构造函数解题的三个类型

构造函数解题的三个类型
构造函数解题的三种类型
构造函数解题是高考命题的热点之一。

根据笔者对近年高考题的研究，构造函数解题主要可以分为以下三种类型。

类型1：整体构造一个函数。

这是最常见的构造方法，在高考题中应用最为广泛。

例如，解不等式810/(3(x+1)x+1)-
x^3-5x>0，可以构造函数f(x)=x^3+5x，求出f(x)在实数范围上为增函数，从而得到原不等式的解集为{x|x<-2或-1<x<1}。

类型2：构造两个函数。

这种类型的题目较少，但需要较强的技巧。

例如，对于函数f(x)=2x^2+(x-m)|x-m|-x，若对于一切x∈[1,2]都成立，求实数m的取值范围。

可以构造函数
g(x)=(x-m)|x-m|和h(x)=2x^2-x，从而得到f(x)=g(x)+h(x)。

因为g(x)在实数范围上为增函数，h(x)在x∈[1,2]上为增函数，因此f(x)在x∈[1,2]上也为增函数。

通过计算f(1)，可以得到m的取值范围为(-∞,2]。

类型3：局部构造一个函数。

这种类型的题目难度较大，
通常需要在前一问中证明需要构造的函数具有某种性质，然后利用这一性质进行构造。

例如，对于函数f(x)=(lnx-1)，是否
存在实数x∈(0,e]，使得曲线y=f(x)在点x=x处的切线与y轴
垂直？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由。

可以构造函数g(x)=lnx-1，从而得到g'(x)=1/x。

因为g'(x)在x∈(0,1)上
为负，在x∈(1,e]上为正，所以g(x)在x∈(1,e]上为增函数。

因此，如果存在x∈(0,e]，使得曲线y=f(x)在点x=x处的切线
与y轴垂直，则必有f'(x)=-1/x与y轴平行，从而矛盾。

因此，不存在这样的x。

已知函数$f(x)=a+\ln x-1$，$g(x)=(\ln x-1)e^x+x$，其中
$e$为自然对数的底数。

1) 求函数$f(x)$在区间$(0,e]$上的最小值。

对$f(x)$求导可得$f'(x)=\frac{1}{x}$，由于$x\in(0,e]$，所以$f'(x)\geq 1$，即$f(x)$在$(0,e]$上单调递增。

因此$f(x)$的
最小值为$f(0)=a-1$。

2) 是否存在实数$x\in(0,e]$，使曲线$y=g(x)$在点$x=x$处的切线与$y$轴垂直？若存在，求出$x$的值；若不存在，说明理由。

对$g(x)$求导可得$g'(x)=\frac{1}{x}e^x+e^x+1$，令
$g'(x)=0$可得$x=\frac{1}{W(\frac{1}{e})}$，其中$W(x)$为朗伯函数。

由于$x\in(0,e]$，所以$W(\frac{1}{e})\leq 0$，因此$x$不存在实数解，即曲线$y=g(x)$在$(0,e]$上不存在与$y$轴垂直的切线。

巩固练：
1.已知函数$f(x)=x^2-aln x$在区间$(1,2]$上是增函数，$g(x)=x-ax$在区间$(0,1)$上是减函数。

1) 求$f(x)$，$g(x)$的解析式；
2) 当$x>0$时，讨论方程$f(x)=g(x)+2$的解得个数。

1) 对$f(x)$求导可得$f'(x)=2x-\frac{a}{x}$，由于$f(x)$在$(1,2]$上是增函数，所以$f'(x)>0$，即$2x>\frac{a}{x}$。

解得$a<2x^2$。

因此$f(x)=x^2-aln x$。

对$g(x)$求导可得$g'(x)=1-a$，由于$g(x)$在$(0,1)$上是减函数，所以$g'(x)1$。

因此$g(x)=x-ax$。

2) 将$f(x)=g(x)+2$化为$x^2-aln x-x+ax=2$，即$x^2-
(a+1)x+aln x-2=0$。

设方程的两个解为$x_1$和$x_2$，则由韦达定理可得$x_1+x_2=a+1$，$x_1x_2=e^{\frac{2}{a}}$。

当$a\leq 0$时，方程无实数解；当$a=1$时，方程有一个实数解$x=1$；当$a>1$时，方程有两个实数解，且
$x_1,x_2\in(0,1)\cup(1,2]$。

因此，当$a>1$时，方程
$f(x)=g(x)+2$的解有两个。