高一数学上学期第二次检测试题含解析 试题

中学2021-2021学年高一数学上学期第二次检测试题〔含解析〕
一、单项选择题
{|04}A x N x =∈<<的真子集个数为( )
A. 3
B. 4
C. 7
D. 8
【答案】C 【解析】
{}1,2,3A =，集合有3个元素，所以集合的真子集个数为3217-=，故填：C.
1112,1,,,,1,2,3232a ⎧⎫
∈---⎨⎬⎩⎭
，那么使幂函数a y x =为奇函数且在(0,)+∞上单调递增的a 值
的个数为( ) A. 0 B. 1
C. 2
D. 3
【答案】D 【解析】
本试题主要是考察了幂函数的性质的简单运用．
因为α=2-时，函数2
21
y x
x -==
，以-x 代x 解析式不变，那么就是偶函数， α=-1时，函数1
1y x x -==为反比列函数，因为f(-x)=1x -=-f(x)=-1x
故为奇函数，且在〔0，
+∞〕单调递减；α=2时，函数2y
x 是二次函数，对称轴为y 轴故为偶函数；根据幂函数的
性质可知，幂指数为正奇数时，那么在第一象限递增，故α=1，3，1
3
不仅函数为奇函数，且在〔0，+∞〕单调递增，满足题意，应选D.
解决该试题关键是对于各个取值意义验证，断定是否满足幂函数的性质．
α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，那么实数a 的取值范围是( )
A. (－2,3]
B. (－2,3)
C. [－2,3)
D. [－2,3]
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意可得 20a +＞， 且390a -≤ ，解不等式组求得a 的取值范围．
【详解】∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或者y 轴的正半轴上． ∴
∴－2<a ≤3.应选A.
【点睛】此题考察任意角的三角函数的定义，根据三角函数值的符号判断角所在的象限，得到20a +＞， 且390a -≤，是解题的关键，属于根底题．
()()2
ln 1f x x x
=+-的一个零点所在的区间是( )
A. ()0,1
B. ()1,2
C. ()2,3
D. ()3,4
【答案】B 【解析】
【分析】
先求出(1)(2)0,f f <根据零点存在性定理得解. 【详解】由题得()2
1ln 2=ln 2201
f =-
-<， ()2
2ln3=ln3102
f =-->，
所以(1)(2)0,f f < 所以函数()()2
ln 1f x x x
=+-的一个零点所在的区间是()1,2. 应选B
【点睛】此题主要考察零点存在性定理，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.
5.设a=2，b=log 20212021，c=sin1830°，那么a ，b ，c 的大小关系是〔 〕 A. a ＞b ＞c B. a ＞c ＞b C. b ＞c ＞a D. b ＞a ＞c
【答案】D 【解析】
【详解】试题分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 解：∵1＞a=2﹣
=1
2
，b=log 20212021＞1，c=sin1830°=sin30°=， ∴b＞a ＞c ， 应选D ．
考点：对数值大小的比拟．
6.()f x 是定义在R 上的函数，且()(2)f x f x =+恒成立，当[]2,0x ∈-时，2()f x x =，那么当[]
2,4x ∈时，函数()f x 的解析式为〔 〕 A. 2
()=4f x x -
B. 2
()=4f x x +
C. 2
()=(4)f x x +
D.
2()=(4)f x x -
【答案】D 【解析】 【分析】
()(2)f x f x =+，推导出函数的周期性，得到()(4)f x x f =-，
然后令[]42,0x -∈-，利用()()4f x f x =-，即可求出[]
2,4x ∈时的函数解析式， 【详解】
x R ∈，()(2)f x f x =+，
所以()f x 是以2为周期的函数，()()()42f x f x f x ∴-=-= 设[]42,0x -∈-，可得()2
(4)4f x x -=-，
此时，[]
2,4x ∈， 根据()()4f x f x =-，得 ()()2
(4)4f x x f x -=-=，因此，当[]2,4x ∈时，2()=(4)f x x -，
答案选D
【点睛】此题考察函数的周期性问题，属于根底题
(2sin(2)3
f x x π
=+），那么以下关于该函数()f x 图象对称性的描绘正确的选项是〔 〕
A. 关于点(
,0)6
π
对称 B. 关于点5(,0)12
π
-
对称 C. 关于直线3
x π
=对称
D. 关于直线12
x π
=
对称
【答案】D 【解析】 【分析】 令23
2
x k π
π
π+
=+
即可解出对称轴的方程，从而得到C 错误，D 正确. 令23
x k π
π+
=可得
对称中心的横坐标，从而可判断A 、B 是错误的.
【详解】令23
2
x k π
π
π+
=+
，其中k Z ∈，所以,212k x k Z ππ
=
+∈，当0k =时，12
x π=，故()f x 的图像关于直线12
x π
=对称，因为
2123k πππ+=无整数解k ，故直线3
x π=不是函数图像的对称轴. 令23
x k π
π+
=，其中k Z ∈，所以,26k x k Z ππ=
-∈，因为266
k πππ-=无整数解k ，故点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭不是函数图像的对称中心，同理5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭
也不是函数图像的对称中心. 应选D.
【点睛】此题考察三角函数的图像和性质，属于根底题. 8.2sin 52sin 3cos 2333x x x ππ⎛⎫
⎛⎫-
--= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，那么cos 23x π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭〔 〕 A.
19 B. 19
-
C.
13
D. 13
-
【答案】B 【解析】 【分析】
利用两角和的正弦函数化简求得2sin 33
x π⎛⎫
+=- ⎪⎝
⎭，再利用诱导公式，即可求解，得到答案. 【
详
解
】
因
为
sin 5sin 3233x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 3cos 2cos3sin 233x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫
=-+-
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
， 所以
sin 52sin 3cos 233x x x ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 3cos 2cos3sin 2333x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=--+-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
整理得2sin 33x π⎛⎫
-+= ⎪⎝
⎭，即2sin 33x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
， 所以
cos 2cos 233x x πππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫-=+
- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦21cos 22sin 1339x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫
=-+=+-=- ⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣⎦，
【点睛】此题主要考察了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题.
9.给出如下四个函数：①())
cos sin f x x x
x x =
+-；
②()4
4
sin cos f x x x =+；③()2
sin sin f x x b x c =++，b ，c 为常数；④()sin 2cos2f x x x =+．其中最小正周期一定为π的函数个数为〔 〕 A. 0 B. 1
C. 2
D. 3
【答案】B 【解析】 【分析】
将()f x 表达式化简，周期2T π
ω
=.
【详解】())
cos sin 2sin 23f x x x
x x x π⎛
⎫=
+-=+ ⎪⎝
⎭周期为π．
()44222131
sin cos 12sin cos 1sin 2cos 4244
f x x x x x x x =+=-=-=+周期为2π；
对()2
sin sin f x x b x c =++，当0b ≠时，易知()()f x f x π+=不恒成立，
()sin 2cos 224f x x x x π⎛
⎫=+=
+ ⎪⎝
⎭周期为2π；
因此仅有())
cos sin f x x x
x x =+-满足．
应选B
【点睛】此题考察三角函数的化简，熟记和差公式和两个根本公式即可，另外求最小正周期的前提是函数是周期函数，属于较易题目．
cos 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，可由函数sin 2y x =〔 〕
A. 向左平移
8
π
个长度单位 B. 向右平移
8
π
个长度单位 C. 向左平移4
π
个长度单位 D. 向右平移
4
π
个长度单位
【解析】 【分析】
利用诱导公式将函数sin 2y x =化成余弦形式，再根据“左加右减〞原那么，即可得到答案. 【详解】函数sin 2cos(2)cos(2)cos[2()]224
y x y x x x π
ππ
=⇔=-=-=-， 函数cos 24y x π⎛
⎫=-
⎪⎝
⎭cos[2()]8
y x π⇔=-， 所以函数sin 2y x =向左平移8π个长度单位可得cos 24y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
应选：A.
【点睛】此题考察三角函数诱导公式、平移变换，考察转化与化归思想的运用，求解时要注意先将函数名化成一样，再利用“左加右减〞的变换原那么. 二、多项选择题
sin sin y x x =+有下述四个结论中的正确结论是〔 〕
A. 函数()y f x =是偶函数
B. 函数()y f x =在区间0,
2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
单调递增
C. 函数()y f x =在区间[],ππ-上有4个零点
D. 函数()y f x =的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】
对A ，利用偶函数的定义；对B ，当(0,
)2
x π
∈时，对函数进展化简得2sin y x =，再判断单
调性；对C ，对x 进展讨论，将函数写成分段函数的形式，再求方程的根，从而得到函数的零点；对D ，当2
x π=时，sin ||x 与|sin |x 同时取到最大值1.
【详解】对
A ，因为函数的定义域为R ，关于原点对称，且
()sin |||sin()|()f x x x f x -=-+-=，故函数为偶函数，故A 正确；
对B ，当(0,
)2x π
∈时，对函数等价于2sin y x =，显然函数在(0,)2
x π
∈递增，故B 正确； 对C ，函数2sin ,0,
()2sin ,0,
x x f x x x ππ≤≤⎧=⎨
--≤<⎩当()0f x =时，解得：0x =或者x π=或者x π=-，
只有3个零点，故C 错误； 对D ，当2
x π=时，sin ||x 与|sin |x 同时取到最大值1，即函数()y f x =的最大值为2，故D
正确； 应选：ABD
【点睛】此题考察分段函数的奇偶性、单调性和最值，考察数形结合思想的应用，考察逻辑推理才能和运算求解才能.
R 上的函数()f x ，其图像是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对
任意实数x 都成立，那么称()f x 是一个“λ特征函数〞．那么以下结论中正确命题序号为
__________．
①()0f x =是常数函数中唯一的“λ特征函数〞；
②()21f x x =-不是“λ特征函数〞；
③“
1
3
~特征函数〞至少有一个零点； ④()x
f x e =是一个“λ特征函数〞．
【答案】②③④ 【解析】
①当1λ=-时，任何常函数都是“λ~特征函数〞，所以错误；
②()()()22122210f x f x x x x λλλλλλλ++=+-+-=++-=对任意的x 不能恒成立，不是“λ~特征函数〞，所以正确； ③()11
033f x f x ⎛⎫+
+= ⎪⎝⎭成立，那么()f x 与13f x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭异号，由又函数是连续的，所以在
1,3x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭至少存在一个零点，所以正确；
④()()()
0x x x f x f x e
e e e λ
λλλλλ+++=+=+=，那么λ满足0e λλ+=时，对任意x 恒
成立满足，所以正确． 所以正确的选项是②③④．
点睛：此题考察函数性质的应用．此题中需要学生理解“λ~特征函数〞的定义，并能在选项的判断中利用定义进展判断，对学生的数学才能要求极高，并在判断过程中可以联络学过的函数性质，加以应用． 三、填空题
2()log (1)f x x =-_______________.
【答案】(1,3] 【解析】 【分析】
根据对数的真数大于0，开偶次方根的被开方数大于等于0，解不等式即可得到答案. 【详解】由题意得：10,
30,x x ->⎧⎨
-≥⎩
解得13x <≤，
所以函数的定义域为：(1,3]. 故答案为：(1,3].
【点睛】此题考察详细函数的定义域求解，考察不等式的求解，注意定义域要写成集合或者区间的形式.
xOy 中，角α的终边经过点()3,4P ，那么2017sin()2
π
α-
=__________． 【答案】35
【解析】
20173sin sin cos 225ππααα⎛
⎫⎛
⎫-
=-=-=- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝
⎭ 15.1tan 2
α=，()2
tan 5αβ-=-，那么()tan 2βα-=____________.
【答案】1
12
- 【解析】
()25tan αβ-=-，()2
5
tan βα∴-=
()()()()211522tan 21112152
tan tan tan tan tan βααβαβααβαα---⎡⎤-=--===-⎣⎦+-⨯+⨯ ()(1||)1(0)f x x a x a =-+>，假设()()f x a f x +≤对任意x ∈R 恒成立，那么实数a 的取值
范围是 ________． 【答案】)
2,⎡+∞⎣ 【解析】 【分析】
在同一坐标系中作出函数()y f x a =+和()y f x =的图象，题意说明函数()y f x a =+的图象在函数()y f x =的图象的下方，即(1)1()[1()1]x ax x a a x a ++≥+-++恒成立，整理后为二次不等式，由0∆≤可得a 的范围．
【详解】由题意(1)1,0()(1)1,0x ax x f x x ax x ++<⎧=⎨-+≥⎩
，()()(1)1f x a x a a x a +=+-++，
∵()()f x a f x +<对任意的x ∈R 恒成立，在同一坐标系中作出满足题意函数()y f x a =+和
()y f x =的图象，如下图，
∴(1)1()[1()]1x ax x a a x a ++≥+-++恒成立，
222210x ax a ++-≥恒成立，
∴2
2
442(1)0a a ∆=-⨯-≤，解得2a ≥2a ≤-， 故答案为：2,)+∞．
【点睛】此题考察函数不等式恒成立问题，由于函数中含有绝对值符号，较为复杂，因此解
题时利用函数的图象，把问题转化为一般的二次不等式恒成立，使得问题轻松解决．数形结合思想是中学数学中的重要的思想方法，平常学习必须注意掌握． 四、解答题
17.〔1〕计算2
2
132521(2)()log 80(log 2)27
--+--+的值；
〔2〕tan 2α=，求2sin 3cos 4sin 9cos αα
αα--和sin cos αα的值．
【答案】〔1〕539-；〔2〕2
5
.
【解析】
试题分析：〔1〕利用公式计算；〔2〕利用齐次的弦化切技巧计算． 试题解析： (1)原式=2+
()2225112log 16log 59log 2-++=()221224log 52log 59
+-++ =
1
69
-= -
〔2〕
2sin 3cos 2tan 3223
14sin 9cos 4tan 9429
αααααα--⨯-===---⨯-， 222
sin cos tan 2
sin cos sin cos tan 15αααααααα===++. ()a
f x x x
=+，且(1)2f =.
〔1〕求a 的值；
〔2〕判断函数()f x 的奇偶性并证明；
〔3〕判断()f x 在(1,)+∞上的单调性并加以证明.
【答案】〔1〕1；〔2〕()f x 是奇函数，证明见解析；〔3〕()f x 在()1
+∞，上是增函数，证明见解析. 【解析】 【分析】
〔1〕利用()12f =列方程，求得a 的值.〔2〕先求得函数定义域，然后利用奇偶性的定义，判断出函数()f x 为奇函数.〔3〕根据函数单调性的定义，计算()()120f x f x -<，由此证得函数()f x 在(1,)+∞上的是增函数.
【详解】〔1〕由有(1)12f a =+=，解得1a =，所以a 的值是1. 〔2〕()f x 是奇函数，证明如下： 函数1
()f x x x =+
的定义域为{}|0x x ≠, 11
()()()f x x x f x x x
-=--=-+=-
()f x ∴是奇函数.
〔3〕()f x 在()1
+∞，上是增函数，证明如下： 任取两数12,(1,),x x ∈+∞且12x x <,那么120x x -<
()()211212121212121211
11()()()x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+
-+=-+-=-+ ⎪⎝⎭
()()()1212121212
111x x x x x x x x x x --⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 1212,(1,),x x x x ∈+∞<且,12120,1x x x x ∴-<>，即1210x x ->，
12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <， ()f x ∴在()1+∞，上是增函数.
【点睛】本小题主要考察待定系数法求函数解析式，考察函数奇偶性的判断和证明，考察函数单调性的判断和证明，属于中档题.
(
)2)sin (sin cos )f x x x x x π=---.
〔1〕求()f x 的单调递减区间；
〔2〕把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，再把得到的图象向左平移
3π
个单位，得到函数()y g x =的图象，求()6
g π的值. 【答案】〔1〕5()12
12k x k k Z π
πππ-≤≤+
∈〔2
〕()6
g π
= 【解析】
试题分析：〔Ⅰ〕化简()f x ,根据正弦函数的单调性可得()f x 的单调递增区间；
〔Ⅱ〕由()f
x 2sin
21,3
x π
=-（）平移后得(
)2sin 1.g x x =进一步可得
.6
g π
（）
试题解析：〔Ⅰ〕由()()()2
πsin sin cos f x x x x x =---
()
212sin cos x x x =-- )
1cos2sin 21x x =-+-
sin 221x x =-
π
2sin 21,3x （）=-+
由()πππ2π22π,232k x k k Z -≤-≤+∈得()π5π
ππ,1212
k x k k Z -
≤≤+∈ 所以，()f x 的单调递增区间是()5[,],1212
k k k Z ππ
ππ-+
∈〔或者()π5π
(π,π)1212
k k k Z -+∈〕.
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知()f x π2sin
21,3
x （）=- 把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，
得到y =π
2sin
13
x =-+（）的图象，
再把得到的图象向左平移
π
3
个单位，得到y 2sin 1x =的图象，
即()2sin 1.g x x =
所以ππ
2sin 166
g
（）=+= 【考点】和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质
【名师点睛】此题主要考察和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质、三角函数图象的变换.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答此题，关键在于能利用三角公式化简三角函数，进一步讨论函数的性质，利用“左加右减、上加下减〞的变换原那么，得出新的函数解析式并求值.此题较易，能较好地考察考生的根本运算求解才能及对复杂式子的变形才能等.
()()log 01a f x x a a =>≠且，函数2()g x x bx c =-++，且(4)(2)1f f -=，()g x 的图象过点
(4,5)A -及(25)B --，
． 〔1〕求()f x 和()g x 的解析式； 〔2〕求函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域和值域．
【答案】〔1〕()2log f x x =，()2
23g x x x =-++；〔2〕()1,3-,(]
,2-∞.
【解析】 【分析】
(1)根据()()421f f -=得出关于a 方程，求解方程即可；〔2〕根据()g x 的图象过点
()4,5A -及()25B ，--，列方程组求得()g x 的解析式，可得()()2
23f g x log x x ⎡⎤=-++⎣⎦，
解不等式2230x x -++>可求得定义域，根据二次函数的性质，配方可得
(]2230,4x x -++∈，利用对数函数的单调性求解即可.
【详解】〔1〕因为()()4
42log 1,2
a
f f -== 2a ∴= ， ()2lo
g f x x = ；
因为()g x 的图象过点()4,5A -及()25B ，--， 所以16452
4253b c b b c c -++=-=⎧⎧⎨⎨--+=-=⎩⎩
，得，
()223g x x x ∴=-++ ；
〔2〕()()
2
2log 23,f g x x x ⎡⎤=-++⎣⎦
由2230x x -++>，得13,x -<<
∴函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为()1,3-
()(]221,3,23410,4x x x x ∈-∴-++=--∈（） ,
()
(]22log 23,2x x ∴-++∈-∞，即()f g x ⎡⎤⎣⎦的值域为(],2-∞.
【点睛】此题主要考察函数的解析式、定义域与值域，属于中档题. 求函数值域的常见方法有①配方法：假设函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法：首先确定
函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值.
21.某企业为打入国际场，决定从A B 、两种产品中只选择一种进展HY 消费.HY 消费这两种产品的有关数据如下表：〔单位：万美元〕
其中年固定本钱与年消费的件数无关，m 为待定常数，其值由消费A 产品的原材料价格决定，预计[6,8]m ∈.另外，年销售x 件B 产品时需上交20.05x 万美元的特别关税.假设消费出来的产品都能在当年销售出去.
〔1〕写出该厂分别HY 消费A B 、两种产品的年利润12y y 、与消费相应产品的件数x 之间的函数关系，并指明其定义域；
〔2〕如何HY 才可获得最大年利润？请你做出规划. 【答案】〔1〕详见解析〔2〕详见解析 【解析】
试题分析：(1)消费A 产品的年利润1y =每件产品销售价⨯销售量- (年固定本钱+每件产品本钱⨯销售量);同理,消费B 产品的年利润2y 也可求得.(2)由6m 8≤≤,得10m 0->,所以
()1y 10m x 20=--是增函数,且0x 200,x N ≤≤∈，易知x 200=时,1y 有最大值;二次函
数2
2y 0.05x 10x 40=-+-,易求得当x 100=时,2y 1y 的最大值和2y 的最大值作差,比拟可
得何时HY 哪种产品获得年利润最大.
试题解析：〔1〕设年销售量为x 件，按利润的计算公式，得消费A 、B 两产品的年利润12y y 、分别为： ()()1y 10x 20mx 10m x 20,0x 200=-+=--≤≤,且
x N ∈;()()2
222y 18x 408x 0.05x 0.05x 10x 400.05x 100460=-+-=-+-=--+, 0x 120≤≤，且x N ∈.
〔2〕因为6m 8≤≤，所以10m 0->，所以()1y 10m x 20=--为增函数,又0x 200,≤≤且x N ∈，所以x 200=时，消费A 产品有最大利润
为:()10m 200201980200m -⨯-=-(万美元).又()2
2y 0.05x 100460=--+,
0x 120,≤≤且x N ∈,所以x 100=时，消费B 产品有最大利润为460(万美元) ,作差比拟：
()()()12max max y y 1980200m 4601520200m -=--=-,令15202000m ->，得
67.6m ≤<；令15202000m -=，得7.6m =；令15202000m -<，得7.68m <≤.所以
当6m 7.6≤<时，HY 消费A 产品200件获得最大年利润；当7.6m 8<≤时，HY 消费B 产品
100件获得最大年利润；当m 7.6=时，HY 消费A 产品和B 产品获得的最大利润一样.
点睛：此题主要考察了二次函数的实际应用.
(1)根据A 产品的年利润=每件产品销售价⨯销售量- (年固定本钱+每件产品本钱⨯销售量)，B 产品的年利润=每件产品销售价⨯销售量-(年固定本钱+每件产品本钱⨯销售量)-特别关税，分别求出1y ，2y 与x 的函数关系式，根据表格写出自变量的取值范围即定义域； (2)根据1y ，2y 与x 的函数关系式，由一次函数、二次函数的性质求最大值，利用作差法求两个最大值的差，根据m 的取值范围，分类讨论.
22.()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，且2()()2log (1)f x g x x +=-． 〔1〕求()f x 及()g x 的解析式及定义域；
〔2〕假设关于x 的不等式(2)0x
f m -<恒成立，务实数m 的取值范围．
〔3〕假如函数()
()2
g x F x =，假设函数(21)3212x x
y F k k =--⋅-+有两个零点，务实数
k 的取值范围．
【答案】〔1〕见解析；〔2〕[0,).m ∈+∞；〔3〕1
(,)(0,).2
k ∈-∞-⋃+∞. 【解析】
试题分析：〔1〕()()2
1log 111x f x x x
-=-<<+，()()
()22log 111g x x x =--<<；
〔2〕()
2x
f －0m <恒成立，那么()()
x
max
m f 2
>，利用换元，解得[
)m 0,∞∈+；〔3〕要使
()
X X y F 213k 212k
=--⋅-+函数有两
个零点，即
使得()
2y t 3kt 2k 1,t 0,1=--++∈函数在有
一
个
零
点，
即
()2t 3kt 2k 100,1+--=方程在内只有一个实根，所以()1,0,.2
k ⎛⎫
∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝
⎭
试题解析：
〔1〕因为()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， 所以，
，
，①
令取代入上式得
，
即
，②
联立①②可得，，
〔2〕因为，所以，
设，那么
，因为()f x 的定义域为
， ，
所以，，
即， ， 因为关于的不等式()2
x
f －0m <恒成立，
那么()()max
2x
m f >，
()
200x f m <∴≥又，
故的取值范围为[
)0,.m ∈+∞. (3)
()()()
()
22
1,1,1,1211,,1121
3212,,1x x
x
F x x x x y k k x =-∈-∴-<-<∈-∞∴=---⋅-+∈-∞
[)210,1x t 设=-∈ [)2321,0,1y t kt k t ∴=--++∈
()0,121x t y t y ∈==-当时，与有两个交点，
要使(
)
213212X
X
y F k k 函数=--⋅-+有两个零点，
即使得()2
321,0,1y t kt k t =--++∈函数在有一个零点，〔t =0时x =0，y 只有一个零点〕
即()2
32100,1t kt k +--=方程在内只有一个实根
0∆>
()()()21
321,0100.2u t t kt k u u k k =+--⋅<∴-令则使即可或
()1,0,.2k k ⎛
⎫∴∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝
⎭的取值范围
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

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不敢高声语，恐惊读书人。

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