高考数学大一轮复习6.4数列求和教师用书理苏教版

§6.4 数列求和
1．求数列的前n 项和的方法 (1)公式法
①等差数列的前n 项和公式
S n ＝n a 1＋a n 2
＝na 1＋
n n －2
d .
②等比数列的前n 项和公式 (i)当q ＝1时，S n ＝na 1； (ii)当q ≠1时，S n ＝a 1
－q
n
1－q
＝
a 1－a n q
1－q
. (2)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法
一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n
f (n )类型，可采用两项合并求解．
例如，S n ＝1002
－992
＋982
－972
＋…＋22
－12
＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2．常见的裂项公式 (1)1n
n ＋＝1n －1n ＋1； (2)1
n －
n ＋
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1；
(3)
1
n ＋n ＋1
＝n ＋1－n .
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1
1－q
.( √ ) (2)当n ≥2时，
1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1
)．( √ ) (3)求S n ＝a ＋2a 2
＋3a 3
＋…＋na n
之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( × )
(4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2
＋12
n .( × )
(5)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n
－1
2
.( √ )
(6)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 2
1°＋sin 2
2°＋sin 2
3°＋…＋sin 2
88°＋sin 2
89°＝44.5.( √ )
1．已知在每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1，且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *
且n ≥2)，则a 81＝________. 答案 640
解析 由已知S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，
∴{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2
， ∴a 81＝S 81－S 80＝1612
－1592
＝640. 2．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1
·(4n －3)，则它的前100项之和S 100＝________.
答案 －200
解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.
3．(2014·广东)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5
，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________ 答案 50
解析 因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5
， 所以a 10a 11＝e 5
.
所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)
＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10
＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5
＝50ln e ＝50.
4．3·2－1＋4·2－2＋5·2－3＋…＋(n ＋2)·2－n
＝________. 答案 4－
n ＋4
2
n
解析 设S ＝3×12＋4×122＋5×123＋…＋(n ＋2)×1
2n ，
则12S ＝3×122＋4×123＋5×124＋…＋(n ＋2)×1
2n ＋1. 两式相减得12S ＝3×12＋(122＋123＋…＋12n )－n ＋22n ＋1.
∴S ＝3＋(12＋122＋…＋12n －1)－n ＋2
2n
＝3＋
12[1－12n －1
]
1－12
－n ＋22n ＝4－n ＋4
2
n .
题型一 分组转化法求和
例1 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n －1
＋(－1)n
·(ln 2－ln 3)＋(－1)n
n ln 3，求其
前n 项和S n . 解 S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1
)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n
]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋
(－1)n
n ]ln 3， 所以当n 为偶数时，
S n ＝2×1－3n
1－3＋n 2ln 3＝3n
＋n 2ln 3－1；
当n 为奇数时，
S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋(n －1
2－n )ln 3
＝3n
－
n －1
2
ln 3－ln 2－1.
综上所述，S n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
3n
＋n
2
ln 3－1，n 为偶数，3n
－n －1
2ln 3－ln 2－1，n 为奇数.
思维升华 某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特
别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．
(1)数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)n
a n ＝2n －1，则数列{a n }前12项和为________．
(2)已知数列{a n }的前n 项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，则数列{a n }的通项公式a n ＝________，其前n 项和S n ＝________. 答案 (1)78 (2)3n －1＋2n 12n (3n ＋1)＋2n ＋1
－2
解析 (1)由已知a n ＋1＋(－1)n
a n ＝2n －1，① 得a n ＋2＋(－1)
n ＋1
a n ＋1＝2n ＋1，②
由①②得a n ＋2＋a n ＝(－1)n
·(2n －1)＋(2n ＋1)， 取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10， 结果相加可得
S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.
(2)由已知得数列{a n }的通项公式为
a n ＝3n ＋2n －1＝3n －1＋2n ，
∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n
＝(2＋5＋…＋3n －1)＋(2＋22
＋ (2)
)
＝
n
＋3n －2
＋
－2n
1－2
＝12n (3n ＋1)＋2n ＋1
－2. 题型二 错位相减法求和
例2 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(4－a n )q
n －1
(q ≠0，n ∈N *
)，求数列{b n }的前n 项和S n .
思维点拨 (1)列方程组求{a n }的首项、公差，然后写出通项a n . (2)q ＝1时，b n 为等差数列，直接求和；q ≠1时，用错位相减法求和． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d .
由已知得⎩⎪⎨
⎪⎧
3a 1＋3d ＝6，
8a 1＋28d ＝－4，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝3，
d ＝－1.
故a n ＝3＋(n －1)·(－1)＝4－n . (2)由(1)得，b n ＝n ·q
n －1
，于是
S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1.
若q ≠1，将上式两边同乘以q 有
qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .
两式相减得到(q －1)S n ＝nq n
－1－q 1
－q 2
－…－q n －1
＝nq n
－q n －1q －1＝
nq n ＋1－n ＋
q n ＋1
q －1
.
于是，S n ＝
nq n ＋1－n ＋
q n ＋1
q －
2
.
若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝
n n ＋
2
.
所以S n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
n n ＋2，q ＝1，
nq n ＋1
－n ＋q n ＋1
q －
2
，q ≠1.
思维升华 (1)错位相减法是求解由等差数列{b n }和等比数列{c n }对应项之积组成的数列{a n }，即a n ＝b n ×c n 的前n 项和的方法．这种方法运算量较大，要重视解题过程的训练． (2)注意错位相减法中等比数列求和公式的应用范围．
已知首项为1
2
的等比数列{a n }是递减数列，其前n 项和为S n ，且S 1＋a 1，S 2＋a 2，
S 3＋a 3成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝a n ·log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求满足不等式T n ＋2n ＋2≥1
16
的最大n 值． 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由题意知a 1＝1
2，
又∵S 1＋a 1，S 2＋a 2，S 3＋a 3成等差数列， ∴2(S 2＋a 2)＝S 1＋a 1＋S 3＋a 3， 变形得S 2－S 1＋2a 2＝a 1＋S 3－S 2＋a 3， 即得3a 2＝a 1＋2a 3，
∴32q ＝12＋q 2
，解得q ＝1或q ＝12， 又由{a n }为递减数列，于是q ＝12，
∴a n ＝a 1q
n －1
＝(12
)n . (2)由于b n ＝a n log 2a n ＝－n ·(12
)n
，
∴T n ＝－[1·12＋2·(12)2＋…＋(n －1)·(12)n －1＋n ·(12)n
]，
于是12T n ＝－[1·(12)2＋…＋(n －1)·(12)n ＋n ·(12
)n ＋1
]，
两式相减得：12T n ＝－[12＋(12)2＋…＋(12)n －n ·(12)n ＋1
]
＝－
12·[1－1
2n
]
1－12
＋n ·(12
)n ＋1
，
∴T n ＝(n ＋2)·(12)n
－2.
∴
T n ＋2n ＋2＝(12)n ≥1
16
，解得n ≤4， ∴n 的最大值为4. 题型三 裂项相消法求和
例3 (2014·山东)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)
n －1
4n
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和T n .
解 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12
×2＝2a 1＋2，
S 4＝4a 1＋
4×3
2
×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2
＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)
n －1
4n
a n a n ＋1
＝(－1)
n －1
4n
n －n ＋
＝(－1)
n －1
(12n －1＋12n ＋1
)． 当n 为偶数时，
T n ＝(1＋13)－(13＋15)＋…＋(
12n －3＋12n －1)－(12n －1＋12n ＋1)＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1
. 当n 为奇数时，
T n ＝(1＋1
3)－(13＋15)＋…－(
12n －3＋12n －1)＋(12n －1＋12n ＋1)＝1＋12n ＋1＝2n ＋2
2n ＋1
. 所以T n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
2n ＋2
2n ＋1，n 为奇数，
2n
2n ＋1，n 为偶数.
(或T n ＝
2n ＋1＋－
n －1
2n ＋1
)
思维升华 利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．
在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2
n ＝a n ⎝
⎛⎭⎪⎫S n －12.
(1)求S n 的表达式；
(2)设b n ＝S n
2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .
解 (1)∵S 2
n ＝a n ⎝
⎛⎭⎪⎫S n －12，
a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，
∴S 2
n ＝(S n －S n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，
即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意得S n －1·S n ≠0，
①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1
S n －1
＝2，
∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1
a 1
＝1，公差为2的等差数列．
∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1
＝
1
n －n ＋
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1，
∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n
2n ＋1
.
四审结构定方案
典例：(14分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *
)，且S n 的最大值为8.
(1)确定常数k ，并求a n ；
(2)求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
9－2a n 2n 的前n 项和T n .
S n ＝－12
n 2＋kn 及S n 最大值为8
――→S n 是n 的函数
n ＝k 时S n max ＝S k ＝8
(根据S n 的结构特征确定k 值)
2
利用a n 、S n 的关系
a n ＝9
2
－n
化简数列{9－2a n
2n }
9－2a n 2n
＝n
2
n －1 根据数列的结构特征，确定求和方法：错位相减法 T n ＝1＋22
＋32
2＋…＋n －12
n －2＋n 2
n －1①
①式两边同乘以2
2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n
2n －2②
错位相减
T n ＝2＋1＋12
＋…＋
1
2
n －2
－
n
2
n －1
＝4－
n ＋2
2
n －1
.
规范解答
解 (1)当n ＝k ∈N *
时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，
即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2
＝16，k ＝4.
当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝7
2，[3分]
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝9
2
－n .[6分]
当n ＝1时，上式也成立，综上，a n ＝9
2－n .[8分]
(2)因为9－2a n 2n ＝n
2
n －1，
所以T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n
2n －1， ①
所以2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n
2n －2 ②[10分]
②－①得：2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n
2n －1
＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋2
2n －1.[13分]
2
温馨提醒 (1)根据数列前n 项和的结构特征和最值确定k 和S n ，求出a n 后再根据{9－2a n
2n }
的结构特征确定利用错位相减法求T n .在审题时，要审题目中数式的结构特征判定解题方案； (2)利用S n 求a n 时不要忽视n ＝1的情况；错位相减时不要漏项或算错项数． (3)可以通过n ＝1,2时的特殊情况对结论进行验证.
方法与技巧
非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：
(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；
(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和． 失误与防范
1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．
2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n
，a n ＋1
的式子应进行合
并．
3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项.
A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)
1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1
2n ，…的前n 项和S n 的值为________．
答案 n 2
＋1－12
n
解析 该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋1
2
n ，
则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(12＋122＋…＋12n )＝n 2
＋1－12
n .
2．已知函数f (n )＝n 2
cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝________.
答案 －100
解析 f (n )＝n 2
cos n π
＝⎩⎪⎨⎪⎧
－n 2
n 为奇数n 2
n 为偶数
＝(－1)n ·n 2
，
由a n ＝f (n )＋f (n ＋1) ＝(－1)n ·n 2
＋(－1)
n ＋1·(n ＋1)2
＝(－1)n
[n 2
－(n ＋1)2
] ＝(－1)
n ＋1
·(2n ＋1)，
得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100
＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201) ＝50×(－2)＝－100.
3．数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为________． 答案 130
解析 a 1＋…＋a k ＋…＋a 10 ＝240－(2＋…＋2k ＋…＋20) ＝240－
＋2
＝240－110＝130.
4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝________.
答案 ⎩⎪⎨⎪⎧
6n －n 2
n ，
n 2
－6n ＋
n
解析 ∵由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列， 且首项为－5，公差为2. ∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7， ∴n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0，
∴T n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
6n －n 2
n ，
n 2
－6n ＋n
5．数列a n ＝
1
n
n ＋
，其前n 项之和为9
10
，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n
＝0在y 轴上的截距为________． 答案 －9
解析 数列的前n 项和为 11×2＋12×3＋…＋1
n n ＋
＝1－
1n ＋1＝n n ＋1＝910
，
∴n ＝9，∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0. 令x ＝0，得y ＝－9，∴在y 轴上的截距为－9.
6．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *
)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.
答案 6
解析 由a n ＋a n ＋1＝1
2＝a n ＋1＋a n ＋2，
∴a n ＋2＝a n ，
则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20， ∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21) ＝1＋10×1
2
＝6.
7．已知数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝
－n ＋1
2
(n ∈N *
)，a 1＝－12
，S n 是数列{a n }的前n 项和，则
S 2 013＝________.
答案 －1 007
2
解析 由题意知，a 1＝－12，a 2＝1，a 3＝－32，a 4＝2，a 5＝－5
2，a 6＝3，…，
所以数列{a n }的奇数项构成了首项为－1
2，
公差为－1的等差数列，偶数项构成了首项为1， 公差为1的等差数列，通过分组求和可得
S 2 013＝[(－12)×1 007＋
1 007×1 0062×(－1)]＋(1×1 006＋1 006×1 0052×1)＝－1 007
2
.
8．设f (x )＝4x
4x ＋2，若S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 014
2 015)，则S ＝________.
答案 1 007
解析 ∵f (x )＝4x
4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x
41－x ＋2＝2
2＋4x ，
∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋2
2＋4
x ＝1.
S ＝f (12 015)＋f (22 015)＋…＋f (2 014
2 015)，① S ＝f (
2 0142 015)＋f (2 0132 015)＋…＋f (1
2 015
)，② ①＋②得，2S ＝[f (12 015)＋f (2 0142 015)]＋[f (22 015)＋f (2 0132 015)]＋…＋[f (2 0142 015)＋f (12 015)]
＝2 014，
∴S ＝2 0142
＝1 007.
9．已知数列{a n }是首项为a 1＝14，公比为q ＝14
的等比数列，设b n ＋2＝14
3log a n (n ∈N *
)，数
列{c n }满足c n ＝a n ·b n . (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{c n }的前n 项和S n . 解 (1)由题意，知a n ＝(14)n (n ∈N *
)，
又b n ＝14
3log a n －2，故b n ＝3n －2(n ∈N *
)．
(2)由(1)，知a n ＝(14)n ，b n ＝3n －2(n ∈N *
)，
所以c n ＝(3n －2)×(14
)n (n ∈N *
)．
所以S n ＝1×14＋4×(14)2＋7×(14)3＋…＋(3n －5)×(14)n －1＋(3n －2)×(14)n
，
于是14S n ＝1×(14)2＋4×(14)3＋7×(14)4＋…＋(3n －5)×(14)n ＋(3n －2)×(14)n ＋1
.
两式相减，得
34S n ＝14＋3[(14)2＋(14)3＋…＋(14)n ]－(3n －2)×(14)n ＋1＝12－(3n ＋2)×(1
4)n ＋1. 所以S n ＝23－3n ＋23×(14
)n (n ∈N *)．
10．(2013·江西)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2
n －(n 2
＋n －1)S n －(n 2
＋n )＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝
n ＋1n ＋
2a 2
n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *
，都有T n <564
. (1)解 由S 2
n －(n 2
＋n －1)S n －(n 2
＋n )＝0， 得[S n －(n 2
＋n )](S n ＋1)＝0， 由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0. 所以S n ＝n 2
＋n (n ∈N *
)．
n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式．
∴a n ＝2n (n ∈N *
)．
(2)证明 由a n ＝2n (n ∈N *
)得b n ＝n ＋1n ＋2a 2n
＝n ＋1
4n 2
n ＋2
＝116⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1
n
2－
1n ＋2
T n ＝116⎣⎢⎡
⎝
⎛
⎭⎪⎫1－132＋⎝
⎛⎭⎪⎫1
22－142＋⎝
⎛⎭
⎪⎫
1
32－15
2＋…
⎦
⎥⎤＋⎝
⎛
⎭⎪⎫1n －
2
－
1n ＋
2
＋⎝
⎛⎭⎪⎫1n 2－
1n ＋2
＝116⎣⎢⎡
⎦⎥⎤1＋12
2－1n ＋
2
－
1n ＋
2
<116⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋122＝564(n ∈N *)． 即对于任意的n ∈N *
，都有T n <564
.
B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)
1．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S 2 014＝________. 答案 2 010
解析 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝a n －a n －1.
故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008， －2 009，－1,2 008,2 009.
由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0. ∵2 014＝6×335＋4，∴S 2 014＝S 4 ＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010. 2．1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2
＝________.
答案 (－1)
n ＋1
n n ＋
2
解析 当n 为偶数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2
＝－3－7－…－(2n －1)
＝－
n
2＋2n －2
＝－
n n ＋
2
；
当n 为奇数时，1－4＋9－16＋…＋(－1)n ＋1n 2
＝－3－7－…－[2(n －1)－1]＋n 2
＝－n －1
2
[3＋
n －
－1]
2
＋n 2
＝
n n ＋
2
，
综上可得，原式＝(－1)
n ＋1
n n ＋
2
.
3．(2013·湖南)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *
，则：
(1)a 3＝________；
(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________. 答案 (1)－116 (2)13⎝ ⎛⎭⎪⎫12100－1 解析 ∵a n ＝S n －S n －1
＝(－1)n a n －12n －(－1)n －1
a n －1＋12n －1(n ≥2)，
∴a n ＝(－1)n
a n －(－1)
n －1
a n －1＋1
2
n (n ≥2)．
当n 为偶数时，a n －1＝－1
2n ，
当n 为奇数时，2a n ＋a n －1＝1
2n ，
∴当n ＝4时，a 3＝－124＝－1
16.
根据以上{a n }的关系式及递推式可求．
a 1＝－1
22，a 3＝－124，a 5＝－126，a 7＝－12
8， a 2＝122，a 4＝124，a 6＝126，a 8＝12
8.
∴a 2－a 1＝12，a 4－a 3＝123，a 6－a 5＝1
2
5，…，
∴S 1＋S 2＋…＋S 100＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 100－a 99)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋1
23＋…＋12100
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1
23＋…＋1299－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12100
＝13⎝ ⎛⎭
⎪⎫12100－1.
4．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足：S n ＝2a n －2n (n ∈N *
)． (1)求数列{a n }的通项a n ；
(2)若数列{b n }满足b n ＝log 2(a n ＋2)，T n 为数列{b n
a n ＋2}的前n 项和，求证：T n ≥1
2
. (1)解 当n ∈N *
时，S n ＝2a n －2n ，
则当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)，
两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2，即a n ＝2a n －1＋2， ∴a n ＋2＝2(a n －1＋2)，∴
a n ＋2
a n －1＋2
＝2，
当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，则a 1＝2，
∴{a n ＋2}是以a 1＋2＝4为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋2＝4·2
n －1
，∴a n ＝2
n ＋1
－2；
(2)证明 b n ＝log 2(a n ＋2)＝log 22n ＋1
＝n ＋1，
∴
b n
a n ＋2＝n ＋12n ＋1，则T n ＝222＋323＋…＋n ＋12
n ＋1， 12T n ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12
n ＋2， 两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2
＝14
＋1
4－1
2n
1－12
－
n ＋1
2
n ＋2
＝14＋12－12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－n ＋32n ＋2， ∴T n ＝32－n ＋32n ＋1，
当n ≥2时，T n －T n －1＝－
n ＋32
n ＋1
＋
n ＋22
n
＝
n ＋1
2
n ＋1
>0，
∴{T n }为递增数列，∴T n ≥T 1＝1
2
.
5．直线l n ：y ＝x －2n 与圆C n ：x 2
＋y 2
＝2a n ＋n 交于不同的两点A n ，B n ，n ∈N *
.数列{a n }满足：
a 1＝1，a n ＋1＝14
|A n B n |2.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2n －
n 为奇数，a n n 为偶数，
求数列{b n }的前n 项和T n .
解 (1)由题意，知圆C n 的圆心到直线l n 的距离d n ＝n ， 半径r n ＝2a n ＋n ，
所以a n ＋1＝(12|A n B n |)2＝r 2n －d 2
n ＝(2a n ＋n )－n ＝2a n .
又a 1＝1，所以a n ＝2
n －1
.
(2)当n 为偶数时，T n ＝(b 1＋b 3＋…＋b n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝[1＋5＋…＋(2n －3)]＋(2＋23
＋…＋2n －1
)
＝
n n －
2
＋
－2n
1－4
＝
n 2－n 2＋2
3
(2n
－1)． 当n 为奇数时，n ＋1为偶数，
T n ＋1＝
n ＋
2
－
n ＋
2
＋23
(2n ＋1
－1) ＝
n 2＋n 2＋2
3
(2n ＋1
－1)．
而T n ＋1＝T n ＋b n ＋1＝T n ＋2n
， 所以T n ＝
n 2＋n 2＋1
3
(2n
－2)．
所以T n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
n 2－n 2＋2
3
n
－n 为偶数，n 2
＋n 2＋1
3
n
－
n 为奇数。