔－a<x<a.
4.a<0时，|x|≤a的解集为∅；|x|≥a的解集为R.
5.|f(x)|<a (a>0)⇔－a<f(x)<a.
6.|f(x)|>a (a>0)⇔f(x)>a或f(x)<－a.
7.|f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x).
8.|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<－g(x).
9.|f(x)|<|g(x)|⇔f2(x)<g2(x).
10.|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x).
自主探究
1.如何解形如|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c的不等式？
提示(1)当c≥0时，|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，
解之即可；
|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c，解之即可.
(2)当c<0时，由绝对值的定义知|ax＋b|≤c的解集为∅，|ax＋b|≥c的解集为R.
2.如何解|ax＋b|>|cx＋d|，|ax＋b|<|cx＋d|型的不等式？
提示两边平方后转化成不含绝对值的不等式，解不含绝对值的不等式即可.
3.你能归纳出解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型的不等式的一般步骤吗？
提示(1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根.
(2)把这些根由小到大排序，它们把实数轴分为若干个区间.
(3)在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集.
(4)这些解集的并集就是原不等式的解集.
典例剖析
知识点1 解|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式
【例1】 解不等式：
(1)|x －a |≤b (b >0)；(2)|x －a |≥b (b >0). 解 (1)|x －a |≤b (b >0)⇔－b ≤x －a ≤b ⇔a －b ≤x ≤b ＋a .
所以原不等式的解集为{x |a －b ≤x ≤a ＋b }. (2)|x －a |≥b ⇔x －a ≥b 或x －a ≤－b ⇔x ≥a ＋b 或x ≤a －b .
所以原不等式的解集为{x |x ≥a ＋b 或x ≤a －b }.
1.解不等式：
(1)2|x |＋1>7；(2)|1－2x |<5. 解 (1)2|x |＋1>7⇔2|x |>6 ⇔|x |>3⇔x >3或x <－3.
∴不等式的解集为{x |x >3或x <－3}. (2)|1－2x |<5⇔|2x －1|<5⇔－5<2x －1<5 ⇔－4<2x <6⇔－2<x <3. ∴不等式的解集为{x |－2<x <3}.
知识点2 解|f (x )|<|g (x )|型不等式
【例2】 解不等式|x －a |<|x －b | (a ≠b ).
解 由|x －a |<|x －b |两边平方得：(x －a )2
<(x －b )2
. 整理得：2(a －b )x >a 2
－b 2
. 因a ≠b ，当a >b 时，x >a ＋b
2
；
当a <b 时，x <
a ＋b
2
.
∴不等式的解集为：
当a >b 时，
⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >12（a ＋b ）； 当a <b 时，
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x <12（a ＋b ）. 【反思感悟】 解含有绝对值符号的不等式关键是去掉绝对值符号，把绝对值不等式转化为我们熟悉的一元一次不等式或一元二次不等式.
2.解不等式|x 2
－2x ＋3|<|3x －1|.
解 x 2－2x ＋3＝(x －1)2
＋2>0，
|x 2
－2x ＋3|<|3x －1|⇔x 2
－2x ＋3<|3x －1| ⇔3x －1>x 2
－2x ＋3或3x －1<－x 2
＋2x －3
⇔x 2
－5x ＋4<0或x 2
＋x ＋2<0.
由x 2
－5x ＋4<0，得：1<x <4，
由x 2
＋x ＋2<0，得：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122
＋7
4
<0，
该不等式解集为∅.
所以原不等式的解集为(1，4).
知识点3 解|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋
|x －b |≤c 型不等式
【例3】 解不等式|x ＋3|－|2x －1|<x
2
＋1.
解 ①x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x
2＋1，解得x <10，∴x <－3.
②当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x 2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－2
5.
③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x
2＋1，
解得x >2，∴x >2.
综上可知：原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x <－2
5，或x >2.
【反思感悟】 对含有多个绝对值符号的不等式的解法通常用分段讨论法，去掉绝对值符号，将不等式化为整式不等式求解，去掉绝对值符号的依据是绝对值的定义，找到分界点(即零值点).令绝对值内的数为零，分成若干段，最后原不等式的解集是各段解集的并集.
3.解不等式|x ＋1|－|2x －3|＋2>0.
解 令x ＋1＝0，∴x ＝－1，令2x －3＝0，∴x ＝3
2，
(1)当x ≤－1时，原不等式化为－(x ＋1)>－(2x －3)－2， ∴x >2与条件x ≤－1矛盾，无解； (2)当－1<x ≤3
2
时，原不等式化为
x ＋1>－(2x －3)－2，∴x >0，故0<x ≤32
；
(3)当x >3
2时，原不等式化为x ＋1>2x －3－2，
∴x <6，故3
2
<x <6.
综上，原不等式的解集为{x |0<x <6}.
课堂小结
解绝对值不等式的基本思想是设法去掉绝对值符号，去绝对值符号的常用手段有3种：
(1)根据实数的绝对值的意义：|a |＝⎩
⎪⎨⎪
⎧a （a ≥0），－a （a <0）.
(2)根据不等式的性质： |x |<a ⇔－a <x <a (a >0).
(3)根据|a |2
＝a 2
(a ∈R )，不等式两边同时平方，当然应注意不等式两边平方的前提.
随堂演练
1.不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是( ) A.(－∞，4) B.(－∞，1) C.(1，4)
D.(1，5)
解析 利用零点分区间法解绝对值不等式. ①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x ≤1.
②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2， ∴x <4，∴1<x <4.
③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立. 综上，原不等式的解集为(－∞，4)，故选A. 答案 A
2.设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 先求不等式的解集，再判断充分条件、必要条件. |x －2|＜1⇔1＜x ＜3.
由于{x |1＜x ＜2}是{x |1＜x ＜3}的真子集，所以“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分而不必要条件. 答案 A
3.若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x |－53<x <13，则a ＝________.
解析 根据绝对值不等式的性质及不等式的解集求解. ∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5.
当a >0时，－1a <x <5
a
，与已知条件不符；
当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；
当a <0时，5a <x <－1
a ，又不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |－53<x <13，故a ＝－3.
答案 －3
一、选择题
1.如果1x <2和|x |>1
3
同时成立，那么x 的取值范围是( )
A.
⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－13<x <12 B.
⎩⎨⎧⎭⎬⎫
x |x >12，或x <－13 C.⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x |x >12
D.⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x |x <－13，或x >13
解析 解不等式1x <2得x <0或x >1
2.
解不等式|x |>13得x >13或x <－1
3
.
∴x 的取值范围为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x |x >12，或x <－13.
答案 B
2.不等式(1＋x )(1－|x |)>0的解集为( ) A.{x |0≤x <1} B.{x |x <0且x ≠－1} C.{x |－1<x <1}
D.{x |x <1且x ≠－1}
解析 不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，
（1＋x ）（1－x ）>0，
或⎩
⎪⎨⎪⎧x <0，
（1＋x ）（1＋x ）>0， ∴0≤x <1或x <0且x ≠－1.∴x <1且x ≠－1. 答案 D
3.设x ∈R ，则“|x －2|<1”是“x 2
＋x －2>0”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 先求不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的判断方法进行判断.|x －2|<1⇔1<x <3，x 2
＋x －2>0⇔x >1或x <－2.由于{x |1<x <3}是{x |x >1或x <－2}的真子集，所以“|x －2|<1”是“x 2
＋x －2>0”的充分而不必要条件. 答案 A
4.若不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1，2)，则实数a 等于( ) A.8 B.2 C.－4
D.－8
解析 由|ax ＋2|<6可知－8<ax <4. 当a >0时，－8a <x <4
a
.
∵解集为(－1，2)，∴有⎩⎪⎨⎪⎧－8
a ＝－14a ＝2，∴⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，
a ＝2矛盾，
故a 不可能大于0.
当a ＝0，则x ∈R 不符合题意. 当a <0时，4a <x <－8
a
.
∵解集为(－1，2)，∴有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝－1－8a ＝2，∴⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－4，
a ＝－4.
故a ＝－4. 答案 C
5.不等式1<|x ＋1|<3的解集为( ) A.(0，2) B.(－2，0)∪(2，4) C.(－4，0)
D.(－4，－2)∪(0，2)
解析 原不等式等价于⎩
⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，
1<x ＋1<3或
⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，－3<x ＋1<－1⇒⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥－1，0<x <2或⎩
⎪⎨⎪⎧x <－1，－4<x <－2⇒0<x <2或－4<x <－2. 答案 D
6.若不等式|x －2|＋|x ＋3|>a ，对于x ∈R 均成立，那么实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，5)
B.[0，5)
C.(－∞，1)
D.[0，1]
解析 由绝对值的几何意义知|x －2|＋|x ＋3|表示的是x 与数轴上的点A (－3)及B (2)两点距离之和，A 、B 两点的距离为5，线段AB 上任一点到A 、B 两点距离之和也是5.数轴上其它点到A 、B 两点距离之和都大于5， ∴|x －2|＋|x ＋3|≥5，∵x ∈R ，∴a <5. 答案 A 二、填空题
7.不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________.
解析 思路一：利用数轴对x 进行分类讨论去掉绝对值符号，再解不等式.思路二：借助数轴，利用绝对值的几何意义求解.
方法一：要去掉绝对值符号，需要对x 与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分.当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3；当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解；当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2.综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}.
方法二：|x －1|＋|x ＋2|表示数轴上的点x 到点1和点－2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的x 的取值为x ≤－3或x ≥2，所以不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. 答案 {x |x ≤－3或x ≥2}
8.已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是________.
解析 ∵关于x 的方程x 2
＋x ＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，
∴Δ＝1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14. 当a ≤0时，⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a －14＋|a |＝14－2a ≤14，∴a ＝0；
当0<a ≤14时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝14－a ＋a ≤14成立，∴0<a ≤14；
当a >14时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝a －14＋a ＝2a －14≤14，∴a ≤14，无解. 综上可知0≤a ≤14.
答案 0≤a ≤1
4
9.不等式|x ＋1|
|x ＋2|≥1的实数解为________.
解析
|x ＋1|
|x ＋2|
≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，x ＋2≠0 ⇔(x ＋1)2≥(x ＋2)2
，x ≠－2⇔x ≤－32，x ≠－2.
答案 (－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23 三、解答题
10.解不等式x ＋|2x ＋3|≥2. 解 去绝对值号，化成不等式组求解. 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－x －3≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－32，
3x ＋3≥2. 解得x ≤－5或x ≥－1
3
.
综上，原不等式的解集是⎩
⎨⎧⎭⎬⎫
x |x ≤－5或x ≥－13.
11.设函数f (x )＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0).
(1)证明：f (x )≥2；
(2)若f (3)<5，求a 的取值范围.
(1)证明 由a >0，有f (x )＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪
⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a
－（x －a ）＝1
a
＋a ≥2.所以f (x )≥2.
(2)解 f (3)＝⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.
当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212.
当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5，得1＋5
2<a ≤3.
综上，a 的取值范围是⎝
⎛⎭⎪⎫1＋52
，5＋212.
§3 平均值不等式(一)
学习目标
1.理解并掌握定理1、定理2，会用两个定理解决函数的最值或值域问题.
2.能运用(两个正数的)平均值不等式解决某些实际问题.
预习自测
1.定理1(重要不等式)：如果a ，b ∈R ，那么a 2
＋b 2
≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 2.定理2(基本不等式)：如果a ，b 是正数，那么a ＋b
2
≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立.
3.我们常把
a ＋b
2
叫做正数a ，b a ，b 的几何平均，所以基本不
等式又可叙述为：两个正数的算术平均值不小于(即大于或等于)它们的几何平均值. 4.关于用不等式求函数最大、最小值
(1)若x ≥0，y ≥0，且xy ＝p (定值)，则当x ＝y 时，x ＋y 有最小值(2)若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝s (定值)，则当x ＝y 时，xy 有最大值s 2
4
.
自主探究
1.你会证明不等式： (1)a 2
＋b 2
≥2ab (a ，b ∈R )； (2)
a ＋b
2
≥ab (a >0，b >0)吗？
提示 (1)∵a 2
＋b 2
－2ab ＝(a －b )2
≥0，∴a 2
＋b 2
≥2ab . (2)∵a ＋b
2
－ab ＝
a ＋
b －2ab 2
＝
（a －b ）2
2
≥0(a >0，b >0)，
∴
a ＋b
2
≥ab .
2.探究函数y ＝x ＋1
x
的单调性及函数图像的大体形状.
提示 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). 当x ∈(0，＋∞)时，设x 1<x 2，则
y 1－y 2＝x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)·x 1x 2－1
x 1x 2，
∴当x 1，x 2∈(0，1)时，y 1－y 2>0，即y 1>y 2； 当x 1，x 2∈(1，＋∞)时，y 1－y 2<0，即y 1<y 2， ∴y 在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数.
又y 是奇函数，∴y 在(－∞，－1)上是增函数，在(－1，0)上是减函数.图像如图：
典例剖析 知识点1 不等式证明
【例1】 求证：4
a －3
＋a ≥7 (其中a >3). 证明
4a －3＋a ＝4a －3
＋(a －3)＋3， 由基本不等式，得4a －3＋a ＝4
a －3
＋(a －3)＋3 ≥2
4
a －3
（a －3）＋3＝24＋3＝7. 当且仅当
4
a －3
＝a －3，即a ＝5时取等号. 【反思感悟】 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
1.设a ，b ，c ∈R ＋，求证：a 2
＋b 2
＋b 2
＋c 2
＋c 2
＋a 2
≥2(a ＋b ＋c ). 证明 ∵a 2
＋b 2
≥2ab ，∴2(a 2
＋b 2
)≥(a ＋b )2
. 又a ，b ，c ∈R *
，∴a 2
＋b 2
≥22|a ＋b |＝2
2
(a ＋b ). 同理：b 2
＋c 2≥
22(b ＋c )，c 2＋a 2
≥22
(a ＋c ). 三式相加，得a 2
＋b 2
＋b 2
＋c 2
＋c 2
＋a 2
≥2(a ＋b ＋c ). 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号.
知识点2 最值问题
【例2】 设x ，y ∈(0，＋∞)且1x ＋2
y
＝3，求2x ＋y 的最小值.
解 法一 2x ＋y ＝1
3·3(2x ＋y )
＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y (2x ＋y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋y x ＋4x y ≥83. 当且仅当y x ＝
4x y ，即x ＝23，y ＝4
3
时，等号成立， ∴2x ＋y 的最小值为8
3.
法二 设1x ＝3m m ＋n ，2y ＝3n
m ＋n
则x ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n m ，y ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m n
2x ＋y ＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n m ＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫
1＋m n
＝43＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ≥83
当且仅当m ＝n ，即x ＝23，y ＝43时，取得最小值8
3
.
【反思感悟】 利用基本不等式求最值，关键是对式子恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用.注意一定要求出使“＝”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值.
2.已知x >0，y >0，且x ＋2y ＋xy ＝30，求xy 的最大值. 解 由x ＋2y ＋xy ＝30，得y ＝30－x
2＋x (0<x <30)，
xy ＝30x －x 2
2＋x ＝－（2＋x ）2
＋34（2＋x ）－642＋x
＝34－⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤
（x ＋2）＋64x ＋2， 注意到(x ＋2)＋
64
x ＋2
≥2 （x ＋2）·
64
x ＋2
＝16， 可得xy ≤18，当且仅当x ＋2＝64
x ＋2
，即x ＝6时等号成立.代入x ＋2y ＋xy ＝30中可得y ＝3.故xy 的最大值为18.
知识点3 基本不等式的实际应用
【例3】 甲、乙两公司在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片.甲、乙两公司分别购芯片各两次，两次的芯片价格不同，甲公司每次购10 000片芯片，乙公司每次购10 000元芯片.哪家公司平均成本较低？请说明理由.
解 设第一次、第二次购电脑芯片的价格为每片a 元和b 元，那么甲公司两次购电脑芯片的平均价格为
10 000（a ＋b ）20 000＝a ＋b
2(元/片)；
乙公司两次购芯片的平均价格为 20 00010 000a ＋10 000b ＝2
1a ＋
1
b
(元/片).
∵a >0，b >0且a ≠b ，∴a ＋b
2
>ab ，
1a ＋1b >2
1ab
＝
2
ab ，∴21a ＋
1b
<ab ，
∴
a ＋b
2>2
1a ＋
1
b
，∴乙公司的平均成本比较低.
3.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧砌砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元.试问： (1)仓库底面积S 的最大允许值是多少？
(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ 解 设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米， 则有S ＝xy ，由题意得： 40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200. (1)由基本不等式，得
3 200≥240x ·90y ＋20xy ＝120 xy ＋20xy ＝120S ＋20S ，
∴S ＋6S ≤160，即(S ＋16)(S －10)≤0. ∵S ＋16>0，∴S －10≤0，从而S ≤100. ∴S 的最大允许值是100 m 2
. (2)S 取最大值的条件是40x ＝90y ， 又xy ＝100，由此解得x ＝15. ∴正面铁栅的长度应设计为15米.
课堂小结
1.两个不等式：a 2
＋b 2
≥2ab 与a ＋b
2
≥ab 成立的条件是不同的，前者要求a ，b 都是实数，
后者要求a ，b 都是正数.
如(－3)2
＋(－2)2
≥2×(－3)×(－2)是成立的，而（－3）＋（－2）
2
≥
2（－3）×（－2）是不成立的. 2.两个不等式：a 2
＋b 2
≥2ab 与
a ＋b
2
≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，
取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解.
当a ＝b 取等号，其含义是a ＝b ⇒a ＋b
2
＝ab ；
仅当a ＝b 取等号，其含义是a ＋b
2
＝ab ⇒a ＝b .
综合上述两条，a ＝b 是
a ＋b
2
＝ab 的充要条件.
3.与基本不等式有关的两个常用不等式： (1)b a ＋a b
≥2 (a 、b 同号)； (2)2
1a ＋
1b
≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 2
2
(a >0，b >0).
随堂演练
1.设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系
式中正确的是( ) A.q ＝r ＜p B.p ＝r ＜q C.q ＝r ＞p
D.p ＝r ＞q
解析 利用对数的运算性质和对数函数的单调性判断p ，q ，r 之间的相等与不等关系. 因为b >a >0，故
a ＋b
2
＞ab .又f (x )＝ln x (x >0)为增函数，所以f ⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 2>f (ab )，即q >p .
又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝1
2(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p .
答案 B
2.若实数a ，b 满足1a ＋2
b
＝ab ，则ab 的最小值为( )
A. 2
B.2
C.2 2
D.4
解析 由条件1a ＋2
b
＝ab 知a ，b 均为正数.因而可利用基本不等式求解.
由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥2
2
ab
，即ab ≥2
2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2
b ，
1a ＋2
b ＝
ab ，
即a ＝42，b ＝24
2时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2. 答案 C
3.已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝3x
，若f (a ＋b )＝9，则f (ab )的最大值为________.
解析 因为3a ＋b
＝9，所以a ＋b ＝2≥2ab ，得ab ≤1，所以f (ab )＝3ab
≤3.
答案 3
一、选择题
1.若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A.6＋2 3 B.7＋2 3 C.6＋4 3
D.7＋4 3
解析 先判断a ，b 的符号，再将已知的式子转化为关于a ，b 的方程，最后根据基本不等式求解.
由题意得⎩⎨⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧a >0，
b >0.
又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ， 所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3
b
＝1.
所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭
⎪⎫4a ＋3b ＝7＋3a b ＋4b a
≥7＋2
3a b ·4b
a
＝7＋43，
当且仅当3a b ＝4b
a
时取等号，故选D.
答案 D
2.要制作一个容积为4 m 3
，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A.80元 B.120元 C.160元
D.240元
解析 设底面矩形的一条边长是x m ，总造价是y 元，把y 与x 的函数关系式表示出来，再利用均值(基本)不等式求最小值.
由题意知，体积V ＝4 m 3
，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2
，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x
m ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x ＋8x ≥80＋20
2x ·8
x
＝
160，当且仅当2x ＝8
x
，即x ＝2时取得等号.
答案 C
3.函数y ＝log 2⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋1
x －1＋5 (x >1)的最小值为( ) A.－3
B.3
C.4
D.－4
解析 x >1，x －1>0，
y ＝log 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋
1
x －1＋5＝log 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫
x －1＋1
x －1＋6 ≥log 2(2＋6)＝log 28＝3. 答案 B
4.若a ，b ，c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－2 3，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A. 3－1 B. 3＋1 C.2 3＋2
D.2 3－2
解析 a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－2 3
⇒a (a ＋b )＋(a ＋b )c ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4－2 3. 而2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2 （a ＋b ）（a ＋c ） ＝2 4－2 3＝2 3－2.
当且仅当a ＋b ＝a ＋c ，即b ＝c 时等号成立. 答案 D
5.若不等式x 2
＋2x ＋a ≥－y 2
－2y 对任意实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是( ) A.a ≥0 B.a ≥1 C.a ≥2
D.a ≥3
解析 x 2
＋2x ＋a ≥－y 2
－2y ，对任意实数x 、y 都成立，
则a ≥－y 2
－2y －x 2
－2x ＝2－(x ＋1)2
－(y ＋1)2
恒成立，而2－(x ＋1)2
－(y ＋1)2
≤2，∴a ≥2. 答案 C
6.在下列函数中，最小值是2的是( )
A.y ＝x 5＋5
x
(x ∈R 且x ≠0)
B.y ＝lg x ＋1
lg x (1<x <10)
C.y ＝3x
＋3－x
(x ∈R ) D.y ＝sin x ＋1sin x ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0<x <π2 解析 A 中的函数式，x 5与5x 都不一定是正数，故可排除A ；B 中的函数式，lg x 与1
lg x
都是
正数且乘积为定值，运用基本不等式取等号的条件是lg x ＝1
lg x
，即x ＝10与1<x <10矛盾，。