第6讲 正余弦函数图像及其性质(讲义)解析版

第6讲 正余弦函数图像及其性质
知识梳理
1、用五点法作正弦函数的简图（描点法）：
正弦函数x y sin =，]2,0[π∈x 的图象中，五个关键点是：
)0,0( )1,2(π )0,(π )1,2
3(-π
)0,2(π
2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像：
把x y sin =，]2,0[π∈x 的图象，沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为π2，就得到R x x y ∈=,sin 的图像，此曲线叫做正弦曲线。

由正弦函数图像可知： （1）定义域：R
（2）值域：[]1,1- ； 正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以1|sin |≤x ， 即 1sin 1≤≤-x ，也就是说，正弦函数的值域是1,1[-亦可由正弦图像直接得出。

（3）奇偶性：奇函数
由x x sin )sin(-=-可知：x y sin =为奇函数，正弦曲线关于原点O 对称
（4）单调递增区间：z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
-
,22,2
2πππ
π；
（5）单调递减区间：z k k k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
+,232,2
2πππ
π； （6）对称中心：（0,πk ）；
（7）对称轴：2
π
π+
=k x
（8）最值：当且仅当,2
2π
π+
=k x y 取最大值1max =y ；
当且仅当,2
32π
π+=k x y 取最小值1min -=y 。

（9）最小正周期：π2=T
一般地，对于函数)(x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期
由此可知)0(2,,4,2,2,4,≠∈--k z k k 且πππππ 都是这两个函数的周期
对于一个周期函数)(x f ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做)(x f 的最小正周期
根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，)0(2≠∈k z k k 且π都是它的周期，最小正周期是π2
注意：
1.周期函数定义域M x ∈，则必有M T x ∈+, 且若0>T ，则定义域无上界；0<T 则定义域无下界；
2.“每一个值”只要有一个反例，则)(x f 就不为周期函数;
3.T 往往是多值的（如x y sin =中 ,4,2,2,4,ππππ--都是周期）周期T 中最小的
正数叫做)(x f 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）
5、余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像：
（1）定义域：R （2）值域：[]1,1- （3）奇偶性：偶函数
（4）单调递增区间：[]πππk k 2,2-，Z k ∈ （5）单调递减区间：[]Z k k k ∈+,2,2πππ
（6）对称中心：（0,2
π
π+
k ）
（7）对称轴：πk x =
（8）最值：当且仅当,2πk x =y 取最大值1max =y ； 当且仅当,2ππ+=k x y 取最小值1min -=y 。

（9）最小正周期：π2=T ；
例题解析
一、正余弦函数的图像
例1.画出下列函数在[0,2]π上的图象
（1）1sin y x =+ （2）cos y x =- 【难度】★
【答案】如图
【解析】(1) 第一步——列表（见下表）
第二步：描点、作图（见右上图）
(2) 第一步——列表（见下表）
第二步：描点、作图（见右上图）
例2.利用正弦函数和余弦函数的图像，求满足下列条件的x 的集合：
1(1)sin 2x ≥
1
(2)cos 2x ≤
【难度】★★ 【答案】（1）52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦；（2）52,
2,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
【解析】（1）作出正弦函数sin ,[0,2]y x x π=∈的图像：
由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：52,2,66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢
⎥⎣⎦
（2）作出余弦函数cos ,[0,2]y x x π=∈的图像：
由图形可以得到，满足条件的x 的集合为：52,2,33k k k Z ππππ⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦
例3.定义函数sin , sin cos ()cos , sin cos x x x
f x x x x ≤⎧=⎨
>⎩
，根据函数的图像与性质填空：
(1) 该函数的值域为_______________；(2) 当且仅当________________时，该函数取得最大值； (3) 该函数是以________为最小正周期的周期函数；(4) 当且仅当______________时，()0f x >. 【难度】★★
【答案】(1) 2[1,
]2-;(2) 2,4
x k k Z π
π=+∈; (3) 2π; (4) 22()2
k x k k Z π
ππ<<+
∈
例4.函数],[|,|sin ππ-∈+=x x x y 的大致图像是（ ）．
【难度】★★★ 【答案】C
分析：观察四个图像，A 、D 图像关于原点对称，是奇函数；B 图像关于y 轴对称，是偶函数；C 图像非奇非偶函数。

那么该函数的大致图像便迎刃而解．
例5．（2019·上海长宁区·高一期末）函数cos tan y x x =⋅（302x π
≤<且2
x π≠）的图像是下列图像中的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】将函数表示为分段函数的形式，由此确定函数图像.
【详解】依题意，3sin ,0,22
cos tan sin ,.
2x x x y x x x x πππππ⎧
≤<≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪-<<⎪⎩
或.由此判断出正确的
选项为C. 故选C.
【点睛】本小题主要考查三角函数图像的识别，考查分段函数解析式的求法，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
例6．（2020·上海高一课时练习）图中的曲线对应的函数解析式是（ ）
A ．|sin |y x =
B ．sin ||y x =
C ．sin ||y x =-
D ．|sin |y x =-
【答案】C
【解析】当x>0,所以y=-sinx,又因为此函数为偶函数，所以y=－sin|x|. 例7．（2020·上海高一课时练习）函数cos tan y x x =⋅ ()2
2
x π
π
-<<
的大致图象是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】去掉绝对值将函数化为分段函数的形式后可得其图象的大体形状．
【详解】由题意得sin ,02
sin ,0
2x x y cosx tanx x x ππ⎧
≤<⎪⎪=⋅=⎨⎪--<<⎪⎩
，
所以其图象的大体形状如选项C 所示． 故选C ．
【点睛】解答本题的关键是去掉函数中的绝对值，将函数化为基本函数后再求解，属于基础题．
【巩固训练】
1．用五点作图法作函数1cos y x =-在[0,2]π上的图象 【难度】★ 【答案】如图
【解析】(1) 第一步——列表（见下表） 第二步：描点、作图（见右上图）
2．已知02,sin cos x x x π≤≤<且，则x 的取值范围是（ ）．
A. 0,
4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 5,44ππ
⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 5(,2)4ππ D. 50,,244πππ⎡⎫⎛⎤
⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
【难度】★★ 【答案】D
3．函数cos y x x =-⋅的部分图像是( )
【难度】★ 【答案】D
4．同一坐标系中，函数3cos()([0,2])22
x
y x π
π=+∈的图像和直线12y =的交点个数有___
个
A
o
y x
B
o
y x
C
o
y x
D
o
y x
【难度】★★ 【答案】两个，分别为5,
3
3
π
π
二、正余弦函数的定义域值域
1、正余弦函数的定义域
例1．（2020·上海高一课时练习）函数=
y __________.
【答案】2,2,2⎡⎤
++∈⎢
⎥⎣⎦
k k k Z ππππ 【分析】根据不等式组cos 0
sin 0x x ≤⎧⎨≥⎩
，结合各象限角和轴线角三角函数值的符号即可得解.
【详解】由题可得cos 0
sin 0x x ≤⎧⎨
≥⎩
，根据各象限三角函数值的符号可得，
x 的终边位于第二象限或者y 轴的非负半轴，x 轴的非正半轴，
即2,2,2x k k k Z π
πππ⎡
⎤
∈+
+∈⎢⎥⎣
⎦
. 故答案为：2,2,2⎡⎤
+
+∈⎢⎥⎣
⎦
k k k Z π
πππ 【点睛】此题考查求函数定义域，关键在于准确求解三角函数相关不等式，注意定义域的书写形式.
例2.求下列函数的定义域
（1）)25lg(2sin 2x x y -+= （2）1lg[cos()]
32y x π
=-
+ （3）y =
【难度】★
【答案】（1）33
(5,][,][0,][,]2222
ππππππ--
⋃--⋃⋃ （2）(2,2)3
x k k π
πππ∴∈-
+
（3）(4,][0,]x ππ∈--
【解析】（1）由2
sin 20250x x ≥⎧⎨->⎩得：255
k x k x πππ⎧≤≤+
⎪⎨⎪-<<⎩，结合数轴得： 所求函数的定义域为：3
3
(5,][,][0,][,]2
222
π
πππππ--⋃--
⋃⋃. （2）
1cos()32x π->- (2,2)3
x k k π
πππ∴∈-+.
（3）因sin 0x ≥且2
16x <，则(4,][0,]x ππ∈--.
例3.（1）已知f （x ）的定义域为［0，1），求f （cos x ）的定义域；
（2）求函数y =lgsin （cos x ）的定义域．
【难度】★★★ 【答案】见解析
分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cos x ≤1，（2）要使sin （cos x ）＞0，这里的cos x 以它的值充当角．
解：（1）0≤cos x ＜1⇒2k π－
2π≤x ≤2k π+2
π
，且x ≠2k π（k ∈Z ） ∴所求函数的定义域为{x ｜x ∈［2k π－
2π，2k π+2
π
］且x ≠2k π，k ∈Z ｝． （2）由sin （cos x ）＞0⇒2k π＜cos x ＜2k π+π（k ∈Z ）． 又∵－1≤cos x ≤1，∴0＜cos x ≤1． 故所求定义域为{x ｜x ∈（2k π－
2π，2k π+2
π），k ∈Z ｝． 点评：求三角函数的定义域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是图象，二是三角函数线．
例4.求函数lg(sin cos sin cos 3)y x x x x =+-+的定义域 【难度】★★ 【答案】R
【解析】解：令 sin cos t x x =+，则[t ∈，21sin cos 2t x x -=11
[,]22
∈-
sin cos sin cos 3x x x x +-+>0恒成立，所以函数的定义域为R .
2、正余弦函数的值域与最值
例1．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）函数[]cos(),0,223
x y x π
π=-∈上的值域是________.
【答案】1
[,1]2
-
【分析】当[]0,2x π∈时，
2[,]2333x πππ
-∈-，结合cos x 的性质即可得到答案. 【详解】当[]0,2x π∈时，
2[,]2333
x πππ-∈-，则1cos(),1232x π⎡⎤
-∈-⎢⎥⎣⎦，函数
[]cos(),0,223x y x π
π=-∈上的值域是1[,1]2-.故答案为：1[,1]2
-
【点睛】本题考查余弦型函数的值域问题，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
例2.（1）函数sin ,,62y x x x ππ⎡⎫
=∈-
⎪⎢⎣
⎭的值域是 .
（2）函数[)cos ,0,y x x x π=-∈的值域是 . 【难度】★
【答案】（1）[)2,1y ∈-（2）[]1,2y ∈-
【解析】解：（1）sin =2sin()3y x x x π
=-
，由,62x ππ⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭
，,326x π
ππ⎡⎫
-
∈-⎪⎢⎣⎭
故1
sin()[1,)32
x π
-
∈-，[)2,1y ∈-。

（2）cos =2sin()6
y x x x π
=--
，由[)0,x π∈，2,663
x π
ππ
⎡⎫-
∈-⎪⎢⎣⎭
故1
sin()[,1]62
x π
-
∈-，[]1,2y ∈-。

注：此类题型主要利用辅助角公式及三角函数的有界性来进行求解
例3.已知函数()2sin cos f x x x x =+⋅，,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求()f x 的最大值和最小值． 【难度】★★
【答案】()f x ； ()f x 最小值为12
-+。

【解析】解： 1π()cos2)sin 2sin(2)23f x x x x =
-+=-+. 因为π
[,π]2x ∈，所以,π2π5π2[]333x -∈. 当π2π
233
x -=，即π2x =时，()f x 的最大值
当π3π232x -
=，即11π12x =时，()f x 的最小值为12
-+
例4.函数sin cos 66y x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
+- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
的最大值、最小值分别为（ ）
A . 2，2-
B . 13,13--+
C . 2,2-
D .
2
2
6,226+-
+ 【难度】★★ 【答案】D
例5.求下列函数的值域：2
cos sin ,,44y x x x ππ⎡⎤=+∈-
⎢⎥⎣⎦
. 【难度】★
【答案】152
4y ⎡⎤
-∈⎢
⎥⎣⎦ 【解析】解：2
2
cos sin sin sin 1y x x x x =+=-++，
令sin x t =，由,44x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦，22t ⎡∈-⎢⎣⎦
，则2215
1()24
y t t t =-++=--+，
当12t =
，即6x π=时，max 54f =. 当t =，即4x π=-时，min 12f -=
所以54y ⎤
∈⎥⎣
⎦. 注：此类题型主要利用二次函数的知识以及三角函数的有界性综合考虑 例6.求下列函数的值域sin cos 1sin cos x x
y x x
=++ ．
【难度】★★
【答案】方法依次是（1）先降幂，再用辅助角公式，最后化为一般三角函数式（考察重点）；（2）化为二次函数；（3）化为对勾函数、二次函数、一次函数或分式函数．
解：
(1) sin cos )[1][1,2]4
t x x x π
=+=+∈--令21
sin cos 2t x x -⇒=
21
1121
2[,1)(1,]1222
t t y t ---==⇒---+值域是．
注：注意函数的定义域，注意sin ,cos 1x x ≤．
例7.求函数1cos 3cos x
y x
-=+的值域．
【难度】★★ 【答案】[]1,0
【解析】解： 1cos 3cos x y x -=
+⇒()y x y 31cos 1-=+⇒y y x +-=
131cos ，即1131≤+-y
y
，所以解得函数1cos 3cos x
y x
-=+的值域是[]1,0
【巩固训练】
1．求函数的定义域，值域： 1) x y sin lg = 2) x
y cos 2=
【难度】★★
【答案】（1）定义域()πππk k 2,2+，值域为]0,(-∞；（2）定义域为R ，值域为]2,21
[．
2．函数)sin lg(cos x x y -=的定义域是____________． 【难度】★★ 【答案】)24
,243(ππ
ππk k ++-
3．求下列函数的定义域
(1)1
tan y x
= ；
(2)y =． 【难度】★★★ 【答案】见解析
解：等价转化为求一个不等式组的解
(1)sin 0tan 0,()2
x x x k k Z π
π⎧
⎪≥⎪≠⎨⎪⎪≠+∈⎩(2,2),,()2x k k x k k Z πππππ⇒∈+≠+∈
(2)
2cos 0250x x ≥⎧⎨-≥⎩⇒[2,2],()
22[5,5]
x k k k Z x ππππ⎧∈-+∈⎪⎨⎪∈-⎩⇒33[5,][.][,5]2222
x ππππ
∈--
-． 注：转化过程中要注意必须是等价转换，才能保证结果既不扩大也不缩小．在求条件组的解时，常会求角集得交集，可以画数轴，用单位圆或函数的图像，应熟练掌握这种技能．
4．函数⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛+=x x y 6cos 2sin ππ的最大值为
_________． 【难度】★★
【答案】
24
【解析】
211
sin()cos()cos s sin )sin 22624
y x
x x x x x
x ππ=+-=⋅
+=+
112sin 2cos(2)
426x x x π=
+=-，由三角函数有界性得max y =24
+
5．函数2
23sin 4cos 4,[,]33
y x x x ππ
=--+∈的最大值 ，此时x 的值是
【难度】★★ 【答案】max 15
4
y =
，23x π=
【解析】
22221
3sin 4cos 43cos 4cos 13(cos )33
y x x x x x =--+=-+=--
又
211,cos 3322x x ππ≤≤∴-≤≤，结合函数解析式，当且仅当1cos 2x =-时，max 15
4
y = 6．函数3cos 6sin 2)(2
++=x x x f 的最大值为 . 【难度】★ 【答案】9 【解析】
222319
()2sin 6cos 32cos 6cos 52(cos )22
f x x x x x x =++=-++=--+
又
1cos 1x -≤≤，结合函数解析式，当且仅当cos 1x =时，max 9y =
7．求函数]3
,6[,sin 2cos 872
π
π-∈--=x x x y 的值域．
【难度】★★ 【答案】3[1,]2
y ∈- 【解析】解：
∵
278cos 2sin y x x =--=2278cos 2(1cos )2(cos 2)3x x x ---=--∵[,]63
x ππ
∈-
， ∴1cos [
,1]2x ∈，∴3[1,]2
y ∈-．
8．求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最小值． 【难度】★★
【答案】1-
【解析】解：设sin cos ,x x t +=[t ∈则2
1sin cos 2
x x t
-=，
所以()y f t =＝
21
1,2
(1)t ⋅-+([t ∈，
当1[t =-∈时，y 有最小值1-.
9．求函数x
x
y cos 3sin 1--=
的值域．
【难度】★★★
【答案】方法有两种：（1）利用斜率定义；（2）分母乘到y 这边来，运用辅助角公式，利用三角函数的有界性解题．答案是]4
3
,0[
10．若函数2
()2sin sin 2f x x x x π⎛⎫
=--
⎪⎝⎭
能使得不等式2f x m -<|()|在区间203π⎛⎫ ⎪⎝⎭
,上恒成立，则实数m 的取值范围是______________． 【难度】★★ 【答案】(1,2]
11．若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于,M N 两点，则
MN 的最大值为 ．
【难度】★★
【答案】|sin cos |sin()|4
MN a a a π
=-=
-≤
12．对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数
()f x 的“下确界”，则函数22
()sin sin csc csc f x x x x x =-+-的“下确界”为____.
【难度】★★
【答案】0
13．要在一个半径为R 的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD ，问应如何截取，并求出此矩形的面积. 【难度】★★
【答案】矩形面积的最大值为1， 4π
θ=
【解析】设COB θ∠=，则 (0,
)2
π
θ∈
矩形ABCD 的长为2cos θ，宽为sin θ. 从而2cos sin sin 2ABCD S θθθ==，(0,
)2
π
θ∈
(0,)2
π
θ∈，2(0,)θπ∈，则sin 2(0,1]θ∈
因此，矩形面积的最大值为1，此时 4
π
θ=
.即 做角0
45COB ∠=，过射线OC 与半圆相
交与点C ， 过点C 做边AB 的垂线，交点为B ，过点C 做边AB 的平行线，交半圆与点D ，过点D 做边AB 的垂线，交点为A ，矩形ABCD 即为所得.
14
．已知函数2
π()2sin 24f x x x ⎛⎫
=+-
⎪⎝⎭
，ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．
（I ）求()f x 的最大值和最小值；
（II ）若不等式()2f x m -<在ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上恒成立，求实数m 的取值范围．
【难度】★★
【解析】
（Ⅰ）π()1cos 221sin 222f x x x x x ⎡⎤
⎛⎫=-+=+
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
∵ π12sin 23x ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭．
又ππ,42x ⎡⎤
∈
⎢⎥⎣⎦
∵，ππ2π2633x -∴≤≤，即π212sin 233x ⎛
⎫
+-
⎪⎝
⎭
≤≤， max min ()3,()2f x f x ==∴．
（Ⅱ）()2()2()2f x m f x m f x -<⇔-<<+∵
，ππ,42x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
max ()2m f x >-∴且min ()2m f x <+
14m <<∴，即m 的取值范围是(1,4)．
15．求函数(sin 2)(cos 2)y x x =--的最大值和最小值． 【难度】★★★ 【答案】见解析
解：原函数可化为：sin cos 2(sin cos )4y x x x x =-++，
令sin cos (||x x t t +=≤
，
则21sin cos 2t x x -=，∴22113
24(2)222
t y t t -=
-+=-+．
∵2[t =∉，且函数在[上为减函数，∴当t =
时，即
2()4
x k k Z π
π=+∈时，min 92y =
-；当t =32()4
x k k Z π
π=-∈时，
max 9
2
y =
+
三、正余弦函数的性质 1、正余弦函数的周期性
例1．（2020·上海高一课时练习）下列函数中，最小正周期为π的偶函数是( )
A ．sin 2y x =
B ．cos 2
x y =
C ．sin 2cos2y x x =+
D ．|sin |y x =
【答案】D
【分析】根据三角函数的周期公式可排除选项B ；根据函数的奇偶性可排除A ，C ；即可得答案.
【详解】函数sin 2y x =的最小正周期为
22
π
π=，且为奇函数，所以A 不正确； 函数cos 2
x
y =的最小正周期为2412
π
π=，所以B 不正确；
函数sin 2cos 224y x x x π⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，所以最小正周期为22ππ=，非奇非偶函
数，所以C 不正确；
函数|sin |y x =的最小正周期为
1
π
π=，且为偶函数，故D 正确.
故选：D
【点睛】本题主要考查了三角函数的周期性与奇偶性，属于基础题.
例2．（2020·上海徐汇区·高一期末）函数()sin f x x π=的最小正周期为____________. 【答案】2
【分析】利用()sin y A x b ωϕ=++的最小正周期为
2π
ω
，即可得出结论．
【详解】解：函数()sin f x x π=的最小正周期为：22π
π
=.
故答案为:2.
【点睛】本题主要考查三角函数的周期性，利用了()sin y A x b ωϕ=++的最小正周期为
2π
ω
，属于容易题．
例3．（2020·徐汇区·上海中学）函数sin(2)y x π=+的最小正周期是__________.
【答案】2
【分析】直接利用sin()y A x ωϕ=+最小正周期为2T ω
π
=
求解.
【详解】函数sin(2)y x π=+的最小正周期是22T π
π
==.
故答案为：2
【点睛】本题主要考查三角函数的周期，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 例4．（2016·上海浦东新区·高一期末）函数1cos2y x =-的最小正周期是__________. 【答案】π；
【分析】利用余弦函数的最小正周期公式2T ω
π
=
即可求解.
【详解】因为函数1cos2y x =-，2ω=
所以222
T π
π
πω
=
=
=，故答案为：π 【点睛】本题考查了含余弦函数的最小正周期，需熟记求最小正周期的公式，属于基础题. 例5.求下列函数的周期：
⑴⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
43sin 21πx y ； ⑵⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 216sin 5π； ⑶⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫
⎝⎛+=x x y 3cos 3cos ππ； 【难度】★★ 【答案】（1）
3
2π
；（2）π4（3）π．
例6.求下列函数的最小正周期．
（1）136sin 2+⎪⎭
⎫
⎝⎛-=x y π； （2）x x x x y 22sin 23cos sin cos 21++=；
（3）x x y 4
4
cos sin -=； （4）2
tan )cos 1(cos x
x x y +=． 【难度】★★
【答案】（1）
32π
；
（2）π（3）π（4）2π． 例7.求下列函数的周期：
（1）sin 2sin(2)
3cos 2cos(2)3
x x y x x π
π++=++；（2）2sin()sin 2y x x π=-；（3）cos 4sin 4cos 4sin 4x x y x x +=-．
【难度】★★★ 【答案】见解析
解：（1
）1
)sin 2sin 226tan(2)6)6x x x x
y x x πππ+++
=
=
=++， ∴周期2
T π
=
．
（2）2sin cos sin 2y x x x =-=-，故周期T π=． （3）1tan 4tan(4)1tan 44x y x x π+=
=+-，故周期4
T π
=．
例8.函数x x y 2
4
cos sin +=的最小正周期为（ ）． A.
4
π B.
2
π
C. π
D. π2
【难度】★★★ 【答案】C
例9.证明函数3cos )(x x g =不是周期函数．
【难度】★★★ 【答案】反证法
【巩固训练】
1．在下列四个函数中，周期为
2
π
的偶函数为 （ ）
A .2sin 2cos2y x x =
B .22cos 2sin 2y x x =-
C .sin 2y x x =
D .22cos sin y x x =-
【难度】★ 【答案】B
2．函数4
4
sin cos y x x =+的最小正周期是___________ 【难度】★
【答案】4
4
2
2
2
2
2
sin cos (sin cos )2sin cos y x x x x x x =+=+- 211cos 43
1sin 21(1cos 4)2444
x x x =-=--=+,故最小正周期为 2T π=.
3．求函数|sin |y x =的最小正周期. 【难度】★★
【答案】由图得，最小正周期为π
4．函数2sin sin 2y x x =-的最小正周期为_________． 【难度】★ 【答案】π
【解析】
2111
sin sin 2(1cos 2)sin 2(sin 2cos 2)222
y x x x x x x =-=--=-++
12),22
x T π
ϕ=++∴= 5．函数()2sin cos 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫
=++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的最小正周期为 ． 【难度】★★ 【答案】π 【解析】
2sin()cos()sin[2()]sin(2)cos 24442
y x x x x x ππππ
=++=+=+= 22
T π
π∴=
= 6．已知函数)7
22sin(21)(π+=ax x f 的最小正周期为π4，则正实数a = ． 【难度】★★ 【答案】14
a =
【解析】由
242a
π
π= 得，14a =
7．“12
a =
”是函数22
cos 2sin 2y ax ax =-的最小正周期为π的 ( ) .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件
.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件
【难度】★ 【答案】A
2、正余弦函数的奇偶性与对称性
例1．（2020·上海崇明区·高一期末）函数()45sin y x x =-︒-（ ）
A ．是奇函数但不是偶函数
B ．是偶函数但不是奇函数
C ．既是奇函数又是偶函数
D ．既不是奇函数又不是偶函数
【答案】B
【分析】将函数化简，利用奇偶性的定义，判断出正确选项.
【详解】函数()45sin y x x
=
-︒-
cos sin cos 22x x x x ⎫=--=-⎪⎪⎭
， ∵()()()cos cos f x x x f x -=--=-=，
∴函数()45sin y x x =-︒-是偶函数.
故选:B .
【点睛】本小题主要考查三角函数中的恒等变换应用，属于基础题.
例2．（2017·上海市大同中学高一期中）函数4sin 23y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象关于（ ）对称
A ．原点
B ．直线6
x π
=
C ．y 轴
D ．直线12
x π
=
【答案】D
【分析】根据正弦函数性质，令23
2
x k π
π
π+
=
+，求解x ，结合k Z ∈，可得对称轴.
【详解】解：函数4sin 23y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
, 令23
2
x k π
π
π+
=
+，得1212
x k ππ=
+， ∵k Z ∈，
当0k =时，可得图象关于12
x π
=对称．
故选：D ．
【点睛】本题考查正弦函数的对称性，求得其对称轴：23
2
x k π
π
π+=
+是关键，考查赋
值法的应用，属于基础题．
例3．（2019·上海市杨浦高级中学高一期末）函数sin 23y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图像（ ） A ．关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称
B ．关于点,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．关于直线6
x π
=对称
D ．关于直线3
x π
=
对称
【答案】B
【分析】根据sin y x =关于点(),0,()k k Z π∈对称,sin y x =关于直线
()2
x k k Z π
π=+
∈对称来解题.
【详解】解：令2()3
x k k Z π
π+
=∈,得126
x k ππ=
-, 所以对称点为1
,02
6k ππ⎛⎫-
⎪⎝⎭.
当1k =,为,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
,故B 正确；
令2()3
2
x k k Z π
π
π+
=+
∈,则对称轴为212
k x ππ=
+, 因此直线6
x π
=和3
x π
=
均不是函数的对称轴.
故选B
【点睛】本题主要考查正弦函数的对称性问题.正弦函数根据sin y x =关于点
(),0,()k k Z π∈对称,关于直线()2
x k k Z π
π=+
∈对称.
例4．（2018·上海市淞浦中学高一期中）函数2
2cos 1y x =-是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数
B ．最小正周期为π的偶函数
C ．最小正周期为
2
π
的奇函数 D ．最小正周期为
2
π
的偶函数 【答案】B
【分析】利用二倍角余弦公式化简，从而可判断函数的周期性与奇偶性. 【详解】∵2
2cos 1cos 2y x x =-=
∴函数2
2cos 1y x =-是最小正周期为π的偶函数，
故选：B
【点睛】本题考查三角函数的周期性与奇偶性，考查二倍角余弦公式，属于基础题. 例5．（2018·上海浦东新区·）下列函数中，周期是，又是偶函数的是( )
A ．y=sinx
B ．y=cosx
C ．y=sin2x
D ．y=cos2x
【答案】D
【详解】A,B 两项的周期均为，所以排除，C 项为奇函数，D 为偶函数且周期是，所
以选D
例6.判断下列函数的奇偶性：
（1）x x y cos sin =；（2）x x y sin 2=；
（3）lg(sin y x =． 【难度】★★
【答案】（1）奇；（2）奇；（3）奇函数．
例7.（1）函数sin(2)y x ϕ=+的图像关于y 轴对称，则ϕ= _______________
（2）函数5cos(2)y x θ=-为奇函数，则θ= 【难度】★★★ 【答案】（1）,2
k k Z π
ϕπ=+
∈.（2）,2
k k Z π
θπ=+
∈
例8.（1）函数3sin(2)3
y x π
=+
的对称轴方程是
（2）若函数sin 2cos 2y x a x =+的图像关于3
x π
=对称，则a =
【难度】★
【答案】（1）1212
x k π
π=
+，k Z ∈ （2）3a =-
【巩固训练】
1．函数()f x =的奇偶性为 ． 【难度】★★ 【答案】奇函数
【解析】函数的定义域为x R ∈关于原点对称
()()f x f x -==-，所以此函数为奇函数
2．函数3sin 26y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
图像的一条离直线10x =最近的对称轴方程是 ． 【难度】★ 【答案】196
x π
=
【解析】由2()6
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈得：()6
2
k x k Z π
π
=
+
∈ ， 故而离直线10x =最
近的对称轴方程是196x π=
3．2
sin cos 2y x x x x =+是 函数．
【难度】★ 【答案】偶
4．若函数1)2
sin(
3)(--=x x f ππ
，则)(x f 是（ ）
． A ．周期为1的奇函数 B ．周期为2的偶函数 C ．周期为1的非奇非偶函数 D ．周期为2的非奇非偶函数． 【难度】★★
【答案】B
5．判断下列函数的奇偶性 （1）1sin cos ()1sin cos x x f x x x
+-=++ （2）44
()sin cos cos 2f x x x x =-+
【难度】★
【答案】（1）非奇非偶 （2）既是奇函数又是偶函数
3、正余弦函数的单调性
例1．（2020·上海高一课时练习）已知函数sin y x =与cos y x =，在下列区间内同为单调递增函数的是( )
A ．0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
B ．,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．3,2ππ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
D ．3,22
⎛⎫ ⎪⎝⎭
ππ
【答案】D
【分析】分别写出正弦函数与余弦函数的增区间，结合选项取k ＝1，可得正弦函数与余弦函数的单调增区间的子集得答案．
【详解】∵y ＝sinx 的单调增区间为2222k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
，，，
y ＝cosx 的单调增区间为[2k π-π，2k π]，k ∈Z ，
结合选项，∴当k ＝1时，[
32
π
，2π]为正弦函数与余弦函数的单调增区间的子集， 即能使函数y ＝sinx 与函数y ＝cosx 同时单调递增的是[32
π
，2π]（闭区间或开区间均可）． 故选：D ．
【点睛】本题考查正弦函数与余弦函数的单调性，关键是熟记正弦函数与余弦函数的单调区间，是基础题．
例2．（2020·上海崇明区·高一期末）已知函数()sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
在区间[]0,a （其中0a >）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．02
a π
<≤
B ．012
a π
<≤
C ．*,12
a k k N π
π=+∈ D ．*22,12
k a k k N π
ππ<≤+
∈
【答案】B
【分析】由条件利用正弦函数的单调性，可得23
2
a π
π
+
≤
，求得a 的范围．
【详解】解：
函数()sin 23f x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
在区间[]0,a （其中0a >）上单调递增， 则23
2
a π
π
+
≤
，求得12
a π
≤
，故有012
a π
<≤
，
故选：B ．
【点睛】本题考查了正弦函数的单调性，属基础题．
例3．（2020·华东师范大学第三附属中学高一期末）函数cos 24y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的单调递减区间是_________.
【答案】()3,8
8k k k Z π
πππ⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
试题分析：2224
k x k π
πππ≤+
≤+，解得38
8
k x k π
π
ππ-
≤≤+
，()k Z ∈. 考点：三角函数的单调单调区间．
例4．（2020·上海市控江中学高一期中）()5sin 24f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
的单调减区间是___________. 【答案】[,]()88
k k k 3π7π
π+
π+∈Z 【分析】根据正弦函数的单调性直接求解即可.
【详解】因为()5sin 24f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
， 令22322
4
2
x k k π
π
π
ππ≤-
≤+
+
，k Z ∈ 解得3788
x k k ππππ≤≤+
+，k Z ∈， 所以函数()5sin 24f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的单调递减区间为[,]()88
k k k 3π7π
π+
π+∈Z ， 故答案为：[,]()88
k k k 3π7π
π+
π+∈Z 【点睛】本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了运算能力，属于容易题.
例5．（2019·上海市奉贤中学高一期末）函数cos 2y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的单调增区间是________.
【答案】2,222k k ππππ⎡⎤
-
++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈
【分析】先利用诱导公式化简，即可由正弦函数的单调性求出．
【详解】因为cos sin 2y x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以cos 2y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的单调增区间是
2,222k k ππππ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈． 【点睛】本题主要考查诱导公式以及正弦函数的性质——单调性的应用．
例6．（2020·上海高一课时练习）函数sin 6⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
y x π的递减区间是_________. 【答案】42,2,33⎡
⎤
+
+∈⎢⎥⎣
⎦
k k k Z π
πππ 【分析】由整体代入法求解函数的递减区间. 【详解】由322,2
6
2k x k k Z π
π
πππ+
≤
+≤+
∈得，422,33
k x k k Z ππ
ππ+≤≤+∈， 所以函数sin 6⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y x π的递减区间是42,2,33⎡
⎤++∈⎢
⎥⎣
⎦k k k Z ππππ. 故答案为：42,2,33⎡
⎤
+
+∈⎢⎥⎣
⎦
k k k Z π
πππ 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的单调区间的求解，考查了用整体代入法求解函数的单调区间.
例7.求列函数的单调增区间 （1）cos 2y x = （2）2sin(
)4
y x π
=- （3）12sin()2
4
3x y π=-
（4）
π
|sin()|4y x =-+.
【难度】★★ 【答案】 (1)[,],2
k k k Z π
ππ-
∈ (2) 37[2,2],44
k k k Z ππ
ππ+
+∈ (3) 921π[3,3]88k k πππ+
+（k Z ∈） (4)3π
[,]44
k k πππ++（k Z ∈） 例8.求函数12
1
()log cos()3
4
f x x π
=+
的单调递增区间.
【难度】★★
【答案】∵12
1()log cos()3
4f x x π
=+
令134t x π
=+ ∴12log cos y t = t 是x 的增函数 又 ∵ 1
012
<
< ∴ 当12
log cos y t =为单调递增时cos t 为单调递减 且cos 0t >
∴ 22()2
k t k k Z π
ππ≤<+
∈
∴ 22()342x k k k Z ππππ≤
+<+∈， 3366()44
k x k k Z ππππ-≤<+∈ ∴ 12
1
()log cos()3
4
f x x π
=+
的单调递减区间是3366()44
k x k k Z ππππ-
≤<+∈ 例9.已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上的最小值和最大值．
【难度】★★
【答案】（1）()f x 的最小正周期为π（2）()f x
最小值为1-．
【解析】解：（Ⅰ）π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛
⎫=-+=-=
- ⎪⎝
⎭．
因此，函数()f x 的最小正周期为π．
（Ⅱ）解法一：因为π()24f x x ⎛⎫=
- ⎪⎝⎭在区间π3π,88⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为增函数，在区间3π3π,84⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
上为减函数，又π08f ⎛⎫=
⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫
=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
故函数()f x 在区间π3π,
84⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
最小值为1-．
解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=
- ⎪⎝⎭在长度为一个周期的区间π9π,84⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的图象如下：
由图象得函数()f x 在区间π3π,
84⎡⎤
⎢⎥⎣⎦最小值为3π14f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
． 点评：本题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角和与差公式、倍角公式、函数sin()y A wx ϕ=+的性质等基础知识，考查基本运算能力．利用三角公式将所给函数化为一个角的三角函数，然后借助其性质直接求解是研究三角函数的性质的常规思路.凭借函数图象研究函数性质，可以使问题得以形象直观展示出来易于解决.
例10.已知函数2
πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+
+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间．
【难度】★★
【答案】（1）πT = （2）π
[π,π]2
k k -（k Z ∈）
． 【解析】
ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =++
+πππ
))2442
x x x =++=+=．
（I ）函数
()f x 的最小正周期是2π
π2
T =
=； （II ）当2ππ22πk x k -≤≤，即π
ππ2k x k -≤≤（k Z ∈
）时，函数()2f x x =是增函数，故函数
()f x 的单调递增区间是π
[π,π]2
k k -（k Z ∈）
． 例11.已知函数2
π()cos 12f x x ⎛⎫=+
⎪⎝
⎭，1
()1sin 22
g x x =+． （1）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（2）求函数
()()()h x f x g x =+的单调递增区间．
【难度】★★★
【解析】（1）由题设知1π
()[1cos(2)]26f x x =
++．因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴
，
所
以
0π26x +πk =，即0 π
2π6
x k =-（k Z ∈）．所以
0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．
当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫
=+-=-= ⎪⎝⎭
，当k 为奇数时，01π15
()1sin 12644
g x =+
=+=． （2）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛
⎫=+=
++++ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
1π3113cos 2sin 2sin 22622222x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭
1π3sin 2232x ⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭．
当πππ2π22π232k x k -
≤+≤+，即5ππ
ππ1212
k x k -
≤≤+（k Z ∈）时， 函数1π3()
sin 2232h x x ⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭是增函数，故函数()h x 的单调递增区间是5πππ,π1212k k ⎡
⎤-+⎢⎥⎣
⎦（k Z ∈）．
【巩固训练】
1．求下列函数的单调递增区间：
（1）
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 24sin 3π； （2）⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=42cos 2πx y ； （3）x y sin =； （4）()R x x x x x x f ∈++=,cos 3cos sin 2sin 2
2．
【难度】★★ 【答案】（1）]87,83[
ππππk k ++；（2）]8,85[ππππk k +-+-；（3）]2
,[ππ
πk k +； （4）
]8,83[ππ
ππk k ++-
．
2．函数x
y sin 2
=的单调增区间是（ ）．
A ． )](22,22[Z k k k ∈+-
πππ
π B ． )](2
32,22[Z k k k ∈++π
πππ C ． )](2,2[Z k k k ∈-πππ D ． )](2,2[Z k k k ∈+πππ． 【难度】★★ 【答案】A 3．函数2
sin
x
y -=的单调递减区间是（ ）． A ．)](4
,4
[Z k k k ∈+
-
π
ππ
π B ．)](4
3,4
[Z k k k ∈+
+
π
ππ
π
C ．)](4,4[Z k k k ∈+-ππππ
D ．)](34,4[Z k k k ∈++ππππ． 【难度】★★ 【答案】C
4．设函数()2sin 2cos 1468x f x x π
ππ⎛⎫=--+
⎪⎝⎭
． （1）求()f x 的最小正周期；
（2）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当40,
3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()y g x =的最大值．
【难度】★★
【答案】（1）函数的最小正周期为8T =
（2）函数()g x 的最大值为
2
反思总结
三角函数是高中重要知识点，亦是高考中考查的热点内容，本章学习过程中学生应理解正弦、余弦函数的概念以及会用“五点法”作图；掌握其奇偶性、单调性、值域及最值；其中对三角函数图像的直观反映是学生研究三角函数及其性质的重要工具，对函数图像清晰而准确的掌握也为学生在解题实践中提供了有力的工具。